GRAPH NEURAL NETWORKS

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1 Riccardo Brogi GRAPH NEURAL NETWORKS E PREDIZIONE DEL TRAFFICO VEICOLARE Tesi di Laurea Specialistica Settembre 2010

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3 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SIENA FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea Specialistica in INGEGNERIA INFORMATICA Curriculum SISTEMI INFORMATICI MULTIMEDIALI GRAPH NEURAL NETWORKS E PREDIZIONE DEL TRAFFICO VEICOLARE Tesi di Laurea di Riccardo Brogi Relatore Prof. Marco Maggini Correlatore Prof. Lorenzo Sarti Anno Accademico 2009 / 2010 Sessione di Laurea del 27 Settembre 2010

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5 "I think there is a world market for about five computers" Thomas J. Watson Jr. - Presidente di IBM dal 1952 al 1971 Cosa ci insegna questa frase?! Bhe, che in pratica, nella vita, non c è molto da preoccuparsi se di tanto in tanto ti scappa qualche cazzata

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7 INDICE ABSTRACT 1 CAPITOLO 1 - SISTEMI E TECNOLOGIE DI SUPPORTO AL TRAFFICO 5 INTRODUZIONE 5 GLI ADVANCED TRAVELLER INFORMATION SYSTEMS 8 RILEVAZIONE DEI TEMPI DI PERCORRENZA 9 Funzioni d arco 10 PREDIZIONE DEI TEMPI DI PERCORRENZA 13 Modelli analitici 14 Modelli statistici 19 APPLICAZIONI REALI 21 NorthRhine - Westphalia 21 Stoccolma 21 Atene 21 Italia 22 CAPITOLO 2 - LE GRAPH NEURAL NETWORKS 23 INTRODUZIONE 23 IL MODELLO DELLE GRAPH NEURAL NETWORKS 25 Il modello delle GNN 25 I

8 CAPITOLO 3 - IL SOFTWARE AXE 37 INTRODUZIONE 37 IL LINGUAGGIO APL E APLX 38 ALGORITMI DI ASSEGNAZIONE 40 Assegnazione Tutto o Niente (TN) 40 Assegnazione Tutto o Niente Dinamico (TND) 40 Assegnazione di Trasporto Collettivo a frequenza (IPER) 40 Assegnazione per Aliquote (ALQ) 40 Assegnazione d equilibrio (FW) 41 Assegnazione probabilistica (DIAL) 43 ESECUZIONE DELL APPLICATIVO 45 CAPITOLO 4 - GENERAZIONE DEL TRAINING SET 49 IL PROGETTO SIMob 49 I DATI DI REGIONE TOSCANA 51 Il grafo regionale della rete dei trasporti 51 La matrice OD degli spostamenti 53 IL MODULO PREDITTIVO 55 Creazione dell insieme di addestramento 55 Ripartizione dei flussi nell intero grafo 59 Implementazione del modulo predittivo 60 BIBLIOGRAFIA 63 II

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10 ABSTRACT In una società che si muove con un ritmo sempre maggiore, la conoscenza d informazioni dettagliate e precise sul traffico stradale può aiutare i viaggiatori a raggiungere le loro mete più velocemente e in maniera più sicura. Per rispondere a questa nuova esigenza, negli ultimi anni sono stati introdotti i sistemi ATIS (Advanced Traveller Information Systems), il cui scopo è essenzialmente quello di facilitare ed ottimizzare gli spostamenti veicolari attraverso la rete viaria. I sistemi più recenti supportano il viaggiatore sia nella scelta del percorso migliore sia nell affrontare gli eventuali cambiamenti delle condizioni infrastrutturali (a causa, ad esempio, del traffico più intenso del normale, per una temporanea modifica della viabilità su un tratto stradale, etc.) modificando in tempo reale il tragitto consigliato. Gli ATIS sono normalmente realizzati con un architettura di tipo client-server. I dispositivi client sono in genere degli apparati mobili capaci di ricevere informazioni in movimento come smartphones e sistemi installati direttamente sul veicolo; il server è progettato per ricevere e elaborare un insieme molto variegato di dati. Il suo compito primario consiste nel fornire delle previsioni attinenti ad un preciso intervallo temporale su traffico e tempo di percorrenza di ognuna delle tratte viarie. La stima dei tempi di attraversamento correnti è effettuata basandosi su due categorie di dati: statici e dinamici. I dati statici sono essenzialmente costituiti dal grafo della rete stradale in condizioni standard (cioè con tutti i tratti e tutte le corsie disponibili) e dai flussi attesi su ogni singolo arco (spesso originati a partire da rilevazioni statistiche). Tali informazioni vengono quindi perturbate per mezzo di un insieme eterogeneo di dati dinamici, provenienti da molteplici sorgenti come sensori fissi e mobili, osservazioni del traffico eseguite sia da operatori che dagli utenti, bollettini sui lavori di manutenzione programmati, etc. 1

11 A seconda del tipo di dati sensoriali utilizzati per la stima, è possibile distinguere tra misurazioni d arco e misurazioni puntuali. Nel primo caso il tempo di percorrenza di una singola tratta è rilevato direttamente per mezzo di sensori evoluti, come tracce GPS o riconoscimento automatico delle targhe, ma scarsamente utilizzati a causa del loro costo elevato. Nel secondo caso, invece, è il flusso veicolare ad essere misurato, impiegando sensori poco complessi (spire elettromagnetiche, fotocellule, etc.) ma più economici. I tempi di percorrenza sono successivamente calcolati per mezzo di particolari famiglie di funzioni, dette funzioni di arco o curve di deflusso, in funzione sia del flusso di autoveicoli che dei parametri (velocità massima, lunghezza, capacità, etc.) caratterizzanti la tratta. Al fine di descrivere nella maniera più accurata possibile archi stradali dalle caratteristiche differenti, sono state sviluppate numerose tipologie di funzioni d arco, come BPR, Akcelik e HTC. E possibile ripartire i vari sistemi predittivi in due macrocategorie: i sistemi analitici ed i sistemi statistici. I modelli analitici si avvalgono di soluzioni basate sulla simulazione delle condizioni del traffico; la predizione dei tempi di attraversamento è estrapolata dal suddetto scenario simulato. Questi sistemi sono però afflitti da diversi problemi come la necessità di una grande quantità di dati statistici per il raggiungimento di un livello di precisione accettabile, la difficoltà nell integrazione d informazioni real-time e l elevato tempo di esecuzione. I sistemi statistici si basano invece su dati storici e approcci di tipo data-driven, come modelli statistici e sistemi ad apprendimento automatico. In particolare le reti neurali, come in molti altri campi applicativi, hanno dimostrato di poter raggiungere prestazioni degne di nota. Da qui nasce l idea di un predittore del traffico veicolare che sfrutti una nuova tipologia di reti neurali, le Graph Neural Network (GNN). Le GNN rappresentano una classe di rete neurale specializzata nell elaborazione di dati rappresentabili mediante grafi come, appunto, una rete viaria. Il modello implementa una funzione, R che mappa un grafo ed uno dei suoi nodi in uno spazio euclideo -dimensionale, mentre la stima dei parametri della rete avviene per opera di un algoritmo di apprendimento supervisionato. Le GNN 2

12 rappresentano un'estensione sia delle reti neurali ricorsive e che dei modelli basati sulle catene di Markov. Il progetto è stato sviluppato nell ambito del progetto SIMob (Sistema Integrato per l infomobilità) finanziato da Regione Toscana. A causa della scarsa disponibilità di dati storici sul flusso veicolare, il lavoro è stato inizialmente incentrato sulla creazione di un insieme di addestramento sufficientemente grande, da destinare in seguito alla fase di apprendimento del modulo predittivo. Poiché il progetto SIMob si trova attualmente in fase di sviluppo sperimentale, è stato deciso di prendere temporaneamente in considerazione soltanto una piccola parte del sistema viario della Regione Toscana, coincidente con la Provincia di Pistoia. Al grafo relativo all intera rete stradale pistoiese, formato da circa 3600 nodi e 9000 archi, sono stati aggiunti 157 vertici fittizi (che, cioè, non rappresentano nessuna intersezione stradale fisicamente esistente), detti centroidi. Ogni centroide identifica una delle aree geografiche in cui è stato suddiviso il territorio pistoiese e, nel modello trasportistico, è impiegato come nodo origine o come nodo destinazione del flusso veicolare. Inoltre, al fine di ottenere quanto prima una versione funzionante dell applicativo, si è deciso di limitare l elaborazione ai soli dati di flusso riguardanti il trasporto privato, senza esaminare per il momento il sistema di trasporto pubblico. La matrice OD (Origine-Destinazione) è stata fornita da uno dei partner del progetto regionale ed è stata costruita attraverso interviste telefoniche agli utenti, con riferimento ai soli spostamenti effettuati nella fascia oraria compresa dalle 7.00 alle 8.00 del mattino. La suddetta matrice OD, assieme al grafo viario della Provincia di Pistoia, è stata elaborata con l ausilio di un tool, denominato AxE (Assegnazione per Esperti), fornito dal Dipartimento di Ingegneria dei Trasporti dell Università di Firenze, ulteriore collaboratore nel progetto SIMob. Questo software, una volta specificato l algoritmo di assegnazione e la matrice OD da utilizzare, è capace di ripartire il flusso veicolare sugli archi del grafo preso in esame. 3

