APPLICAZIONI ECONOMICHE DEL TEOREMA DI NASH

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1 ! Università degli Studi di Siena Facoltà di Economia Richard M. Goodwin Dipartimento di economi politica e statistica Anno Accademico 2012/2013 APPLICAZIONI ECONOMICHE DEL TEOREMA DI NASH Relatore Chiar.mo Prof. Paolo Pin Candidato Sebastiano Della Lena

2 INTRODUZIONE 2 1 DEFINIZIONI FORMALI Definizione di gioco Definizione di equilibrio di Nash Teorema di Nash 7 2 ESEMPI DI GIOCHI E SPIEGAZIONI Matching pennies Battaglia dei sessi Falco e colomba Diverse possibili interpretazioni del gioco con diverse teorie della giustizia Dilemma del prigioniero Dilemma del viaggiatore 12 3 OBIEZIONI AI GIOCHI Economia comportamentale Teoremi dell incompletezza di Godel 16 4 TEOREMI DI PUNTO FISSO Teorema di Brower Teorema di Kakutani 18 5 APPLICAZIONI ECONOMICHE Cournot competition Situazioni più estese e complicate 23 CONCLUSIONI 26 BIBLIOGRAFIA 29! 1!

3 INTRODUZIONE Quando si è vissuti a lungo ci si può domandare se sia possibile trovare un equilibrio di Nash, una strategia vincente nella vita. Una vita lunga evoca un idea umana molto comune, il sogno di essere immortali, e l equilibrio affinché le cose non cambino implicherebbe l immortalità, e anche la strategia vincente potrebbe implicare l immortalità. Ma questo è il gioco, è la battaglia a cui, a quanto pare, tutti devono perdere, la battaglia per conquistare l immortalità, per non morire mai. Se si accetta il fatto di perdere ci si può adattare, forse esiste un aldilà, forse c è la reincarnazione, ma non voglio commentare le mie credenze personali { } Sono riuscito ad entrare nelle accademie scientifiche a cui appartengono matematici ed economisti, ma ci sono entrato solo grazie al premio Nobel. Non mi considero un grande vincitore nel gioco della vita, so che in certi settori sembra che io sia un perdente, quindi mi considero un vincente in certe aree e un perdente in altre, non si tratta di pretendere di avere una vasta area di successo, successo in famiglia, successo nel lavoro, successo negli sport, e così via e penso che occorra prenderla con filosofia, sentirsi felici anche se non si è vincitori, io la prendo con filosofia, voglio dire, essere soddisfatti è qualcos altro logicamente { } la malattia può rendere la vita meno monotona, in questo senso, può sembrare che una persona che attraversa periodi di malattia e periodi di buona salute abbia una vita più interessante {John Nash} Possiamo far coincidere la nascita della teoria dei giochi come è conosciuta oggi 1 nel 1944, anno dell uscita del testo Theory of Games and Economic Behavior, dove i due autori John von Neumann e Oskar Morgestern cercano di spiegare matematicamente i comportamenti di agenti economici. Il contributo di von Neumann è notevole per quanto riguarda i giochi a somma zero e per il teorema minmax, teorema che mostra una strategia che consente ai giocatori di minimizzare la massima perdita. La teoria dei giochi è un modello molto versatile e trova applicazioni in una vasta gamma di settori. Oltre ad essere alla base delle scelte strategiche politiche e militari ed essere largamente utilizzata in economia e finanza, ha una rilevante impiego, tra le altre, anche in scienze come la psicologia, la sociologia e la biologia.. Un punto di svolta nella teoria dei giochi lo abbiamo con il contributo di John Nash, un!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1!precedentemente sono da sottolineare gli studi di E. Zermelo e A. Borel sul gioco degli scacchi e sul poker.!! 2!

