Università degli Studi "La Sapienza" Dipartimento DINCE ELEMENTI DI INGEGNERIA DEL NOCCIOLO. Augusto Gandini

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1 Università degli Studi "La Sapienza" Dipartimento DINCE ELEMENTI DI INGEGNERIA DEL NOCCIOLO Augusto Gandini..

2 INDICE Introduzione 1. Concetti generali 2. Libero cammino medio 3. Legge di Fick 4. Rallentamento dei neutroni Il meccanismo dello scattering elastico Legge di scattering Il decremento logaritmico medio Potenza di rallentamento e rapporto di moderazione Letargia 5. Rallentamento in mezzi infiniti non assorbenti Rallentamento nell'idrogeno Densità di rallentamento nell'idrogeno Rallentamento in mezzi con nuclei di massa atomica maggiore dell'unità Rallentamento in un sistema con diversi nuclidi 6. Rallentamento in mezzi infiniti assorbenti Rallentamento con cattura nel moderatore idrogeno Rallentamento in mezzi con nuclei di massa atomica maggiore dell'unità Probabilità di fuga dalle risonanze con risonanze ben separate 7. La teoria dell' "età" dei neutroni Il modello di rallentamento continuo L'equazione dell'età senza cattura 8. Equazione del trasporto Definizioni Equazione del trasporto 9. Diffusione dei neutroni Correzione del trasporto Il libero cammino medio del trasporto Equazione della diffusione Condizioni al contorno Soluzione dell'equazione della diffusione Sorgente puntuale in mezzo infinito Sorgente piana infinita Sorgente piana infinita in un mezzo di spessore finito Sorgente piana con due slab di spessore finito La lunghezza di diffusione L'albedo 10. Approssimazioni del trasporto Approssimazione P n Approssimazione multigruppo 1

3 11. Librerie multigruppo La libreria variabile La libreria ABBN 12. Il Reattore Omogeneo Termico Nudo L'equazione critica Avvicinamento alla criticità La condizione di criticità Bucklings materiale e geometrico Tempo di generazione Reattori di forme diverse Caso 1. Slab infinito Caso 2. Parallelepipedo rettangolo Caso 3. Sfera Caso 4. Cilindro finito 13. Reattore omogeneo con riflettore Un gruppo di neutroni Slab piano infinito. Reflector savings Rapporto tra flusso massimo e medio in un reattore slab Due gruppi di neutroni 14. Equazioni della cinetica L'equazione della cinetica puntuale Metodo perturbativo Flusso aggiunto Notazione vettoriale Formulazione perturbativa della reattività Analisi degli effetti di reattività Vita media effettiva dei neutroni pronti 15. Avvelenamento dai prodotti di fissione Avvelenamento da xeno 16. Cinetica non lineare 17. Metodi perturbativi generalizzati su base euristica (HGPT) Formulazione generale Applicazione dei metodi HGPT a problemi di controllo 18. Ciclo del combustibile 19. Derivazione della equazione della cinetica per il reattore sottocritico 2

