Domande. K =, mentre la sua quantità di moto è p = mv. Ricavando. 4. L energia cinetica di un corpo è

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1 Domande. La quantità di moto di un oggetto è il prodotto tra la sua massa e la sua velocità. Le due macchine hanno la stessa massa (sono identiche) e hanno anche lo stesso modulo della velocità: quindi i moduli delle quantità di moto delle due macchine sono uguali, ma i vettori quantità di moto sono diversi, perché hanno verso opposto.. La quantità di moto è una grandezza vettoriale, le cui caratteristiche vettoriali sono determinate dalla velocità. Quindi se due oggetti hanno la stessa quantità di moto, vuol dire che i vettori che le rappresentano hanno la stessa direzione e lo stesso verso e così anche le loro velocità. Poiché la quantità di moto è il prodotto tra la massa di un oggetto e la sua velocità, due oggetti possono avere lo stesso modulo della quantità di moto, anche se uno dei due possiede una velocità minore di quella dell altro, a fronte di una massa proporzionalmente maggiore. 3. Un oggetto che ha un energia cinetica diversa da zero deve avere una velocità diversa da zero e, quindi, anche una quantità di moto. Le quantità di moto individuali degli oggetti appartenenti a un sistema possono avere una risultante nulla, mentre la somma delle loro energie cinetiche (grandezze scalari e, quindi, sempre positive) non potrà mai essere nulla. È, allora, possible che un sistema di due o più oggetti abbia un energia cinetica totale non nulla e una quantità di moto totale nulla. 4. L energia cinetica di un corpo è mv K, mentre la sua quantità di moto è p mv. Ricavando v p/m e sostituendola nell espressione dell energia cinetica otteniamo K p m. Applichiamo questa relazione al proiettile e al cannone: p p K cannone e K m proiettile cannone m proiettile dove, per il principio di conservazione, l intensità della quantità di moto è la stessa per entrambi. La massa compare al denominatore e, dato che la massa del proiettile è minore, la sua energia cinetica sarà maggiore. 5. Immaginiamo il sistema definito dal passeggero e dall aereo. Quando il passeggero si muove in avanti, la sua quantità di moto aumenta. Ma qualunque forza esercitata dal passeggero è una forza interna al sistema e non può, di conseguenza, modificarne la quantità di moto totale. Risulta, allora, che la quantità di moto dell aereo deve diminuire dello stesso valore di cui è aumentata quella del passeggero: ma questa variazione risulta tanto piccola da non essere assolutamente registrabile. 6. Il satellite che esplode può essere considerato un sistema isolato e le forze relative all esplosione sono da considerarsi tutte interne al sistema. Quindi, dopo l esplosione, la quantità di moto totale dei frammenti deve essere uguale alla quantità di moto del satellite prima dell esplosione. Test. C. A 3. C 4. D Zanichelli 009

2 5. D 6. B 7. A 8. A 9. D 0. B. B. C 3. B 4. C 5. B Problemi. I F t e I F t I I " F #t F #t da cui # F t F t " t F & % F ( t ' " t F % ' t # &. F 3( 3, ms) 9,6 ms Per il teorema dell impulso F sulla persona. Quindi: F m ( v f " v 0) #t "t m vf # m v 0, dove F è la risultante delle forze che agiscono ( 6,0 kg) %",0 m/s ( " 5,50 m/s) & ' +65 N,65 s Il segno + indica che la forza ha direzione verticale, verso l alto. 3. p mv f " mv 0 m( v f " v 0 ) ( 0,045 kg) ( +38 m/s " 0 m/s) +,7 kg # m/s F m ( v v f 0) "t ( 0,045 kg) +38 m/s 0 m/s 3,0 # 0 3 s +570 N 4. Trascurando il peso della palla, l unica forza presente è quella che si esercita sulla mazza. Quindi: Zanichelli 009

