ALGORITMI E STRUTTURE DI DATI a.a. 2004/05 9 gennaio 2005 Indice

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1 ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 9 gnnaio 005 Inic Insimi La notazion matmatica L assioma lla sclta 3 L insim ll parti 4 L funzioni L funzioni Uguaglianza i funzioni 3 Composizion i funzioni 3 Associatività 3 La funzion intica 3 L immagin 3 Funzioni inittiv 3 Funzioni surittiv 4 Inittività catgorial 4 Surittività catgorial 4 Funzioni biittiv 4 Spazi i funzioni 4 Proprità funtoriali 4 Algbra linar quazioni linari in una incognita 6 Sistmi astratti 7 u sistmi linari in u incognit 7 smpi La forma gnral lla rgola i Cramr trminanti L algoritmo i liminazion i Gauß 9 Sistmi con più i una soluzion 10 L insim ll soluzioni i un sistma linar 10 Trigonomtria Trigonomtria oggi 11 Un problma i gosia 11 Il triangolo 1 Il triangolo rttangolo 1 Tripl pitagor 1 L funzioni trigonomtrich 1 La imostrazion iniana 13 Il triangolo isolatro 13 Angoli sul crchio 13 Il torma l cosno 14 Il grafico lla funzion sno 14 La prioicità i sno cosno 14 Altr proprità i sno cosno Gomtria Grafica al calcolator gomtria 11 istanz in 15 Il prootto scalar 15 Ortogonalità 15 Coorinat polari nl piano 1 Coorinat cilinrich nllo spazio 1 Coorinat polari nllo spazio 1 Rotazioni nl piano 1 isuguaglianz fonamntali 4 Il sgno l prootto scalar 4 llissi 9 Iprboli 9 Rtt sgmnti 30 quazion i una rtta 30 Proizion su una rtta 30 Riflssion in un punto 36 Riflssion in una rtta 36 Numri complssi Numri complssi in R I numri complssi 3 La formula i ulr 3 Il campo i numri complssi 4 La formula i Moivr 4 Part ral part immaginaria 4 Raici i un polinomio 5 Raici -sim ll unità 5 Raici i un numro complsso 5 Prturbazion i cofficinti 36 I cammini ll raici 37 Il torma i Rouché 37 Continuità ll raici 37 Programmazion in R R 16 L funzioni aiuto 16 Installazion i R 16 Il libro i Crawly 16 Programmar in R 17 Programmi autonomi 17 Nomi in R 17 Assgnamnto 17 Succssioni 1 Angoli sprssi in grai 1 I commnti 1 Funzioni in R xprssion val 9 ifls 3 NA 3 if ls 33 intical 33 Oprazioni insimistich 33 imnams 33 for whil rpat 40 Abbrviazioni 45 Options printxn) 45 any all 46 Orinamnto 46 La librria 46 Grafica con R! Figur i Lissajous 1 La grafica i R 19 plot lins 19 Il comano postscript 19 points symbols rct Grafici i funzioni 6 Curv paramtrizzat nl piano 6 Octobrina lgans 6 Octobrinia I 7 Octobrinia II 7 ablin Parabrinia Rotazioni Tsti matmatici 9 Curv i livllo Una collana 3 "!$%" 33 "! 33 "! 33 % 34 "! 34 Il foglio i Cartsio 34 La chiocciola i Pascal 34 La lmniscata 34 Una curva trascnnt 34 La funzion polygon 35 Il fil figur 35 Trattggi 35 Una moifica in Postscript 36 Paralll 3 Com nasc una forma 3 Vttori matrici con R outr 3 Crazion i matrici 3 Matrici in R 39 smpi pr l oprazioni matriciali 39 Piccoli opratori 39 Inici vttoriali 40 v[v%%p' 0] 40 Assgnazion vttorial 41 Inici matriciali 41 L opzion rop 41 rbin cbin 41 Sistmi linari con R 4 lngth im 4 t trminant) traccia 4 Matrici iagonali 4 abs valor assoluto) sign 4 Autovalori 4 Matrici simmtrich 43 ign autovalori autovttori) 43 Matrici rali 43 I crchi i Grshgorin 43 Analisi I numri binomiali 0 La formula i Stirling 1 Funzioni iprbolich rivazion simbolica 44 La rivata 44 La funzion sponnzial 44 smpi pr l uso i 45 La sri i Taylor 45 La profssion l matmatico Ch cos è la matmatica? 1 La profssion all univrsità all azina Gomtria applicata 5 La matmatica in azina 5 La statistica matmatica 5 La matmatica gli inggnri 5 Matmatica chimica 5 La inamica i fluii 5 Gomatmatica 5 Malatti tropicali 5 La matmatica l futuro 1 Varia Il r i matmatici 6 L basi i Gröbnr 6 Il sito CRAN i Frrara 30 Il crivllo i ratostn 40 Strumnti L alfabto grco 1 srcizi pr gli scritti srcizi srcizi srcizi 1-1 srcizi 3-7 srcizi srcizi srcizi srcizi srcizi

2 SG H Corso i laura in matmatica Anno accamico 004/05 Numro 1 Ch cos è la matmatica? iviiamo qusta omana in u sottooman crcano i inicar prima i costitunti lmntari lla matmatica poi com la matmatica v ssr usata I componnti lmntari l ragionamnto matmatico sono nunciati lla forma ipotsi implica tsi; in qusto snso la matmatica non conosc affrmazioni assolut ma soltanto proposizioni ch si compongono ogni volta i un prciso lnco ll ipotsi ch vngono fatt poi i una altrttanto prcisa spcificazion ll nunciato ch scono qulla proposizion n consgu A qusto punto non è tto ch la proposizion sia valia bisogna ancora imostrarla ciò significa nlla matmatica imostrar ch la tsi sgu all ipotsi unit agli assiomi ai risultati già ottnuti all rgol logich ch obbiamo applicar Gli assiomi sono nunciati ch vngono mssi all inizio i una toria snza imostrazion; ogni altro nunciato v ssr invc imostrato È important ch bisogna smpr imostrar una proposizion - ch è smpr nlla forma ipotsi implica tsi! - nlla sua intrzza cioè ch si tratta i imostrar la valiità ll implicazion non la valiità lla tsi L nunciato A implica B può ssr vro anch s B non vro A smpio in logica si impara ch s l ipotsi A è falsa allora la proposizion A implica B è smpr vra Quini l affrmazion s 3 è ugual a 31 allora io mi chiamo Piro è smpr vra inipnntmnt a com mi chiamo io Nlla pratica matmatica ciò significa ch a una prmssa rrata si può con un po i pazinza urr qualunqu cosa La valiità si rifrisc quini smpr a tutta la proposizion A implica B Mntr il matmatico puro crca soprattutto i arricchir l ificio ll tori matmatich con nuovi conctti o con imostrazioni talvolta assai ifficili i tormi il matmatico applicato v anch sapr usar la matmatica Nll scinz naturali sociali l quali pongono problmi molto complssi uno i compiti più importanti è spsso la sparazion gli lmnti ssnziali i un fnomno agli asptti marginali In qust scinz l informazioni isponibili sono quasi smpr incomplt cosicché possiamo ogni volta scrivr soltanto una piccola part lla raltà Anch quano isponiamo i conoscnz ttagliat qust si prsntano in gran quantità sono complss multiformi richiono conctti orinatori pr potrl intrprtar Ciò significa ch bisogna strarr smplificar Un mollo matmatico i un fnomno ha soprattutto lo scopo i prmttr i comprnr mglio qul fnomno quini i mttrn in vinza caus fftti comportamnti quantitativi i iniviuarn i tratti ssnziali i mccanismi fonamntali In un crto snso la matmatica consist i tautologi nl mollo matmatico si tnta i vinziar l tautologi contnut nl fnomno stuiato La toria crca i comprnr i procssi lgami funzionali i un campo l sapr La mnt umana pnsa in molli Anch quano non facciamo matmatica lla natura crchiamo i comprnr la natura miant immagini smplificat La toria inizia già nll istant in cui cominciamo a porci la omana quali siano gli asptti ssnziali i un oggtto o i un fnomno La matmatica non è unqu altro ch un moo sistmatico controllato i sguir qusti procssi i astrazion smplificazion costantmnt attivi nl nostro intlltto Il mollo matmatico una volta concpito s sviluppato corrttamnt si mostra poi i una sattzza natural ch spsso imprssiona l utnt final ch è tntato i aottar gli nunciati matmatici com s ssi corrisponssro prcisamnt ai fnomni mollati Ma ciò non è affatto vro: La prcision l mollo matmatico è soltanto una prcision intrna tautologica la smplificazion quini vrità approssimata parzial ch sta all inizio l mollo si consrva più avanza lo sviluppo matmatico maggior è il pricolo ch itrano più volt l rror qusto sia crsciuto in misura tal a richir un intrprtazion strmamnt prunt i risultati matmatici Propri l tori più avanzat più bll quini pr il matmatico puro sono spsso qull più lontan alla raltà Qusto automatismo lla matmatica può ssr prò anch font i nuovi punti i vista svlar connssioni nascost Un mollo matmatico è prciò solo un ausilio pr la riflssion pr controllar il contnuto la consistnza logica i un pnsiro o i una ricrca In altr parol molli sono strumnti intllttuali non si possono a ssi aspttar scrizioni prftt lla raltà ssi non forniscono rispost complt ma inicano piuttosto quali siano l oman ch bisogna porr L astrattzza intrinsca lla matmatica comporta a un lato ch ssa rimanga smpr ivrsa alla raltà offr prò all altro lato la possibilità i gnralizzar i risultati ottnuti nll ricrch in un particolar campo applicativo o anch uno strumnto lla matmatica pura a problmi apparntmnt compltamnt ivrsi s qusti hanno proprità formali in comun con il primo campo In qusto numro 1 Ch cos è la matmatica? L alfabto grco La profssion all univrsità all azina La notazion matmatica L funzioni 3 Uguaglianza i funzioni Composizion i funzioni Associatività La funzion intica L immagin Funzioni inittiv L assioma lla sclta 4 Funzioni surittiv Inittività catgorial Surittività catgorial Funzioni biittiv Spazi i funzioni Proprità funtoriali L insim ll parti 5 Gomtria applicata La matmatica in azina La statistica matmatica La matmatica gli inggnri Matmatica chimica La inamica i fluii Gomatmatica Malatti tropicali L alfabto grco alfa bta gamma lta psilon zta ta thta iota kappa! lamba " mi $ % ni ' xi ) omikron * + pi - rho / sigma 0 1 tau 3 4 ypsilon 5 6 fi 7 chi 9 : psi ; < omga = > Sono 4 lttr La sigma minuscola ha u form: alla fin lla parola si scriv 1 altrimnti 0 In matmatica si usa solo la 0 Mikros ) significa piccolo mgas $?CF1 ) gran quini la omikron è la o piccola la omga la o gran L lttr grch vngono usat molto spsso nlla matmatica a smpio G IBJLKNM I è un abbrviazion pr la somma M KPO M@Q O M?R O M G ITJUKVM I pr il prootto M K M Q M R M mntr G WYXZ è un oggtto con u inici pr uno i quali abbiamo usato una lttra grca