4 Introduzione In questa trattazione, che raccoglie le dispense del Corso di Ingegneria del Nocciolo redatte durante l'anno accademico 2000/2001, si è seguito il criterio di ripercorrere l'evoluzione della fisica del reattore a partire dalle prime formulazioni fondamentali presentate nei testi classici di Weinberg-Wigner e di Glasstone-Edlund apparsi negli anni '50. Quelle prime formulazioni furono il risultato di acute intuizioni fisiche, che portarono ad una efficace modellizzazione dei fenomeni, atta all'analisi numerica con gli strumenti di calcolo allora disponibili (regoli calcolatori, calcolatrici meccaniche). Lo sviluppo degli elaboratori elettronici negli anni successivi ha via via accompagnato lo sviluppo di questa disciplina, fino alle sofisticate tecniche di modellizzazione numerica più recenti. Le elaborazioni teoriche raffinate di quell'epoca rappresentano un eccezionale esempio di perfezione ed eleganza e sono tuttora valide come palestra in cui cimentarsi per l'apprendimento degli intimi meccanismi fisici che regolano il trasporto neutronico nei mezzi moltiplicanti. Nei capitoli riguardanti i meccanismi elementari di rallentamento e diffusione neutronica sono stati largamente ripresi gli argomenti trattati con ineguagliabile maestria dagli autori sopra citati. Sono stati aggiunti argomenti sviluppati successivamente, in particolare le tecniche di analisi di sensitività generalizzata ed alcuni aspetti inerenti la fisica del reattore sottocritico. Avendo sempre in mente l'obiettivo di fornire agli studenti le conoscenze fisiche di base necessarie per una corretta interpretazione dei risultati del calcolo neutronico in rapporto ad analisi di progetto, od a studi sul comportamento dei reattori. La presente stesura va considerata come "work in progress", soggetta a revisioni ed estensioni, accogliendo in particolare i suggerimenti e le osservazioni che i colleghi e gli studenti vorranno fornire. 3

5 1. Concetti generali Le prime indagini sulla propagazione dei neutroni hanno riguardato esperienze chiamate, per la ragione che vedremo tra poco, esponenziali. Si tratta di esperienze in cui una sorgente di neutroni (per esempio, di polonio-berillio) viene inserita in una struttura diffondente (composta da grafite, uranio naturale, od altri materiali) per studiare la propagazione dei neutroni da essa emessi. Poiché i neutroni sono soggetti ad eventi di urto con i nuclei degli elementi che compongono la struttura, via via che essi interagiscono col mezzo o vengono assorbiti, nel caso si tratti di un urto di cattura, o vengono deviati dalla loro traiettoria, nel caso si tratti di un urto elastico od inelastico (scattering). Diamo nel seguito una descrizione elementare del fenomeno della diffusione dei neutroni nei mezzi in cui siano presenti delle sorgenti. Consideriamo una sorgente piana di S neutroni emessi per ogni secondo e per ogni centimetro quadrato della sua superficie ad una delle estremità (di area A) di un parallelepipedo, e cerchiamo di determinare la frazione dei neutroni che arriveranno senza subire urti alla (generica) distanza x (v. figura). I neutroni emessi da una sorgente si diffondono generalmente in tutte le direzioni. Per gli scopi di questa descrizione, tuttavia, assumiamo che essi vengano emessi secondo percorsi paralleli in direzione dell'altro estremo del parallelepipedo. Introduciamo quindi il concetto di "sezione d'urto" associata a ciascun nucleo dell'elemento (supposto unico) presente nella struttura. Per semplicità, interpretiamo questa quantità come l'area data dalla proiezione dell elemento di volume associato ad un nucleo su un piano ortogonale all'asse x. Denoteremo come "sezione d'urto microscopica σ" tale areola 1. Se indichiamo con j(x)a il numero di neutroni che giunge alla distanza x dalla sorgente nell'unità di tempo senza subire urti, il numero di quelli che giungeranno ad x+dx sarà dato dallo stesso valore diminuito del numero di urti che avranno avuto luogo nell'intervallo dx, sempre nell'unità di tempo. Tali urti avverranno naturalmente ogni qualvolta la traiettoria di un neutrone incontrerà un nucleo, cioè intersecherà la sua "sezione d'urto". Assumendo una densità di N nuclei per unità di volume, la probabilità di urto sarà quindi data dal rapporto tra la somma di tutte le sezioni d'urto (areole) dei nuclei compresi nel volumetto Adx e l'area A, cioè Nσdx. Pertanto il numero di urti nell'intervallo dx nell'unità di tempo potrà essere assunto eguale ad Aj(x)Nσdx. Nel punto x+dx giungerà quindi un numero di neutroni per secondo e per centimetro quadrato della superficie trasversale, corrispondente alla quantità j(x+dx) = j(x)- j(x)nσdx. 1 In realtà la definizione di sezione d'urto è più complessa e la sua definizione richiede la conoscenza della fisica quantistica. L'analogia con la definizione geometrica qui data resta comunque valida. 4