13 Al fine di permettere al predittore di fornire una stima dei tempi di percorrenza inerenti ad un istante temporale preciso, è stato necessario creare una collezione di dati di flusso veicolare dipendente sia dalla fascia oraria considerata (finestre della durata di 5 minuti per un totale di 288 fasce giornaliere) che dalla tipologia (feriale o festivo) del giorno preso in esame. Tale insieme è stato originato perturbando, per mezzo di coefficienti moltiplicativi, le informazioni di flusso ottenute dall elaborazione della matrice OD originaria. Infine, invertendo le funzioni d arco associate, si sono determinati i tempi di percorrenza delle singole tratte stradali. I tempi di attraversamento così calcolati, assieme al grafo della rete viaria, costituiscono l'insieme di addestramento destinato alla rete neurale alla base del modulo predittivo. Il lavoro avrebbe poi dovuto spostarsi sull effettivo sviluppo del predittore, ma per mancanza di tempo questa fase è stata posticipata. In questa fase si sarebbe dovuto impiegare il tool GNN Configuration Tool sviluppato internamente allo AIR Group (Artificial Intelligence Research Group) del Dipartimento di Ingegneria dell Informazione dell Università degli Studi di Siena. Questo strumento software, che si appoggia a MATLAB, permette di generare una GNN specificando vari parametri di apprendimento inclusi quelli relativi alla validazione e alla back-propagation. Secondo le specifiche funzionali del progetto, si dovranno addestrare un certo numero di GNN diverse, ognuna delle quali destinata a produrre predizioni per una particolare classe di nodi. I nodi saranno suddivisi in gruppi in base al loro out-degree, quantità che indica il numero di archi uscenti da ciascun nodo del grafo stradale. Ogni GNN riceverà in ingresso un insieme di dati riguardanti il flusso entrante nel vertice in esame e le caratteristiche fisiche degli archi entranti ed uscenti dal nodo e produrrà in uscita una stima sul numero di veicoli incanalati in ognuno degli archi uscenti dal nodo analizzato. Queste stime, fornite in uscita dal nostro predittore, saranno poi utilizzate da un modulo per il calcolo del percorso ottimo per variare dinamicamente, in funzione dell istante temporale, il cammino suggerito tra due generici punti della rete. 4

14 CAPITOLO 1 SISTEMI E TECNOLOGIE DI SUPPORTO AL TRAFFICO INTRODUZIONE I sistemi di trasporto rappresentano un chiaro esempio di sistema dinamico complesso, difficile da controllare ma che gioca un ruolo chiave nelle economie moderne. Con il rapido e costante incremento del traffico, i problemi relativi alla congestione delle infrastrutture viarie, alla sicurezza stradale e all inquinamento atmosferico hanno assunto un interesse primario a livello mondiale, sopratutto a causa degli alti costi sia in termini di vite umane sia in termini prettamente economici. Basti pensare che le stime mondiali sui decessi causati da incidenti stradali parlano di più di 1.2 milioni di vittime ogni anno (World Health Organization, 2004) e che, nel solo Regno Unito, la congestione delle arterie stradali provoca una perdita annuale di denaro stimata in circa 20 milioni di sterline (Confederation of British Council). Gli Intelligent Transportation Systems, in breve ITS, sono stati sviluppati per cercare di affrontare in maniera adeguata queste problematiche, applicando le tecnologie dell ICT al mondo dei sistemi di trasporto. Questi sistemi operano raccogliendo ed elaborando un insieme molto variegato d informazioni. Una parte di tali dati riguarda lo stato dell infrastruttura e viene raccolta sia mediante sensori on-board (GPS, SMS, etc.), sia attraverso una rete di sensori (spire, 5

15 sensori, telecamere, rilevazioni manuali, etc.). Altre fonti d informazione, come notiziari sul traffico, bollettini su lavori e chiusure sulla rete viaria, notizie fornite dai corpi dello stato come la Polizia Stradale, sono quindi utilizzate per integrare e migliorare il sistema di gestione del traffico. I dati, una volta elaborati, sono ritrasmessi ai destinatari. In sintesi, gli obiettivi primari per un sistema ITS sono: Incrementare l efficienza e la produttività del sistema dei trasporti; Migliore la mobilità; Aumentare il livello di sicurezza; Ridurre i consumi di carburante ed i costi ambientali; FIG Schema di funzionamento di un sistema ITS. La grande famiglia dei sistemi ITS può essere suddivisa in tre macrocategorie: gli ADAS (Advanced Driver Assistance Systems) dispositivi installati direttamente sull autoveicolo per incrementarne il livello di sicurezza; gli ATIS (Advanced Traveller Information Systems) la loro finalità è quella di ottimizzare e facilitare gli spostamenti degli utenti, fornendo 6

16 informazioni aggiornate in tempo reale sulle condizioni del traffico, sullo stato della rete, su eventuali incidenti, etc.; gli ATMS (Advanced Traveller Management Systems) apparati destinati al controllo e alla gestione del sistema trasportistico, capaci di modificare dinamicamente i parametri e le norme che lo governano. Esempi di apparati ADAS sono i sistemi di prevenzione degli urti, come il Volvo City Safety, che, in situazioni di pericolo, agiscono automaticamente sui freni dell autovettura; i sistemi di assistenza al parcheggio (ad esempio il Park Assist di Volkswagen) capaci, una volta valutato che lo spazio per la sosta sia sufficientemente ampio, di governare autonomamente l autovettura nella fase di posteggio; i sistemi di riconoscimento automatico della segnaletica stradale, i sistemi di luci adattive, etc. Vale la pena discutere brevemente le principali differenze tra ATMS e ATIS. Questi sistemi sono infatti spesso visti come strumenti distinti per il raggiungimento di uno scopo comune: il controllo del traffico veicolare. Gli ATMS utilizzano le informazioni raccolte per gestire ed adattare dinamicamente l infrastruttura, ritoccando, ad esempio, le tempistiche e la sincronizzazione delle luci semaforiche oppure il limite di velocità su di una particolare tratta. Agendo in questo modo, gli ATMS vanno ad influenzare in maniera diretta la propagazione del flusso veicolare e, indirettamente, anche il comportamento dei viaggiatori: il meccanismo di scelta del percorso dipende infatti, in un certo qual modo, dagli attributi dinamici dell infrastruttura di trasporto. Differentemente dagli ATMS, i dispositivi ATIS operano direttamente sulle scelte di viaggio degli utenti, proponendo ad ogni istante il percorso migliore per raggiungere la meta voluta. Naturalmente, differenti scelte di viaggio portano ad una differente propagazione del flusso veicolare; ciò ha portato alcuni analisti a considerare i dispositivi ATIS come sistemi per il controllo del traffico. 7

17 GLI ADVANCED TRAVELLER INFORMATION SYSTEMS I sistemi ATIS (Advanced Traveller Information Systems) sono stati sviluppati con lo scopo di migliorare la mobilità personale, la sicurezza e la produttività dei sistemi di trasporto. La ricerca in questo settore ha inizio nei primi anni 60 e, dal punto di vista tecnologico, è possibile distinguere due fasi principali. I sistemi di prima generazione sono stati pensati per informare i guidatori sulla presenza di situazioni eccezionali, come incidenti o temporanee chiusure di alcune tratte. In particolare, tra la fine degli anni 60 e l inizio dei 70, in Nord America ed in Europa sono stati introdotti, soprattutto nelle tratte autostradali, segnali luminosi con messaggi variabili e particolari stazioni radio preposte alla trasmissione di bollettini sul traffico. La seconda generazione è stata invece concepita con l idea di fornire a ciascun utente un informazione personalizzata, assistendo il viaggiatore nella scelta del percorso da seguire e guidandolo fino al raggiungimento della località cercata. Questi apparati funzionano grazie a sistemi di posizionamento globale (GPS); inoltre i dispositivi più recenti ed evoluti sono possono variare e correggere interattivamente le informazioni fornite agli utenti sulla base di dati ricevuti in tempo reale. FIG. 1.2 Esempi di sistemi ATIS di I (a sinistra ) e II (a destra) generazione. L architettura dei sistemi ATIS è di tipo client-server. I dispositivi client sono tipicamente degli apparati mobili capaci di ricevere informazioni in movimento, così da permettere agli utenti di usufruire a pieno delle possibilità offerte dal sistema. Vengono perciò impiegati smartphones, sistemi GPS portatili e sistemi d infomobilità direttamente installati sui veicoli. Il server è progettato per ricevere, memorizzare ed elaborare un insieme eterogeneo di dati. Il suo 8