4 giovane studente di Princeton, che nel 1950 pubblica nel Proceedings of the National Academy of Sciences un articolo nel quale per la prima volta comparve il concetto che oggi definiamo come equilibrio di Nash. In questo articolo Nash utilizza il teorema del punto fisso di Kakutani per dimostrare l esistenza di punti di equilibrio in giochi con n giocatori. Questo lavoro nasce come una ricerca, dettata dalla curiosità personale, sulla teoria dei giochi. Sono state fornite le principali definizioni formali e successivamente sono stati mostrati alcuni esempi di gioco così da far meglio comprendere in cosa consiste e al fine di mostrare differenti situazioni di interazione strategica, con i conseguenti esiti. Per quanto riguarda il gioco del falco e della colomba è stato mostrato come l interpretazione dell esito del gioco sia fortemente influenzata dal concetto di giustizia che scegliamo di utilizzare per compiere la nostra analisi.. Di particolare rilevanza è il concetto di equilibrio di Nash e il teorema del punto fisso di Kakutani che ne ha permesso la dimostrazione, infatti, partendo proprio dalle sue implicazioni ho cercato di presentare alcune delle possibili applicazioni economiche, mostrando anche alcuni classici esempi di letteratura come l oligopolio di Cournot o il modello Arrow-Debreu. Solitamente in economia la teoria dei giochi e il concetto di equilibrio di Nash vengono utilizzati solamente in situazioni di perfetta concorrenza, con funzioni di produzioni lineari, in assenza di esternalità ecc ecc, in realtà sviluppando quanto detto vediamo come sia possibile estendere le applicazioni di questi concetti anche a modelli economici molto più verosimili. È stato dedicato anche un capitolo all economia comportamentale, così da mostrare un approccio alla teoria dei giochi diverso rispetto a quello proposto della teoria economica classica. In generale l intento del lavoro è di mostrare alcune implicazioni della teoria dei giochi che non sempre vengono prese in considerazione dall analisi classica.! 3!

5 1 DEFINIZIONI FORMALI 1.1 DEFINIZIONIE DI GIOCO Definiamo un gioco come un modello che descrive situazioni d interazione strategica dove il risultato (o payoff) per ciascun giocatore dipende sia dalla propria scelta che da quella degli altri giocatori. Il gioco è quindi un oggetto matematico (N,{Ai},{Πi}) che consiste in: N insieme finito dei giocatori; Ai insieme non vuoto delle possibili azioni i N; Πi preferenze di ogni giocatore i i N su A = xj N Aj. Definiamo ora la funzione di reazione del giocatore i come l insieme delle risposte ottime di i ad a-i a-i A-i Bi(a-i) Bi(a-i) = (ai Ai: (a-i,ai) > (a-i, a i) a i Ai) 2 per ben analizzare un gioco, comprenderne il funzionamento e capire la differenza tra le varie tipologie dobbiamo capire quali sono i suoi elementi I giocatori: chi è coinvolto nel gioco Le regole del gioco: come e quando vengono effettuate le scelte (giochi simultanei o giochi sequenziali, giochi one shot o giochi ripetuti nel tempo), le informazioni in possesso dei giocatori al momento della scelta (giochi a informazione perfetta, giochi a informazione completa), e il tipo di scelte che possono operare i giocatori (strategie pure, miste oppure, strategie dominanti e strategie dominate) I risultati: quali sono i risultati del gioco per ogni possibile insieme di azioni? (giochi a somma zero o giochi a somma non zero) I payoffs: il premio dei giocatori, ossia le loro preferenze circa il risultato del gioco.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2!dove: ai azione giocatore i, a-i azione di ogni altro giocatore!! 4!

6 Soffermandoci sulle possibili strategie è possibile distinguere le strategie miste da quelle pure. Una strategia pura fornisce una definizione completa del modo in cui un giocatore gioca una partita. In particolare, essa determina quale scelta farà il giocatore in qualsiasi situazione che potrebbe affrontare. Una strategia mista per un giocatore è una distribuzione di probabilità sull'insieme delle strategie pure che costui ha a disposizione. Se un giocatore ha a disposizione almeno due strategie pure, ci sono infinite strategie miste a disposizione di questo giocatore, potendo scegliere, come probabilità con la quale giocare una strategia pura, qualsiasi numero reale fra 0 ed 1. Ogni strategia pura può essere vista come un caso particolare di strategia mista, che assegna probabilità pari a 1 a quella strategia pura e 0 a tutte le altre strategie pure. Parleremo, di strategia dominante come di quella che consente a un giocatore (impresa) di avere risultati migliori rispetto ad ogni altra sua strategia, indipendentemente dalle scelte dei rivali, mentre si definisce strategia dominata quella strettamente peggiore delle altre, che indipendentemente dalle scelte dei rivali paga risultati peggiori al giocatore (impresa).* 3 A seconda del tipo di gioco che stiamo affrontando varia anche la rappresentazione grafica che mostra meglio i risultati, per un gioco simultaneo preferiremo la rappresentazione in forma strategica o normale ( matrice dei payoffs), al contrario per uno sequenziale è più chiara una rappresentazione in forma estesa. Vediamo due rappresentazioni di uno stesso gioco simultaneo a somma zero, nella sua forma normale ed estesa.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3!analizzare le varie tipologie di strategie sarà molto utile inseguito, il concetto di strategia mista lo troveremo quando andremo a vedere il teorema di Nash, mentre i concetti di strategie dominanti/dominate è utile per l analisi dei vari giochi!! 5!