6 Questa equazione si può scrivere, indicando con dj(x) la differenza j(x+dx)-j(x), dj(x) dx = j(x)n σ che è l'espressione di una semplice equazione differenziale lineare omogenea allorché dx venga assunto come un differenziale, cioè una quantità tendente a zero. La sua soluzione è j(x) Σ x = Se, dove con Σ si è indicata la "sezione d'urto macroscopica" data dal prodotto Nσ. La grandezza j(x) viene denominata "corrente neutronica" (neutroni/cm 2 sec). Quindi, quanto maggiore è la densità dell'elemento, la sua sezione d'urto e la lunghezza H, tanto minore sarà il numero di neutroni che giungeranno all'altra estremità del parallelepipedo senza subire urti. 2 S 0 x x+dx H Questa espressione, di tipo esponenziale, dà appunto il nome a questo tipo di esperienze. In realtà, le prime esperienze di propagazione neutronica utilizzavano più materiali, in strutture omogenee, od eterogenee, suggerite dalla necessità di conoscere le proprietà di diffusione dei neutroni, in particolare in mezzi moltiplicanti. In questi casi veniva utilizzato l'uranio naturale (in cui l'elemento fissile uranio 235 è presente nella frazione dello 0.7%). Una tipica colonna esponenziale poteva essere composta da elementi (blocchetti) di ossido di uranio inseriti in blocchi (mattoni) di grafite. Nella schematizzazione fatta sopra occorrerà quindi considerare nel generico punto x non solo i neutroni provenienti dalla sorgente, ma anche quelli provenienti dalle fissioni, oltre che dalle collisioni di scattering. Tali eventi avranno luogo sia a sinistra che a destra dello stesso punto dando luogo a neutroni emessi in tutte le 2 Questo fenomeno di attenuazione è quanto viene fra l'altro sfruttato per le schermature contro le radiazioni utilizzando materiali particolarmente "assorbenti". 5

7 direzioni (così come lo sono nella realtà i neutroni emessi della sorgente). L'espressione della corrente neutronica nel generico punto x del parallelepipedo sopra descritto sarà pertanto il risultato di una somma di effetti, ognuno riconducibile ad espressioni esponenziali del tipo visto sopra. Assumendo l'area trasversale A sufficientemente grande per poter trascurare effetti di fughe laterali di neutroni, si ottiene infine una espressione ancora di tipo esponenziale purchè gli arricchimenti (cioè le concentrazioni di elemento fissile) siano sufficientemente bassi, cioè al di sotto del valore che renderebbe il reattore critico. Nel caso particolare in cui vi sia assenza di materiale fissile, ed assumendo che tutti i neutroni siano monoenergetici, cioè abbiano la stessa energia cinetica 3, si arriva all espressione j(x) = Se x/l dove L, comunemente definita "lunghezza di diffusione", è una quantità che dipende dalle sezioni d'urto e dalle densità degli elementi componenti del mezzo. Invece di corrente neutronica j(x), si parla più spesso di "flusso neutronico", ϕ (x), definito come prodotto della densità dei neutroni, n(x), per la loro velocità. Come vedremo meglio nel seguito, lontano dalle superfici di separazione, dalle sorgenti esterne, e per un mezzo poco assorbente, esso è legato alla corrente neutronica dalla relazione j(x) dϕ = D (legge di Fick) dx dove la quantità D, comunemente definita "coefficiente di diffusione", è una quantità che pure dipende dalle caratteristiche del mezzo, cioè dalle sezioni d'urto e dalle densità degli elementi che lo compongono. Per il caso più generale, il flusso ϕ si ricava dalla soluzione dell'equazione di bilancio degli eventi (nell'unità di tempo) che occorrono nell'elemento di volume Adx, in condizioni stazionarie (lontano dalla sorgente): (neutroni entranti - neutroni uscenti) + neutroni nati da fissione = neutroni catturati (per fissione e assorbimento parassitico), 3 In realtà i neutroni di fissione sono caratterizzati da velocità molto diverse fra loro, da 10 3 fino a oltre 10 6 m/sec. 6