18 compito primario consiste nel fornire delle previsioni attinenti ad un preciso intervallo temporale su traffico e tempo di percorrenza di ognuna delle tratte stradali. Da tali previsioni, il server può fornire percorsi ottimi modificati in funzione delle condizioni correnti. RILEVAZIONE DEI TEMPI DI PERCORRENZA Nei sistemi ITS i tempi di attraversamento associati alle singole tratte rappresentano dei dati fondamentali per lo svolgimento di un elevato numero di attività; da ciò è facile capire come la misura di questi intervalli temporali rappresenti una delle fasi più critiche. Il tempo di percorrenza di un dato arco stradale indica, com è facilmente intuibile, il tempo medio impiegato da un generico autoveicolo per spostarsi da un capo all altro del suddetto arco. Questo dato è fortemente dipendente da un gran numero di elementi, come la velocità media tenuta dagli utenti, il livello di congestione dell arco, il flusso veicolare sulla restante parte della rete, etc.; tutti fattori ampiamente variabili in funzione dell orario, delle condizioni atmosferiche, della stagione, etc.. E comunque possibile osservare dei pattern di comportamento del traffico veicolare; ad esempio, è possibile distinguere tra il traffico delle ore di punta e quello notturno oppure tra il traffico di un giorno feriale e quello del weekend. La stima dei tempi di percorrenza attuali avviene elaborando dati eterogenei che è possibile suddividere in due categorie: statici e dinamici. I dati statici sono essenzialmente costituiti dal grafo della rete stradale in condizioni standard (cioè con tutti i tratti e tutte le corsie disponibili) e dai flussi attesi su ogni singolo arco, spesso originati a partire da rilevazioni statistiche. Queste informazioni vengono quindi perturbate con l ausilio di dati dinamici provenienti da molteplici sorgenti come sensori meccanici ed ottici, spire elettromagnetiche, osservazioni del traffico effettuate sia da operatori che dagli utenti, bollettini sui lavori di manutenzione programmati, etc. 9

19 A seconda del tipo di dati sensoriali utilizzati, è possibile distinguere tra misurazioni d arco e misurazioni puntuali. Nel primo caso il tempo di percorrenza di ogni singola tratta è rilevato direttamente per mezzo di sensori evoluti, come tracce GPS dei veicoli, sonde passive installate sulle autovetture e sistemi di riconoscimento automatico delle targhe, ma scarsamente utilizzati a causa del loro costo elevato. Nel secondo caso, invece, è il flusso veicolare ad essere misurato, impiegando sensori poco complessi (spire elettromagnetiche, fotocellule, videocamere, etc.) ma più economici. I tempi di percorrenza sono successivamente derivati per mezzo di particolari famiglie di funzioni, dette funzioni di arco o curve di deflusso. Naturalmente le misurazioni d arco permettono la raccolta di dati molto più precisi rispetto alle misurazioni puntuali, ma, come accennato in precedenza, la sostanziale differenza di costi ha fatto sì che fosse quest ultima categoria di rilevazioni a diffondersi maggiormente. Funzioni d arco Come accennato in precedenza, i sistemi più diffusi per la misurazione del traffico, principalmente a causa del loro basso costo, sono spire elettromagnetiche, telecamere e fotocellule. Tutti questi apparecchi rilevano il volume di traffico che transita in un precisato intervallo temporale. Per il calcolo dei tempi di attraversamento, in Ingegneria dei Trasporti, sono state implementate particolari famiglie di funzioni, dette funzioni di arco o curve di deflusso, che consentono di stimare queste quantità utilizzando sia il flusso di autoveicoli rilevato che alcuni dei parametri strutturali (velocità massima, lunghezza, capacità, etc.) della tratta. Al fine di descrivere nella maniera più accurata possibile archi stradali dalle caratteristiche strutturali differenti, nel corso degli anni sono state sviluppate numerose tipologie di funzioni d arco. Analizziamo adesso nel dettaglio le più utilizzate, utilizzando la seguente notazione: tempo di attraversamento della tratta stradale in condizioni ideali (con flusso nullo), calcolato come rapporto tra lunghezza e massima velocità di transito sulla tratta; volume di traffico (veicoli/h) rilevato; 10

20 capacità nominale (veicoli/h) dell arco, generalmente stimata in funzione delle sue caratteristiche fisiche (lunghezza, numero di corsie, etc.); grado di saturazione del segmento, ricavato dal rapporto. 1. Funzione BPR Questa funzione prende il nome dal Bureau of Public Roads (BPR) statunitense, ente che la ha sviluppata. L equazione per la definizione dei tempi di attraversamento è la seguente: = 1 + (1.1) Le quantità e rappresentano dei parametri caratteristici dell arco stradale. Nella tabella seguente sono riportati alcuni valori abituali di tali parametri: Coefficienti Freeway Multilane 70 mph 60 mph 50 mph 70 mph 60 mph 50 mph α 0,88 0,83 0,56 1 0,83 0,71 β 9,8 5,5 3,6 5,4 2,7 2,1 Le funzioni BPR risultano particolarmente indicate per la modellizzazione delle tratte autostradali poiché, in caso di forte congestione della tratta ( 1 ), non riescono a stimare in maniera soddisfacente i tempi di percorrenza. 11

21 2. Funzione di Davidson La funzione è stata proposta nel 1966 da Davidson come una formula universale per il calcolo dei tempi di percorrenza: = 1 + (1.2) dove indica un parametro di ritardo caratteristico del modello. Sembra che Davidson abbia derivato questa funzione della teoria delle code, anche se ad oggi non è mai stata presentata una vera e propria dimostrazione. 3. Funzione di Davidson modificata Dall equazione proposta da Davidson è stata successivamente ricavata una sua formulazione dipendente dal tempo, conosciuta come funzione di Davidson modificata, che permette di calcolare il valore del tempo, tempo medio di percorrenza per unità di distanza di un arco stradale: = + 0, (1.3) dove indica il tempo di attraversamento medio per unità di distanza a flusso nullo e il periodo di flusso, cioè il tempo mediamente impiegato per percorrere la tratta. I tempi che devono essere espressi nella stessa unità di misura, ad esempio secondi per Kilometro (sec/km). 4. Funzione di Akçelik Tale funzione è stata proposta da Akçelik come evoluzione della funzione di Davidson modificata. Come entrambe le formulazioni della funzione di Davidson, anche questa famiglia riesce a rappresentare correttamente sia situazioni di scarso traffico sia condizioni di saturazione delle arterie stradali. 12

22 L equazione è la seguente: = + 0, (1.4) dove tutti i parametri sono gli stessi visti in precedenza, eccezion fatta per il coefficiente di ritardo. FIG. 1.3 Andamento delle curve di deflusso. PREDIZIONE DEI TEMPI DI PERCORRENZA Così come la misura degli attuali tempi di percorrenza, anche un accurata predizione dei futuri tempi di attraversamento gioca un ruolo chiave all interno dei sistemi ITS e ATIS. E facile capire come questa operazione sia tutt altro che banale, a causa soprattutto della forte sensibilità del flusso veicolare ad un elevato numero di fattori. Per la fase predittiva è possibile avvalersi di due differenti approcci: i modelli analitici ed i modelli statistici. Dati empirici ottenuti nel corso degli anni hanno mostrato che l impiego di algoritmi statistici, capaci di imparare autonomamente le complesse dinamiche sottostanti ai dati, permette il raggiungimento di un accuratezza di predizione maggiore rispetto all utilizzo di tecniche analitiche, basate su leggi matematiche predeterminate. 13

23 Modelli analitici Le tecniche di stima analitiche si avvalgono di soluzioni basate sulla simulazione delle condizioni del traffico: per mezzo di software dedicati (come MITSIM, TRANSIMS, TransModeler e NETCELL) viene simulato il comportamento del traffico veicolare; dopo di che i tempi di percorrenza delle singole tratte stradali vengono estrapolati dai risultati ottenuti dalla simulazione. L eventuale integrazione di dati real-time avviene per mezzo di particolari tecniche di correzione dinamica della simulazione. Questi modelli sono però afflitti da problemi di diverso genere, in primis la necessità di una grande quantità di dati statistici per il raggiungimento di un livello di precisione accettabile, in aggiunta alla mancanza di modelli simulativi realistici e alle ingenti richieste di risorse computazionali. E possibile ripartire i modelli di simulazione in base al livello di dettaglio con cui essi rappresentano i sistemi di traffico: in una simulazione microscopica viene presa in considerazione ogni singola entità del sistema (ad esempio, i veicoli ed guidatori), descrivendo con un alto livello di dettaglio sia il suo comportamento nello spazio e nel tempo sia le sue interazioni con l'infrastruttura e con gli altri viaggiatori (svolte, cambi di corsia, etc.); un modello mesoscopico non tiene direttamente traccia del comportamento dei singoli veicoli, ma specifica il loro comportamento in termini probabilistici. Il traffico è rappresentato andando a suddividere in piccoli gruppi le entità del sistema; le attività e le interazioni di ogni insieme sono descritte con un elevato grado di precisione; i modelli macroscopici di flusso rappresentano il traffico ad un alto livello di aggregazione (e perciò con un basso livello di dettaglio), come si trattasse di un flusso che percorre l infrastruttura stradale. Il flusso di traffico è descritto per mezzo di caratteristiche come la densità dei veicoli, la velocità del flusso, etc., senza considerare in alcun modo le sue componenti costituenti. 14