3 F mv f mv 0 "t ( 0,49 kg) (45,6 m/s) ( 0,49 kg) ( +40, m/s) 600 N,0 #0 3 s 5. F t mv " f mv 0 Impulse Final momentum Initial momentum m(v f " v 0 ) (0.35 kg) # ( m/s) (+4.0 m/s) % & 8.7 kg ' m/s The minus sign indicates that the direction of the impulse is the same as that of the final velocity of the ball. 6. La forza media esercitata dalla parete sulla pattinatrice è: F mv f mv 0 "t ( 46 kg), m/s 0,80 s ( 46 kg ) ( 0 m/s ) Quindi la forza esercitata sulla parete è: + 69 N 7. F m v f m v 0 "t m "t Il rapporto m /( t) quindi: 8. F m t ( v f v 0 ) 69 N è il flusso d acqua che incide, ogni secondo, sulla turbina, cioè 30,0 kg/s, ( v f " v 0 ) ( 30,0 kg/s) #("6,0 m/s) " ( +6,0 m/s) % & "960 N Lo studente si lascia cadere da fermo v 0y 0 m/s, e a y 9.8 m/s. Quindi, per la cinematica: v y v 0 y a y y ( 0 m/s) a y ( H v + + ) H a dove H è l altezza di caduta (negativa perché lo studente si muove verso il basso) e v y è la velocità un istante prima dell impatto con il suolo. F t mv " mv m 0 m/s " mv " mv dove Per il teorema dell impulso, inoltre: v 0 v y e v f 0 Infine, sostituendo: # F"t & % ( m ' H F a y a y m ("t) N 9,80 m/s y y f ( 0,00 s) 0,4 m ( 63 kg) Zanichelli 009

4 9. Per la conservazione dell energia meccanica mgh mv 0 B dove h 0 è l altezza da cui viene lasciata cadere la palla e v B la sua velocità subito prima dell urto con il suolo, quindi v gh B 0 Analogamente mgh mv f A dove h f è la massima altezza raggiunta dalla palla che rimbalza e v A la sua velocità subito dopo il rimbalzo, quindi v gh A f Utilizziamo, ora, il teorema dell impulso ( F ) "t m( vf # v 0 ) Dove v 0 v B, e v f v A, ottenendo (F) "t m g + hf # # h ' %& 0 () (0,500 kg) 9,80 m / s L impulso risulta positivo, quindi è rivolto verso l alto. ' + 0,700 m # #,0 m %& () +4,8 N * s 0. L eccesso di peso si deve all impulso esercitato sul camion dalla sabbia ( F ) "t m( vf # v 0 ) F m( v f # v 0 ) "t v 0 è la velocità acquistata dalla sabbia che cade dall altezza h, ovvero v0 gh 9,80 m/s,00 m 6, 6 m/s mentre v f è la velocità finale ed è uguale a 0 m/s. Infine " F m % '(v # t & f ( v 0 ) ( 55,0 kg/s) )* ( 0 m/s) ( ( (6,6 m/s ) +, +344 N. La quantità di moto è zero prima del battito, quindi deve essere zero anche dopo. Se denotiamo con il pedice s il sangue e con il pedice b il sistema, avremo 0 m s v s + m b v b v b (m s /m b ) v s (0,050 kg / 85 kg) (0,5 m/s),5 0 4 m/s Zanichelli 009

5 . m n v n + m p v #" ## 0 p % quantità di moto totale dopo il tuffo quantità di moto totale prima del tuffo dove n e p sono i pedici, rispettivamente, per il nuotatore e per la piattaforma v p m n v n m p ( 55 kg) +4,6 m/s 0 kg, m/s 3. Scegliamo come asse +x la direzione iniziale del moto del razzo e come asse +y la direzione perpendicolare. Indichiamo con m la massa dei due frammenti (la massa originale era, allora, m) e applichiamo il principio di conservazione della quantità di moto lungo i due assi mv cos30,0 + mv cos 60,0 mv v cos30,0 + v cos 60,0 v "##########% 0 0 P f, x mv sen30,0 mv sen 60,0 ### #" ##### % 0 " v v sen 30,0 sen 60,0 P f,y P P 0,y 0, x () () Ricaviamo l espressione per v dalla prima equazione e la sostituiamo nella seconda, per cui v cos30,0 + v sen 30,0 # " sen 60,0 & cos60,0 v 0 % v v 0 45,0 m/s 77,9 m/s sen 30,0 sen 30,0 cos30,0 + # &cos60,0 cos30,0 + # &cos60,0 " sen 60,0 % " sen 60,0 % e, infine v v sen 30,0 ( 77,9 m/s)sen 30,0 45,0 m/s sen 60,0 sen 60,0 4. Utilizziamo il pedice per l attrice e il pedice per il proiettile e applichiamo il principio di conservazione della quantità di moto, ottenendo: v f m v f ( 70 m/s) 0,00 kg 5 kg 0,4 m/s v f m v f ( 5,0 "0-4 kg) ( 70 m/s) 7,"0-3 m/s 5 kg Zanichelli 009