8 ossia, introducendo le sezioni d'urto (macroscopiche) per eventi di assorbimento (parassitico) e di fissione Σ a e Σ f, ed il numero (ν) di neutroni che nascono mediamente per ogni fissione: dϕ(x + dx) dϕ(x) A D D dx dx + νσ f ϕdx = Adx( Σf + Σa )ϕ che, dividendo per Adx, facendo tendere dx a zero, e riordinando, diventa l'equazione della diffusione: 2 d ϕ D + νσ 2 dx f ϕ ( Σ a + Σ f ) ϕ = 0. (a) Se in questa equazione si assume che la quantità νσ f Σ + Σ a f, (b) detta anche "fattore di moltiplicazione infinito" (K ), non superi l'unità, cioè che la moltiplicazione per fissione non superi gli eventi di cattura (per fissione ed assorbimento parassitico), le soluzioni, lontano dal punto della sorgente neutronica posta ad x=0 e dall'altra estremità ad x=h, saranno del tipo, ancora esponenziale: x ϕ e κ, essendo κ una quantità positiva data dall'espressione Σa - Σf ( ν - 1) κ =. D L'andamento esponenziale corrisponde quindi a quei casi in cui il radicando al secondo membro abbia un valore positivo (e quindi la radice κ abbia un valore reale), cioè allorché il numero dei neutroni nati dalla moltiplicazione per fissione sia inferiore a quello degli eventi di cattura. Un sistema in queste condizioni si può definire "sottocritico" indipendentemente dalle sue dimensioni. Il livello costante del flusso è assicurato dalla presenza della sorgente "esterna" (detta così per distinguerla da quella di fissione) che compensa il deficit del bilancio neutronico. Può verificarsi che un sistema sia sottocritico anche nel caso in cui il valore della radice κ non sia reale, cioè nel caso in cui gli eventi di moltiplicazione prevalgano su quelli di cattura, purché la scomparsa di neutroni per "fuga" dal sistema (detta anche 7

9 "leakage") prevalga sul surplus di neutroni. In questi casi il flusso neutronico, in zone lontane dalla sorgente e per geometrie come quella del caso considerato (configurazione a "slab", cioè piana), assume un andamento convesso di tipo cosinusoidale. In una struttura costituita da uranio naturale, in un mezzo diffondente "moderatore" 4, quale la grafite, gran parte degli eventi di fissione avvengono a velocità dei neutroni relativamente basse (dell'ordine di m/sec, cioè a valori in quasi equilibrio termico con il mezzo 5 ) attraverso la cattura da parte dell'isotopo U-235. Una piccola frazione (ε) di neutroni nasce dalle fissioni dell'isotopo più abbondante U-238. Ciò avviene ad energie elevate, prossime a quelle alle quali i neutroni sono generati. Va anche aggiunto che da considerazioni di carattere quantistico, il valore delle sezioni d'urto di cattura dei vari isotopi possono variare notevolmente con l'energia. In alcuni casi possono aversi dei fenomeni così detti di risonanza che comportano valori delle sezioni d'urto di assorbimento parassitico (cioè, che non dà luogo a fissione) elevatissimi per intervalli energetici più o meno stretti. La possibilità in questi casi per i neutroni di non venire quasi certamente catturati nel loro processo di rallentamento dalle energie di fissione a quelle "termiche", a cui avvengono gran parte delle fissioni, dipende dal subire un urto elastico (di scattering) da parte del materiale moderatore, che consenta al neutrone di "saltare" la banda di energia di risonanza 6. Per facilitare tale eventualità, e quindi migliorare il valore del K a parità di composizione media del sistema, venne introdotto il concetto di reattore eterogeneo, cioè fatto di elementi di combustibile (a pastiglie) circondati da una zona di solo elemento moderatore, il tutto a formare un reticolo di celle regolari. In questo caso si diminuisce la probabilità per i neutroni di venire catturati parassiticamente alle energie di risonanza (tali eventi avvengono in questo caso solo negli strati periferici degli elementi stessi). I neutroni rimasti nel moderatore circostante possono quindi "saltare", come si dice, la bande di risonanza ed entrare poi a maggiore profondità negli elementi stessi, producendo al loro interno eventi di fissione in misura relativamente più elevata. E' proprio l'intuizione di questo meccanismo, detto anche 4 In quanto rallenta i neutroni di fissione caratterizzati da alte velocità. 5 Per questo si parla di neutroni "termici". In queste condizioni le velocità dei neutroni sono in equilibrio con quelle dei nuclei. Esse seguono la legge di distribuzione di Maxwell.Boltzmann (derivata dalla teoria cinetica dei gas) e sono quindi funzione della temperatura). 6 E' il caso di ricordare che il processo di rallentamento neutronico fu studiato a fondo da Fermi, che ne diede un elegante assetto teorico. In base a questa teoria i neutroni, che perdono energia via via che collidono con i nuclei dell'elemento moderatore, vengono identificati in relazione ad un tempo di vita, a partire dalla fissione, associabile all energia cinetica persa. Questo loro tempo di vita venne quindi associato ad una quantità detta "età (neutronica) di Fermi". 8