24 FIG. 1.4 Modelli per la simulazione del flusso veicolare. 15

25 Come è facile intuire, la micro-simulazione permette di predire e ottimizzare il flusso dei veicoli con molta più precisione, a discapito però di un forte aumento della complessità computazionale. Perciò solo negli ultimi anni, grazie all accresciuta potenza di calcolo dei processori e alle possibilità offerte dalla parallelizzazione del codice, si è amplificato l interesse e l impiego di modelli microscopici. In FIG. 1.4 sono riportati i principali modelli simulativi suddivisi secondo le categorie appena descritte. Modello a 4 fasi Il modello a quattro fasi" è un procedimento che consente la realizzazione di un modello matematico per la previsione dello stato della rete dei trasporti. Questo modello è stato implementato per la prima su di un computer negli anni '50 nell'ambito dei progetti Detroit Area Transportation Study e Chicago Area Transportation Study" (CATS). Questo modello permette di effettuare l'analisi di utilizzazione del territorio nel suo complesso, in funzione di fattori come crescita demografica, costruzione di nuove infrastrutture, etc., sfruttando statistiche raccolte mediante censimenti a campione. Sulla base di tali dati, si procede in primis alla zonizzazione del territorio. Ad ogni zona è associato un punto, detto nodo centroide, in cui si ipotizza siano concentrati tutti i punti di origine degli spostamenti che partono da quella particolare zona e tutti i punti di destinazione di tutti gli spostamenti che arrivano in quella zona; l approssimazione sarà tanto migliore quanto maggiore sarà il numero delle zone. L estensione di ciascuna area varia a seconda dalla granularità dei dati e dagli obiettivi dello studio. Il procedimento vero e proprio, come si evince dal nome, si compone di quattro fasi: 1. Generazione dei viaggi per ognuna delle aree in cui è stato suddiviso il territorio, è stabilito il numero di viaggi che hanno come origine o come destinazione quella particolare zona; 16

26 2. Distribuzione dei viaggi utilizzando modelli matematici come il modello di Fratar o il modello gravitazionale, i nodi di partenza sono collegati a quelli di arrivo allo scopo di sviluppare una matrice Origine-Destinazione (OD), contenente la domanda dei viaggi di una zona in una determinata fascia oraria; 3. Scelta della modalità per ogni coppia origine-destinazione viene calcolata la percentuale di viaggi che utilizzano una particolare la modalità di trasporto (auto, moto, trasporto pubblico, etc.); FIG. 1.5 Esempio di zonizzazione e numerazione dei nodi centroidi. 4. Assegnazione dei percorsi ad ogni viaggio presente nella matrice OD viene associato, al variare della modalità di trasporto, un particolare cammino lungo la rete. Durante questa fase viene massimizzata l'utilità complessiva seguendo il principio dell'equilibrio di Wardrop (equivalente al principio dell equilibrio di Nash), secondo cui ogni individuo sceglie la strada migliore sapendo però che ogni altro viaggiatore farà lo stesso. 17

27 FIG. 1.6 Schema di funzionamento del modello a 4 fasi. L'output dell'intero processo consiste delle matrici di assegnazione del traffico (una per ognuna delle modalità di viaggio considerate) e della matrice OD. I punti della matrice OD corrispondono ai vertici del grafo dei trasporti assegnati durante le fasi 2 e 3 del modello. Le matrici di assegnazione, invece, indicano, per ogni modalità di trasposto, il numero di veicoli che percorrono ciascun arco del grafo. Una volta costruito, il modello è utilizzato per realizzare simulazioni in grado di predire quali saranno le conseguenze di modifiche strutturali e/o demografiche nel territorio: in pratica si procede andando a perturbare le condizioni iniziali del modello, generando così una nuova matrice OD e nuove matrici di assegnazione. Questo tipo di simulazioni sono generalmente impiegate nella pianificazione della crescita urbanistica delle città e nella progettazione di importanti infrastrutture come autostrade e ferrovie. Il normale procedimento di assegnazione si basa esclusivamente su dati statistici (censimenti, distribuzione di attività commerciali, presenza/assenza di infrastrutture, etc.). E però possibile, al fine di migliorare l'accuratezza delle predizioni, integrare dati sensoriali real-time e/o storici. Tale procedimento viene chiamato ricalibrazione o Dynamic Assignment: una volta calcolate le matrici di assegnazione, l'errore di previsione viene valutato rispetto ai dati sensoriali disponibili e, nel caso in cui questo risulti essere maggiore di una certa soglia, vengono calcolate delle nuove matrici di assegnazione andando a minimizzare l errore predittivo. Il procedimento è iterato fino al raggiungimento di un determinato valore di soglia da parte dell errore. Dynamic Assignment viene 18

28 generalmente affrontato come un problema di ottimizzazione vincolata: ad ogni iterazione, al problema di assegnamento vengono aggiunti dei nuovi vincoli relativi agli archi per cui si hanno a disposizione i dati sensoriali aggiornati. E facile comprendere come la complessità di tale problema sia fortemente dipendente dalla quantità di dati sensoriali. La principale limitazione di modello a 4 fasi riguarda il così detto bi-level problem : nell'assegnamento dei percorsi, i tempi di percorrenza sono funzione della domanda e, allo stesso tempo, la domanda è funzione dei tempi di percorrenza. Perciò risulta necessario eseguire un algoritmo iterativo fino alla convergenza tra domanda e tempi di percorrenza. Ciò implica un alto consumo di memoria ed elevati tempi di esecuzione. Modelli statistici I modelli statistici basano il loro funzionamento su approcci di tipo data-driven, come modelli statistici e sistemi ad apprendimento automatico, che generalmente necessitano di serie storiche di dati sul traffico. Una serie storica consiste sostanzialmente in una collezione di osservazioni eseguite in maniera sequenziale nel tempo. L analisi delle serie storiche cerca di scoprire e comprendere il meccanismo nascosto che ha generato i dati osservati, con il fine di ipotizzare i futuri valori della serie. Facendo riferimento alla FIG. 1.4, sia l istante attuale. FIG. 1.7 Predizione dei tempi di percorrenza con dati storici. 19

29 Conoscendo i tempi di percorrenza precedenti 1, 2,, riferiti rispettivamente agli istanti 1, 2,,, è possibile predire i tempi di percorrenza futuri + 1, + 2, analizzando la serie storica. Tutte le tecniche statistiche fondano il proprio funzionamento sul fatto che il comportamento del traffico è in parte deterministico ed in parte casuale. Le predizioni sui tempi di attraversamento possono quindi essere ottenute ricostruendo la porzione deterministica e cercando di stimare il comportamento randomico causato da fattori inattesi. In gran numero di applicazioni reali sono impiegati modelli lineari per la stima dei tempi di percorrenza. Nel corso degli anni sono stati sviluppati diversi modelli (parametrici e non) più complessi, ma il loro utilizzo non ha prodotto miglioramenti degni di nota. Questi approcci includono i modelli ARIMA(X), regressori lineari e non di serie temporali, approcci basati su filtri di Kalman, modelli che utilizzano le Support Vector Machine, reti neurali feed-forward e reti neurali ricorsive, oltre a vari approcci ibridi che utilizzano, ad esempio, reti neuro-fuzzy oppure combinazioni di differenti tipologie di reti neurali artificiali. Queste tecniche sono largamente impiegate poiché non necessitano di una conoscenza approfondita dei sistemi di modellizzazione del traffico, sono veloci nei calcoli e facili da implementare, e le reti neurali in particolare hanno dimostrato, come in molti altri campi applicativi, di poter raggiungere prestazioni degne di nota. 20

30 APPLICAZIONI REALI In questa sezione sono riportati alcuni esempi di sistemi per il controllo e l ottimizzazione del traffico veicolare già implementati e funzionanti. NorthRhine - Westphalia Il ministero per i trasporti, l'energia e per la pianificazione dell'ambiente della regione tedesca del Reno del Nord e Westfalia, in collaborazione con l'università di Duisburg - Essen, ha realizzato un sistema per la previsione delle condizioni del traffico autostradale per l'intera regione, che copre una lunghezza complessiva di km. E stato costruito un modello del traffico ricalibrato utilizzando dati sensoriali provenienti da oltre 2500 sensori disseminati lungo la rete autostradale. I dati utilizzati sono aggiornati ogni minuto e contengono informazioni relative al flusso e la velocità dei veicoli. Utilizzando la conoscenza a disposizione, è possibile predire il flusso anche per le aree non coperte da sensori. Un importante limite del sistema è la sua incapacità di utilizzare fonti di dati non omogenei. Al momento, infatti, esso considera solamente le informazioni sul flusso e la geometria delle infrastrutture ignorando altri tipi di informazioni quali bollettini sulla viabilità o sui lavori stradali. Stoccolma La municipalità di Stoccolma ha finanziato progetti per ottimizzare la circolazione del traffico pubblico e privato. In particolare nell'anno 2000 è stata utilizzata una versione ottimizzata del software MITSIMLab per realizzare una micro-simulazione dell'area stradale nei pressi dell'aeroporto locale. Tale simulazione è stata effettuata allo scopo di ottimizzare il tragitto degli autobus per il trasporto pubblico. Successivi studi hanno interessato l'intera area metropolitana (meso-simulazione con DynaMIT) costituita da 228 aree per un totale di 1191 vertici collegati da 2100 archi. Atene A partire dal 1996, la città si è dotata di una mappa con le condizioni dinamiche del traffico e di un sistema ATIS. Ulteriori investimenti tra il 2002 e il 2004 hanno migliorato il sistema con l'aggiunta di telecamere ad alta definizione 21