6 5. Quando l oggetto viene lanciato nella stessa direzione in cui si sta muovendo il carro, possiamo scrivere: 0,m carro v A + v ### "### O m carro v A # " # quantità di moto dopo il lancio quantità di moto prima del lancio v O 9 v A () Quando l oggetto viene lanciato in direzione opposta, avremo: + 0,9m c v B 0,m c v A v ### #" O ##### m c v A " quantità di moto dopo il lancio quantità di moto prima del lancio () Sostituiamo la () nella () e risolviamo in funzione del rapporto richiesto, ottenendo v B v A 6. In un urto elastico si conservano sia la quantità di moto che l energia cinetica: la velocità finale dell automobile sarà, allora m # m " v v f 0 m m % & + ' dove m sono, rispettivamente, le masse dell auto e del furgone e v 0 è la velocità iniziale dell auto. " 75 kg 055 kg % v f ' +,5 m/s # 75 kg +055 kg & La velocità finale del furgone sarà: 0,43 m/s ( 75 kg) m ' * v f # " + m & v ), +,5 m/s 0 % () 75 kg +055 kg+, +,8 m/s 7. Gli urti sono elastici, quindi l energia totale meccanica si conserva, mentre non si conserva, in direzione verticale, la quantità di moto in quanto la forza di gravità è una forza esterna. mv f + mgh ## "## mv f + mgh 0 ## "## 0 E f E 0 Zanichelli 009

7 Risolvendo l equazione in funzione di h f otteniamo v0 vf hf + h0 g Per risolvere il problema dobbiamo ricavare i valori della velocità. La velocità iniziale ha la sola componente orizzontale v0 v0x. Ma anche la velocità finale, dato che la pallina si trova alla sua altezza massima, ha una sola componente orizzontale, vf vf x e, dato che in direzione orizzontale non agiscono forze, la quantità di moto orizzontale si conserva, per cui v v. Quindi 0 f h f 0 + h 0 3,00 m 8. ( m proiettile + m blocco ) v f ### "### m v + m v proiettile 0,proiettile blocco 0,blocco ##### "##### quantità di moto dopo l'urto quantità di moto prima dell'urto v f m proiettile v 0,proiettile + m blocco v 0,blocco m proiettile + m blocco ( 0,0050 kg) 45 m/s 0,0050 kg + 0,5 kg + ( 0,5 kg) ( 0 m/s) ( m proiettile + m blocco ) gh f ### "### m proiettile blocco ###" ### Energia totale meccanica alla massima altezza, solo potenziale h f g 4,89 m/s, m 9,80 m/s v f v f Energia totale meccanica alla base dell'oscillazione, solo cinetica 4,89 m/s 9. Per il principio di conservazione della quantità di moto, in direzione x possiamo scrivere, osservando il disegno ( cos 65 ) ( cos37 ) m v m v + m v () A 0A A fa B fb e in direzione y 0 m A v fa ( sen 65 ) m B v fb ( sen 37 ) () da cui possiamo ricavare Zanichelli 009