7 Matching pennies 4 Questo gioco viene giocato tra due giocatori (A e B), ognuno dei quali ha una moneta e deve scegliere, simultaneamente all altro se girarlo dalla parte della testa o della croce. Le scelte vengono rivelate contemporaneamente e se entrambi hanno fatto la medesima scelta A riceve un euro da B (+1 per A, -1 per B) viceversa è A a dover pagare (-1 per A, +1 per B). Di seguito il gioco in forma strategica con la matrice dei payoff... Testa Croce Testa 1,-1-1,1 Croce -1,1 1,-1 Tabella 1 Mentre qui possiamo vedere la sua forma estesa 5 :!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4!Successivamente riprenderemo questo gioco e approfondiremo i suoi risultati alla luce del concetto di equilibrio di Nash.! 5!La linea tratteggiata rappresenta la scelta casuale del giocatore due.!! 6!

8 La soluzione ottimale e più auspicabile di un gioco sarebbe quella più efficiente, purtroppo se è vero che delle volte arriviamo ad un risultato pareto-efficiente, altre volte, come vedremo nei prossimi paragrafi ciò non accade. Definiamo ottimo paretiano una posizione nella quale non è possibile migliorare la condizione di un individuo senza peggiorare quella di un altro. 1.2 DEFINIZIONE EQUILIBRIO DI NASH Certamente possiamo affermare che il concetto più utilizzato come soluzione nella teoria dei giochi sia quello di equilibrio di Nash. Un equilibrio di Nash è un profilo di strategie tale che ciascun giocatore massimizza il suo payoff, date le strategie scelte da tutti gli altri giocatori. In un equilibrio di Nash nessun giocatore è incentivato a variare il proprio comportamento in modo unilaterale. Formalmente un equilibrio di Nash per il gioco (N,{Ai},{Πi}) è un profilo di strategie a* A, tale che i N Πi (a*i, a*-i ) Πi (ai, a*-i ) ai A. Riprendendo il concetto di risposta ottima possiamo definire un equilibrio di Nash come un profilo a* di azioni, tale che a*i Bi (a*-i) i N. Questa formulazione ci offre un modo alternativo di trovare degli equilibri di Nash, calcolando la funzione di reazione di ogni giocatore e trovare a* che soddisfi la relazione di prima, questo metodo, come vedremo, viene utilizzato nel modello di Cournot. 1.3 TEOREMA DI NASH Nel 1950 Nash servendosi del teorema del punto fisso di Kakutani 6 riesce a dimostrare l esistenza di punti di equilibrio in un gioco G = (N,{Ai},{Πi) se: Ai sottoinsieme compatto e convesso di uno spazio euclideo i N; Πi funzione continua quasi-concava i N. Da questo possiamo già affermare, come vedremo meglio inseguito, che in ogni gioco strategico finito esiste almeno un equilibrio di N.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6!!Vedremo nel dettaglio questo teorema nel capitolo 4.!! 7!