31 montate in locazioni fisse e su mezzi aerei (elicotteri e dirigibili) e l'integrazione di dati (floating GPS) provenienti da mezzi pubblici. I dati sono aggregati ed elaborati con speciali algoritmi sviluppati da Gedas e dal Fraunhofer Institute. Italia OCTOTelematics in collaborazione con Società Autostrade per l'italia e A.N.A.S. ha realizzato un sistema per la previsione dei tempi di percorrenza sulla rete autostradale italiana, utilizzando tracce GPS (Floating Car Data, FCD) provenienti da oltre sensori installati (con una crescita stimata di unità al mese) su auto private di utenti di assicurazioni convenzionate (Unipol, Generali, Axa, Uniqa, Sara Assicurazioni, Lloyd Adriatico, Reale Mutua, Linear, Norwich Union Insurance, Mapfre, Uniqa). I sensori a bordo registrano la traccia GPS (posizione, direzione, velocità, qualità) e la inviano periodicamente ai server centrali (ogni 100 km o 12 minuti). Le tracce sono poi analizzate ed assegnate ai tratti stradali corrispondenti per ricavare una stima delle velocità medie sulla tratta. Il sistema utilizza tecniche di stima non parametrica, in particolare pattern matching e reti neurali, per stimare i tempi di percorrenza in una finestra di 15 min nel futuro. La previsione viene ricalcolata ogni 3 minuti. 22

32 CAPITOLO 2 LE GRAPH NEURAL NETWORKS INTRODUZIONE In molteplici ambiti applicativi delle scienze e dell ingegneria (ad esempio nella chimica e nella biologia molecolare, nei problemi di riconoscimento ed analisi delle immagini, nel data-mining, nell elaborazione del linguaggio naturale, etc.) i dati, a causa delle relazioni esistenti tra di essi, si prestano in maniera naturale ad essere rappresentati attraverso dei grafi. Le tipologie di grafi più comunemente impiegate sono le sequenze, gli alberi, i grafi ciclici ed i grafi aciclici. Tradizionalmente i dati, prima di poter essere manipolati, devono essere preelaborati, andando a convertire le informazioni contenute nella struttura grafica in una rappresentazione più semplice (come, ad esempio, in vettori di numeri reali). Tuttavia l impiego di questo approccio determina la perdita di una notevole quantità d informazione, potenzialmente discriminante per il risultato finale. Negli ultimi anni il problema è stato affrontato in maniera differente, cercando di preservare il più possibile la natura grafica dei dati: la porzione sottosimbolica dell informazione, memorizzata nella topologia del grafo, viene direttamente elaborata assieme alle informazioni simboliche custodite nei nodi del grafo. 23

33 Basandosi su questa tecnica, due modelli hanno riscosso particolare successo: le Reti Neurali Ricorsive e le Catene di Markov. Le Reti Neurali Ricorsive sono dei modelli di reti neurali in grado di elaborare grafi aciclici diretti (DAG Directed Acyclic Graph). Per ogni nodo del grafo viene calcolato, con l'aiuto di una rete feed-forward, lo stato corrispondente in funzione sia dell etichetta associata al nodo stesso, sia degli stati dei nodi figli. Una volta raggiunta la radice del grafo, lo stato associato viene elaborato per mezzo di una speciale rete neurale che restituisce in uscita una rappresentazione vettoriale del contenuto informativo, simbolico e topologico, del grafo. Le Reti Ricorsive sono state impiegate nella risoluzione di svariati problemi come la classificazione di composti chimici, il ranking delle pagine web ed il riconoscimento di volti. Una Catena di Markov rappresenta un modello matematico in grado di descrivere il comportamento di un sistema non deterministico (per il quale cioè l evoluzione temporale non è determinabile in maniera univoca a partire dalle condizioni iniziali) a stati discreti. L'evoluzione del sistema nel tempo consiste in una sequenza di transizioni di stato. Questi modelli possono essere utilizzati per emulare processi in cui le connessioni casuali fra gli eventi sono rappresentate da grafi. Durante la realizzazione di un algoritmo di ranking per le pagine web, recentemente alcuni studiosi si sono avvalsi della teoria dei cammini casuali, associata ad una particolare tipologia di catena di Markov, ottenendo risultati soddisfacenti. 24

34 IL MODELLO DELLE GRAPH NEURAL NETWORKS Le Graph Neural Networks (GNN) sono una nuova tipologia di rete neurale rivolta all elaborazione di dati rappresentabili mediante grafi. Il modello agisce essenzialmente andando a modificare e ad adattare per mezzo di un algoritmo di apprendimento supervisionato i differenti parametri della rete, con lo scopo di approssimare nel miglior modo possibile una funzione, R che mappa un grafo ed uno dei suoi nodi in uno spazio euclideo - dimensionale. Le GNN rappresentano un estensione sia delle reti neurali ricorsive sia dei modelli basati sulle catene di Markov: il modello accresce le capacità delle reti ricorsive in quanto è capace di processare una classe di grafi più estesa, comprendente i grafi ciclici, i grafi aciclici, i grafi diretti e quelli indiretti; per quanto concerne la teoria dei cammini casuali l estensione consiste invece nell introduzione di un algoritmo di apprendimento supervisionato e nell ampliamento della classe di processi che è possibile modellare. Le GNN sono imperniate sul processo di diffusione dell informazione. Un grafo viene elaborato da un insieme di unità, ognuna delle quali relativa ad uno specifico nodo, collegate tra loro in accordo alla topologia del grafo stesso. Le unità aggiornano i loro stati scambiandosi informazioni, fino al raggiungimento dell equilibrio. Al fine di garantire l esistenza e l unicità di un punto di equilibrio, il meccanismo di diffusione è vincolato. Questo tipo di meccanismo è utilizzato anche nelle Cellular Neural Networks e nelle Hopfield Neural Networks. Il modello delle GNN Intuitivamente è facile capire come, in un insieme di dati rappresentato sotto forma di un grafo, i nodi delineino i concetti mentre gli archi determinino i legami esistenti tra questi. Alla definizione di un generico concetto contribuiscono sia le sue caratteristiche intrinseche (informazione simbolica) che i concetti correlati ad esso dalla topologia del grafo (informazione sotto-simbolica). In una GNN l obbiettivo primario è quello di amalgamare in una qualche maniera tali porzioni d informazione. 25

35 FIG. 2.1 Un grafo in cui è evidenziato il vicinato di un nodo. Per ciascun nodo del grafo è perciò necessario andare a calcolare un vettore di stato R per mezzo di una funzione parametrica, chiamata funzione di transizione locale, che esprime la dipendenza di un nodo dai suoi vicini: =,,, (2.1) dove, [ ], [ ], [ ] indicano rispettivamente l etichetta associata al nodo, le etichette degli archi che hanno come vertice, gli stati e le etichette del vicinato di. La quantità così definita, in pratica, non costituisce altro che una differente rappresentazione del concetto associato ad un particolare nodo. Lo stato può essere utilizzato per generare un output locale R, interpretabile come una decisione su quello specifico concetto. Sia una funzione parametrica, detta funzione di uscita locale; allora l output viene calcolato nella maniera seguente: =, (2.2) Si noti che, in generale, sarebbe opportuno utilizzare implementazioni differenti a seconda delle varie tipologie di oggetti, modificando la funzione di transizione, 26

36 la funzione di uscita locale ed i loro parametri al variare del nodo. In tal caso, per ogni categoria di nodi si avrà una specifica funzione di transizione, una specifica funzione di uscita ed uno specifico insieme di parametri. Comunque, per semplicità, nel seguito verrà analizzato solamente il caso particolare in cui tutti i nodi condividono la stessa funzione di uscita e la stessa funzione di transizione. In definitiva le equazioni (2.1) e (2.2) individuano un procedimento per il calcolo dell output = (, ) per ognuno dei nodi di, che prende in considerazione sia le caratteristiche dei nodi del grafo che i nessi esistenti tra loro. Per l implementazione del modello di una GNN, è necessario chiarire alcuni punti: lo stato deve essere definito in maniera univoca, garantendo l unicità della soluzione dell equazione (1); deve essere individuato un algoritmo di addestramento che, mediante l elaborazione di una serie di esempi, minimizzi l errore della rete; deve essere specificata un implementazione per le funzioni e. A. Definizione univoca dello stato Poiché il calcolo dello stato deve essere effettuato per ognuno dei nodi del grafo, risulta conveniente riscrivere in forma matriciale l equazione (1): =,,,,,,,,, (2.3) Siano, e i vettori costruiti aggregando rispettivamente tutti gli stati, tutte le uscite e tutte le etichette. L equazione (2.3) descritta sopra può adesso essere riscritta in forma compatta come: =, (2.4) 27

37 dove la funzione di transizione globale indica la funzione ottenuta applicando ad ogni nodo. Ricorrendo al teorema di punto fisso di Banach (conosciuto anche come teorema delle contrazioni) è possibile garantire l esistenza e l unicità della soluzione dell equazione (2.4), a patto che la funzione rappresenti una mappa di contrazione: in altre parole deve esistere un, con 0 1, tale che la relazione,, (2.5) sia verificata per ogni e con a denotare una norma vettoriale. Indicando con la -esima iterazione del vettore degli stati ed imponendo che sia effettivamente una contrazione, è possibile affermare con certezza che il sistema dinamico + 1 = (, ) (2.6) converge con velocità esponenziale ad, soluzione dell equazione (2.4), per qualsiasi stato iniziale 0. Perciò lo stato di un generico nodo viene calcolato per via iterativa attraverso l equazione ( + 1) = (,, ( ), ) (2.7) fino al raggiungimento di una soluzione stabile. 28