8 v fb m v m A fa B ( sin 65 ) ( sin 37 ) (3) che si può sostituire nella (), ottenendo m A v 0A m A v fa cos65 + m A v sen 65 fa # v 0A "# sen 37 & %& cos37 +5,5 m/s v fa 3,4 m/s sen 65 sen 65 cos65 + # & cos65 + # & " tan 37 % " tan 37 % e, dalla (3) ( 0,05 kg) 3,4 m/s v fb 0,050 kg ( sen 65 ) ( sen 37 ),6 m/s 0. La velocità della prima biglia, colpita dalla stecca è v 0 Ft m +,50 N " s 9,09 m/s 0,65 kg Nell urto elastico si conservano sia la quantità di moto che l energia cinetica. Risolvendo il sistema delle due equazioni, otteniamo: m v f # " + m & v 0 m # &v % " m + m% 0 v 0 +9,09 m/s. ( m + m ) v "#" f m v + m v 0 0 "#"" quantità di moto totale dopo l'urto quantità di moto totale prima dell'urto dove v 0 m/s. Risolvendo in funzione della velocità finale 0 v f m v + m v ( 00 kg )( +7 m/s ) + ( 900 kg)( 0 m/s) 0 0 m + m 00 kg kg +8,9 m/s nello stesso verso in cui si muoveva la macchina in movimento. Per il teorema dell impulso: Zanichelli 009

9 F t ( m + m ) v " ( m + m ) v finale dopo "####% Impulso "####% esercitato sulle quantità di moto quantità di moto totale due auto totale finale subito dopo l'urto dove v finale 0 m/s e v v + 8,9 m/s. Quindi dopo f F t 4 00 kg kg 0 m/s 00 kg kg 8,9 m/s 3,6 " 0 N # s in verso opposto a quello delle due auto unite. Infine, ricorrendo a nozioni di cinematica: v v + ax finale dopo dove a f /( m m ) + k, con f k forza di attrito µ F k N µ k ( ) g f Quindi 0 v f + k ( # " + m & x ' x )v f % f k x ( )v f µ k ( )g v f µ k g (8,9 m/s) (0,68)(9,80 m/s ) 5,9 m. Poniamo che il carbone sia l oggetto e il carrello l oggetto, per la conservazione della quantità di moto in direzione orizzontale avremo: ( m + m ) v m v cos 5,0 + m v f v f v cos 5,0 v (50 kg)(0,80 m/s)cos 5,0 + (440 kg)(0,50 m/s) 50 kg kg 0,56 m/s verso destra. 3. In direzione x, osservando anche il disegno, scriviamo ( m + m ) v cos m v f 0 In direzione y, avremo ( )v f sen m v 0 Dividendo le due equazioni membro a membro, ricaviamo y p ( 7,00 m/s) # m tan " v & ) 0 % v ( 70,0 kg, tan" +. 0 ' * + ( 50,0 kg) ( 3,00 m/s) Utilizzando ora la prima equazione troviamo: p x ( 3,00 m/s) ( cos 73,0 ) m v f v 0, ( )cos 50,0 kg 50,0 kg + 70,0 kg 4,8 m/s P f Zanichelli 009

10 4. Per la conservazione della quantità di moto: v v ( )v v v v ( 60,0 kg) ( +3,80 m/s)+,0 kg ( 60,0 +,0)kg a v s ; f µ F ma;µ mg ma d d n d µ d a g v sg ( 3,7 m/s) 30,0 m ( 9,80 m/s ) 0,07 ( 0 m/s) +3,7 m/s 5. Per la conservazione della quantità di moto: mv f + mv f mv 0 + mv 0 da cui v f + v f v 0 + v 0 (+7,0m/s) + (-4,0m/s) 3,0 m/s () Per la conservazione dell energia cinetica: (/) mv f + (/) mvf (/) mv0 + (/) mv0 da cui v f + vf v0 + v0 65 m /s () Risolviamo il sistema delle equazioni () e () in funzione di v f, v f (6,0 m/s)vf 56 m /s 0 che ha come soluzioni v f 7,0 m/s e v f 4,0 m/s La prima sfera ha, allora, una velocità finale di 4,0 m/s, e la seconda sfera una velocità finale di +7,0 m/s, entrambe in verso opposto a quello iniziale. 6. Inizialmente la palla ha un energia totale E 0 mgh 0. Dopo il primo rimbalzo ha un energia E 0,900 E 0 0,900 mgh 0 e, dopo l ennesimo rimbalzo, la sua energia è diventata E N (0,900) N mgh 0 che deve essere posta uguale a mgh f where h f,44 m. Quindi, (0,900) N mgh 0 mgh da cui (0,900) N h/h 0 Passando ai logaritmi N log (0,900) log (h/h 0 ),44 m " log # 6,0 m N % & 8,7 8 log (0,900) Zanichelli 009