9 2 ESEMPI DI GIOCHI E SPIEGAZIONI 2.1 MATCHING PENNIES Andiamo analizzare il preso in considerazione al punto 1.1. Il matching pennies è un classico esempio di gioco a somma zero. 7 È interessante notare come in questo particolare gioco non esista un equilibrio di Nash con strategie pure, questo perché non esiste una strategia pura che è una risposta ottima alla strategia avversaria. Per trovare l equilibrio di Nash del gioco dobbiamo analizzarlo con strategie miste. In questo modo vediamo come l unico equilibrio lo abbiamo se ogni giocatore sceglie testa o croce con la stessa probabilità, così che per l'altro sia indifferente scegliere testa o croce e nessun giocatore avrà alcun incentivo a provare un'altra strategia. 2.2 BATTAGLIA DEI SESSI Questo è un esempio di gioco di coordinamento, ossia un gioco nel quale l interesse dei due giocatori in parte coincide. I due giocatori sono marito e moglie che devono decidere come passare la serata, entrambi vogliono stare insieme L uomo preferisce andare a vedere il football, mentre la donna l opera. Gli equilibri di Nash sono, rispettivamente (opera, opera) e (football, football). Opera Football Opera 3,2 0,0 Football 0,0 2,3 Tabella 2!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7!gioco a somma zero: quando la vincita di un giocatore è sempre pari alla perdita dell altro. Per la soluzione dei giochi a somma zero vedere minmax von neuman-morgesten!! 8!

10 2.3 FALCO E COLOMBA In The Logic of Animal Conflict (1973) Maynard Smith e Price, per avvallare la loro teoria della strategia evoluzionisticamente stabile (ESS: evolutionary stable strategy), mostrano l interazione strategica fra 5 possibili animali per la spartizione di un unica risorsa. Noi proponiamo una versione semplificata, conosciuta nella teoria dei giochi come gioco del falco e della colomba. 8 I due animali rappresentano due diverse strategie, il falco è combattivo, mentre la colomba può essere definita pacifica. Come vediamo dalla matrice dei payoff, quando due falchi si trovano a contendere una risorsa dal valore V, combatteranno e il guadagno di ognuno dei due sarà (½(V-C), che può essere negativo nel momento in cui C(costo del combattimento) > V, ogni volta che una colomba contende con un falco fugge lasciando tutto V, mentre se sono due colombe a contendersi la risorsa, data la loro natura pacifica, se la dividono. Falco Colomba Falco (½(V-C), ½(V-C)) (V,0) Colomba (0,V) (V/2,V/2) Tabella 3!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8!per la versione estesa, rimando all articolo originale!! 9!

11 2.3.1 DIVERSE POSSIBILI INTERPRETAZIONI DEL GIOCO CON DIVERSE TEORIE DELLA GIUSTIZIA Analizzando le possibili strategie vediamo come ogni animale preferisce comportarsi da falco, se l altro si comporta da colomba, e da colomba se l altro è un falco. Quindi questo gioco ha due equilibri di Nash (Falco, Colomba) e (Colomba, Falco). Possiamo discutere se gli equilibri che troviamo in questo gioco siano desiderabili oppure no, infatti se la situazione falco-falco è palesemente la meno efficiente, al contrario se entrambi i giocatori si comportassero da colomba, la somma dei due payoff sarebbe uguale alla somma dei payoff negli equilibri di Nash, la differenza sta quindi nella distribuzione. Analizzando la situazione secondo i principi paretiani, sia nella sua accezione forte che debole, non riusciamo a preferire una o l altra circostanza. La risposta alla nostra domanda non è univoca, infatti dipende con quale teoria della giustizia andiamo a verificare i vari stati del mondo che si possono verificare a partire da un gioco di questo tipo.. Stando alla teoria della giustizia di Rawls è indubbiamente preferibile quando i due giocatori si dividono in modo equo i payoff, infatti: nel pensiero di Rawls un assetto distributivo è giusto quando è equo, nel senso che offre le stesse opportunità ai vari soggetti. (Economia del benessere, Acocella, p. 45) In questa teoria della giustizia si pongono gli individui in una situazione di assoluto disinteresse, cioè ci poniamo dietro a un velo d ignoranza per quanto riguarda: lo status sociale, la distribuzione, le preferenze (avversione al rischio), altro (situazione politica, economica, generazione di appartenenza ecc), così che, secondo Rawls, verrebbero accettati da tutti due principi di giustizia: Ogni persona ha un uguale diritto al più ampio sistema totale di eguali libertà fondamentali compatibilmente con un simile sistema di libertà per tutti e le inuguaglianze economiche e sociali devono essere: a) per il più grande beneficio dei meno avvantaggiati, compatibilmente con il principio di giusto risparmio, e b) collegate a cariche e posizioni aperte a tutti in condizioni di equa eguaglianza di opportunità (Rawls, 1971, p. 255). Questi principi portano al così detto principio di differenza, ossia quel principio che sostiene che le disuguaglianze sono giustificabili soltanto se portano a un miglioramento dell individuo che sta nella situazione peggiore. Un punto di vista diverso lo abbiamo in Nozick, la sua teoria della giustizia non è consequanzilista, cioè non guarda al risultato finale, ma alle procedure che utilizziamo per avvicinarci ad esso, elabora infatti la teoria del titolo valido. Nozick sostiene infatti che se una distribuzione è giusta o no dipende da come è avvenuta (Nozick,! 10!

