Teoria degli insiemi : alcuni problemi combinatorici.

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1 Teoria degli isiemi : alcui problemi combiatorici. Il calcolo combiatorio prede i cosiderazioe degli isiemi fiiti particolari e e cota l ordie. Questo può dar luogo ad iteressati e utili applicazioi. Premettiamo che se I è u isieme coteete solo u umero fiito di elemeti, tale umero è u umero aturale, detto ordie o cardialità di I, e idicato co I oppure co # I. U isieme fiito I ha ordie 0 se e solo se I = e ha ordie se e solo se è i corrispodeza biuivoca co il sottoisieme I = {,,-,} di N. Se I è u isieme fiito di ordie e A è u suo sottoisieme di ordie m, allora m, cioè A I. Ci occupiamo di qualche problema di combiatoria e delle sue applicazioi, seza dare tutte le dimostrazioi delle proposizioi citate. Problema. Cotare i sottoisiemi di u isieme fiito. Ricordiamo che, dato u isieme I, fiito o ifiito, si dice suo isieme delle parti, o isieme poteza l isieme P(I) = {A A I }. P(I) o è mai vuoto ( ogi isieme I ha i sottoisiemi baali e I stesso ), se I è ifiito ache P(I) cotiee ifiiti elemeti, se I è fiito vale la Proposizioe. Sia I u isieme fiito di ordie. Allora P(I) ha elemeti. Esempio. Costruiamo l isieme delle parti dell isieme I = {V,R,N} coteete tre pallie di colore verde, rosso e ero P(I) = {, {V}, {R}, {N}, {V,R}, {V,N}, {R,N}, {V, R, N } }. Problema. Cotare gli elemeti dell uioe di due isiemi fiiti. Proposizioe. Siao A e B due isiemi fiiti disgiuti di ordie ed m rispettivamete. Allora A B = A + B = + m - -

2 Proposizioe 3. Siao A e B due isiemi fiiti di ordie ed m rispettivamete e sia k l ordie di A B. Allora cioè A B = A + B - A B A B = + m k Queste due evideti proposizioi risultao utili per risolvere semplici problemi combiatorici Esempio. ) Su 5 studeti, 5 hao superato l esame di Matematica, quello di Chimica e 5 hao superato etrambi gli esami. Quati studeti hao superato almeo u esame? Quati studeti hao fallito etrambi gli esami? Sia A l isieme degli studeti che hao superato l esame di Matematica, A ha ordie 5. Sia B l isieme degli studeti che hao superato l esame di Chimica, B ha ordie. A B è l isieme degli studeti che hao superato etrambi gli esami, A B ha ordie 5. La risposta alla prima domada è l ordie dell isieme A B, dato da =. No hao superato essuo dei due esami 5 = 3 studeti. ) Sia I = {,,, 0}. Quati soo i umeri di I divisibili per o per 3? Sia A l isieme dei umeri pari di I, l ordie di A è 0. Sia B l isieme dei multipli di 3 miori di 0, B = {3, 6, 9,, 5, 8} ha ordie 6. A B è l isieme dei multipli di 6 miori di 0, A B = { 6,, 8} ha ordie 3. I umeri di I divisibili per o per 3 soo = 3. Problema 3. Cotare gli elemeti del prodotto cartesiao di due isiemi fiiti. Proposizioe 4 Siao A e B due isiemi fiiti di ordie e m rispettivamete.allora A x B = A. B = m Osservazioe Dispoedo i coloa e i riga gli elemeti di A e gli m elemeti di B, il prodotto cartesiao A x B può essere visualizzato come ua tabella di m quadretti. La Proposizioe 4 motiva il metodo delle scelte, di cui si fa u grade uso i combiatorica e i molte applicazioi della vita pratica : suppoiamo di voler cotare i quati modi si può costruire ua coppia (a,b), se a appartiee a u isieme co elemeti e b ad uo co m elemeti, cioè se posso scegliere a i modi e b i m modi. La proposizioe 4 dice che la coppia (a,b) può essere costruita i m modi. - -