3 " " % ' a " ' ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 1 La profssion In gnr lavoro in un tam con inggnri biologi o bancari Lavoro autonomo o in tam nlla programmazion chi conosc il C il Prl può ralizzar l costruzioni tcnich astratt matmatich imparat nl corso i laura in moo crativo util pr l azina) Il matmatico v ssr in grao i comprnr analizzar i problmi ch si pongono nlla prassi azinal i traurli nl linguaggio formal lla matmatica i risolvrli spsso con l aiuto i tcnich mzzi informatici Matmatica finanziaria attuarial calcolo ll probabilità statistica sri tmporali prvision i valori i borsa calcolo i rischi ll tariff) Matmatica azinal ottimizzazion statistica toria i grafi) Il matmatico può lavorar ni rparti i ricrca oprativa in grani itt nllo sviluppo i softwar azinal nl controllo lla prouzion nl srvizio statistico nll banch nll assicurazioni nlla pubblica amministrazion Matmatica inustrial quazioni iffrnziali fisica matmatica ma anch statistica sri tmporali ottimizzazion controllo automatico analisi numrica) laborazion ll immagini applicazioni nll inustria nlla micina nlla robotica) Gomtria iscrta iffrnzial) computazional grafica al calcolator) Informatica torica: algbra struttur orinat funzioni boolan mtoi classici i smplificazion iagrammi i cision proprità matmatichstrutturali) linguaggi formali automi Algoritmi Analisi formal i conctti Bioinformatica confronto i squnz stuio ll sprssion gnica rti mtabolich) Statistica multivariata i ati clinici i grani imnsioni Possibilità i posizioni anch supriori inustria farmacutica ramo attuarial-statistico) all univrsità all azina Pr insrirsi crscr azinalmnt nl moo miglior è important capir sin all inizio ch cosa l imprs vogliono ai laurati appna assunti Allnarsi al lavoro in tam vuol ir l opposto ch vrsi con i propri simili: vuol ir sviluppar l intrisciplinarità la capacità i farsi capir a chi ha una cultura un grgo iffrnti i trovar soluzioni a problmi ch toccano tutti in moo ivrso L univrsità sping invc a aggrgarsi pr omognità a vrificar i sapr tutti sattamnt l stss cos Purtroppo l univrsità abitua spsso a un rapporto passivo sprsonalizzato burocratico isincntiva l iniziativa iniviual la capacità i costruirsi sntiri schmi propri Gian Battista Rosa ): all univrsità all azina ACTL p uro 30 La notazion matmatica Matmatica linguaggi i programmazion hanno in comun la quasi prftta prcision allo stsso tmpo la gran complssità gli nunciati È ncssario quini finir attntamnt gli oggtti con cui si vuol lavorar l oprazioni ch si vogliono ffttuar Spsso qusti oggtti qust oprazioni vngono utilizzati più volt nllo stsso ragionamnto o in una toria È quini ncssario introurr abbrviazioni siccom talvolta l stss oprazioni possono ssr ffttuat su oggtti ivrsi variabili Ci limitiamo qui a alcuni i più comuni conctti insimistici L insim ch consist gli lmnti vin notato con è l insim i tutti gli ch goono lla proprità o ch comunqu possono ssr scritti all sprssion S è lmnto i un insim allora si scriv Il simbolo significa ugual pr finizion Alcuni insimi i numri:! - " $% ' )*' )+% ) %'! 0/ Gli lmnti i! si chiamano numri naturali qulli i numri intri gli lmnti i - numri razionali L insim i numri rali vin finito ni corsi i analisi è notato con 1 Molto important vrsatil è il conctto i prootto cartsiano i insimi: ati u insimi con 43 si nota l insim ll coppi orinat) i lmnti ch si possono formar prnno com prima componnt un lmnto i com scona un lmnto i : :; < Si possono anch formar prootti cartsiani i più i u fattori in particolar si può 0 formar l insim =53?> > Ä B C volt 1: è quini il piano ral 1 lo spazio triimnsional In statistica una tablla i F righ G colonn i numri può ssr consirata com una collzion i F punti nllo spazio 1:H Quano un insim è contnuto in un insim ciò significa pr finizion ch ogni lmnto i è anch lmnto i ) allora si scriv JIK Così abbiamo! I I - I71 u insimi si chiamano uguali s hanno gli stssi lmnti Ciò si può formular anch così: LM s solo s 5IN OIP L union QORTS i u insimi Q S è l insim i tutti gli lmnti ch appartngono a almno uno i u insimi mntr l intrszion QVUWS è l insim i loro lmnti comuni ciò gli lmnti ch appartngono sia a Q ch a S Com in aritmtica è util avr un numro " così nll insimistica si introuc un insim vuoto apparntmnt artificial finito alla proprità i non avr alcun lmnto sso vin notato con X è sottoinsim i ogni altro insim: XYIT pr ogni insim infatti ogni lmnto i X cioè nssuno appartin a ) Z0[ è un abbrviazion pr s solo s L funzioni Il conctto singolo più important lla matmatica è crtamnt qullo i funzion Miant funzioni possiamo trasformar informazioni a una forma all altra possiamo smplificar informazioni complss o immrgr informazioni in contsti più gnrali Una funzion l tmpo può ssr stuiata pr scoprir proprità i prioicità funzioni complicat possono ssr compost in funzioni più smplici S pr smpio sappiamo ch il prootto i u funzioni continu è ancora continuo s accttiamo pr crto ch la funzion ch mana un numro ral in s stsso è continua possiamo immiatamnt conclur ch la funzion ch mana un numro ral in è anch ssa continua Il conctto i funzion in matmatica è molto gnral Una funzion o applicazion) è finita a tr componnti: un insim su cui la funzion è finita il ominio lla funzion) un insim il coominio) i valori possibili ogni valor lla funzion v ssr un lmnto i ma non ncssariamnt ogni lmnto i è valor lla funzion) un sottoinsim \]I^_37 il grafico lla funzion) ; ch v avr la proprità ch pr ogni ` sist sattamnt un tal ch 9 * \ La tripla ab < c\ si chiama allora una funzion a in si scriv anch a) fg oppur ih ) fg? Pr ogni con a ` si nota qull unico pr cui 9 * \ S a può ssr sprssa miant una formula pr a si scriv anch aj k6a ` a smpio j k<l9m n pop q1r)f?1 Quano è un insim finito non troppo gran una funzion as )fv può ssr rapprsntata anch a una tablla: t In qusto caso w possiamo prnr a smpio l insim x t u % v % %'t u v pr " %'9t Nll analisi i una variabil ral si stuiano funzioni finit su un intrvallo i 1 a valori rali Il grafo i qust funzioni è un sottoinsim i 1: può quini ssr rapprsntato nl piano j kwl9m n ' o l9m n u otzy${ l Funzioni i qusta forma rapprsntabili com somm finit o infinit) i funzioni trigonomtrich vngono stuiat nll analisi armonica o analisi i Fourir)

4 S P S S S S G S U W V r P G G g g h h ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 1 3 Uguaglianza i funzioni Quan è ch u funzioni sono uguali? Pr finizion una funzion è una tripla u tripl i oggtti matmatici sono uguali s coinciono in ogni componnt cioè s Prciò u funzioni! " $ " sono uguali s solo s % ' ")" L prim u conizioni significano ch l u funzioni hanno lo stsso ominio lo stsso coominio ch a qusto punto possiamo chiamar ; analizziamo la trza conizion cioè "*+" Ciò significa ch pr -/0 1/ si ha " s solo s-6 17" quini 19 - s solo s 1:- In altr parol la trza conizion è quivalnt a - ;: - pr ogni -90 u funzioni sono prciò uguali s solo s hanno lo stsso ominio lo stsso coominio s inoltr - < - pr ogni -90 Composizion i funzioni S >=?A@!BC =?F@BHG sono u funzioni si può finir la funzion composta JIKL=A@B>G ponno +I3-M= N 3- O pr ogni -// La funzion composta trasforma quini prima - in 6 - applica poi la a 3- Qusta oprazion è molto important sia pr costruir nuov funzioni a funzioni not sia pr stuiar funzioni complicat componnol in funzioni più smplici rapprsntano cioè la funzion complicata com composizion i funzioni più smplici Si usano allora spsso iagrammi commutativi: Un iagramma i funzioni si chiama commutativo s P QI7 Siccom P /I hanno pr finizion lo stsso ominio lo stsso coominio G l uguaglianza significa ch P -*R 3- O pr ogni -90 smpi: U V-3 - SCTS U V - X YZ -1 U V - U V -[>\ ]O^ _ In analisi si imostra ch la composizion i funzioni continu è continua; quini s sappiamo ch U V - U V -+[C\ ]O^ _ sono continu possiamo urr ch anch la funzion U V ]O^ _- [`\ è continua Associatività Assumiamo ch siano at tr funzioni BC BHg Allora possiamo formar prima 7I+ comporr il risultato con h ottnno così i J= :h;i6ji! oppur comporr con h7im ottnno la funzion i = k h5i3il imostriamo ch si ottin in ntrambi i casi la stssa funzion In primo luogo im i hanno lo stsso ominio lo stsso coominio g obbiamo imostrar ch i - *<i - pr ogni -)n Ma i -?:hi+oji -? :h64oji5 -OL)h6p6 -O4 i -?k h7i53i3-? k h7i5p6 -OL)h6p6 -O4 quini im- Ji - Abbiamo così ottnuto la lgg i associatività pr la composizon i funzioni: hi+oji?k hiqli5 Possiamo prciò tralasciar l parntsi scrivr smplicmnt h ImI pr una composizion i tr funzioni In un iagramma commutativo la lgg i associatività ci prmtt i prcorrr il iagramma sguno l frcc il risultato ipnrà solo all inizio alla fin l cammino Vrificar qusta rgola nll ultimo iagramma in basso a sinistra! La lgg i associatività corrispon alla commutatività l iagramma hi5 +I5 In vrità in un iagramma commutativo non usrmo il crchitto pr notar la composizion ma armo i nuovi nomi a tutt l frcc; ch nl iagramma ch sgu P NI sgu proprio alla commutatività La funzion intica Pr ogni insim sist la funzion intica o intità) sptuv= U V -=jw@ B Pr ogni funzion H=;w@ BC abbiamo un iagramma commutativo sptu s tx L immagin =lw@bh sia un applicazion Allora l immagin i è l insim ypz*z L=n{ 6 - -//0} n{m1/ ~ sist -// con 1:3- } ypz*z è quini un sottoinsim i consist i qugli 19w ch sono immagin sotto i qualch lmnto i Funzioni inittiv Una funzion =w@ BC è tta inittiva s trasforma lmnti istinti i in lmnti istinti i ; quini la funzion è inittiva s solo s l uguaglianza 3-6+~6 - implica - )- Proposizion 31 Sia f ) Allora la funzion =w@ BH è inittiva s solo s sist una funzion =@ B tal ch IF)sptu imostrazion: 1) sia inittiva L ia lla costruzion i è i manar ogni 19 ypz*z in qull -n unico pr la inittività i ) pr cui S ypz*z abbiamo già finito Cosa facciamo prò in caso gnral con qugli 10 ch non appartngono a ypz*z? A qusto scopo scgliamo un lmnto qualsiasi - ƒ*9 ciò è possibil prché pr ipotsi ) maniamo tutti gli lmnti i {m1h j1h ypz*z!} in - ƒ In altr parol 1? - s 1:3- - ƒ altrimnti In vrità avrmmo ovuto finir miant un grafo È prò chiaro ch basta porr k M 4 con ~) ˆ9 ov = ){ /} = ){1j - ƒ K 1FAM 10 y z*z j} ) Molto più smplic ma in un crto snso anch più intrssant è la scona irzion lla imostrazion prché à un primo saggio ll fficacia i qusto moo astratto i ragionar Assumiamo ch sista una funzion )=+@BC tal ch LI sptu Pr imostrar ch allora è inittiva prniamo u lmnti -6 - i pr cui 3-j?:3- Ma pr ipotsi 3- O - pr ogni - quini - N 3- O?N 3- O?N- L assioma lla sclta Quano si sviluppa assiomaticamnt la toria gli insimi si scopr ch un nunciato ch pr molti vrsi smbrrbb natural non può ssr otto agli altri assiomi È quini ncssario aggiungrlo al sistma gli assiomi insimistici Qusto nunciato prn il nom i assioma lla sclta può ssr formulato in qusto moo: Sia un insim pr ogni 1` sia ato un insim non vuoto Š Y in moo tal ch pr 1H Œ gli insimi Š Y ŠŽ non abbiano lmnti in comun Allora sist un insim contnuto nll union gli Š Y tal ch pr ogni 1 l intrszion < Š Y possia sattamnt un lmnto