12 1974, p 163), volendo così garantire la libertà e l esercizio dei diritti, non necessariamente alla soddisfazione delle preferenze di tutti. In quest ottica vediamo come l esito del gioco falco e colomba non sia di per se ingiusto o poco desiderabile, in un contesto dove, non vi sono divieti rispetto ai due tipi di atteggiamento. Mostriamo come, secondo questa teoria, la soluzione di questo gioco potrebbe essere interpretata come che il giocatore che si comporta da falco merita un payoff così superiore, perché il suo vantaggio essenzialmente è acquisito nel rispetto della giustizia e grazie alle proprie capacità (mantenendo così il diritto di appropriarsi dei frutti del proprio lavoro). L intento di questi due brevi esempi è solamente quello di far vedere come l interpretazione di un gioco così semplice possa non essere così scontata come può sembrare, e come tutto dipenda dal punto di vista che scegliamo, e da cosa vogliamo ritenere come giusto. 2.4 DILEMMA DEL PRIGIONIERO Quello del dilemma del prigioniero forse è il gioco più famoso in assoluto ed è stato proposto per la prima volta dal matematico Albert Tucker. È un gioco strategico non coperativo a informazione completa 9 che presenta importarti caratteristiche e implicazioni economiche, in particolar modo per quanto riguarda la competizione oligopolistica. Inoltre si presta anche molto bene nella spiegazione della corsa agli armamenti tra Stati Uniti e Unione Sovietica, negli anni della guerra fredda. In questo gioco i giocatori sono due criminali arrestati perché sospettati di aver commesso un reato e chiusi in due celle separate, rigorosamente senza la possibilità di comunicare tra di loro. I due criminali hanno due possibili strategia confessare il reato oppure non confessare. Se nessuno offre una confessione dopo un solo anno di reclusione i due verranno rilasciati per assenza di prove certe, se uno dei due decidesse di confessare sarebbe rilasciato immediatamente mentre l altro sconterebbe una pena pari a 10 anni di reclusione, ma nel caso confessino entrambi, sconteranno ciascuno una pena pari a 5 anni.!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 9! è un gioco a informazione completa un gioco nel quale ogni giocatore ha tutte le informazioni sul contesto e sulle strategie degli avversari, ma non necessariamente sulle loro azioni.!! 11!

13 confessare non confessare confessare (-5,-5) (0,-10) non confessare (-10,0) (-1,-1) Tabella 4 : valori inseriti in con il segno meno, perché gli anni di prigione sono payoff negativi per i giocatori Come possiamo vedere dalla matrice dei payoff qua sopra, analizzando le strategie è chiaro che confessare è sempre una strategia dominate, mentre non confessare è una strategia strettamente dominata, quindi l equilibrio di questo gioco è inevitabilmente (confessa, confessa). Questo gioco mostra chiaramente come l equilibrio di Nash, quindi la soluzione del gioco, non sempre corrisponda a un ottimo paretiano. In un certo senso quest evidenza contraddice la visione economica classica che tende a far corrispondere al bene individuale il bene sociale, sotto ipotesi di razionalità, infatti vediamo come ogni giocatore se agisce razionalmente e in modo auto-interessato porta ad un esito peggiore per se e per il gruppo di appartenenza. Questo problema è possibile superarlo solamente se il gioco viene ripetuto, in questo caso i giocatori possono attuare la così detta trigger strategy (strategia a grilletto) detta anche tit for tat cooperare (in questo caso, non confessare) finché l altro coopera e punire l altro non cooperando più se c è da parte dell altro giocatore una deviazione. Approfondendo questo argomento in realtà vediamo come questo valga solamente nel caso di giochi ripetuti un numero indefinito di volte. 2.5 DILEMMA DEL VIAGGIATORE Il dilemma del viaggiatore è un problema più recente, formulato nel 1994, e mostra, come e forse anche più del dilemma del prigioniero, che non sempre una strategia razionale porta ai risultati più desiderabili per i giocatori. In questo gioco i giocatori sono i due passeggeri di un aereo, ai quali è stato perso il bagaglio, che per casualità è perfettamente identico. Volendo rimborsare i due viaggiatori, ma non potendo verificare! 12!