38 B. Addestramento della rete Nelle GNN, come generalmente avviene negli altri modelli di rete neurale, l obiettivo del processo di addestramento è quello di correggere un insieme di parametri, inizializzato in maniera casuale, con la finalità di rendere i risultati prodotti in uscita dalla funzione il quanto più simili ai target contenuti in un insieme di addestramento L =,,,, (2.8) dove =, indica l i-esimo grafo del training set,, il j-esimo nodo dell insieme,, R il target associato al nodo, ; inoltre 1 con = e 1 con =. In pratica, il problema dell apprendimento può essere affrontato andando a minimizzare l errore quadratico =,,, (2.9) applicando la tecnica di discesa del gradiente. L algoritmo di learning si compone di più passi: 1) Gli stati sono modificati in maniera iterativa come indicato dall equazione (2.7) fino al raggiungimento, al tempo, della soluzione di equilibrio fornita dall equazione (2.4) ; 2) Viene calcolato il gradiente ; 3) Il vettore dei pesi viene aggiornato in accordo a quanto calcolato al punto precedente. Per quanto concerne il punto 1), il fatto che per ipotesi sia una contrazione assicura la convergenza del vettore degli stati ad una soluzione fissa. Il punto 2) viene risolto in maniera molto efficiente sfruttando il processo di diffusione tipico delle GNN, strettamente connesso a quello che ha luogo nelle reti neurali ricorsive. In questa classe di reti, il gradiente è calcolato con l'aiuto 29

39 dell algoritmo di Back-Propagation Through Time. Nelle GNN è possibile un approccio ancora più efficiente in termini di richiesta di memoria: poiché lo schema di apprendimento prevede il raggiungimento da parte della funzione di transizione di una soluzione stazionaria prima che si determini il gradiente, è ragionevole assumere che lo stato sia costante per ogni 0, con 0 istante iniziale dell algoritmo di back-propagation through time. Di seguito è riportato, in pseudo codice, l algoritmo di addestramento: Algoritmo di Back-Propagation e di Back-Propagation Through Time Per l addestramento supervisionato delle reti feed-forward multistrato, Back- Propagation (BP) è forse l algoritmo più comunemente utilizzato. In sostanza, BP và a modificare i pesi sulle sinapsi (i collegamenti esistenti tra i vari neuroni) con lo scopo di minimizzare la differenza tra i risultati prodotti dalla rete ed i target (le uscite desiderate) associati agli esempi di addestramento. Siano quindi: il vettore dei pesi sulle sinapsi; L =,, = 1, 2,, l insieme di addestramento, in cui indica un generico esempio e il relativo target (uscita desiderata); 30

40 , il vettore prodotto in uscita dalla rete neurale quando le viene presentato in ingresso l esempio. L errore totale della rete dipende direttamente dagli attuali valori dei pesi e può essere determinato attraverso la seguente formula: = 1 2, = (, ) (2.10) in cui (, ) indica l errore relativo all elaborazione dell esempio di addestramento. Applicando iterativamente il metodo di discesa del gradiente, la suddetta funzione di errore viene minimizzata. Poiché i pesi sono aggiornati secondo la formula, =, (, ), (2.11) dove indica il tasso di apprendimento di BP, per ognuno degli esempi L è necessario calcolare le derivate parziali della funzione di errore (nel seguito identificata per brevità come ( )), rispetto a ciascun elemento di. Si consideri la generica coppia di neuroni e riportata in FIG. 2.2, nella quale, indica il peso associato alla sinapsi presente tra i neuroni e ; e denotano le attivazioni dei neuroni; mentre = e = identificano le uscite prodotte da ciascun nodo. FIG. 2.2 Dettaglio di due neuroni e delle rispettive sinapsi. 31

41 E facile vedere come, per il calcolo di ( ),, ( ) dipenda da, solo attraverso l attivazione. Ciò permette di scrivere: ( ), = ( ), (2.12) Ricordando che =, ( rappresenta una generica unità che costituisce per il neurone un ingresso), si ha:, =, = (2.13), Infine, ponendo ( ) nella forma: =, si può riscrivere la regola di aggiornamento dei pesi, =, (2.14) Il problema riguarda adesso come calcolare la quantità per ciascun neurone. E possibile distinguere tra due casi: Caso 1. Il neurone è un neurone di uscita Quando l unità appartiene allo strato di uscita, può essere calcolato come segue: = ( ) = ( ) = (2.15) dove denota l uscita del neurone, la -esima componente del vettore di target e la derivata prima della funzione di attivazioni di. 32

42 Caso 2. Il neurone è un neurone nascosto Se invece rappresenta una qualsiasi unità di uno strato interno alla rete, tenendo conto che ( ) dipende da solo attraverso le attivazioni dei neuroni per i quali costituisce un ingresso, si ha: = = = [ ] =, = [ ],, = (2.16) dove la sommatoria su è estesa a tutti i neuroni il cui ingresso è collegato all uscita dell unità, mentre la sommatoria su è estesa ai neuroni la cui uscita è connessa all ingresso del neurone. L algoritmo di BP può dunque essere schematizzato nel seguente modo: i pesi della rete sono inizializzati con dei valori casuali; fase di propagazione in avanti (feed-forward) per ogni esempio del training set viene calcolata la funzione di errore (, ) che misura la distanza tra l uscita fornita dalla rete, e l uscita desiderata ; fase di propagazione all indietro (back-propagation) vengono aggiornati i pesi, a partire dallo strato di uscita, secondo la regola (2.14) con = per i neuroni dello strato di uscita = [ ], per i neuroni degli strati nascosti 33

43 L algoritmo di Back-Propagation Through Time (BPTT) rappresenta una variante dell algoritmo di BP descritto in precedenza utilizzata nell addestramento sia delle reti neurali ricorsive. Applicare BPTT equivale a considerare, al posto della rete ricorsiva, la sua rete equivalente ottenuta per unfolding. L operazione di unfolding genera una rete in cui compaiono più copie della rete ricorsiva, ognuna corrispondente ad istanti diversi della computazione. In questo modo la rete di unfolding simula la rete ricorrente con la sola differenza che, mentre nella rete originale lo stato appare retro propagato ai neuroni di ingresso, nell unfolding lo stato ad un certo istante viene dato in ingresso alla rete dell istante successivo. FIG. 2.3 Unfolding di una rete ricorsiva. Poiché la rete di unfolding non contiene alcun ciclo al suo interno, è possibile applicare su di essa l algoritmo di BP. Chiaramente, non volendo effettuare il training sulla rete splittata" (unfolded), si dove tener conto che, durante la fase di aggiornamento, lo stesso peso viene modificato più volte; è perciò necessario sommare la stessa quantità a ciascuna copia dello stesso peso, (vincolo sull uguaglianza dei pesi corrispondenti). 34

44 C. Implementazione delle funzioni e Le funzioni e possono essere realizzate con l'aiuto di una rete neurale feed-forward multistrato. L equazione (2.7) può infatti essere interpretata come la rappresentazione di una rete costituita da unità dedicate al calcolo di tale funzione. Questa struttura prende il nome di rete di codifica, seguendo una terminologia analoga a quella utilizzata per le reti neurali ricorsive. Questa struttura è realizzata andando a rimpiazzare ogni nodo del grafo con una rete multistrato capace di approssimare la funzione. Ciascuna unità mantiene al suo interno lo stato attuale ( ) associato al nodo corrispondente e, una volta attivata, determina il nuovo valore dello stato ( + 1). L attivazione simultanea e ripetuta delle suddette unità dà luogo al comportamento descritto dall equazione (2.7). L output del nodo è calcolato utilizzando un ulteriore unità che implementa la funzione. FIG. 2.4 Un grafo (in alto) e la corrispondente rete di codifica (in basso). 35

45 Mentre l implementazione della funzione di uscita locale non necessita di particolari attenzioni, l implementazione della funzione di transizione rappresenta uno dei punti più delicati nella progettazione di una GNN, in quanto, come visto in precedenza, determina l esistenza e l unicità della soluzione dell equazione (2.1). La funzione di transizione deve essere infatti progettata in modo tale che la funzione di transizione globale sia una mappa di contrazione rispetto al vettore di stato. Questa proprietà può essere garantita aggiungendo un termine di penalizzazione alla funzione di errore: =,,, + (2.17) dove la funzione, detta loss-function, misura l entità dell errore sul vincolo di contrazione. In particolare si può scegliere = se >, 0 altrimenti, con 0, 1 costante di contrazione di. 36

46 CAPITOLO 3 IL SOFTWARE AXE INTRODUZIONE Il programma AxE (Assegnazione per Esperti) è uno strumento software progettato per facilitare il compito di analisi e di progettazione delle reti di trasporto. L applicativo, il cui sviluppo ha inizio nel 1995 dallo sforzo congiunto del Prof. G. Salerno, docente presso il Dipartimento di Ingegneria Civile ed Ambientale dell Università di Firenze, e dei suoi collaboratori. è stato interamente scritto in linguaggio APLX ed è distribuito in maniera gratuita. Il programma permette di risolvere il problema dell assegnazione del flusso, determinando in maniera non casuale come si ripartisce il traffico veicolare all interno di un infrastruttura stradale. Tale problema costituisce essenzialmente un problema di ottimizzazione del tipo domanda-offerta: l equilibrio è raggiunto solo quando le richieste di trasporto (la domanda) coincide con le possibilità offerte dall infrastruttura viarie (l offerta). Poiché il tempo di viaggio totale di ogni singolo utente dipende dal flusso sui vari archi, quantità direttamente influenzate dal comportamento degli altri viaggiatori, l intero problema è di natura dinamica e sistemica. Una rete di trasporti può essere facilmente modellata attraverso un grafo connesso ed orientato, in cui gli archi corrispondono a segmenti dalle caratteristiche omogenee e senza biforcazioni, mentre i nodi rappresentano 37