3 Questo metodo viee ache chiamato pricipio di moltiplicazioe delle scelte e così formulato : Se ua scelta può essere compiuta i modi diversi e, per ciascuo di essi,ua secoda scelta può essere compiuta i m modi diversi, allora la successioe delle due scelte può essere effettuata i. m modi distiti. I modo aturale tutto quato visto per il prodotto cartesiao di due isiemi fiiti si estede al caso del prodotto cartesiao di u umero fiito di isiemi fiiti. Il pricipio di moltiplicazioe delle scelte (ache ella sua forma estesa a più di due scelte) ci permette di risolvere molti problemi combiatorici. Esercizi ) Quati oggetti possiamo differeziare co delle targhe di due simboli di cui il primo è ua lettera scelta tra a,b,c,d e il secodo è ua cifra da a 5? Le lettere possoo essere scelte i 4 modi, le cifre i 5 modi : possiamo costruire 0 targhe diverse. ) Suppoiamo che il meu di u ristorate cosista di 5 atipasti, 6 primi, 6 secodi e 4 dolci : quati pasti completi ( di quattro piatti ) possiamo ordiare? Le quatere ordiate ( e quidi le scelte possibili ) soo = 70. 3) I ua regioe vi soo veti città, collegate a coppie da ua strada comuale. Quate strade comuali possiede la regioe i questioe? Osserviamo che ogi strada collega due diverse città. Abbiamo 0 scelte diverse per la parteza e 9 per l arrivo di ua strada : le scelte possibili soo quidi I tal modo però ogi strada ab è stata cotata due volte : ua volta co a città di parteza e b di arrivo e ua volta co b parteza e a arrivo ; e segue che il umero cercato è (0. 9) : = 90. 4) Quate diagoali ha u poligoo covesso di 6 lati? Osserviamo che oguo dei 6 vertici può essere scelto come primo puto di ua diagoale metre come scelta per il secodo puto dobbiamo escludere il vertice i questioe e i due a lui adiaceti. Abbiamo duque 6-3 = 3 scelte per il secodo puto di ogi diagoale e 6 scelte per il primo. Il prodotto delle scelte deve però essere diviso per due, per le 6(6 3) stesse argometazioi di 3). Duque le diagoali di u esagoo soo = 9. ( 3) Per u poligoo covesso di lati le diagoali soo

4 Problema 4. Cotare il umero delle fuzioi da u isieme di ordie i u isieme di ordie m. Proposizioe 5. Le fuzioi da u isieme di ordie i u isieme di ordie m soo m. Diamo ua dimostrazioe di questa proposizioe, utilizzado il metodo delle scelte prima euciato. Dimostrazioe : dare ua fuzioe da u isieme di ordie i u isieme di ordie m sigifica dare le immagii degli elemeti del domiio. Per l immagie del primo elemeto ho m scelte, tate quati soo gli elemeti del codomiio, per l immagie del secodo elemeto ho acora m scelte,, così per l immagie dell -simo elemeto. I totale avrò m m...m = m scelte. Osservazioe Ua fuzioe di u isieme co elemeti i u isieme di m elemeti può essere vista come ua -pla ordiata di elemeti scelti tra m, co possibilità di ripetizioi. Per questo motivo tali fuzioi soo ache dette disposizioi co ripetizioe : per quato provato sopra il umero delle disposizioi co ripetizioe di m elemeti a a è m. Esempi. ) Le fuzioi di I 3 i I soo idetificabili co le 8 tere (,,),(,,),(,,),(,,), (,,), (,,), (,,), (,,). La prima è la fuzioe costate di valore, la secoda è la fuzioe che mada i, i,3 i,, l ultima è la fuzioe costate di valore. ) Vogliamo calcolare il umero delle coloe tra loro diverse che si possoo giocare al totocalcio. Come è oto, il gioco cosiste ell assegare uo dei tre simboli, x, ad ogua delle 3 partite. Ogi coloa può essere idetificata co ua sequeza ordiata di elemeti scelti tra,x, e quidi co ua fuzioe di u isieme co 3 elemeti (le tredici partite) i u isieme co 3 elemeti (i tre simboli citati). Le coloe possibili soo quidi 3 3 = Giocado tutte queste coloe si ha la certezza del tredici (purtroppo co ua spesa superiore alla vicita!!). Problema 5. Cotare le biiezioi (corrispodeze biuivoche) di u isieme fiito co elemeti i se stesso. Premettiamo alcue otazioi. Defiizioe. Dato u umero aturale > 0, chiamiamo fattoriale di il umero Si poe ioltre 0! =.! =... ( ). (-)