5 $ $ V $ $ ~ ~ ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 1 4 Funzioni surittiv Una funzion è tta surittiva s ogni lmnto i è immagin i qualch lmnto i cioè s Proposizion 41 La funzion è surittiva s solo s sist una funzion tal ch imostrazion: 1) sia surittiva Stavolta la costruzion i non è affatto lmntar richi l assioma lla sclta Pr ogni "! finiamo %$ ')* +- /! 1043 %*56 7 $ Siccom la è surittiva :9 pr ogni ;!< %$ >= Inoltr non hanno lmnti in comun com è vint alla finizion Pr l assioma lla sclta sist un insim A contnuto nll union >$ gli quini contnuto in B0C $C prché <0 pr ogni ) tal ch >$ l intrszion A pr ogni "! possia sattamnt un lmnto Qust ultima conizion significa prò pr ogni! sist sattamnt un! tal ch * +- /!A Prciò la tripla F G+H"+-A" è una funzion bn finita obbiamo prò imostrar ch cioè ch % *IJ: pr ogni!k Ma *) è proprio sclto in moo tal ch % *)I6! Riassumiamo la imostrazion i qusta prima part: L ia intuitiva è smplicmnt ch pr ogni <!4 scgliamo un!l tal ch un tal sist smpr pr l ipotsi lla surittività lla ) Poi formiamo AM ;)* +N O3! 7 Ma snza l assioma lla sclta non riusciamo a imostrar ch in qusto moo abbiamo vramnt finito un insim A ) La scona irzion è i nuovo facil istruttiva Assumiamo ch sista una funzion P Q tal chq R Ciò significa ch pr ogni '!; abbiamo OS )I pr cui "!" Inittività catgorial L algbra i iagrammi commutativi è così important in alcuni campi avanzati lla matmatica ch è argomnto i una isciplina apposita la toria lla catgori Formuliamo l proposizioni in un moo un po più vicino al linguaggio ll catgori Proposizion 4 La funzion è inittiva s solo s pr ogni insim T ogni coppia i funzioni UTJ V WTJ 5 l uguaglianzaq/uxcq V implica UQ V imostrazion: Il caso YM9 è banal; sia quini 19 1) sia inittiva Pr la prop 31 sist una funzion ZQ tal ch ZGP[ Allora usano l ipotsi l associatività lla composizion i funzioni abbiamo UQ [ GULKZJ\OGUQ KZ]^O V [ V ) Vicvrsa siano W_+N `!R tali ch %* _ /C%* ` Sia Ta Fcb)7 finiamo l funzioni T Tgf ponno UWhbi\ _ V hbj^ 5` È chiaro chkuxa V L ipotsi implica UK V ciò a sua volta è possibil solo s W_^ ` Surittività catgorial Proposizion 43 La funzion5 è surittiva s solo s pr ogni insim l ogni coppia i funzioni Um Q 5 l V % Q l l uguaglianza U] V J implica UQ V imostrazion: 1) sia surittiva Pr la prop 41 sist una funzion Q 5 tal chw i nuovo usano l ipotsi l associatività lla composizion abbiamo UUn\ V oo Uo V \ V ) Vicvrsa sia lp Liqi+-ri7 La funzion Us l sia la funzion costant ch mana ogni in q La funzion V % Q 5 l sia finita così: V *)s1t s!u*qv"!x5r È chiaro ch U S Iw V %*5Iw@q pr ogni X! prché %*5 appartin smpr a Quini U5 V Pr ipotsi ciò implica UQ V Ma qusto non sarbb possibil s 9 Quini ncssariamnt Q9 ciò significa ch è surittiva Funzioni biittiv Un applicazionk si chiama biittiva s è allo stsso tmpo inittiva surittiva Tralasciamo i nuovo il caso banal ma un po intricato) ch sia l insim vuoto assumiamo quini ch 9 1) sia biittiva Pr l prop sistono funzioni Z 6 Q 6 Q tali ch ZOJwR [ m ;i imostriamo prima ch Z Infatti ZOKZ]oixKZJoO [ Abbiamo quini un applicazion Z tal ch ZOy [ m]zw:i all prop 4 43 sgu inoltr ch Z è univocamnt trminata ssa si chiama la funzion invrsa i vin notata con >z _ ) S vicvrsa sist una funzion Y{ tal ch Z]^[ O/Z allora è inittiva surittiva quini biittiva pr l prop Abbiamo quini il sgunt risultato Proposizion 44 La funzion5 è biittiva s solo s sist una funzion Z tc ZJom[ /ZO Z è allora univocamnt trminata Spazi i funzioni Pr insimi l finiamo l [ com l insim i tutt l funzioni 5 l Un insim lla forma l [ o un suo sottoinsim si chiama uno spazio i funzioni Sia X) una funzion 1) Pr ogni insim T ogni funzion!x} possiamo formar la composizion ~ MX!C n} ottnno così una funzionj~)}\ 5 } ) Pr ogni insim l ogni funzion U!xl possiamo formar la composizion ~ Um yumn '!1l [ ottnno così una funzion ~ l l [ o può ssr intificato con nƒ _ 5 Proprità funtoriali Proposizion 45 Siano at funzioni sia un insim Co- ˆ Š{ T m prima abbiamo applicazioni } O} ˆ ~ } 5 o} { ~ Allora OkZ ~ ~ kz ~ imostrazion: Sia!X} Allora /WZ ~ 61 /WZ /shzs s j~hz] sj~hzi~ I Proposizion 46 Siano at funzioni ˆ 5 { l sia un insim Abbiamo applicazioni l 5 l ˆ [ ljœ{ l Allora OkZ ~ KZ ~ o ~ imostrazion: Sia UX! ljœ Allora /WZ ~ U)sUG6kWZG1 UG%5WZO Z ~ Uno5sKZ ~ ~ UI Proposizion 47 Sia una funzion Allora: è inittiva Ž ~ %}\ 5 } è inittiva pr ogni insim T è surittiva Ž < ~ 5l 5 l [ è inittiva pr ogni insim l imostrazion: Ciò non è altro ch una riformulazion ll prop 4 43 L insim ll parti L insim ll parti i un insim è finito com l insim i tutti i sottoinsimi i N fanno part almno stsso l insim vuoto 9 ch sappiamo ssr sottoinsim i ogni insim S è vuoto quini coinci con 9 l insim ll parti ha un solo lmnto è ugual a 97 ; s possi sattamnt un lmnto 9 non ci sono sottoinsimi i ivrsi a 9 quini l insim ll parti è ugual all insim 9 +N7 possi u lmnti In gnr s è un insim finito con lmnti l insim ll parti consist i r lmnti L insim ll parti i si nota con Q*X *X 9 9)7 cb)7 cb+ qj7 cb + q+nri7 9 + cb)7j7 9 + cb)7+ jqj7)+ cb + q7i7 9 + cb)7+ jqj7)+ r7 cb + qj7+vcb+nr7)+ iqi+-ri7)+ cb + qi+ ri7i7 Una funzion boolana i variabili è una funzionocb+ qj7 xcb+ qj7 o quivalntmnt una funzion1^ *X cb+ q7 ov è un insim con lmnti Il numro ll funzioni boolan è sorbitant sistono r ` funzioni boolan i variabili quini funzioni boolan con 4 argomnti più i 4 miliari con 5 argomnti più i 1 miliari i miliari con 6 argomnti ogni volta ch si aggiung una variabil il numro ll funzioni boolan è il quarato i qullo prcnt) L funzioni boolan appaiono sotto vsti istint nlla matmatica pura nllo sviluppo i circuiti lttronici nlla ricrca mica Su Googl con boolan gn xprssion cancr filtyp:pf si trovano 900 fils

6 ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 1 5 Gomtria applicata La gomtria vin utilizzata in molti campi lla tcnologia morna: nlla tomografia computrizzata nlla pianificazion i ifici nlla crazion i animazioni pr film pubblicità nll analisi i movimnti i robot satlliti La matmatica è i gran aiuto nlla grafica al calcolator; conoscr l oprazioni fonamntali lla gomtria traslazioni rotazioni riflssioni coorinat baricntrich i vari tipi i proizioni) prmtt i crar facilmnt programmi i grafica con carattristich ch talvolta mancano anch ni programmi i grani prouttori quano non sono stati sviluppati a matmatici A livllo più avanzato la gomtria stuia l vari rapprsntazioni i curv suprfici varità gomtrich i imnsion suprior miant rapprsntazioni paramtrich oppur sistmi i quazioni Si impara allora com passar a una rapprsntazion paramtrica a un sistma i quazioni ch scriv la stssa varità vicvrsa; si stuiano l funzioni ch trasformano una varità in un altra Nlla statistica mica i ati sono spsso punti in spazi i alta imnsion s in una analisi i prov i sangu con la spttromtria i massa vngono rilvat l concntrazioni i 0 molcol ogni prova corrispon a un punto i ) S asso vogliamo suivir i pazinti in gruppi carattristici sani malati nl caso più smplic) abbiamo bisogno i mtoi gomtrici pr finir valii critri i sparazion La matmatica in azina La matmatica azinal comprn a un lato la ricrca oprativa cioè l ottimizzazion ll risors i un azina o i un nt una isciplina ch si è voluta all ottimizzazion linar a mtoi smpr più avanzati ottimizzazion quaratica convssa inamica gomtria i numri ottimizzazion intra topologia algbrica programmazion logica) all altro soprattutto in campo bancario la morna sofisticata matmatica finanziaria ch riva alla matmatica attuarial ma utilizza strumnti matmatici molto complicati Procssi stocastici sri tmporali oltr ch in matmatica finanziaria hanno molt altr applicazioni in conomia: ossrvazioni l carico lttrico lla rt NL cambiamnti mografici anamnto i mrcati bors La statistica matmatica Lo statistico ch lavora in un azina nll amministrazion pubblica o nlla ricrca clinica v comprnr i compiti ch gli vngono posti v ssr in grao i intragir con i committnti Nonostant ciò la statistica è i sua natura una isciplina matmatica ch si basa sul calcolo ll probabilità richi conoscnz tcnich in altri campi lla matmatica com analisi ral complssa analisi armonica calcolo combinatorio a smpio pr la pianificazion i sprimnti) La matmatica gli inggnri Problmi inggnristici hanno quasi smpr una fort componnt matmatica: alla toria i matriali all laborazion i sgnali all intrprtazion i misurazioni al controllo i qualità a molli pr il corpo umano i suoi movimnti a smpio nll inustria automobilistica ma anch nll inustria tssil - in sartoria!) all analisi struttural i ifici ponti ai molli matmatici pr i procssi fisici chimici in un altoforno all ottimizzazion ll illuminazion in impianti inustriali allo stuio ll rosion nl ltto i un fium ai problmi invrsi lla gofisica importanti pr smpio anch nll analisi struttural i monumnti ifici) apprtutto si utilizza la matmatica Potrmmo lncar tanti altri campi i applicazion: la gomtria i movimnti cinmatica) in robotica nlla costruzion i macchin toria i sistmi controllo ottimal nll automazion mollazion i razioni chimich nlla chimica inustrial ottimizzazion struttural i componnti i macchin o lla composizion i punt pr trapani a ntista microstruttura i mtalli costruzion i autovicoli trni ari ottimizzazion i orari frroviari pianificazion urbanistica tlcomunicazioni Matmatica chimica Il ruolo lla matmatica in chimica è in rapia crscita ssa vin applicata a smpio nl isgno razional i farmaci nlla slzion sintsi i nuovi matriali com guia nlla ricrca i nuovi catalizzatori nllo sviluppo i algoritmi pr la inamica molcolar nlla risoluzion i problmi i ottimizzazion i conformazioni pr la comprnsion l ripigamnto ll protin nllo stuio l trasporto i sostanz attravrso l mmbran strn intrn lla cllula fonamntal pr la farmacologia) nll analisi l complicato avvolgimnto ll molcol i NA nllo stuio lla struttura i cristalli quasicristalli nlla chimica quantistica La gomtria la topologia possono contribuir alla comprnsion lla struttura triimnsional ll molcol la toria i grafi prmtt non solo la visualizzazion i lgami chimici ma può ssr applicata alla rapprsntazion i razioni chimich oppur nll organizzazion i banch ati i molcol o lla lttratura chimica; il calcolo combinatorio la toria i gruppi intrvngono nlla chimica combinatoria una tcnica smpr più utilizzata all inustria farmacutica Il matmatico può lavorar nllo sviluppo i algoritmi pr la trasformazion i Fourir pr l applicazioni nlla spttroscopia molcolar oppur nlla chimica quantistica computazional quazioni iffrnziali parziali analisi armonica procssi stocastici statistica analisi numrica toria combinatoria i gruppi finiti toria i grafi quasiorini toria i numri gnrazion i numri casuali) gomtria computazional grafica al calcolator nlla mollistica molcolar computr ai molcular sign computr ai rug sign): sono poch l isciplin matmatich ch non hanno intrssanti applicazioni in chimica La inamica i fluii Uno i campi più classici allo stsso tmpo più attuali lla fisica matmatica è la inamica i fluii i gas ssa richi un ricco bagaglio i tcnich matmatich soprattutto all analisi quazioni iffrnziali parziali) alla gomtria iffrnzial calcolo tnsorial) oltr a soli conoscnz in mccanica i continui trmoinamica nsità viscosità altr carattristich i un fluio o i un gas ipnono alla tmpratura vicvrsa un gas si scala s vin comprsso) È una isciplina molto vasta con tantissim applicazioni: costruzion i macchin inittori turbin vntilatori pomp) al i ari lich i ari i navi ruot a vnto molli pr nuovi matriali flussi in mi porosi rafframnto i vtri prouzion i fibr plastich srbatoi i olio ottimizzazion l caffè sprsso stuio lla formazion i vortici turbolnz combustion tonazioni molli pr il movimnto i animali psci srpnti ucclli) molli aroinamici pr la mtorologia circolazioni turbolnz atmosfrich moto i vnti attorno a grani catn i montagn uragani convzion trmica nll atmosfra) l agricoltura moto ll aria in piantagioni o forst) aroinamica i ifici pianificazion i sprimnti aroinamici iroinamici costruzion i canali aroinamici) prvision ll intrazioni con l aria i trni a alta vlocità stima ll sposizioni al vnto i un pont In micina la fluioinamica l sangu è un campo important ma ancora piuttosto ifficil prvnzion i anurismi patologi circolatori) Gomatmatica Qusto è un campo nuovo molto bllo ifficil lla matmatica Funzioni spciali lla gofisica matmatica funzioni armonich sulla sfra opratori psuoiffrnziali lla gosia matmatica mtoi i approssimazion multivariata splins wavlts mtoi gli lmnti finiti nlla gosia trminazion l campo gravitazional lla Trra analisi ll formazioni lla suprfici trrstr fftti lla rifrazion atmosfrica trminazion l campo magntico lla Trra miant l analisi i ati trasmssi a satlliti sono solo alcuni i tmi i qusta intrssant isciplina Malatti tropicali È tipico pr la natura viva ch ssa pon i problmi ch ifficilmnt possono ssr prfttamnt mollati con i mtoi matmatici classici sviluppati in gnr pr la fisica o l inggnria Ciò a un lato val naturalmnt anch pr l malatti tropicali com malaria bilharziosi filariosi lishmaniosi all altro lato qust malatti colpiscono ogni anno cntinaia i milioni i prson sono trascurat all itt farmacutich i pazinti non possono pagar) richiono quini intrvnti cologici o politici molto impgnativi Alla pianificazion i qusti intrvnti anch i molli matmatici possono contribuir sicuramnt la micina tropical è attrant pr il suo fascino pr il lato umano Corso i laura in matmatica Corso i Algoritmi struttur i ati ocnt: Josf schgfällr