47 biforcazioni o variazioni delle caratteristiche fisiche del segmento stradale. Ad ognuno degli archi è associata una certa impedenza, generalmente il tempo di percorrenza, il cui valore è normalmente calcolato sia in funzione del numero di autoveicoli che attualmente occupano la tratta sia in base alle caratteristiche intrinseche (lunghezza, numero di corsie, etc.) dell arco stradale. La domanda di trasporto viene invece rappresentata per mezzo della così detta matrice OD (Origine-Destinazione) in cui l elemento (, ) indica la richiesta dal nodo al nodo. IL LINGUAGGIO APL E APLX Il linguaggio APL (acronimo di A Programming Language ) è un linguaggio di programmazione di alto livello realizzato dalla IBM nei primi anni 60 che costituisce una rappresentazione pratica della notazione matematica inventata da Kenneth E. Iverson, professore di Informatica presso l università di Harvard. FIG. 3.1 Layout di una tastiera utilizzata per la programmazione in APL. APL è un linguaggio ideato ed ottimizzato per la manipolazione dei vettori e matrici e possiede alcune caratteristiche poco diffuse che lo rendono un linguaggio di programmazione particolarmente produttivo ed interessante per gli sviluppatori: utilizza un insieme di caratteri dedicati non standard al posto della normale notazione; le parole chiave utilizzate negli altri linguaggi di programmazione sono sostituite da particolari simboli; 38

48 permette di elaborare direttamente vettori e matrici senza il bisogno di cicli espliciti; è essenziale e non dispersivo, in quanto obbliga il programmatore ad esprimere solo quanto logicamente rilevante per il raggiungimento della soluzione; permette di pensare la risoluzione dei problemi con un alto livello di astrazione. Esistono compilatori APL per la quasi totalità delle piattaforme. Per la precisione si dovrebbe parlare di interpreti e non di compilatori, in quanto i programmi scritti in APL, per poter essere compilati, sono generalmente tradotti in un linguaggio di livello più basso come il C. Nel corso degli anni sono state sviluppate diverse versioni di APL, ma l aggiornamento più importante è stato introdotto nel 1984 con il rilascio di APL2. APLX costituisce una implementazione evoluta di APL2. La versione 5 di APLX è stata rilasciata da poco. In quest ultima versione sono state introdotte importanti novità come il supporto alla programmazione orientata agli oggetti e la capacità di richiamare direttamente classi scritte in linguaggio come.net, Java e Ruby. Così come APL, APLX è utilizzato per lo sviluppo di applicazioni scientifiche, statistiche, finanziarie ed ingegneristiche. 39

49 ALGORITMI DI ASSEGNAZIONE AxE permette di utilizzare un cospicuo numero di algoritmi per la determinazione del traffico veicolare sulle singole tratte stradali. Nel seguito sono descritti nel dettaglio tutti gli algoritmi implementati. Assegnazione Tutto o Niente (TN) In questo algoritmo, per ognuna delle coppie (, ) presenti nella matrice OD, il flusso viene incanalato verso il percorso con il minimo tempo di percorrenza tra tutti quelli che congiungono il nodo al nodo. Durante tale procedura, si ipotizza che i tempi di attraversamento associati agli archi siano fissi e non dipendenti dal flusso. In altre parole questo algoritmo non tiene conto della dipendenza esistente tra tempi di percorrenza e flusso veicolare, ignorando completamente il problema dell equilibrio. Gli eventuali flussi inizialmente presenti sulla rete vengono utilizzati per il calcolo dei tempi, ma non vengono sommati all output. Assegnazione Tutto o Niente Dinamico (TND) Il traffico viene distribuito come nell algoritmo tutto o niente con l unica differenza che in questo caso la domanda è considerata variabile nel tempo. L intervallo di tempo analizzato è quindi suddiviso in periodi e, per ognuno di questi intervalli, viene individuato un valore che rappresenta il flusso medio in quel periodo. Il risultato dell assegnazione è costituito da una matrice in cui è indicato il flusso che percorre ciascun arco durante ognuno dei periodi. Assegnazione di Trasporto Collettivo a frequenza (IPER) Questo algoritmo è utilizzato nel caso si voglia risolvere il problema dell assegnazione di flusso nei sistemi di trasporto pubblico collettivo. L algoritmo è simile all assegnazione tutto o niente. Assegnazione per Aliquote (ALQ) L algoritmo prevede che la stima dei flussi sui vari archi avvenga attraverso un meccanismo iterativo: detto il numero di iterazioni da eseguire, ad ogni passo vengono aggiornati i tempi di attraversamento in funzione degli flussi stabiliti 40

50 durante gli step precedenti e, per ogni coppia, presente nella matrice OD, si assegna la -esima parte del relativo flusso secondo il criterio tutto o niente. Eventuali flussi iniziali sono utilizzati per il primo calcolo dei tempi di attraversamento degli archi e vengono sommati ai flussi determinati dall algoritmo. Di seguito è riportata una possibile applicazione dell algoritmo: FIG. 3.2 Esempio di assegnazione ottenuta mediante l algoritmo ALQ. E inoltre possibile, ad ogni iterazione, controllare se sono presenti tratte a cui è stata assegnato un flusso superiore alla capacità. In caso affermativo il flusso assegnato durante l ultima iterazione viene ridotto e l arco corrispondente è eliminato dal grafo in modo da non instradare su di esso ulteriore flusso. Assegnazione d equilibrio (FW) L algoritmo opera in maniera iterativa distribuendo i flussi veicolari in modo da cercare di eguagliare i tempi di attraversamento delle singole tratte viarie. L algoritmo termina quando viene raggiunto un determinato livello di precisione oppure dopo un certo numero di iterazioni. 41

51 Ecco come opera nel dettaglio l algoritmo: 0) Inizializzazione basandosi sui tempi = 0 per, si determina una prima assegnazione dei flussi per utilizzando l algoritmo tutto o niente. Si pone il contatore = 1; 1) Aggiornamento dei tempi di percorrenza si pone =, ; 2) Identificazione della direzione si esegue l assegnazione tutto o niente utilizzando i tempi di percorrenza calcolati durante il punto 1), ottenendo un flusso ausiliario per ; 3) Si identifica il valore del parametro risolvendo min (3.1) 4) Movimento per, si esegue = + (3.2) Test di convergenza se il livello di precisione desiderato è stato raggiunto l algoritmo si interrompe ed i flussi calcolati al passo 4) rappresentano la soluzione; in caso contrario viene incrementato il contatore = + 1 e si ritorna al punto 1). Come misura della precisione, è stata scelta la funzione (3.3) che, in pratica, indica lo scarto quadratico medio dei flussi rispetto alla soluzione precedente. 42

52 Di seguito è riportato una possibile applicazione dell algoritmo: FIG. 3.3 Esempio di assegnazione ottenuta mediante l algoritmo FW. Assegnazione probabilistica (DIAL) L algoritmo di Dial, conosciuto in letteratura anche come metodo di STOCH, rappresenta in sostanza un modello logit per la scelta del percorso. Però, invece di assegnare una probabilità di scelta a ciascun cammino esistente tra le coppie di nodi della matrice OD, STOCH opera assumendo che molti di questi percorsi rappresentino delle scelte di viaggio non ragionevoli, che nella realtà non sarebbero mai prese in considerazione. L algoritmo prevede quindi una fase preliminare durante la quale, per ogni coppia di nodi presente nella matrice OD, è identificato l insieme dei tragitti ragionevoli che connettono il nodo di origine al nodo di destinazione: un cammino tra una generica coppia di nodi estratta dalla matrice OD è considerato ammissibile solamente se allontana il viaggiatore dall origine e lo avvicina alla destinazione. Questa proprietà può facilmente essere verificata andando ad associare a ciascun nodo due etichette: ed. identifica il tempo di percorrenza minimo tra il nodo di origine ed il nodo, mentre denota il tempo di percorrenza minimo tra il 43

53 nodo ed il nodo. Un cammino è considerato ammissibile se e solo se include unicamente archi tali che < e >. Il flusso degli autoveicoli viene quindi instradato solo su questi percorsi, utilizzando una funzione logit con un parametro. Nel seguito sono riportate le varie fasi dell algoritmo per una generica coppia origine-destinazione,. Step 0 Fase preliminare a) Per ogni nodo si calcola il valore di ; b) Per ogni nodo si calcola il valore di ; c) Viene determinato l insieme formato dai nodi di arrivo di tutti gli archi uscenti da ; d) Viene determinato l insieme formato dai nodi di partenza di tutti gli archi entranti in ; e) Per ogni arco è determinata la sua verosimiglianza, ( ) dove = < > (3.4) 0 Nell espressione precedente denota il tempo di percorrenza dell arco che congiunge il nodo al nodo. Step 1 Passaggio in avanti I nodi sono elaborati per valori crescenti di, partendo dal nodo di origine. Quindi, fissato un nodo, per ognuno dei nodi è calcolato il cosiddetto peso d arco ( ) secondo la formula = (3.5) La fase termina quando viene raggiunto il nodo di arrivo. 44