5 Osservazioe! cresce rapidamete al crescere di : e diamo i primi dieci valori! Proposizioe 6 Siao A e B due isiemi fiiti dello stesso ordie. Le biiezioi tra di essi soo!. Dimostrazioe. Co il metodo delle scelte. Per idividuare ua biiezioe, oti il domiio e il codomiio, basta assegare le immagii degli elemeti del domiio. Ora, per l immagie del primo elemeto di A abbiamo scelte (qualuque elemeto di B), per l immagie del secodo elemeto di A abbiamo - scelte (dobbiamo escludere l elemeto di B immagie del primo elemeto di A ),, per l immagie dell -simo elemeto di A la scelta è uica. Si possoo duque effettuare! scelte : ad ogua corrispode ua diversa biiezioe di A i B. Nel caso i cui i due isiemi A e B coicidao, le biiezioi di A i se stesso vegoo dette permutazioi di A. Abbiamo così il Corollario 7. Le permutazioi di u isieme di ordie soo! Esempio. Scrivere tutte le permutazioi di I 3 i I 3 Se scriviamo le 3! permutazioi dei umeri da a 3 come tere (vedi l esempio ) abbiamo le 6 tere segueti che corrispodoo ad altrettate biiezioi di I 3 i I 3 : (,,3) (,3,) (,,3) (,3,) (3,,) (3,,). Osserviamo che abbiamo scritto i 3 umeri esattamete ua volta sola i tutti gli ordii possibili : abbiamo ordiato (allieato) i tutti i modi possibili i ostri elemeti. Possiamo dedurre che oggetti distiti possoo essere ordiati i! modi possibili. Si dice quidi, per estesioe, permutazioe di oggetti distiti u qualuque loro ordiameto o allieameto. Questi ordiameti si ottegoo uo dall altro permutado gli oggetti e la teoria svolta ci dice che e otteiamo i totale!. Si scrive ache P =!, per idicare il umero totale delle permutazioi di oggetti distiti