14 il reale valore dei due bagagli, la compagnia aerea dà la possibilità a ciascun giocatore di scrivere il valore che attribuisce al proprio bagaglio (valore limitato inferiormente e superiormente) e poi rimborserà entrambi della cifra più bassa. Per scoraggiare i viaggiatori a dichiarare un valore più alto di quello effettivo, chi avrà scritto la cifra più bassa riceverà, come premio per la propria onestà, una somma N che sarà tolta all altro giocatore. Nella teoria il valore di può essere fissato arbitrariamente senza che ciò influisca sull'esito del gioco. Analizzando questo gioco alla luce del concetto di equilibrio di Nash e strategie dominanti/dominate vediamo che due giocatori razionali si troveranno in equilibrio solamente quanto entrambi scriveranno il valore più basso. Infatti ponendo 50 valore minimo, 300 valore massimo e N= 20, se entrambi scegliessero 300, ciascuno dei due trarrebbe più vantaggio a scegliere 299 così da appropriarsi di N e ricevere 319. Ovviamente vale lo stesso per 299 e così via, fino al valore minimo di (300,300) (280,319).. (30,70) (319,280) (299,299). (30,70) (70,30) (70, 30).. (50,50) Tabella 5 : in questo caso la matrice è più estesa perché le possibili strategie dei giocatori sono > 2. Abbiamo riportato solamente alcuni casi per far comprendere il funzionamento del gioco. Le prove empiriche in questo caso si discostano notevolmente dalla teoria, infatti il valore di N non è indifferente, tanto più N è alta e tanto più i giocatori tendono a comportarsi come decritto dalla teoria, mentre con un N percepito basso gli individui difficilmente.! 13!

15 3 OBIEZIONI AI GIOCHI 3.1 ECONOMIA COMPORTAMENTALE Ci sono punti di vista diversi da quello della teoria economica classica secondo i quali analizzare i giochi. Una branca relativamente giovane dell economia è quella della così detta economia comportamentale, la quale cerca di analizzare come gli agenti economici compiano realmente le loro scelte e secondo quali criteri formano le loro preferenze. Questa analisi cerca di superare gli assiomi semplificati della teoria economica classica quali, la totale razionalità, l individualismo metodologico, la massimizzazione dell utilità, la mancanza di senso di giustizia e l assenza di asimmetrie informative. Avvalendoci degli strumenti offerti dalla teoria dei giochi vediamo, come i risultati empirici che abbiamo siano molto diversi da ciò che la teoria classica propone. I giocatori, infatti, non rispettano perfettamente i principi soprelencati di razionalità ed egoismo; spesso preferiscono cooperare o arrivare a soluzioni più eque e vantaggiose per la collettività e meno individualiste rispetto a ciò che la teoria propone. Un esempio di questo lo troviamo nell Ultimatum Game. In questo gioco ci sono due giocatori, il proposer e il responder. Il proposer è in possesso di una certa somma (ipotiziamo10 euro) e deve decidere come dividere questa dotazione tra lui e l' altro giocatore. Il responder, una volta osservata l'offerta del proposer, deve decidere se accettare o meno l offerta. In caso di rifiuto nessuno prende nulla (payoff (0;0)) se accetta riceverà la quantità offerta dal proposer. Per risolvere questo gioco ci mettiamo nei panni del proposer, il rifiuto dell' offerta da parte del responder risulta essere una minaccia non credibile, in quanto rifiutare è costoso, dato che 1 è sempre meglio di 0: per questo motivo il proposer offre il meno possibile. Se la dotazione iniziale è pari a 10 i payoff saranno pari a (9;1) e ciò è perfettamente in linea con la teoria economica. Analizzando gli esperimenti però notiamo che la maggioranza dei proposer offre circa 1/2 della cifra, mentre i responder rifiutano offerte inferiori a 1/3. Ciò è in contrasto con la teoria. Se le scelte del proposer sono comprensibili ipotizzando che, attraverso l'esperienza, hanno potuto intuire che un offerta di circa 1/2 ha una maggiore probabilità di essere accettata, il rifiuto dei responder non trova una giustificazione nella teoria classica, ma lascia supporre che ci sia una sorta di punizione per un atteggiamento considerato non equo, e quindi la presenza di un senso di giustizia nei giocatori. Questo esempio è molto interessante perché fa vedere in modo semplice questa discrepanza tra teoria classica e evidenza! 14!