54 Step 2 Passaggio all indietro I nodi sono elaborati per valori decrescenti di,, partendo dal nodo di destinazione.. Quindi, fissato un nodo,, per ognuno dei nodi è calcolato il flusso sull arco secondo la formula (3.6) La fase termina quando viene raggiunto il nodo di partenza. ESECUZIONE E DELL APPLICATIVO AxE è un applicativo di tipo batch, la cui esecuzione non richiede cioè l iterazione da parte dell utente. I dati da elaborare devono essere preparati in precedenza al di fuori del programma tramite un qualsiasi foglio di calcolo, come Excel di Microsoft e Calc della suite OpenOffice, Office, oppure utilizzando un semplice elaboratore di testi (in questo caso è sufficiente che i dati siano separati mediante tabulazione). Per comodità nel seguito si farà riferimento al solo utilizzo di un foglio di calcolo. FIG. 3.4 Esempio di dati per AxE. 45

55 I dati, per poter essere elaborati, devono contenere alcuni elementi essenziali, identificati da parole riservate scritte in maiuscolo e precedute dal segno >. AxE processa i dati in input in cerca di una qualsiasi stringa che inizi con > e, per ciascuna di esse, individua una zona del foglio che si estende dalla cella sottostante fino alla prima riga vuota in basso e alla prima colonna vuota a destra. Di seguito è riportata la lista delle parole riservate che devono necessariamente essere presenti nel foglio di calcolo: >ALGORITMO Indica quale algoritmo, tra quelli visti in precedenza, debba essere utilizzato per la risoluzione del problema dell assegnazione. >GRAFO Le prime due colonne contengono il nodo iniziale ed il nodo finale di ciascun arco. La terza colonna contiene la sigla della funzione d arco da utilizzare (AxE implementa la funzione BPR, la funzione di Davidson ed una curva di deflusso polinomiale) nel computo del tempo di percorrenza, mentre le restanti colonne servono per gli eventuali parametri delle curve di deflusso. Nella rappresentazione del grafo è necessario rispettare alcuni vincoli: gli archi del grafo devono essere ordinati per valori crescenti del nodo di partenza; ogni nodo deve avere almeno un arco entrante ed uno uscente; non possono esistere archi ripetuti che uniscono gli stessi nodi; ad ogni arco deve essere associato un tempo di attraversamento non nullo, salvo casi particolari. >F Individua i flussi sulla rete. E previsto l utilizzo di due colonne: la prima dove sono riportati i flussi iniziali, mentre nella seconda sono indicati, alla fine dell elaborazione, i flussi assegnati dal programma. 46

56 >OD Rappresenta la matrice OD in cui è riportata la domanda di trasporto. E possibile utilizzare sia la normale notazione matriciale, in cui il flusso che tra un nodo iniziale ed un nodo finale è riportato in posizione,,, sia la notazione più compatta in forma di lista (>ODL), dove nella prima colonna è indicato il nodo di partenza,, nella seconda il nodo di arrivo e nella terza ed ultima colonna è riportato il relativo flusso veicolare. FIG. 3.4 Screenshot di AxE. I dati, per poter essere elaborati, devono essere prima copiati negli bacheca degli appunti. Lanciato il programma, a video appare una finestra che informa sulle varie fasi dell elaborazione. Il risultato è quindi copiato nella clipboard degli appunti, da cui possono essere incollati ovunque lo si ritenga utile. 47

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58 CAPITOLO 4 GENERAZIONE DEL TRAINING SET IL PROGETTO SIMob Il progetto SIMob (Sistema Integrato per l infomobilità) è un programma triennale finanziato dalla Regione Toscana il cui scopo generale è quello di promuovere la nascita sul territorio regionale d attività di ricerca e sviluppo nel settore dell infomobilità. Nel programma SIMob sono coinvolti numerosi partner istituzionali e privati, che collaborano nei molteplici settori di studio previsti. In particolare, all interno del progetto è stata decisa la realizzazione di un sistema software capace, a fronte di una richiesta di un utente, di identificare un percorso ottimo (limitatamente ad un preciso intervallo temporale) tra due generici punti all interno della Regione. Il Dipartimento di Ingegneria dell Informazione dell Università di Siena è coinvolto, assieme ad altri soggetti, nell implementazione di tale applicativo. Ad oggi, la fase di sviluppo non è ancora stata ultimata, ma sono già stati definiti i dettagli più rilevanti. Il processo d individuazione del percorso ottimo non potrà essere basato solo sulla valutazione di parametri statici come lunghezza e velocità massima consentita sugli archi stradali, ma dovrà dipendere in una qualche maniera anche dal traffico veicolare previsto in una determinata fascia oraria, dall eventuale presenza di interruzioni della circolazione, etc. 49

59 In realtà, l applicativo si comporrà di due moduli distinti: un modulo si occuperà del vero e proprio calcolo del percorso ottimo, mentre un secondo modulo sarà impiegato per la stima dei futuri tempi di percorrenza di ciascuna tratta. Il predittore rappresenta, come è facilmente intuibile, un componente chiave dell intero sistema, poiché la correttezza dei risultati da esso forniti influisce in maniera diretta sulle prestazioni del tool per il calcolo del tragitto ottimo. La stima dei vari tempi di attraversamento avverrà sfruttando sia dati statici che dinamici. I dati statici sono costituiti dalle rilevazioni statistiche dei flussi veicolari su ogni singola arteria e dal grafo dell infrastruttura di trasporto, all interno del quale, per ciascuna tratta, sono riportate alcune delle sue caratteristiche geometriche come, ad esempio, il numero di corsie, la lunghezza, la velocità di percorrenza a flusso nullo, etc. I dati dinamici, invece, sono rappresentati da dati sensoriali acquisiti in tempo reale e da informazioni riguardanti l attuale stato dell infrastruttura, ricavate da DB di varie istituzioni come ANAS e Polizia Stradale. Le previsioni saranno generate per intervalli temporali della durata di 5 minuti ciascuno, ottenendo così 288 fasce giornaliere. Il modulo per l individuazione del cammino ottimo utilizzerà questo insieme di predizioni per perturbare il grafo dell infrastruttura trasportistica, associando a ciascun arco i probabili tempi di attraversamento. Infine, il modulo procederà all individuazione del cammino ottimo tra i punti di partenza e di arrivo specificati, utilizzando un implementazione modificata dell algoritmo di Dijkstra che prende in analisi, oltre alla lunghezza e alla tipologia delle tratte, anche i presunti tempi di percorrenza. Notare che l ottimalità del percorso trovato è limitata all intervallo temporale di riferimento. 50

60 I DATI DI REGIONE TOSCANA I dati necessari al funzionamento del sistema di infomobilità sono stati estratti dal Modello Regionale della Mobilità, realizzato da USSMAF (Unità Speciale per lo Studio della Mobilità nell Area Fiorentina) nel Le informazioni vitali per il funzionamento sono sostanzialmente costituite dal grafo dell infrastruttura dei trasporti e dalla matrice OD, in cui sono racchiusi i dati riguardanti gli spostamenti degli utenti. Il grafo regionale della rete dei trasporti L infrastruttura regionale dei trasporti (strade, autostrade, collegamenti pedonali, ferrovie, vie marittime, etc.) è rappresentata per mezzo di un grafo orientato (ovvero in cui un tratto di strada a doppio senso di circolazione è pienamente descritto attraverso due archi distinti) =, nel quale ciascun arco rappresenta un segmento senza biforcazioni e dalle caratteristiche omogenee, mentre ogni nodo indica una biforcazione stradale o una variazione delle caratteristiche della tratta. Il grafo della rete regionale toscana modella oltre Km di infrastrutture attraverso archi e nodi. Ogni nodo è georeferenziato, per mezzo della sua latitudine e della sua longitudine, ed è identificato attraverso un ID univoco. Per ciascuno degli archi del grafo sono riportati, oltre al nodo di origine e al nodo di terminazione, alcuni parametri che specificano le sue caratteristiche fisiche come: la lunghezza in Km; il numero di corsie disponibili; la capacità nominale dell arco (veicoli/h); velocità di percorrenza con flusso nullo (Km/h); 51

61 FIG. 4.1 Grafo dei trasporti della Regione Toscana. il tempo di attraversamento con flusso nullo (h), generalmente calcolato in funzione del rapporto tra la lunghezza e la velocità di percorrenza ; un ID che identifica la tipologia della tratta, secondo una particolare classificazione riportata in seguito; indica il sistema di trasposto ammesso (auto privata, trasporto pubblico su gomma, trasporto pubblico su ferro, etc.) 52

62 FIG. 4.2 Categorizzazione delle tratte stradali della Regione Toscana. La matrice OD degli spostamenti All interno di questa matrice sono riportati i dati ISTAT concernenti gli spostamenti effettuati dagli utenti toscani all interno della Regione. I dati fanno riferimento a rilevazioni eseguite durante la primavera e durante l autunno dell anno 2001, nella fascia oraria compresa tra le 7:00 e le 8:00 del mattino di un generico mercoledì. Per la generazione della matrice OD, si è da prima provveduto a suddividere il territorio regionale in aree geografiche distinte (processo di zonizzazione), ottenendo complessivamente 445 zone, di cui 6 esterne alla Regione, ognuna delle quali contrassegnata per mezzo di un vertice fittizio (che, cioè, non rappresentano nessuna intersezione stradale fisicamente esistente), detto centroide. Ciascun centroide è stato quindi collegato al nodo reale più vicino, selezionato fra tutti quelli che giacciono all interno della sua zona di riferimento, per mezzo 53