7 = G / 9 J J 9 - / / / Corso i laura in matmatica Anno accamico 004/05 Numro Il r i matmatici Carl Fririch Gauß ) è consirato il r i matmatici La lttra ß alla fin l nom è una s tsca antica; il nom talvolta scritto Gauss) si pronuncia gaos simil a caos ma con la g invc lla c con la o molto brv lgata alla a in moo ch l u vocali formino un ittongo Nssun altro matmatico ha crato tanti conctti profoni ancora oggi importanti nll isciplin matmatich più avanzat toria i numri gomtria iffrnzial gosia matmatica toria gli rrori statistica analisi complssa) Il ritratto lo mostra a vntisi anni È stato fors il primo a concpir l gomtri non ucli ha ato una smplic intrprtazion i numri complssi com punti l piano ral con l aizion vttorial la moltiplicazion!"$%'*)+" ha imostrato il torma fonamntal ll algbra ch affrma ch ogni polinomio con cofficinti complssi possi nll ambito i numri complssi una raic) ha introotto la istribuzion gaussiana l calcolo ll probabilità ha consguito importanti scoprt nlla toria ll lttromagntismo; è stato irttor ll ossrvatorio astronomico i Gottinga L algoritmo i liminazion ra noto nl 1759 a Lagrang ) già 000 anni fa in Cina; Gauß lo ha usato nl suo lavoro sui moti clsti l 109 in cui scriss il mtoo i minimi quarati una tcnica i approssimazion ancora oggi univrsalmnt utilizzata L basi i Gröbnr - /3 /4-6573:9<; />-?/A@B3:9C S si prova a imitar l algoritmo i liminazion nlla soluzion i sistmi polinomiali i grao maggior i uno a smpio i -0/1-3 si incontrano molt ifficoltà provar) Il problma è stato risolto solo nl 1965 con l introuzion ll basi i Gröbnr Wolfgang Gröbnr ra un matmatico austriaco) ll algoritmo i Buchbrgr Bruno Buchbrgr nato 194) molto più profono complicato ll algoritmo i liminazion nl caso linar Sistmi i quazioni polinomiali appaiono in molti campi lla matmatica con Wolfgang Gröbnr numros applicazioni in inggnria statistica Pr qusta ragion la gomtria algbrica computazional comprsa la gomtria algbrica ral importantissima molto ifficil) è oggi un campo strmamnt attivo lla matmatica intragno con la toria ll ottimizzazion la toria i poliri convssi la crittografia l quazioni iffrnziali parziali la fisica torica s ci si fia la matmatica finanziaria Bruno Buchbrgr nl 197 ha fonato il RISC Rsarch Institut for Symbolic Computation wwwriscuni-linzacat/) ch ha s nl castllo i Hagnbrg a 5 km a Linz i cui è stato irttor fino al 003 Il RISC è un istituto ll univrsità i Linz ospita circa 70 collaboratori tra cui molti stunti L attività iniziat con la gomtria algbrica algoritmica nll intnto i sfruttar l possibilità offrt all algoritmo i Buchbrgr sono molto vari ma hanno tutt in qualch moo a far con la risoluzion i quazioni isquazioni talvolta in snso molto lato confinano con la logica computazional la imostrazio- Il castllo i Hagnbrg n automatica i tormi l intlignza artificial la robotica la chimica inustrial In qusto numro 6 Il r i matmatici L basi i Gröbnr quazioni linari in una incognita 7 Sistmi astratti u quazioni linari in u incognit smpi La forma gnral lla rgola i Cramr trminanti 9 L algoritmo i liminazion i Gauß 10 Sistmi con più i una soluzion L insim ll soluzioni i un sistma linar srcizi F9 quazioni linari in una incognita Siano ati numri rali Crcar i risolvr l quazion 9<B nll incognita significa crcar tutti i numri rali pr i quali-69 Pr HG la soluzion è unica ata a imostrazion: È chiaro ch l sgunti quazioni sono quivalnti cioè s soisfa una i ss allora l soisfa tutt: È vint ch nl nostro ragionamnto solo l proprità algbrich formali i numri rali sono stat usat ch riman quini valio così com l consirazioni succssiv s lavoriamo con numri razionali o numri complssi o altri insimi i numri con qull corrisponnti proprità 9IB Si v comunqu anch ch abbiamo avuto bisogno i potr ivir pr un numro quini il risultato non è vro nll ambito i numri naturali o intri Un insim su cui sono at u oprazioni i aizion i moltiplicazion 9<B ch soisfano l familiari rgol i calcolo in cui si può smpr ivir pr un lmnto G in matmatica si chiama un campo Quini l algoritmo i liminazion i Gauß riman valio pr sistmi i quazioni linari i cui cofficinti appartngono a un campo qualsiasi lnchiamo l rgol ch vono valr in un campo; vrranno stabilit stuiat più ttagliatamnt ngli altri corsi /CJ /AKMLN9IJ L/>K /<JO5/FB?9 KMLN9IJ LN9<B LQK M P /AKMLN9 9RB S prhg K -69

8 J M ```` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ```` ```` M ```` ```` ```` Q R ```` ```` ```` ```` ```` ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 7 Sistmi astratti finizion 71 Siano ati un insim una funzion notiamo con l insim gli zri i : Più in gnral s sono at funzioni!!!"!$% ' con )'!!!!*!$+ notiamo l insim )-!! "$/ gli zri comuni i qust funzioni Qusta notazion è molto usata in calcolo ll probabilità Ossrvazion 7 sia un insim Abbiamo visto a pagina 4 ch con )0 si nota l insim i tutt l funzioni a valori rali finit su Possiamo formar somm i funzioni moltiplicar funzioni con un numro ral o con un altra funzion costruir combinazioni linari i funzioni in qusto spazio nl moo sgunt Siano '1 * "!!! $ "!!! 3 $ Allora: ':4; "!"4 3 $ 9 3 '-4!!"4 3 $ $ '!!!" $ Siano 3! "!! 3 $ numri rali con 3 =< )'!!!!*!$+ Torma 73 Siano ati un insim funzioni Allora gli insimi >3 "?4 4!!"4 3 BC!!!*!$+ coinciono imostrazion Pr imostrar l uguaglianza tra i u insimi obbiamo imostrar ch ogni lmnto l primo insim è anch lmnto l scono ch ogni lmnto l scono insim è lmnto l primo Sia quini un lmnto fissato i X 1) Sia ''!!!!* $ È chiaro ch allora anch 3 :4 4!""4 3 $F"$ 'G "! $ C ) Sia vicvrsa 3 4!""4 3 $ $ 'G "!!$ C obbiamo imostrar ch FH Ma s FH'!!!"!$ 'FI nlla prima quazion viamo ch 3 'G Qui possiamo asso applicar la nostra ipotsi ch 3 F< ssa implica ' Attnzion: Il ragionamnto non val più s non sappiamo ch 3 <! Nota 74 Nl sguito oppur più in gnral )J Nl primo caso scrivrmo gli lmnti i nlla forma -KL cosicché notrà la prima coorinata i un lmnto non l lmnto stsso Gli lmnti i )M saranno scritti nlla forma KNPO gli lmnti i )J / nlla forma!!"!p Qusto passaggio a una notazion all altra è frqunt ivntrà prsto familiar u quazioni linari in u incognit Siano ati numri rali Q RST! Q@ Risolvr il sistma linar Q 54UR K7T QL@ significa trovar tutt l coppi -PKL i numri rali ch soisfano ntramb l quazioni Pr potr applicar il torma 73 introuciamo N finit a KL? Q!54URS!K KL Q@ K cosicché l insim ll soluzioni crcat coinci con W Lasciamo com srcizio il caso molto facil ch Q X Assumiamo quini ch Q < finiamo la funzion Q Q@ Pr il torma 73 abbiamo BG )' B prché ch sicuramnt B < appar con un cofficint in Scritta pr M stso l quazion ivnta M Q Q@ 4 K Q ;Q@Q S Q@ R*"KZ4 QL@ T!X cioè [Q Q@ RSS\K7 Q ;Q@ T! quini l soluzioni l sistma original coinciono con l soluzioni l sistma Q 54UR K7T [Q Q@ RSS\K7 Q ;Q@ T! Il numro Q R si chiama il trminant l sistma; lasciamo ^ < ancora com srcizio il caso ch il trminant si annulli; s è invc allora la scona quazion significa ch K7 ;Q@ T! Q ;Q@ R* S pr numri rali Q R"T_ poniamo Ta_ Q _ R*T possiamo scrivr Q bt! K7 Q R Q@ Viamo ch anch il numrator ha la forma i un trminant; infatti si ottin al nominator sostituno pr la scona colonna la colonna ch costituisc il lato stro l sistma A qusto punto possiamo calcolar anch Ricorano ch Q < / ottniamo = T! RS!K T! RS Q ;Q@ T! Q Q ;Q@ RS Q Q T! ;Q@ RST! R* Q 4cRS Q@ T! Q >Q QL@ RS! Q T R Q Q >Q ;Q@ RS! T R Q QL@ RS T!bRS Q R QL@ A < Quini nl caso ch il trminant l sistma sia il sistma possi un unica soluzion ata a T!bR* Q brs Q@ K7 Q bt! Q RS Q@ Si ossrvi ch il numrator i si ottin anch sso al trminant l sistma sostituno stavolta la prima colonna con il lato stro l sistma Qusto risultato è molto important pr l algbra linar può ssr gnralizzato a più imnsioni; è noto com rgola i Cramr

9 ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro smpi Risolviamo con la rgola i Cramr il sistma Il trminant l sistma è ivrso a pr cui! " %$ srcizio Risolvr a soli ' ' $ quini srcizio Prché non si può applicar la rgola i Cramr al sistma ' ' ppur non è ifficil trovar tutt l soluzioni Prché ho msso tutt tra virgoltt? prché è anch quasi) facil trovar tutt l soluzioni i ' ' La forma gnral lla rgola i Cramr Sia ato un sistma i ) quazioni linari in) incognit quini il numro ll quazioni è ugual al numro ll incognit): *+-+ + *+0/ / 111 * * /4+ + * /5/ / 111 * /5 3 / * 7+ + * / / * 3 Anch in qusto caso più gnral si può finir il trminant l sistma un numro ch vin notato con :9 * +5+ * +;/ 666 * +0 * /<+ * /-/ 666 * /5 *=>+"*=/ *= si imostrrà nl corso i Gomtria I ch qusto trminant è? s solo s il sistma possi un unica ch in tal caso è ata a + / 3 3 +A*+;/ 666 *+0 / * /-/ 666 * /5 3 * / * * * +0 *=/<+ 3 / 666 *=/5 *=> *= * +-+ * +0/ *=/4+A*=/5/ / 666 *=7+"*=/ B è quini un quozint il cui numrator si ottin al trminant l sistma sostituno la C -sima colonna con il lato stro l sistma trminanti Conosciamo già i trminanti F : *+"G<+ * / G / * + G / * / G + finizion 1 Pr inuzion finiamo i trminanti i orin suprior: * + G * / G / 3 / *=H!G5H 3 H * + G + 3 +JIK+ *K/LG5/ 3 / I / *KHLG5H 3 H I H *=MNG-M 3 M I M 9 * + G5/ 3 / G5H 3 H 9 * + * H * / G5/ 3 / I / G5H 3 H I H G-M 3 M I M G + 3 +"IK+ G5/ 3 / I / G M 3 MLI M G<+ 3 + G5H 3 H * / *OM *=H G<+ 3 + G / 3 / G<+ 3 + I + G5H 3 H I H G-M 3 M I M G + 3 +"IK+ G5/ 3 / I / G5H 3 H I H così via Si noti l altrnanza i sgni I trminanti hanno molt proprità importanti ch vrranno stuiat nl corso i Gomtria Qui ci limitrmo a trminanti P PQ pr i quali imostriamo alcun smplici rgol vali anch pr trminanti ) ) s riformulat in moo natural Lmma S in un trminant P scambiamo tra i loro u righ o u colonn il trminant si moltiplica con R imostrazion Immiata Lmma 3 Un trminant F può ssr calcolato anch scono la rgola *+"G<+ 3 + * / G / 3 / * H G H 3 H 9 * + G5/ 3 / G5H 3 H G + *=/ 3 / *=H 3 H imostrazion L u spansioni si istinguono in * / G + G G H 3 H * / 3 / *=H 3 H *=H T3 + G G5/ 3 / * / G / *=H!G5H ch prò com viamo anno lo stsso risultato S3 + *=/LG5/ *=HLG5H * / G + 3 H * / G5H 3 + *=HG + 3 / *=HOG / 3 + G + * / 3 H G + *=H 3 / T3 + * / G-H 3 + *KH G / Lmma 4 S si scambiano u righ o u colonn in una matric U il trminant si moltiplica pr R imostrazion Ciò pr il lmma è vint pr lo scambio lla scona lla trza colonna pr il lmma 3 anch pr lo scambio lla scona lla trza riga S invc scambiamo la prima la scona colonna ottniamo il trminant G + * G / * / 3 / G5HL*=H 3 H 9 G4+ * / 3 / * H 3 H *+ G / 3 / G H 3 H S3 + G / * / G H * H ugual com si v subito al trminant original moltiplicato pr R Gli altri casi sguono asso applicano l rgol già imostrat Lmma 5 S in un trminant appaiono u righ o u colonn uguali allora il trminant è ugual a imostrazion Ciò pr un trminant Q è ovvio s a smpio sono uguali l ultim u colonn l nunciato sgu usano il caso V ) alla formula i spansion anch pr i trminanti V poi al caso TF anch pr i trminanti cc smpio Vrificar con calcoli a mano ch ch * + * * / * / 3 / * H * H 3 H *+"G<+ *+ 3 + * / G / * / 3 / * H G H * H 3 H *+"G<+ 3 + * / G / 3 / * H G H 3 H L ultima uguaglianza è un caso spcial i un altra proprità fonamntal i trminanti