10 "lumping" (da "lump" che significa pezzo, blocco), che rese possibile di ottenere la criticità con sistemi a solo uranio naturale 7. In luogo della espressione (b) possiamo quindi più propriamente scrivere l'espressione del fattore di moltiplicazione infinita K (cioè relativo ad un mezzo ideale infinito) come il prodotto di quattro fattori, vale a dire K = ηfεp, (c) dove, assumendo la presenza di uranio naturale (U238+U235), grafite (C) ed elementi strutturali (Fe): η U235 νσ f = è il numero di neutroni che nasce mediamente per ogni U235 U235 + U238 Σ f + Σ a cattura ad energie termiche nel "combustibile" (U-235 ed U-238) (per l'uranio naturale è circa 1.3); U235 U235 + U238 Σ f f + Σ a = è il fattore di utilizzazione termica, che U235 U235 + U238 C Fe Σ f + Σ a + Σ a + Σ a esprime la probabilità che l'evento di cattura ad energie termiche avvenga nel combustibile, piuttosto che nel moderatore (grafite), o negli elementi strutturali (ferro); ε è il fattore che tiene conto della probabilità che l'evento di fissione avvenga con neutroni veloci attraverso la cattura da parte dell'u-238. Il suo valore è circa 1.03; p è il fattore che esprime la probabilità che il neutrone sfugga alle catture delle risonanze. La (c), così detta "formula dei quattro fattori", ha rappresentato un passo fondamentale nella comprensione e caratterizzazione dei sistemi moltiplicanti. Sopra ci eravamo limitati a considerare solo sistemi sottocrititici. E' evidente che in particolari condizioni (un migliore assetto del combustibile, come il "lumping", o l'aumento dell'"arricchimento" nell'isotopo U-235 dell'uranio) il fattore di moltiplicazione K aumenti corrispondentemente. Per K =1 si dice che la reazione di fissione in un mezzo supposto di dimensioni infinite si autosostiene senza l'ausilio della sorgente "esterna". La presenza di una qualsiasi sorgente esterna di neutroni 7 A parte i reattori moderati ad acqua pesante, elemento caratterizzato da bassissime sezioni d'urto di cattura, tutti gli altri tipi di reattori "termici" costruiti successivamente, moderati ad acqua normale ("leggera") o grafite (esclusi i Magnox), sono stati alimentati con uranio arricchito nell'isotopo 235. La frazione di questo elemento passa quindi dal valore 0.7 dell'uranio naturale a qualche percento. 9