6 Esempio. ) Scriviamo tutte le 3! = 6 permutazioi di 3 pallie di colore B (biaco),r (rosso), V (verde). Abbiamo due allieameti che mettoo la pallia B al primo posto, altrettati per R e V B R V B V R R V B R B V V B R V R B. ) Quati soo gli aagrammi della parola madre? E della parola mamma? Osserviamo che si defiisce alfabeto u isieme fiito di simboli e, dato u certo alfabeto (qui si tratta dell alfabeto latio di 6 lettere), si defiisce parola u qualuque allieameto dei suoi simboli. Il umero di simboli è detto lughezza della parola. Se è l ordie dell alfabeto, le parole di lughezza m soo i totale m. No è richiesto quidi che la parola che si ottiee aagrammado madre abbia u sigificato ella ligua italiaa, é che e segua le regole grammaticali, quidi dobbiamo cotare i quati modi si possoo allieare le cique lettere m,a,d,r,e. I modi soo tati quate le permutazioi di 5 oggetti, cioè 5! = 0. Osserviamo che, i geerale, gli aagrammi di ua parola co lettere distite soo! Nella parola mamma vi soo ivece delle lettere ripetute, due a e tre m : gli aagrammi 5! sarao. Motiviamo così questo fatto : passiamo da mamma ( che ha due lettere.! 3! ripetute ) a mamme ( che ha ua sola lettera ripetuta ) e da mamme a madre (che ha tutte lettere distite). Gli aagrammi di mamme soo la sesta parte di quelli di madre : da ogi aagramma di mamme e ottego 6 = 3! di madre,sostituedo elle posizioi delle tre m i 3! aagrammi della parola mdr. A loro volta gli aagrammi di mamme soo il doppio ( =!) di quelli di mamma ( ogi aagramma di mamma ci dà due aagrammi di mamme sostituedo al posto delle due a i due aagrammi di ae ). Esercizi ) Dire quati soo gli aagrammi della parola logica e della parola matematica. Soluzioe : soo 6! e 0! rispettivamete...! 3!! ) Scrivere tutti i umeri formati dalle cifre,, 3 o ripetute Soluzioe : 3, 3, 3, 3, 3, 3. Suppoiamo ora di voler disporre i fila (allieare) k oggetti presi i u isieme di ( quidi k ) : il ome di questi allieameti è disposizioi semplici di oggetti a k a k. Il umero totale delle disposizioi di oggetti a k a k si idica co D,k

7 Proposizioe 8. D,k =. (-).. (-k+) =! ( k)! Esempio. Sia I l isieme formato da tre pallie di colore verde (V), rosso (R), ero (N). Le 3! disposizioi di queste tre pallie a due a due soo D 3, = = 6, e precisamete, soo gli! allieameti VR,RV,VN,NV,RN,NR. Il lettore che sa che cos è ua fuzioe iiettiva può vedere che essi corrispodoo alle sei fuzioi iiettive di u isieme A = {a, a } di ordie i B = {V, R, N } segueti : f(a ) = V, f(a ) = R f(a ) = R, f(a ) = V f(a ) = V, f(a ) = N f(a ) = N, f(a ) = V f(a ) = R, f(a ) = N f(a ) = N, f(a ) = R. Ifatti la defiizioe rigorosa di disposizioe è la seguete : Defiizioe. Si dice disposizioe ( di oggetti a k a k ) ua fuzioe iiettiva di u isieme di ordie k i u isieme di ordie. Esercizi. ) Scrivere le disposizioi dei quattro umeri,,3,4 a due a due (equivaletemete, scrivere tutti i umeri diversi di due cifre scelte tra le quattro assegate ). Soluzioe : si hao dodici coppie ordiate di umeri, precisamete, 3, 4, 3, 4, 3 4, 3, 4, 3, 4, 4 3 ) I quati modi 3 oggetti possoo essere colorati co 5 colori diversi? Soluzioe : Il umero richiesto è D 5,3 = 5! = = 60.! ) A u campioato di calcio partecipao ove squadre. Se ogi squadra icotra tutte le altre due volte, quate partite devoo essere giocate? - 7 -

8 Soluzioe : Si giocao 7 partite, il umero delle disposizioi di 9 oggetti a due a due. Problema 6. Cotare il umero dei sottoisiemi di k elemeti scelti i u isieme di elemeti. Affrotiamo come ultimo problema l argometo da cui prede il ome il calcolo combiatorio. Defiizioe. Sia A u isieme di ordie. Si dice combiazioe di oggetti a k a k ( o di classe k ) ogi sottoisieme di ordie k di A. Il umero delle combiazioi di oggetti a k a k si idica co la otazioe C,k. Dato u isieme di ordie, esso possiede C,k sottoisiemi co k elemeti. Per dare la risposta al problema abbiamo bisogo di itrodurre dei umeri particolari e particolarmete importati : i coefficieti biomiali, e di euciare alcue proprietà. Defiizioe. Si dice coefficiete biomiale su k, 0 k, il umero k = )! k k!(! Proposizioe 9. i) = = 0 ii) = k k iii) = + ( formula di Stifel ), k -. k k k Scriviamo ora i coefficieti biomiali dispoedoli i u triagolo illimitato, chiamato triagolo di Tartaglia o triagolo di Pascal :