16 empirica, facendoci così sorgere qualche dubbio sugli assiomi che stanno alla base del concetto di homo oeconomicus e della teoria economica. Tuttavia credo che i risultati empirici qui presentati siano leggermente viziati dalle modalità con le quali esso si svolge, infatti nella maggior parte di questi esperimenti vengono messe in palio cifre irrisorie o comunque che non portano a un incremento effettivo del benessere di uno dei due giocatori. Volendo anche considerare un esempio di una posta pari a 1000 se viene offerto 100, probabilmente l offerta non verrà accettata, sia per un motivo di giustizia ma anche perché è una cifra che non condiziona in modo rilevante il responser, cioè il costo del rifiuto è minore della soddisfazione che riceve nel punire il proposer per l offerta poco equa. Al contrario se le cifre in ballo fossero molto più elevate il risultato sarebbe diverso. Con una posta pari a , ponendo anche che l offerente offra una cifra molto inferiore a 1/3, probabilmente sarebbe ugualmente accettata; infatti l offerta pari a 1/10 del totale è e addirittura 1/100 corrisponde a Personalmente credo che un individuo medio non potrebbe rifiutare cifre del genere. Se è vero che con cifre basse, quindi con un utilità quasi irrilevante, mediamente si preferisce punire per la puntata disonesta 10, con cifre così elevate, rifiutare per punire l altro, non solo andrebbe contro il principio di razionalità ma sarebbe addirittura folle. Altri giochi simili a quello proposto sono il gioco del dittatore e il gioco della fiducia, anche in questi casi i risultati sono molto simili, anche qui i risultati empirici mostrano come i giocatori tendono a un comportamento reciproco e come spesso siano mossi da un senso di giustizia ed equità. Notiamo anche come gli individui tendano molte volte a valutare i propri guadagni relativamente a quelli degli altri giocatori, questo ci spiega il comportamento di punizione nell ultimatum game. Un altro fattore da analizzare che l analisi classica dei giochi non prende in considerazione è quello che riguarda la funzione di utilità degli agenti. Nella teoria classica, infatti, non è influenzata dal consumo o dall utilità di altri soggetti, ma nella realtà questo non è sempre valido, in molte situazioni, la soddisfazione di un giocatore non può essere considerata completamente indipendente dalla soddisfazione degli altri. Per esempio se i due giocatori sono legati da amicizia o parentela difficilmente saranno individualisti nel valutare i propri payoff. Riprendendo il gioco del prigioniero, se i due!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 10!senza necessariamente contravvenire al principio di razionalità (data la bassa utilità di alcune cifre).!! 15!