10 H ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 9 L algoritmo i liminazion i Gauß La toria i trminanti la rgola i Cramr hanno una granissima importanza torica ma non possono ssr utilizzat s non pr sistmi in u o al massimo tr incognit Inoltr la rgola i Cramr si applica solo al caso i un sistma quaratico sist invc un mtoo molto fficint anch nl calcolo a mano) pr la risoluzion i sistmi i quazioni linari ch vin tto algoritmo i liminazion i Gauß ch consist nlla sistmatica applicazion l torma 73 smpio 91 Consiriamo il sistma! " $! "% In analogia a quanto abbiamo fatto a pagina 7 pr il sistma ' l funzioni )* % sono finit a +-) 0/ ) 0/1 %5+-) 0/1! L inichiamo alla stra ll quazioni corrisponnti Con la notazion ch abbiamo introotto nll ossrvazion 7 poniamo 61 7 Pr il torma 73 allora +9:35)* 35)*%;/<=+>?6;5)@ ;5)@%$3/ prché il cofficint con cui A appar in 6 è ivrso a splicitamnt 6; quival a +B /C 5+ $ / F F cioè a G ; S chiamiamo u sistmi quivalnti quano hanno l stss soluzioni possiamo ir ch il sistma original è quivalnt al sistma!" $! "% G $! 6 6 Nll ultima quazion la variabil in è sparita è stata liminata Riptiamo qusta oprazion sostituno la funzion con H 1 3 % Ciò è possibil prché H3 H 3 in la appar con un cofficint I splicitamnt significa J $ +B 4 /! F cioè $ GK L M Prciò il sistma original ha l stss soluzioni com il sistma $! N% G $! = 6 $ GK$ M H Asso formiamo O1 P6MQG H ch può sostituir sia la 6 ch la H Possiamo toglir la H O; è quivalnt a 5+BG A/R G5+S GK/<= F : G F +S M / cioè a 3 5 Ottniamo così il sistma $! % G $! T6 $! 5 O ch è ancora quivalnt a qullo original Ma asso viamo ch nll ultima quazion è stata liminata anch la è rimasta solo la ch possiamo così calcolar irttamnt: $ 5 35UK poi usano 6$3 ottniamo :! G ;55G %; infin al VL 7! W $3 5 G Nlla pratica si usrà uno schma in cui vngono scritti nll orin inicato all orin ll variabili solo i cofficinti Nll smpio appna trattato i conti vrrbbro isposti nl moo sgunt: X M Y Y% G X 6 [Z \ GK M Y H] Z % ^ 5X O = 6 4G[Z L astrisco inica ogni volta l quazion cancllata in qul punto; l uncino a stra i un quazion significa ch qusta quazion è stata cancllata Ni conti a mano spsso si prfrirà fors cancllar la riga con un tratto orizzontal piuttosto i usar l uncino Com si v nll algoritmo crchiamo prima i ottnr un sistma quivalnt all original in cui tutti i _ cofficinti trann al massimo uno nlla prima colonna sono poi usano l quazioni rimast applichiamo lo stsso procimnto alla scona colonna non moificano più prò qulla riga a cui L corrispon qull vntual cofficint I nlla prima colonna) cc È chiaro ch il procimnto trmina smpr: all ` quazioni iniziali si aggiungono prima ` ] poi `! poi ` cc L insim ll soluzioni riman smpr lo stsso; l quazioni cancllat naturalmnt sono suprflu non vngono più usat Quini s il sistma non ha soluzioni o più i una soluzion riusciamo a scoprir anch qusto smpio 9 Consiriamo il sistma - G a% ba6w - ba%7 a6w! - a%ma6w3c Applichiamo il nostro schma: MG \ c % \ G\ MG MG 6 ; Z \ G\ MG M H; % Z M O ; 6Z H Il sistma ato è quini quivalnt al sistma - ba%74 a6; [7 G % G 6 = M $; In particolar siamo arrivati alla contraizion $L M quini il sistma non ha soluzion

11 ' ' kkkkkk kkkkkk kkkkkk \ kkkkkk ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 10 Sistmi con più i una soluzion Consiriamo il sistma Usiamo i nuovo il nostro schma i calcolo:! " $% " ' )*+-! /0 % '" )1 %3- $4- * 1 /5 Stavolta non abbiamo una contraizion ma un ultima quazion suprflua quini siamo rimasti con u quazioni pr tr incognit: + 67 ' 6/7 Pr ogni valor 9 i possiamo risolvr : 7 9 6; 9 + < = = 9 ' 9 ' ' ' 9 viamo ch l insim ll soluzioni è una rtta nllo spazio > rapprsntazion 9BA ' ' 9 C? 9BA ' ' 9? 9BA 9 Pr ogni numro ral 9 si ottin un punto?f? 9BAHG C? 9BAHG I? 9BABAJK> con la ch è una soluzion l nostro sistma vicvrsa ogni soluzion è i qusta forma L insim ll soluzioni i un sistma linar Ngli smpi visti finora abbiamo trovato sistmi ch non avvano soluzioni oppur un unica soluzion scrivnti cioè un unico punto nllo spazio) oppur nll ultimo smpio una rtta i soluzioni Ciò val pr ogni sistma i quazioni linari: l insim ll soluzioni è smpr o vuoto nssuna soluzion) oppur un solo punto oppur una rtta oppur un piano oppur uno spazio affin triimnsional cc vicvrsa ogni insim i qusta forma può ssr scritto a un sistma i quazioni linari La imostrazion i qusto torma la finizion prcisa l conctto i spazio affin vrranno at nl corso i Gomtria I Nonostant l fficinza ll algoritmo i liminazion ch prmtt la risoluzion abbastanza agvol i sistmi linari non troppo grani con un po i pazinza si possono risolvr anch sistmi <LM a mano) la pratica è più complicata Nll applicazioni rali si affrontano sistmi con cin i migliaia i quazioni variabili non solo il tmpo i calcolo ma anch l accumularsi i rrori i arrotonamnto ni calcoli approssimati ch il softwar normalmnt utilizza possono crar grani problmi Piccoli rrori spsso invitabili ni ati in ntrata a smpio ni cofficinti NPORQ STO l nostro sistma) possono provocar in taluni casi ch bisogna riconoscr controllar grani cambiamnti nll soluzioni Così il sistma 7+ 0U ' ' IU 0 ; possi un unica soluzion M; G V ma s lo cambiamo i poco 7+ ; il trminant si annulla l insim ll soluzioni è ato a ;WX quini l soluzioni non sono più univocamnt trminat possono ssr arbitrariamnt istanti alla soluzion?y G A l primo sistma srcizi pr i compiti scritti 1 Sia KZ [ \] * ^ % 37 Z > _ > Calcolar F?` A Siano XZ ;[ \ % a Z ;[ \ b consirat com funzioni > _ > 6c Calcolar a a c< 3Z [ Z % f gh > i_ > a Z j[ \ % Z > _ > Calcolar a c 3 Siano 4 Risolvr con la rgola i Cramr il sistma M3 ' + 5 Calcolar il trminant l=l $ $ 6 Calcolar il trminant l=$ $l $ Risolvr i sistmi con l algoritmo i Gauß usano lo schma 7! i%m * =!n % im * C!< % 7: * 7C!W % im *;! i%: * =! %: *!n % im 7I*+ C! % I*+ 9 = 6; 10! i%m * i1 ;!m % im *: 1! % im I* 1 ' C!W % im I* 1! i%m * i1 V< 117! = %: 7 * i1 C!m % im *< 7 1 ; % im 7* 1!n % i: *: 1 V! = i%m * i1 1 7! =i% = 7 *!n % 'im 7=*+ 0!n % 07im *+ = C!W % 7im 0=*+o 13 C!m % im * 1 i4 ;! %: * 1: 4! i%m * 1: 4!n im * 1 i4!n % 1 i4!n im * 1 i4 Corso i laura in matmatica p Corso i Algoritmi struttur i ati qrts ocnt: Josf schgfällr

12 L L F ml r Corso i laura in matmatica Anno accamico 004/05 Numro 3 Trigonomtria oggi ai piani i stuio soprattutto nll univrsità la trigonomtria è sparita a molto tmpo Ma qusta isciplina una ll più antich lla matmatica è ancora oggi una ll più importanti Mntr almno gli lmnti lla trigonomtria piana vngono insgnati nll scuol la trigonomtria sfrica è ormai conosciuta pochissimo anch tra i matmatici i profssion ppur l applicazioni sono tantissim: nautica cartografia gosia goinformatica astronomia cristallografia classificazion i movimnti nllo spazio cinmatica quini robotica costruzion i macchin grafica al calcolator Un problma i gosia Sia ato com nlla figura un triangolo con bas i lunghzza nota in cui anch gli angoli siano noti tali ch Vogliamo calcolar!" $ Pr l nostr ipotsi%')* %')+ sono numri bn finiti cfr pag 13) Inoltr abbiamo %-"/ %-+0/ +1 Qust quazioni possono ssr riscritt com sistma linar i u quazioni in u incognit: +%')314/ +%')+657/9%'): %' 1=< Il trminant;;;; %'): < sistma è ugual a ;;;; %')*>5%-+ 1=<?/ ;;;; %')*>5%')+ 9%-+ < ;;;; / / %')*>5%')+ 9%')+ +%' L immagin rapprsnta un robot con i suoi movimnti; trovata su wwwigmrwth-aachn/utsch/lhr-lhrvranstaltungn/guk/inxphp i qusto quini Possiamo prciò applicar la rgola i Cramr ottniamo mntr pr possiamo s calcoliamo prima usar irttamnt la rlazion@/ srcizio: Prnno il cntimtro com unità i misura con l uso i un goniomtro vrificar l formul con l istanz nlla figura Con qusto mtoo possiamo asso risolvr un compito lmntar ma frqunt i gosia illustrato alla figura sgunt F A BA $ CA A!"A $ A Assumiamo i conoscr la istanza tra i punti G H miant un toolit i ssr in grao i misurar gli angoli A A Vorrmmo conoscr la istanza tra i puntii I A ai quali prò non possiamo accr irttamnt a smpio prché a ssi ci spara un fium ch non riusciamo a attravrsar o prché si trovano in mzzo a una palu S l istanz sono molto grani maggior i 50 km) ovrmo appllarci alla trigonomtria sfrica pr istanz sufficintmnt piccol invc possiamo utilizzar la tcnica vista sopra ch ci prmtt i calcolar J-K- A A a cui la istanza trai I A si ottin com IM1NI A /PO QR@1 ARST 5QR?1 AUST Calcoliamo l rror V>1W ch si commtt approssimano la istanzav sulla sfra trrstr tra u punti miant la lunghzza l sgmnto i rtta ch si ottin utilizzano la trigonomtria piana: V=1X 50 km 013 m 100 km 1 m 500 km 1 m 1000 km 109 m In qusto numro 11 Trigonomtria oggi Un problma i gosia Grafica al calcolator gomtria 1 Il triangolo Il triangolo rttangolo Tripl pitagoro L funzioni trigonomtrich 13 La imostrazion iniana Il triangolo isolatro Angoli sul crchio 14 Il torma l cosno Il grafico lla funzion sno La prioicità i sno cosno Altr proprità i sno cosno YBZ-[]\_^a`cb_YBZ_[][]\ YBZ-[]_YB` 15 istanz inf=g Il prootto scalar Ortogonalità srcizi Grafica al calcolator gomtria La grafica al calcolator l isciplin affini com la gomtria computazional l laborazion ll immagini si basano sulla matmatica È important sparar gli algoritmi alla loro ralizzazion miant un linguaggio i programmazion È important sparar la rapprsntazion matmatica ll figur nllo spazio all immagini ch criamo sullo schrmo i un calcolator Il matmatico è molto avvantaggiato in qusto Già smplici nozioni i trigonomtria i gomtria affin algbra linar possono rnr facili o immiat costruzioni formul i trasformazion quini gli algoritmi ch a ss rivano) ch snza qusti strumnti matmatici risultrbbro ifficoltos o non vrrbbro nmmno scoprt La gomtria proittiva apparntmnt una vcchia toria astratta filosofica ivnta i sorprsa una tcnica molto util pr trasformar compiti i proizion in smplici calcoli I conctti ll analisi lla gomtria iffrnzial portano all introuzion allo stuio ll curv suprfici i Bézir largamnt utilizzat ni programmi i isgno al calcolator CA ion pq i T hmikj iks computr ai sign) Molt figur possono ssr scritt miant quazioni algbrich; pr qusta ragion la gomtria algbrica assum notvol importanza nlla grafica al calcolator morna Curv suprfici possono ssr at in form paramtrica oppur miant un sistma i quazioni; l basi i Gröbnr forniscono uno strumnto pr passar una rapprsntazion all altra La topologia gnral una isciplina tra la gomtria l analisi l algbra è la bas lla morfologia matmatica mntr la topologia algbrica la gomtria algbrica ral possiono applicazioni naturali in robotica H Pottmann/J Wallnr: Computational lin gomtry Springr 1999 W Böhm/H Prautzsch: Gomtric concpts for gomtric sign Ptrs 1994

13 N 1 9 > < > 9 < < < ] l ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 3 1 Il triangolo B A P C P C In qusta figura i sgmnti sono parallli Nlla gomtria lmntar si imostra ch l proporzioni l triangolo più piccolo sono uguali all proporzioni l triangolo gran Cio significa ch s nota la lunghzza l sgmnto allora S il valor comun i qust tr frazioni vin notato con abbiamo quini Una rlazion analoga val anch pr l altzz: ati tr punti notiamo con l angolo tra i sgmnti : A vintmnt! "$$% Con ' inichiamo gli altri u angoli com nlla figura; spsso srv solo la granzza assoluta gli angoli allora si lasciano via l punt i frccia Nlla prima figura il triangolo piccolo il triangolo gran hanno gli stssi angoli cioè ) * + * * + Si può imostrar è chiaro intuitivamnt ch ati u triangoli con gli stssi angoli ssi possono ssr sovrapposti in manira tal ch si ottnga una figura simil alla nostra Ogni triangolo può ssr consirato talvolta anch in più moi - quano?) com union i u triangoli rttangoli A L formul pr i triangoli rttangoli sono particolarmnt smplici; convin quini stuiar sparatamnt i triangoli B B B - P C C Il triangolo rttangolo Il triangolo sia rttangolo a smpio / 0% A c b Il lato più lungo è qullo opposto all angolo rtto cioè si chiama ipotnusa i u altri lati sono più brvi sono tti catti La somma i tr angoli 3'4 i un triangolo è smpr ugual a "560% : 7!'7 "$$0% Ciò implica ch un triangolo può avr al massimo un angolo rtto s c n fossro u il trzo ovrbb ssr zro non avrmmo più un triangolo) Torma i Pitagora: ato un triangolo rttangolo posto 9;: <=: >=: com nlla figura si ha 90?@7;<A? >)? imostrazion: Pag 13 Il torma i Pitagora implica ch l ipotnusa è vramnt più lunga i ciascuno i u catti prché 9BA< C ) La rlazion >? 9?F7G<A? può ssr anch usata pr il calcolo i uno i lati i un triangolo rttangolo agli altri u: > IH 9? 7;<? 9 JH >?K <? < IH >?K 9? Tripl pitagor Una tripla pitagora è una tripla 9BA<$A> i numri naturali positivi tali ch 9?7J<A? >)? La tripla pitagora si chiama primitiva s 9BA< > sono rlativamnt primi tra i loro iamo una tavola ll prim tripl pitagor primitiv in orin crscnt i > L M N "$OP" L P" N "$Q QRO M O N O$SO"TO "5O LUNRL M Q M " O6 MVNRNUL L6LRN "6"TW6SW" WRW N "5WRW L W N M NUN Q L Gli arabi possvano già nl 97 tavol simili a qusta Pr XYCGO non sistono invc soluzioni ll quazion 90Z[7G<AZ >)Z con 9\A<$A> intri C; La imostrazion i qusto torma tto ultimo torma i Frmat) è stata molto ifficil; pr circa tr scoli i matmatici l avvano crcata invano solo intorno al 1995 Anrw Wils ci è riuscito utilizzano strumnti molto avanzati lla gomtria algbrica B C a L funzioni trigonomtrich Consiriamo la sgunt figura A c a b in cui 9B)<5)> sono com prima i lati l triangolo rttangolo più gran 9 A< > sono i lati l triangolo più piccolo ch è ancora rttangolo L proporzioni nlla figura ipnono solo all angolo si ha cioè > > < < a ciò anch 9 > < 9 > < 9 9 Qusti rapporti sono prciò funzioni ll angolo ch vngono tt funzioni trigonomtrich notat com sgu: ^4_ ` Y: cu^ G: 3f ` g: c h: sno i >ba$a5a < > a$a5a cosno i tangnt i <ba$a5a cotangnt i 9 a$a5a all finizioni sguono l rlazioni 9 > ^3_ ` < f ` < > c6^ 9 c > ^4_ ` cu^ srcizio Calcolar ^4_ ` MUN % cu^ MVN % 3f ` MVN % c MVN % srcizio I valori ll funzioni trigonomtrich si trovano in tabll oppur possono ssr calcolati con la calcolatric tascabil oppur con una smplic istruzion in quasi tutti i linguaggi i programmazion Ricavar in uno i qusti moi i ncssari valori pr calcolar la istanza i l altzza 9 nlla sgunt figura: j)k % 100 m Pirr Frmat circa ) sostnn i conoscr una imostrazion l torma ch poi portò il suo nom ma non è mai stata trovata si ubita molto ch sia sistita c b B C a a