11 7. Applicando il principio di conservazione dell energia alla sfera di massa,50 kg, avremo mv mgh mv mgh f f 0 0 ## " + ## ## " + ## E E f 0 Assumiamo come livello di zero h f 0 m, per cui mv mv + mgh e f 0 0 0,300 m v f v o + gh 0 ( 5,00 m/s) + 9,80 m/s 5,56 m/s Supponendo che l urto sia elastico, le velocità delle sfere subito dopo l urto saranno: " v f m m % m 'v 0 e v f # &v 0 # & " % dove v 0 è uguale a v f appena calcolata. Sostituendo i valori troviamo: v f,,83 m/s v f, +, 73 m/s Applichiamo il principio di conservazione dell energia alle due sfere mv mgh mv mgh f f 0 0 ## " + ## ## " + ## E E f h f v 0 g h, f,73 m/s h, f 9,80 m/s 0 (",83 m/s) 9,80 m/s 0,409 m 0,380 m 8. x cm m x m + m x + m dove i pedici "" e "" si riferiscono, rispettivamente alla Terra e alla Luna. Poniamo l origine nel centro della Terra, così che x 0 e x d, distanza Terra-Luna: x cm m d (7,350 kg)(3,850 8 m) 5, kg + 7,350 kg 4,67 06 m Zanichelli 009

12 9. ( v cm ) v 0 v 0 prima ( v cm ) v f v f dopo (6503 kg)( + 0,80 m / s) + (9 0 3 kg)( +, m / s) kg kg v f +,0 m/s +,0 m/s I due vagoni sono agganciati, quindi ogni punto del sistema, centro di massa compreso, deve muoversi con la stessa velocità, v f. 30. x cm m x m c c c + m x + m o o o Poniamo l origine nel centro dell atomo di carbonio, ottenendo: x cm m c x c + m o x o m c + m o 3. x o +,30 + 6,46 0" m m c / m o 0 m v + m v "#" a 0, a f 0, f ""#"" quantità di moto totale quantità di moto totale dopo l'urto prima dell'urto v 0, f 3. f ( 00 kg)( 3 m/s) "0 m 0,750m o / m o mav0, a 4 m/s m 500 kg F p (75 kg) " (6,4 m/s),4 0 5 N, t (,0 "0-3 s) (75 kg)(6,4 m/s) F 4,8 0 3 N (0,0 s) 33. Before impact After impact v 0 cos 30.0 v v 0 sin 30.0 v f cos 30.0 v f sin v f Zanichelli 009