17 giocatori sono marito e moglie, essi non avranno alcun incentivo a competere tra di loro, in quanto le loro funzioni di utilità sono interdipendenti. Altre critiche mosse si riferiscono proprio all impossibilità di un gioco che assuma l ipotesi di piena razionalità. Herbert Simon propone il principio di razionalità limitata ipotizzando che gli agenti economici cerchino di raggiungere una situazione soddisfacente dato che è molto difficile raggiungere l ottimo assoluto. Infatti, gli agenti economici sono condizionati nelle loro scelte, dalla possibilità di considerare solo alcune tra tutte le alternative possibili e dall impossibilità di conoscere tutte le conseguenze di una scelta. Questi due condizionamenti comprometterebbero il principio di piena razionalità solitamente proposto.. Un altro punto di vista è quello della teoria evolutiva, che presuppone lo sviluppo dinamico della conoscenza che si modella sulla base dell esperienza degli individui e dei nuovi elementi economici e sociali che si sviluppano nel corso del tempo. In questa teoria si parte dall impossibilità di arrivare ad una situazione di equilibrio economico stabile, l equilibrio qui rappresenta solamente un punto di partenza dal quale iniziare lo sviluppo e tentare i miglioramenti. 3.2 TEOREMI DELL INCOMPLETEZZA DI GODEL La teoria dei giochi ed in particolare quanto emerge dal dilemma del prigioniero, ci mostra qualcosa di estremamente interessante. In un primo momento emerge quanto la logica e la razionalità siano fondamentali e possano aiutare l essere umano nella risoluzione di un numero vastissimo di problemi (interazioni strategiche), allo stesso vediamo come, talvolta, procedendo in modo prettamente logico e razionale si possa arrivare a risultati poco desiderabili. Sembra quasi che portando la logica alle sue massime conseguenze essa arrivi a negare se stessa. Per comprendere questo paradosso possiamo trovare un suggerimento teorico in Godel e nei suoi teoremi dell incompletezza, i quali mostrano come non sempre un asserzione contenutisticamente vera sia dimostrabile in un determinato sistema formale e che anzi è possibile ottenere un sistema coerente all interno del quale è dimostrabile una proposizione contenutisticamente falsa. Enunciato 1: In ogni teoria matematica T sufficientemente espressiva da contenere! 16!

18 l'aritmetica, esiste una formula tale che, se T è coerente, allora né né la sua negazione sono dimostrabili in T. semplificando: In ogni formalizzazione coerente della matematica che sia sufficientemente potente da poter assiomatizzare la teoria elementare dei numeri naturali (la struttura dei numeri naturali dotati delle operazioni di somma e prodotto) è possibile costruire una proposizione sintatticamente corretta che non può essere né dimostrata né confutata all'interno dello stesso sistema. Enunciato 2: Sia T una teoria matematica sufficientemente espressiva da contenere l'aritmetica: se T è coerente, non è possibile provare la coerenza di T all'interno di T. semplificando: Nessun sistema coerente può essere utilizzato per dimostrare la sua stessa coerenza, e cioè se un sistema assiomatico può dimostrare la sua stessa coerenza, allora esso deve essere incoerente. Se quelli che abbiamo appena presentato sono problemi matematici teorici, sono stati compiuti alcuni studi anche su i giochi per verificare se effettivamente il principio di piena razionalità fosse soddisfatto. È stata dimostrata l esistenza di un equilibrio, ma non la possibilità di raggiungerlo, che rimane per i giocatori incomputabile. Questo paradosso va nettamente in contrasto con l assunto di piena razionalità dei giocatori alla base di tutta l analisi. Un esempio di un gioco che si occupa della non computabilità è quello introdotto nel 1962 da T. Radò nell articolo On Non-Computable Functions, il busy-beaver, mediante il quale l autore arriva a sostenere: Enunciato: Per ogni funzione computabile f da N a N esiste un naturale k(f) tale che, per ogni k > k(f), risulta Σ(k) > f(k). In particolare, Σ non può essere computabile.! 17!

19 4 KAKUTANI FIXED POINT THEOREM I l teorema del punto fisso di Kakutani è un estensione del teorema del punto fisso di Brouwer alle funzioni a più valori dimostrato, nel 1941, dal matematico Shizuo Kakutani. Nash utilizza il teorema del punto fisso per dimostrare l esistenza di equilibri in un gioco n-plo. 4.1 TEOREMA DI BROWER Enunciato: Se K è un insieme non vuoto, compatto (cioè, chiuso e limitato) e convesso in R n e f : R R è una funzione continua, allora vi è un punto fisso, esiste cioè un x* tale che f (x*)= x* 4.2 TEOREMA DI KAKUTANI Enunciato: Sia X R n, X compatto, 11 convesso e non vuoto. Sia f : X X una corrispondenza a valori non vuoti e conveessi, ed a grafico ridotto chiuso. Allora F ha un punto fisso, cioè: x* X tale che x* f(x).!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 11!definiamo insieme compatto un insieme chiuso e limitato.!! 18!

20 Questi due teoremi, date la validità di certe ipotesi, ci assicurano l esistenza di un punto fisso. Questo però non basta a garantirci l unicità di tale punto, può verificarsi infatti l esistenza di più di un punto fisso. Definiamo punto fisso quel punto del dominio che non è sotto l influenza della funzione stessa.! 19!