14 ???????? ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 3 13 La imostrazion iniana In una font iniana l oicsimo scolo si trova il sgunt isgno con una sola parola in sanscrito: guara! Angoli sul crchio Siccom l lunghzz assolut non sono importanti possiamo assumr ch l ipotnusa l triangolo rttangolo consirato sia i lunghzza 1 stuiar l funzioni trigonomtrich sulla circonfrnza i raggio 1 Qusto ci prmtt inoltr i stnr la finizion ll funzioni trigonomtrich a valori arbitrari i? non ncssariamnt sottoposti com finora alla conizion '?!@ ') finiamo prima 67? 9; 6? pr ogni? con 'BA"?A 5 * ') com nll sgunti figur: MONP QBRSUTVW X ZU[]\ P_^ 1 C JKL FG CIH a b-a a sso si uc immiatamnt il torma i Pitagora: Il nostro triangolo rttangolo abbia i lati con Allora l ara l quarato gran è ugual a qulla l quarato piccolo più quattro volt l ara l triangolo quini cioè!! srcizio: isgnar la figura nl caso ch " convincrsi ch la imostrazion riman ancora valia c a JKL H 9; 6? $ 67? ' `abc gf!h>i jlk FG C 9; 6? ' 67?Y' mg ˆ s >G C 9; 6?Y!' 67?Y!' munpoqr_s 9; 6? $ 67? ' JKL H Š Œ v wp gz Ž l ƒ 9; 6? ' 67? $ t>u Q vxwy{z }~l >G C 9; 6? ' 6F7? ' Il triangolo isolatro Consiriamo asso un triangolo isolatro i lato 1 In sso anch gli angoli vono ssr tutti uguali quini ovno ssr la somma gli angoli $%') ogni angolo è ugual a *') 9; 6? ' 67? $ 9; 6? Y!' 6F7? ' FG C ƒ - ) /- ) alla figura ottniamo h $ *') :9; 6 5 ') ') :9; 6 *') $ <>= * ' ) <>= 5 ') $ finiamo poi ogni volta <F=?O 6F7? 9; 6 9; <?? 9; 6? 67? quano 9; 6? ' 67 risp? ' Si v subito ch qusta finizion coinci con qulla ata a pag <F= 1 quano '? ]@ ') Quini? $ 9; < quano ntrambi i valori sono finiti? S? è infin un numro ral qualsiasi non ncssariamnt comprso tra ' 5 * ' ) ) sist smpr un numro intro tal ch? 5 *')?š con ' A]?š 5 * ') possiamo finir 9; 6?O "9; 6? 6F7? 67? <F=? <>=? 9; <?O 9; <? In matmatica si intifica l angolo con la lunghzza ll arco scritto sulla circonfrnza tra i punti œ lla figura a lato aggiungno prò multipli l primtro lla circonfrnza s l angolo è immaginato ottnuto opo ssr girato più volt attorno al cntro S il cntro l crchio è l origin ' ' l piano possiamo assumr ch œ ž $ ' Ÿ Siccom il primtro lla circonfrnza i raggio 1 è si ha 5 *') Ÿ È chiaro ch un angolo i ) Ÿ è ugual a Ÿ 5 *' in altr parol ) vicvrsa 5 * '?? 5 * ') Ÿ pr ogni? x Infatti $ 5 * ') $ ) 1 P

15 Y : G : G : > A : : : : Q v Q Q $ o o v o Q g Q ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 3 14 Il torma l cosno ato un triangolo con i vrtici poniamo ancora notiamo inoltr con la lunghzza lla proizion i su misurano a partir a In moo analogo sono finit l granzz cc S l angolo è ottuso sarà ngativo Sono possibili quattro situazioni: A In qusto caso A A c b c b c b B C a a Si ossrvi ch qui è la lunghzza i tutto il sgmnto B c A Torma: In tutti i casi quini in ogni triangolo val la rlazion "! a %$ Pr simmtria val anch Il grafico lla funzion sno b B C C B P C a "! '%$ ivnta ) imostrazion: Quano " la formula sgu irttamnt al torma i Pitagora Ni rimannti tr casi calcoliamo l altzza l triangolo con il torma i Pitagora in u moi Nlla scona figura abbiamo cioè ' +* pr cui - '!$ +*!$ Similmnt nlla trza figura la stssa quazion i prima Nlla quarta figura infin abbiamo '+*/ +* ch è ancora la stssa quazion Torma i Pitagora invrso: Un triangolo è rttangolo con l ipotnusa s solo s "! imostrazion: alla figura in alto a stra a pag 1 si v ch il triangolo è rttangolo con ipotnusa s solo s 10 oppur quivalntmnt 0 ) L nunciato sgu al torma prcnt! '%$ 3465 Torma l cosno: imostrazion: in tutti quattro i casi l prcnt torma cfr l finizioni gli angoli sul crchio a pag 13) : : :?@ 9 ;: < = = ; = B = C= = = F= Com si v alla figura com sarà imostrato rigorosamnt nl corso i Analisi la funzion sno è inittiva sull intrvallo chiuso G < <IH assum su qusto intrvallo tutti i valori possibili pr il sno cioè tutti i valori tra -1 1 Possiamo quini finir una funzion biittiva J KL5/M N G < < H PO Q Q H L invrsa i qusta funzion vin notata con R6S/5/M N In moo analogo si finiscono l invrsa RTSU4T5 lla funzion biittiva J K 4T5 G 0P V H PO Q Q H l invrsa RTS/W RTN lla funzion biittiva JK WUR6N */ < < POX*UZY 9 ; 9 La prioicità i sno cosno 465 *![T\ 0]6^+4T5 5/M N *![6\ 0_]6`5/M N all finizioni at a pag 13 sgu ch pr ogni numro ral $ [T\ Invc i 0a] possiamo anch scrivr V quini 465 *!$ Vb^+4T5 5/M N *!$ Vc5UM N pr ogni numro ral L funzioni 5UM N $ 465 sono quini funzioni prioich con prioo V Facno prcorrr l ass ral riportano 5/M N com orinata ottniamo il grafico lla funzion sno rapprsntato in basso a sinistra Altr proprità i sno cosno 465 */ f465 5/M N *U 5/M N pr ogni numro ral com si v ai isgni a pagina 13 Il cosno è quini una funzion pari il sno una funzion ispari 5/M N *!%g 5/M N ih 4T5 gj! 465 *!%g 465 Lh 4T5 gk Torma i aizion: 5/M N g h 4T5 5UM N Lh 5/M N imostrazion: Non richista Una imostrazion gomtrica si trova ni libri scolastici una imostrazion analitica fors vrrà ata ni corsi i Analisi srcizio: 465 X5/M N *! V$ Vrificar l nunciato prima nll illustrazioni a pag 13 utilizzar poi il torma i aizion pr la imostrazion srcizio: Calcolar 5/M N $ 4T5 $ Torma: 5/M N! 465 Ciò sgu irttamnt all finizioni gomtrich Mntr qust proprità algbrich ll funzioni trigonomtrich rimangono vali anch pr un argomnto complsso ciò non è più vro pr l isuguaglianz lu5/m N l m l/4t5 lpm Infatti s all analisi complssa anticipiamo l formul qsr! t qur 465Pn-po qsr t qsr 5/M NZn o $Tv t! vali pr ogni numro complsso n viamo ch a smpio 465w o $ quini pr ral tnnt a infinito in qusto caso tn- t o a 0 )465I si comporta com o $ tn quini fortmnt a infinito arcsin arccos arctan Qust funzioni finit a sinistra sono trminat all sgunti rlazioni: RTSU5/M 'Q Nxy {z} 5/M N Xx pr m+xim < m m < RTSU4T5axj 'Q 1z} 4T5 ~x pr m+xim 0ym m+v RTSUWURTN"xy Y 1z} WUR6N ~x pr x Y < m m <

16 c 9 ^ U c > c q c c c c m c c m g q g c c c ~ a c c ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 3 15 istanz in La istanza tra u punti l piano ral si calcola scono il torma i Pitagora com "! $% La istanza l punto all origin è quini! vicvrsa la istanza i è proprio la lunghzza l vttor ' *)+- / 9 :<;= 0)34*) ' 0)+10/ ) B C GF C Formul l tutto analogh si hanno nllo spazio triimnsional IH Calcoliamo prima la lunghzza stra alla qual si v ch pr cui M!! H N!! H i un vttor J K L G H utilizzano la figura a!! H S asso H è un altro punto la istanza tra sarà ugual alla lunghzza i OP quini "! "! H P H Pr ogni QSR T possiamo finir lunghzz istanz in IU nllo stsso moo Pr *V*VV* U "W XU poniamo Y![Z*Z*Z! U s P \ *V*V*V* U è un altro punto la istanza tra è la lunghzza i OP cioè![zz*z! U U Il prootto scalar Siano com sopra L *V*VV* U G *V*V*V U u punti i XU Calcoliamo la lunghzza! lla somma i u vttori; qusto è anch in statistica il punto i partnza pr la finizion l cofficint i corrlazion ch nonostant il nom promtta molto i più non è altro ch un mzzo pr confrontar L]!!! L sprssion ^ U _`! ^ _` U _! _ ^ U _`!ba _` _! ^ U _` _!ba ^ U _` si chiama il prootto scalar i vttori sso è i fonamntal importanza pr tutta la gomtria Introuciamo l abbrviazioni L cy M 3 Y N![ZZ*Z*! U U La scona è più iffusa lla prima comporta prò il pricolo i confusion con la coppia L ch proprio nlla statistica multiimnsional appar spsso contmporanamnt Sostituno con ottniamo! a c L I u punti formano insim all origin un triangolo vntualmnt gnrato) i cui lati hanno l lunghzz f[ Assumiamo ch il triangolo non sia gnrato sia g l angolo opposto al lato i lunghzza 4h Pr il torma l cosno abbiamo P! a i -j kl g a cui c 3 i -j kl 0 g Ortogonalità La formula fonamntal 3 i -j kl riman valia anch s sono uno un multiplo ll altro a smpio nmo pr mwp prò ntrambi r ciò implica m [ ) In qusto caso infatti il triangolo trminato a è gnrato ma è natural assgnar all angolo tra il valor j kl pr cui gh st ) s m%tr invc il valor Tuv j kl cosicché g %T ) s mxwp c Inoltr L] 3omo m 3] m i i mo i i i imostrar qust rlazioni conclur a soli stano attnti ai sgni Quini s i u vttori sono ivrsi a zro ciò implica ch anch M q q ) allora ssi sono ortogonali cioè gs zyv oppur c gb a{ v j kl ) s solo s gs cioè s solo s 3 c [ Siccom infin 3] pr ogni è natural inclur anch il vttor tra i vttori ortogonali a Raccoglino tutto possiamo prciò ir: u vttori i XU sono ortogonali s solo s L] [ srcizi pr gli scritti 14 alla figura si v ch la lunghzza } lla cora cioè l sgmnto i rtta) tra ~ è ugual a a lo g a mntr la istanza cioè l arco) ƒ sul crchio tra ~ nll ipotsi rgpws ) è ugual a g r La funzion coral a lo è probabilmnt la più antica funzion trigonomtrica vnn tabulata già a Ipparco a Nikaia Nica) nl scono scolo prima i Cristo tavola ll cor) Già i babilonsi possvano prò una ruimntal trigonomtria i cui rano molto orgogliosi Calcolar la iffrnza ƒˆo} ch corrispon all rror ch si commtt usano } al posto i ƒ pr misurar la istanza tra i punti ~ sulla sfra trrstr ch possi un raggio mio i 6371 km pr }" 1 km 10 km 50 km 100 km 500 km 1000 km Attnzion: S lo Š N com si calcola? 15 Œ]! Ž Œ]! Œ] j kl TX Œ] "Œ] 16 st* j kl] O a j kl H! <j kl 17 Quanto è lunga la iagonal i un cubo unitario cioè i lato ugual a T ) -imnsional cioè qual è la istanza ƒg l vttor -TV*V*V T*P - imnsional all origin? Il raggio lla sfra -imnsional iscritta in un tal cubo è invc smpr ugual a quini la sfra iscritta ista i ƒg ai vrtici l cubo siccom qusta sprssion ivnta smpr più gran il cubo -imnsional al crscr i assomiglia smpr i più a un riccio con corpo sfrico aculi smpr più lunghi Corso i laura in matmatica Corso i Algoritmi struttur i ati [ š ocnt: Josf schgfällr

