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1 8 Controllo di un ntenn L ntenn prbolic di un rdr mobile è montt in modo d consentire un elevzione compres tr e =2. Il momento d inerzi dell ntenn, Je, ed il coefficiente di ttrito viscoso, f e, che crtterizzno il sistem sono riportti in Figur 8.1. Je =2kg1m 2 f e = 24 N1m1s=rd 22 Fig. 8.1 L elevzione dell ntenn è controllt d un servomeccnismo di posizione che utilizz come ttutore un motore in corrente continu controllto sull rmtur e come trsduttore di rotzione un potenziometro. Le crtteristiche di tli componenti sono motore V nom = 26 V R = Ω km =12 N1m=A potenziometro k t =6V=rd L tensione fornit dl potenziometro viene sottrtt ll tensione di riferimento (ingresso del sistem) ed invit d un mplifictore di potenz con gudgno di tensione pri k l cui uscit è pplict l circuito di rmtur del motore che oper sull ntenn trmite un riduttore con rpporto ) Si ottimizzi il gudgno k dell mplifictore rispetto ll prontezz del dispositivo; 2) Si verifichi l degutezz del motore impiegto; ) Si studi il comportmento dinmico del sistem. SOLUZIONE 1 1 Il meccnismo di elevzione dell ntenn è costituito d un mss soggett d ttrito viscoso che ruot ttorno d un sse sotto l zione dell coppi fornit dl motore ttrverso un riduttore. Si scriverà pertnto l equzione di equilibrio delle coppie dt d

2 TEORIA 8.2 DEI SISTEMI ESERCIZI ED APPLICAZIONI C m = J e d! dt + f e! L coppi motrice, trscurndo l induttnz del circuito di rmtur che non è fornit dl testo dell esercizio, è legt ll ingresso del sistem, costituito dll tensione di riferimento V r, ed ll tensione fornit dl trsduttore di posizione, Vt = kt, dlle seguenti relzioni C m = k me i i = V kme! R = k (Vr kt ) kme! Scegliendo come prim vribile di stto l elevzione dell ntenn (x 1 (t) =(t)) e come second l velocità di rotzione (x 2 (t) =!(t)) si ottengono le due equzioni differenzili del prim ordine R ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = k k me k t x 1 R J e fe + k 2 me J e R J e x 2 + k k me Vr R J e Considerndo come uscit del sistem l elevzione dell ntenn (y(t) =x 1 (t)), si h quindi il modello nello spzio degli stti descritto dll tern di mtrici k kme kt R Je 1 f e Je 1 + k2 me R Je 7 5 B = k kme R Je 7 5 L unico prmetro non ncor determinto presente nel modello è il gudgno, k, dell mplifictore. Occorre nche ricordre che, essendo presente un riduttore con rpporto 1 1 sull sse del motore, l costnte di coppi del motore ssume (considerndo l rotzione ll uscit del riduttore) il vlore kme = 1km. Si ottiene quindi l seguente tern 1 12 k 6 1 B = 2 k

3 CONTROLLO DI UN ANTENNA 8. Il polinomio crtteristico è dto d ed i poli sono p() = k 1;2 = 18 6 p k Clcolndo i poli in funzione di k si ottiene il grfico riportto in Figur 8.2. Im(p) k = Re(p) Fig. 8.2 Per k = risult 1 =, 2 = 6; per vlori crescenti di k il primo polo cresce ed il secondo diminuisce finché, per k = 24=12 = 27, si h 1 = 2 = 18. Per vlori di k mggiori di 27 si h un coppi di poli complessi e coniugti con prte rele ugule 18 e con prte immginri che cresce con k. Il comportmento trnsitorio del sistem è, come noto, legto ll evoluzione nel tempo dei modi. Tle evoluzione tende zero tnto più rpidmente qunto più i corrispondenti utovlori distno dll sse immginrio. L mssim distnz viene rggiunt, nel cso in esme, per k = 27; vlori mggiori di k non umentno l distnz degli utovlori dll sse immginrio m introducono un prte immginri cui corrisponde un oscillzione smorzt nel trnsitorio senz lcun migliormento (o peggiormento) nell durt del trnsitorio stesso. Si ssumerà pertnto, per l mplifictore, il gudgno k = Per verificre l degutezz del motore occorre or vlutre se veng supert, in prticolri condizioni di funzionmento, l tensione nominle (26 V ) dello stesso. I clcoli svolti ssumono inftti un crescit linere dell coppi con l corrente di rmtur m questo è vero solo se non hnno luogo fenomeni di sturzione che vengono evitti se non si super l tensione di limentzione nominle. L mssim elevzione dell ntenn è pri =2 ed il vlore

4 TEORIA 8.4 DEI SISTEMI ESERCIZI ED APPLICAZIONI dell ingresso necessrio per ottenere tle elevzione è umx = kt 1 =2. Se tle ingresso mssimo viene pplicto qundo l elevzione è null si ottiene l mssim tensione errore V e mx = u mx che, moltiplict per k, viene infine pplict l motore. Si h pertnto V mx = k Ve mx = = V Tle vlore è inferiore ll tensione nominle del motore che si troverà sempre d operre in condizioni di non sturzione. 1 Il modello del sistem, con il vlore ssegnto k, è descritto dlle mtrici 1 B = Gli utovlori di A, coincidenti, ssumono il vlore ed il polinomio crtteristico è dto d Si h, inoltre, = 18 p() = gg I 24 ed il mssimo comun divisore monico dei suoi elementi è egule d 1. Ne segue che il polinomio minimo di A coincide con il polinomio crtteristico e che l mtrice di trnsizione può essere espress nell form e At = I + 1 A ove Risult quindi 1 1 = 1 1 e t te t = = 1 1 t e t 1 = te t 1 1 e t te t

5 CONTROLLO DI UN ANTENNA 8.5 e At = " ( t) e 18 t te 18 t 24 te 18 t (1 18 t) e 18 t # Per semplificre lo studio dell dinmic del servomeccnismo si può considerre un elevzione inizile divers d zero ed pplicre l ingresso (nullo) che port l ntenn d elevzione zero; si ottiene in tl modo il vntggio di ridurre lo studio quello di un moto libero. Considerndo come stto inizile quello di mssim elevzione (9 grdi) ed ssumendo un velocità di rotzione inizile null si ottiene (t) =x 1 (t) = t e 18 t L ndmento nel tempo è quello riportto in Figur Fig Per t = 5 ms risult (t) = 11 grdi; il trnsitorio può quindi considerrsi esurito dopo circ mezzo secondo. OSSERVAZIONI 1 Applicndo l tensione clcolt l motore nelle condizioni considerte (ntenn ferm ed elevzione null) si otterrebbe, trscurndo l induttnz del circuito di rmtur, un vlore elevtissimo per l corrente, pri V mx =R = 848 A. In prtic l induttnz del circuito di rmtur e dei circuiti di uscit dell mplifictore di potenz provvede limitre il vlore effettivo. Qulor tle effetto non risulti sufficiente si introdurrà un limitzione dell corrente di uscit dell mplifictore di potenz relizzt, d esempio, sottrendo ll ingresso dell mplifictore un tensione proporzionle ll corrente di uscit. ms

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