11 porterebbe in questo caso il flusso a valori via via più elevati, asintoticamente tendenti all'infinito (andamento divergente). Nella realtà tutti i sistemi sono di dimensioni finite. A questa circostanza è associato, come si è già accennato, il concetto di fuga (leakage) dei neutroni dal mezzo moltiplicante attraverso le pareti esterne. Questi neutroni sono persi definitivamente e non contribuiscono quindi al mantenimento della catena di fissione. Se indichiamo con P NL la probabilità per un neutrone di non essere soggetto a leakage, il coefficiente di moltiplicazione per mezzi finiti, K eff, diventa K eff = P NL Κ = P NL ηfεp. (d) Il valore di P NL diminuisce rispetto all'unità via via che le dimensioni del sistema considerato si riducono, come si deduce dall'espressione da cui esso si ricava (in rapporto alla geometria piana qui considerata): P NL = 1 1+ L 2 B 2 dove la quantità B, detta anche buckling geometrico, è dato dalla relazione, ricordando che H rappresenta lo spessore del mezzo omogeneo moltiplicante, B = π. H Si vede come per valori piccoli di H, e quindi per sistemi con probabilità di fuga dal mezzo grandi, il buckling aumenta, mentre P NL diminuisce. Come si è già accennato, per un sistema di dimensioni finite può verificarsi che questo sia ancora sottocritico in presenza di un valore di K che superi l'unità. In tali condizioni, via via che il sistema si ingrandisce, per esempio con l'aggiunta di nuovi elementi, K eff si avvicina all'unità, cioè alle condizioni critiche. Questo è ciò che accadde con il reattore CP-1. L'avvicinamento alla criticità veniva valutato sulla base dei livelli crescenti raggiunti dal flusso (in presenza della sorgente esterna fissa) col crescere delle dimensioni, e quindi del K eff. Per analizzare più da vicino questo processo, osserviamo l'equazione (a), supponendo ora la sorgente neutronica estesa uniformemente in tutto il mezzo e di intensità s (neutroni/cm 3 sec). In luogo del numero ν di neutroni che nascono per fissione consideriamo il prodotto νp NL (tenendo così in conto le perdite per leakage che avvengono alle energie più elevate), ed in luogo della sorgente s di neutroni (supposti pure emessi ad energia elevata) il prodotto sp NL, in modo da tenere conto della probabilità anche per questi neutroni di non sfuggire dal sistema prima di giungere a 10

12 valori termici. Poiché a questi valori la probabilità di fuga può ritenersi trascurabile per un sistema sufficientemente grande, possiamo quindi sostituire l'equazione (a) con la seguente P ν Σ ϕ ( Σ + Σ ) ϕ + sp 0. NL f a f NL = Ricordando la (d), si deduce facilmente che il valore del flusso in relazione al valore di P NL è del tipo ϕ 1- s K eff. (e) Si vede facilmente come, via via che ci si avvicina alla criticità, cioè via via che K eff si avvicina all'unità, in presenza di una sorgente esterna il livello del flusso tenda asintoticamente all'infinito. E' questa legge di aumento del flusso per valori di P NL crescenti a venire utilizzata (così come avviene tuttora con i moderni reattori) nel processo di caricamento della pila per portarla alle condizioni critiche. Si parte infatti da condizioni sicuramente sottocritiche, cioè caratterizzate da valori di K eff largamente inferiori all'unità. Si attende quindi che il livello di flusso raggiunga una condizione di equilibrio, corrispondente all'equazione (e). Si procede quindi all'aggiunta di ulteriori elementi di combustibile, cui corrisponderà un valore più elevato di K eff, e quindi, dopo qualche tempo, un nuovo valore del flusso (v. grafico, indicante l'andamento dell'intensità neutronica nel tempo). Si procede così fino a che il valore della criticità non viene raggiunto. Ci si accorge che ciò è avvenuto allorché il livello di flusso, sempre in presenza della sorgente esterna, continua ad aumentare senza fermarsi ad un valore stazionario. 11

13 12

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