17 Corso i laura in matmatica Anno accamico 004/05 Numro 4 R R è un linguaggio i programmazion a altissimo livllo orintato soprattutto all uso in statistica In vrità lo sbilanciamnto vrso la statistica non riva alla natura l linguaggio ma alla isponibilità i grani raccolt i funzioni statistich agli intrssi i ricrcatori ch lo hanno invntato lo mantngono R è gratuito molto simil a un linguaggio commrcial S crato ngli anni 0 anch sso molto usato S vin commrcializzato com sistma S-Plus L iffrnz non sono granissim s non sul piano lla programmazion ov R arisc a una impostazion probabilmnt più manggvol R S-Plus sono particolarmnt popolari nlla statistica mica ma vngono anch usati nlla statistica conomica o social in gografia nlla matmatica finanziaria L alto livllo l linguaggio prmtt i crar facilmnt librri i funzioni pr nuov applicazioni Il punto bol è la vlocità i scuzion in calcoli numrici in grani imnsioni mntr sono ricchissim l capacità grafich Bnché così inirizzato vrso la statistica R non v ssr consirato un pacchtto i statistica È un vro linguaggio i programmazion anzi un linguaggio i programmazion molto avanzato ciò prmtt i aattarlo a ogni compito informatico Nlla stssa statistica qusta flssibilità è molto important proprio oggi ov continuamnt si scoprono nuovi bisogni applicativi nuov ncssità i traurr mtoi matmatici a smpio nlla statistica i complssi ati clinici o gografici in strumnti informatici L funzioni aiuto R ispon i numros funzioni aiuto a un lato ci sono vari gui isponibili sul sito all altra part si possono invocar gli aiuti mntr si sta lavorano con il programma Con "! appar una pagina wb mantnuta sul vostro PC) attravrso la qual si acc a manuali informazioni gnrali Cliccano sulla voc Packags si trovano lnchi i molti pacchtti i bas o aggiuntivi isponibili opo "! l informazioni i aiuto appaiono sullo schrmr l browsr; pr isattivar qusta moalità si può usar $% ')$*+$$-$/0! al trminal Infatti spsso si lavora più vlocmnt rimanno sul trminal Ci sono ivrsi moi pr ottnr l informazioni aiuto Il moo più smplic ma molto fficint è i antporr un punto intrrogativo al comano su cui si sira sapr i più; con 1$ vngono fornit i ttagli sull utilizzo lla 3$ R istingu tra il nom 4 i una funzion la sua invocazion con4 "! ; naturalmnt la parntsi può anch contnr argomnti Proprio su qusti argomnti si consultrà spsso l aiuto in lina Lggno più attntamnt il tsto lla guia si ossrva ch l funzioni i R hanno spsso argomnti opzionali trminati al loro nom; ciò è tipico i linguaggi in qualch moo rivati al Lisp vrrà ancora trattato con più ttaglio Pr uscir a un fil informativo chiamato con 1 basta prmr il tasto 5 a R si sc con 5 "! o quivalntmnt con 56 % "! Pr saprn i più si può usar il 1 comano 5 ; l informazioni ch ci vngono fornit a qusto punto sono più complicat l ncssario com invro acca spsso altra part il sistma i aiuto in lina i R è vramnt molto complto anch s non prfttamnt organizzato prché richi ch si sappia già com si chiamano i comani prché i comani non sono raggruppati bn scono l funzionalità Pr sapr i più su usar $ 1 sist comunqu un altra funzion ch prmtt i crcar informazioni su comani i cui non si conosc il nom o su gruppi i comani Qusta funzion è 07 ; pr capir com bisogna utilizzarla battiamo Assumia- 17 mo asso ch crchiamo l funzioni trigonomtrich Proviamo prima con 79:"0%; :! trovano una brv pagina aiuto ch ci rimana al pacchtto< %; S asso battiamo < %; 1 troviamo l lnco ll funzioni isponibili 7 % '=! =! $7 =! $% >=! =! =! con l inicazion gli argomnti sguito a un sposizion sull uso In qusto numro 16 R L funzioni aiuto Installazion i R Il libro i Crawly 17 Programmar in R Programmi autonomi Nomi in R Assgnamnto 1 Succssioni Angoli sprssi in grai Figur i Lissajous I commnti La matmatica l futuro srcizi 1- Installazion i R Pr l uso l installazion i R sotto Winows possiamo ar solo informazioni molto vagh Il sito a cui rivolgrsi è pr ogni sistma oprativo wwwr-projctorg/ ov pr copiar il programma si scgli CRAN poi uno i siti positori; qullo ch funziona mglio è fors cranr-mirror Nlla voc FAQ sist invc una guia pr Winows L installazion sotto Linux è molto smplic Si ritira il fil rpm aatto pr la propria vrsion i Linux poi lo si installa ivntano con $)C$F )$CG$C 4 % ) A qusto punto tornati utnti normali basta battr H alla tastira il programma part Sotto Winows vin consigliato i lanciar I0% JH ; 6 %B=$ oppur i crar un shortcut a qusto fil Il libro i Crawly On of th objctivs of statistical analysis is to istil a long an complicat st of ata into a small numbr of maningful scriptiv statistics Many of th morn computr statistics packags howvr o xactly th opposit of this Thy gnrat litrally pags of output from th most magr sts of ata This copious output has svral major shortcomings: it is opn to uncritical accptanc; it can la to ovr intrprtation of ata; an it ncourags th ba habit of ata trawling rging through th output looking for significant rsults without any prior notion of a tstabl hypothsis) S-Plus on th othr han tlls you nothing unlss you xplicitly ask for it Th computing is prsnt in S-Plus but all th xampls will also work in th frwar program R which can b ownloa from th wb fr of charg anywhr in th worl S-Plus ncourags goo habits of ata xploration by proviing a suprb rang of graphical facilitis La statistica in fono si sviluppa attorno a qusta omana: What o w man whn w say that a rsult is significant? M Crawly: Statistical computing Wily 004 wwwbioicacuk/rsarch/mjcraw/crawlyhtm

18 ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 4 17 Programmar in R Bnché si tratti i un linguaggio a alto livllo gli iatori i R prfriscono prsntar R com linguaggio con cui lavorar in lina non miant l scuzion i programmi scritti su fils Oggigiorno ciò non è prfttamnt comprnsibil è comunqu possibil scrivr programmi farli sguir nl moo familiar ai programmatori con la tcnica ch asso scriviamo Prima criamo una nuova cartlla irctory) in cui vogliamo svolgr un trminato lavoro Poi in qusta cartlla criamo il fil Rprofil ch contin solo qust righ:!!" L istruzioni contnut in Rprofil vngono com vrmo nl prossimo numro sguit alla partnza i R Asso criamo un fil prov in cui scriviamo pr il momnto) tutto il rsto l programma a smpio! %$ $!%' $!$!" )*)%+- %/0 La funzion così finita corrispon 5 alla funzion matmatica 1 34 mntr! è la funzion lmntar i visualizzazion un po complicata anch ssa com tutt l funzioni i input/output i R) ch qui visualizza 67*9: pr 9<;= %/0 è il carattr i invio ch nll output fa in moo ch opo la visualizzazion il programma torni su una nuova riga Pr sguir il programma battiamo R alla tastira poi una volta in R iamo il comano! > ch in accoro con la sua finizion carica il fil prov sgu l istruzioni in sso contnut Vin visualizzato il risultato:?@a?b!c B!F G cioè 340H com possiamo vrificar aggiungno la riga!% $!' G - / a prov Così possiamo continuar a lavorar rimanno in R ma scrivno il programma l su moifich in prov usano il trminal solo pr riptr il comano! a qusto scopo in ambint Linux è sufficint prmr il tasto I ch utilizza la storia i comani ati in prcnza ch si trova nl fil nascosto Rhistory nlla nostra stssa cartlla) Fors non tutti conoscono il valor l numro 3 ; sso è ugual a 3 J quini lo possiamo visualizzar aggiungno!% $! B - %/! al nostro programma cioè al fil prov Viamo così ch 3K;=ML NOP= P= s calcolato sull prim 6 cifr opo il punto cimal prché in vrità 3 è un numro trascnnt cioè non è raic i un polinomio a cofficinti intri quini sicuramnt non è razional Pr scrivr il programma obbiamo usar un itor ch cra soltanto fils in formato tsto puro o impostar qusta moalità nll itor ch vogliamo usar Programmi più grani vrranno scritti su più fils a smpio prov funzioni grafica In tal caso possiamo o moificar la funzion principal nl fil Rprofil! >!! Q! SR!" Bisogna star un po attnti all orin in cui l inclusioni vngono ffttuat; infatti un altro punto bol i R ch riva alla filosofia i volr costringr l utnt a programmar sul trminal è ch l funzioni possono ssr rifinit possibilità ch compromtt notvolmnt la trasparnza i programmi s il programmator non è abituato a organizzar bn il proprio lavoro smpio: Canclliamo tutto il contnuto l fil prov scrivno poi T U VW$ $!$" T U VW$ ' $"!)*) - %/! S sguiamo il programma con > vin visualizzato ' Ciò è comoo nl lavoro sul trminal ma piuttosto problmatico quano si vogliono crar programmi più consistnti o librri i funzioni Programmi autonomi al punto i vista lla filosofia Unix la tcnica i programmazion ch abbiamo usato nll articolo prcnt ha un no important Infatti il programmator Unix è abituato ch tutti i programmi possono ssr combinati tra i loro cioè ch possono ssr sguiti a un altro programma ch si possono scambiar ati La nostra tcnica non cra prò fils sguibili autonomamnt prché richi l scuzion al trminal i R Praticamnt tutti gli altri linguaggi intrprtati prmttono sotto Unix la crazion i programmi sguibili smplicmnt mttno nlla prima riga l fil il comano XY! ch fa in moo ch il rsto l fil vnga sguito all intrprt inicato Pr un programma in R ovrmmo quini scrivr XY[Z Z\ Z ] Z Pr ragioni mistrios qusta possibilità pr R non è mai stata ralizzata Si può ovviar a qusto problma scrivno nlla prima riga Z Z!\ Z!] ' ' ^ ^ _ Bnché funzioni almno in ambint Unix o Linux) non è molto soisfacnt anch prché in ogni scuzion R vin caricato con molt ll su librri quini l avvio è lnto; i tipici programmi Unix si caricano in gnr solo con quanto è ncssario pr potr partir Nomi in R Nomi tti anch intificatori) in R consistono in una lttra ` ' a ' Q ) sguita a una o più carattri ch possono ssr lttr cifr o punti Quini! CC sono nomi ammissibili mntr non lo F _ In R com in C o in Prl) bisogna istingur tra minuscol maiuscol Bisogna anch vitar i nomi risrvati i R Purtroppo in R anch alcuni carattri singoli sono risrvati: b c f g inoltr ci sono parcchi nomi ch consistono i u lttr a smpio h Qusta sclta sicuramnt non è ottimal A smpio non possiamo usar pr il tmpo nmmno pr l funzioni Assgnamnto L assgnamnto i un valor spsso rapprsntato a un sprssion) a una variabil $ avvin miant l istruzion $! sist anch la forma traizional lggrmnt più gnral) $i^ 'j! sicuramnt mno lggibil Pr saprn i più usar k ^ 'U Più istruzioni sulla stssa riga vono ssr sparat a un punto virgola mntr il punto virgola alla fin i una riga è a iffrnza al C) facoltativo: $ B?lnm $ $ _+ l ) m / l!) %$ _ m Z +> %/0 l B? + F