13 Nell impatto con il terreno cambia solo la componente verticale della quantità di moto, quindi, con riferimento anche alla figura, possiamo impostare la relazione: F t m(v fy " v 0y ) m # (+v f cos 30,0 ) ( v 0 cos 30,0 ) % & e, dato che v v 0 f 45 m / s, Ft mv 0 cos 30,0 (0,047 kg)(45 m/s)(cos 30,0 ) 3,7 N " s 34. In caso di urto elastico si conservano quantità di moto ed energia cinetica, quindi: " v f m m % m 'v 0 e v f # &v 0 # & " % Sostituendo i valori otteniamo: " 5,00 kg 7,50 kg % v f, ',00 m/s # 5,00 kg + 7,50 kg & ( 5,00 kg) v f, # &,00 m/s " 5,00 kg + 7,50 kg % 0,400 m/s +,60 m/s In caso di urto totalmente anelastico, le due sfere restano unite e, quindi: v f v 0, ( 5,00 kg),00 m/s 5,00 kg + 7,50 kg 35. L urto è totalmente anelastico, quindi: v ( )V da cui m v V +0,800 m/s ( 4,5 m/s ) 5 kg,6 m/s 5 kg 84 kg 36. La tabella che segue riporta le coordinate delle posizioni dei tre atomi (usiamo il pedice per l atomo di ossigeno a sinistra per l atomo a destra e 3 per lo zolfo). Coordinate- x Ossigeno a sx x (0,43 nm) sen 60,0 0,4 nm Ossigeno a dx x +(0,43 nm) sen 60,0 +0,4 nm Coordinate- y y +(0,43 nm) cos 60,0 +0,075 nm y +(0,43 nm) cos 60,0 +0,075 nm Zolfo x 3 0 nm y 3 0 nm Zanichelli 009

14 x cm m x + m x + m x 3 3 ( 0,4 nm) + ( + 0,4 nm) + ( 0 nm) m m x m 3 m + m + m m + m + m 3 3 m x cm 0 m y cm m y + m y + m y 3 3 ( + 0,075 nm) + ( + 0,075 nm) + ( 0 nm) m m x m 3 m + m + m m + m + m 3 3 Poniamo m m e m 3 m, ottenendo y cm m ( +0,075 nm) + m ( +0,075 nm) x + m( 0 nm) m + m + m 37. m v + m v m + m v da cui f, f, 0 0,0358 nm v f ( )v 0 m v f [ 400 kg +00 kg](4900 m/s) (00 kg)(5700 m/s) m/s 400 kg nella stessa direzione e verso in cui si muoveva il razzo prima dell esplosione. 38. Non ci sono forze esterne, quindi la componente della quantità di moto parallela al pavimento si conserva: inizialmente era zero e deve rimanere zero anche dopo l urto. Lavoriamo per componenti utilizzando i dati del disegno direzione x v ( sen 5,0 ) v ( cos45,0 ) 0 direzione y v ( cos 5,0 ) v ( sen 45,0 ) + m 3 v 3 0 Tralasciando, per ora, le unità di misura, possiamo ricavare,7m +, 7m 0, 7m +, 7m 3,99 0 Sottraendo membro a membro otteniamo m,00kg, che sostituito nella prima equazione dà m,00 kg Zanichelli 009

15 39. Se il cannone non è vincolato, per la conservazione della quantità di moto: mv f + mvf ""#"" 0 () ""#"" quantità di moto totale prima dello sparo quantità di moto totale iniziale dove gli indici "" and "" si riferiscono al cannone e al proiettile, rispettivamente. Quando il cannone è vincolato alla piattaforma, si muove solo il proiettile e l energia cinetica vale: K m v (85,0 kg)(55 m/s),9 0 7 J Quando il cannone non è vincolato, l energia cinetica del sistema ha lo stesso valore e possiamo scrivere la sua espressione nella forma K m v + f m v f () Ricaviamo v f dall equazione () e sostituiamo nella () ottenendo K m v f + m m v f da cui (3) v f KE m m + # " m & % (,9 '0 7 J) 85 kg (85 kg) 5,80 '0 3 kg + # & " % +547 m/s Olimpiadi della fisica. D. C 3. D m( v v ') 4. Nell urto si conserva la quantità di moto, per cui mv mv ' + MV ' " V ', dove V M rappresenta la velocità della seconda sfera dopo l urto. Ricordando che v - m/s, con segno negativo perché è di verso contrario rispetto a v, si ottiene m( v v ') kg(5m/s + m/s) V ' 3m/s M kg Test di ammissione all Università. A. A 3. B Zanichelli 009

16 Prove d esame all Università. q i v i q f ( )v f q i q f v i ( )v f v i ( )v f ( 00kg +400kg)6km/h 00kg 36 km/h. q i v i q f ( )v f q f q i ( )v f v i v f m v i 75 kg "5 km/h km/h 75 kg + 5 kg Zanichelli 009