19 j š Ÿž ` š š ALGORITMI STRUTTUR I ATI aa 004/05 Numro 4 1 Succssioni Uno i punti forti i R è ch molt funzioni sono finit irttamnt pr succssioni finit i valori Ciò significa ch s finiamo una funzion in R pr la funzion matmatica la possiamo immiatamnt applicar a una succssion pr ottnr la succssion In C allo stsso scopo bisogna lavorar con un ciclo a smpio un riflttr sulla struttura i ati ch si vogliono utilizzar; in Lisp Prl si può usar la funzion ch ata una funzion trasforma la succssion nlla succssion In R è tutto molto più smplic automatico:! "%$%!')* +-/-0-1! $ ' ;: < $! " +!= ' )>+ < 4?;@? 3A9CB36: Si ossrvi qui ch la succssion! è stata crata utilizzano l oprator ' il cui nom vin a concatnat ch unisc una squnza i valori in un unico oggtto F ' pr ttagli Anch l oprazioni algbrich vngono sguit su tutti gli lmnti i una succssion; possiamo a smpio moltiplicar una succssion con un numro oppur anch u succssioni tra i loro smpi:! $ ' ;:5G < $ ' ; 47: 475G ' )>+H!I < 4?7@?J5G ' )>+H!0 < 4?7@?J5G ' )>+H!I3K4?7@L?5G ' )>+3K0! 4?7@L?5G %MBN33 6%6BM6KK 33M36C3C39N3: 3K6KKM9K:K Un oprator molto util pr gnrar succssioni i valori quiistanti è la funzion OPQ Il risultato i OPQ + 4HR= è la succssion 4 I354 I6 4SSS ch è continuata fino a quano non si supra R Il passo i progrssion è quini T s non vin impostato com trzo argomnto: OPQ + 4HR 4 rstituisc la succssion 4 I 4 I6 4SSS anch ssa continuata fino a quano l ultimo valor non supra R smpi:! $ OPQ +K>47:5GU' )>+H! 4?;@?5G! $ OPQ +K>476 4K S5GU' ) +H! 4?7@?5G! $ OPQ +7 S V 47BGU' )>+H!L4?7@?J5G! $ OPQ +7 S V 47: 47K S 65GW' )>+H! 4?;@?5G Ottniamo KX3A6MM9: KK S KLS %K SB3 S 6N3 S :3 SY S V9 S V:>S V% S VMV>SV%Y>S V S V%>S BM9 S73Z9LS %9 S:9 S VM9 S B Angoli sprssi in grai Succssioni possono ssr valori i una funzioni Criamo a smpio una funzion [ P " P pr la risoluzion l problma gotico visto in prcnza Qusta funzion rstituisc una succssion \ i cui componnti \^] T_ \^] `_ sono a com a pagina 11 A iffrnza al C l inic ll succssioni part a T R Pr il b i pagina 11 usiamo la variabil OP ' prché è una parola risrvata Siccom vogliamo potr inicar gli angoli in grai finiamo prima tr funzioni ch corrisponono all funzioni trigonomtrich c f g hji g pr angoli sprssi in grai L argomnto va quini moltiplicato con com visto a pagina 13 m *n3yk ' O ) * " 3YK $ K SHK3V9:6B6:3BB9 G mmo!p* *Z) *q P ) *'r m P P q s *%* " *' )*M*q " *S t O $%!')* +-%/' O +-0' O ) * " 3YK1 u* $%!')* +-%/ O *L+-0' O ) * " 3YK1 v $%!')* +-%/) L+-0' O ) * " 3YK1 mmw R s P " *Aq P " PO * % q* 33 S m [ s * q s * <P q * " *' )*M*Cq " *S [ P " P $M!')* + R OP 4 s 4 R P ) /) s$ v + s 5Gx) R P ) $ v +HR P ) 5G - $ R OP 0) R P ) n +) s I) R P ) 5G y $ -0) s GU'+-4 y 1! $ [ P " P +7Y 4;6 49V5Gz- $!{;3 G y $!{ 6 G ' )>+-4 y 4?7@L?5G Tkl La bas l triangolo ra i }k mm gli angoli i approssimativamnt ~` grai L output è 3>S VBBKY6:>S B:6K corrispon abbastanza bn all misur rali Usrmo a ora in avanti pr l funzioni smpr nomi ch iniziano con una maiuscola ricoranoci ch sono risrvati i nomi t4w 4 o 4ƒ 54 v Figur i Lissajous Illustrrmo nl prossimo numro l capacità grafich i R Provar intanto qusto smpio ch ovrbb far apparir una figura i Lissajous cioè una curva con una rapprsntazion paramtrica tipicamnt lla formah c Z f g ˆ pr ĈŠZ - $ OPQ +7K4760 *4 s P q)r $ 3KKK s ) $ ' +7Œ3543 m s )N* O ) %s q *' S s )>+ s ) 4 s ) 4 ) y P $= 4- s R $= 4 y s R $= s * PO + O * +7Y0-54 O * +7V0- s ' ) +H $ 64 ) y P $= ; m t s *'' P 6 < s ) P S " P< S + maž O '* P "ss q *' S I commnti S una riga contin al i fuori i una stringa il carattr m tutto il rsto lla riga è consirato un commnto comprso il carattr m stsso Molti altri linguaggi intrprtati Prl Python la shll i Unix) usano qusto simbolo pr i commnti In C una funzion analoga è svolta alla squnza nn La matmatica l futuro Th main scintific challngs of th twntyfirst cntury may no longr b ivi into th classical isciplins of mathmatics informatics physics chmistry biology tc For xampl thortical biology is currntly in th phas of formulating laws of natur in trms of mathmatical statmnts; quantum chmistry has alray bcom an important rsarch fil in appli mathmatics; physics ns mor an mor input from computr scinc an mathmatics incluing logic an informatics; an outsi of th natural scincs financial mathmatics has vlop highly rliabl tools for conomic markt an stock analysis But how will rsarchrs b motivat to o intrisciplinary rsarch in a univrsity nvironmnt givn th currnt systm in which acamic carrs typically) avanc bas upon a rcor of publication in a singl fil? wwwwpiacat/ An th missing ingrint in facing thos problms is mathmatics onoho: High-imnsional ata analysis - th curss an blssings of imnsionality Intrnt 000 3p srcizi pr gli scritti 1 ;` T ~` T 19 ` T ~ ` T` ~ ` Qual è la ragion pr cui nlla scona riga l prootto riappar il scono fattor? 0 T ` } š ~ k œtl = `T ` ` š ~=T l T ` 1 žÿ ` T œt k ~ } ~ ` = žÿ T~ ` ` š k š ` La traccia hj i una matric è la somma gli lmnti nlla sua iagonal principal Una matric ` ` L ª b «può in part) ssr consirata com lmnto b«i Possiamo quini formar il prootto scalar W Z i u matrici Ù %` in imostrar ch W ƒ hj ov nota la matric trasposta i cioè la matric ch si ottin a scambiano righ colonn Corso i laura in matmatica Corso i Algoritmi struttur i ati ±³²µ ocnt: Josf schgfällr

20 Corso i laura in matmatica Anno accamico 004/05 Numro 5 La grafica i R R possi ricch capacità grafich prò anch molti comani pr la grafica ch è ifficil imparar con tutt l loro opzioni a un lato si può usar l aiuto in lina provar "! $"!% $! '" ) all altro lato prò è util una crta isciplina nll impigar una sri sclta bn composta i comani ch si paronggia Crchrmo anch noi i far così a smpio utilizzano il comano in gnr solo pr prisporr la finstra grafica su cui succssivamnt l immagini vrranno crat con comani sparati anch s molt figur potrbbro ssr ottnut con un unico comano complicato In particolar usrmo sistmaticamnt comani sparati all istruzioni i isgno Infatti il comano prmtt una prftta impostazion i paramtri grafici color spssor ll lin isposizion gli assi carattristich i tsti ch appaiono nll figur imnsioni vari possibilità i lin trattggiat in vari moi) quini nonostant la moltplicità ll opzioni anrbb stuiato bn ma il suo utilizzo risulta più trasparnt s vin usato in moo splicito al i fuori gli altri comani La figura nll insrto è spigata a pagina plot lins iamo solo l varianti ssnziali i qusti comani In particolar usrmo)+*-/ solo pr prisporr la finstra grafica non pr il isgno stsso Pr far apparir la figura in una finstra sotto Linux in alcun vrsioni i R bisogna prima chiamar il ispositivo grafico con 0+1-1"43 ma non smbra più ncssario nll vrsioni più rcnti Pr trminar il lavoro l ispositivo grafico si usa 5769:;/<-<=3 )+*-9 richi nll uso ch n facciamo) com primi argomnti l inicazion i limiti pr l coorinat >? ntrambi nlla forma@bac;3 S vogliamo isgnar il cosno possiamo a smpio impostar l intrvallo pr > con FGH7I-JH@LK-M7N)OFCBM7N)OFH3 l intrvallo pr? con FGH7P-JH@LKH1"C=1-3 I comani i bas pr impostar la finstra grafica sono allora i sgunti: )+*7/LFGH7ICLFGH7PC;7P9)+69JSLGSOC FGH7I-JH@LK-M7N)OFCBM7N)OFH3"QRFG77P-J+@BKH1"C41-3 IH*-ATHJS7SOCUP7*-A/HJS-SOC AHV)HJ+1"CLA9I767V/J-W7X-Y7Z/[C;<-\HAT]O6:^)+*-97J9_-`9aH[O3 5769:;/<-<=3 S sguiamo il programma vrmo pr un istant lampggiar la finstra grafica ch prò si chiu subito Pr potrla guarar insriamo *-7@-A/H/\41-3 nlla pnultima riga; il paramtro 1 inica ch il programma asptta ch clicchiamo una volta sull immagin prima i chiurla Viamo allora un quarato nlla finstra ch è stato isgnato a causa ll inicazion <-\HAT]O6:^)+*-97J9_-`9aH[ nl comano)+*-/ A9I76HV/J9W7X-YHZ/[ significa ch gli assi ll coorinat non vngono mostrati; A7VT)HJ+1 è spsso util pr imporr ch l coorinat >? vngano utilizzat nlla stssa scala A7V)HJHM farbb in moo ch l coorinat? appaiono in scala oppia risptto all coorinat > ); IH*-AT P7*7AT riguarano l scritt ch appaiono ai lati l iagramma; infin7p9)+69jslgs inica ch )+*-/ vin usato solo pr l impostazion non pr isgnar una figura A qusto punto far apparir nlla finstra il grafico l cosno è sufficint insrir la riga *7FG+67VUICL@9HVUI+3-3 Infatti l oprazion a cui corrspon *HFG+67V matmaticamnt può ssr scritta in qusto moo: S sono ati u vttori >cb ;>Of-g-g-g7f>hji?kb ;? f-g-g-g-ft? h i allora *7FG+67VUICUP+3 unisc il punto ;>Of?"9i con U>l"f?Ol7i il punto ;> l f? l i con U>m"f?Om7i U>honpOf?Ohonp9i con ;>hqf?ohji Quini s r è una funzion con *7FTG+67VUIC;<UI+373 ottniamo un approssimazion poligonal lla funzion r ch in una figura normal pr s sufficintmnt gran a smpio maggior i t-uhu+u ) smbrrà una rapprsntazion prftta lla funzion Possiamo utilizzar la stssa funzion *HFG+67V pr aggiungr alla figura ch viamo nll insrto a stra) l rtt?vbwt?jbyxt Pr far ciò uniamo con una rtta i punti =x{z+ }f/t7i UzH }f9t con una scona rtta i punti =x{z+ }f-x~t-i ;zh f-xt7i : *7FG+6HVL@BK7M7N)OFCLM7N)OF73CL@=1"C *7FG+6HVL@BK7M7N)OFCLM7N)OF73CL@BKH1CBKH1-3-3 In qusto numro 19 La grafica i R plot lins Il comano postscript 0 I numri binomiali 1 La formula i Stirling Coorinat polari nl piano Coorinat cilinrich nllo spazio Coorinat polari nllo spazio Rotazioni nl piano Numri complssi in R Funzioni in R points symbols rct srcizi 3-7 Il comano postscript Pr far apparir qusta figura sullo schrmo usiamo quini )+A9\ ]+A7F9JH@U CB CU CU O3-3 FGH7I-JH@LK-M7N)OFCBM7N)OFH3"QoFG77P7JH@BKH1C=1-3 )+A9\B*/ 757J- :;ƒc H -JS4PH6-*-*-/ S/3 )+*7/LFGH7ICLFGH7PC;7P9)+69JSLGSOCUI7*-A/HJS-SOCBP7*-ATHJ"S-SOC I-J+V969 BK7M7N)OFCLM7N)OFCL*-6TGH 9- HJ+1T A7V)HJ+1CBA9I767V9J9W7X-Y7Z9[C;<-\HA/]+6:^)+*7/7J9_-`-a7[O3 *7FTG+67VUICL@97VBI+3-3 *7FTG+67VL@BK-M7N)FCBM7N)F73"CL@41"C=1-3-3 *7FTG+67VL@BK-M7N)FCBM7N)F73"CL@LKH1"CBKH :;/<-<=3 *-H@9A/H/\=1-3 S vogliamo invc consrvar l immagin in un fil in formato PostScript possiamo usar il comano )+7V/+V-@T\+FT)7 com nlla sgunt squnza i istruzioni ov abbiamo anch tolto l istruzion intrattiva*-h@9a/h/\=1-3 : )+HVT+V-@T\OF)7S:-:;ˆT)OV-Ĥ1/ -K7@-7V96TG+:^)OV+SOC +/\+F/ HTG7HA-*-J9W7X-Y7Z9[CBTG+69<+F9*-69J-W7X-Y7Z/[C +F/599 +J7M: C; +67F/ / H7J- :;ŠC FGH7I-JH@LK-M7N)OFCBM7N)OFH3"QoFG77P7JH@BKH1C=1-3 )+AT)+6/\HJSTV)+6H@-F9A-*OS93"Q )+A9\ ]+A7F9JH@U CB CU CU O3-3 )+A9\B*/ 757J- :;ƒc H -JS4PH6-*-*-/ S/3 )+*7/LFGH7ICLFGH7PC;7P9)+69JSLGSOCUI7*-A/HJS-SOCBP7*-ATHJ"S-SOC I-J+V969 BK7M7N)OFCLM7N)OFCL*-6TGH 9- HJ+1T A7V)HJ+1CBA9I767V9J9W7X-Y7Z9[C;<-\HA/]+6:^)+*7/7J9_-`-a7[O3 *7FTG+67VUICL@97VBI+3-3 *7FTG+67VL@BK-M7N)FCBM7N)F73"CL@41"C= :;/<-<=3 *7FTG+67VL@BK-M7N)FCBM7N)F73"CL@LKH1"CBKH173-3 Abbiamo aggiunto ni u comani )+A/\ l spcifich i alcuni paramtri grafici: ]+A7F/J+@U CU CU CU +3 pr azzrar i margini lla figura la F vin a inchs pollici l unità i misura utilizzata a R) H 7JS4P76-*7*-/ "S pr usar uno sfono backgroun) giallo */ H5-J- :;ƒ pr imzzar lo spssor ll lin linwith) Anch in qusto caso non bisogna imnticar 576/:U/<-<=3 alla fin