9 Per il puto i) della proposizioe 9 il primo e l ultimo coefficiete biomiale i ogi riga del triagolo soo uguali a, per il puto ii) il secodo e il peultimo coefficiete biomiale i ogi riga soo uguali tra loro e per il puto iii) ogi coefficiete biomiale all itero del triagolo è la somma dei due coefficieti biomiali alla sua destra e alla sua siistra ella riga precedete. Queste osservazioi ci permettoo di riscrivere il triagolo di Tartaglia calcolado molto facilmete i umeri di ogi riga : Chi già coosce il triagolo di Tartaglia sa che i umeri delle sue righe soo i coefficieti delle poteze del biomio : (a+b) 0 = (a+b) = a + b (a+b) = a + ab +b (a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a b + 4ab 3 + b 4. Si prova ifatti la Proposizioe 0 Per qualsiasi umero aturale e per ogi a, b reali si ha (Formula del biomio di Newto ). (a+b) = a o k -k b k Il triagolo di Tartaglia è uo strumeto molto utile per calcolare rapidamete i coefficieti biomiali e per visualizzare altre proprietà, quali quelle euciate ella : - 9 -

10 Proposizioe i) = 0 ii) (-) 0 = 0 iii) + + = + + = Quidi : le somme dei umeri di ogi riga del triagolo di Tartaglia soo le poteze successive di, le somme co sego altero dei umeri di ogi riga soo ulle, le somme dei umeri di posto pari e di posto dispari i ogi riga soo uguali tra loro e coicidoo co la somma di tutti i umeri della riga precedete. Segaliamo u altra delle iumerevoli proprietà del triagolo di Tartaglia : se e diamo la seguete rappresetazioe leggiamo, sommado i diagoale, i famosi umeri di Fiboacci F 0 = F =, F = + =, F 3 = + = 3,F 4 = +3 = 5,, F = F - + F -. La risposta al problema 6 è data dalla Proposizioe. Sia A u isieme di ordie. A possiede sottoisiemi di ordie k. k Osservazioe. Dalla defiizioe di combiazioe e dalla proposizioe deduciamo che i coefficieti biomiali soo umeri aturali o ulli. Osservazioe. Il umero C,k si ottiee dal umero D,k delle disposizioi semplici di oggetti a k a k e dal umero P k delle permutazioi di k elemeti mediate le segueti cosiderazioi : il umero delle disposizioi semplici di oggetti a k a k ci dà il umero di tutte le k-ple (ordiate)di tali oggetti, metre P k ci dà il umero degli ordiameti degli oggetti di ciascua di esse. U sottoisieme di ordie k si ottiee quidi da k! k-ple di oggetti, per cui vale la relazioe : - 0 -

11 C,k = D, k P k =! ( k)!k! = k Esempio. ) Se I è l isieme formato da tre pallie di colore verde (V), rosso (R), ero (N) le disposizioi di queste tre pallie a due a due soo D 3, = 6, e, precisamete, soo gli allieameti VR,RV,VN,NV,RN,NR. Le combiazioi di queste tre pallie a due a due soo tre : corrispodoo ai tre sottoisiemi segueti ( che scriviamo seza paretesi e virgola ) VR,VN,RN, otteuti ciascuo da due delle disposizioi precedeti, trascurado l ordie degli elemeti. ) Aggiugiamo all isieme I ua pallia gialla G e scriviamo tutte le combiazioi delle 4 4 4! pallie a a. Otteiamo C 4, = = =.. 3 = 6 sottoisiemi : (4 )!! VR, VN, RN, VG, NG, RG, i tre dell esempio precedete più quelli otteuti co l aggiuta della pallia gialla. Usado la defiizioe di combiazioe e l uguagliaza C,k = k si dimostrao seza calcoli le proprietà dei coefficieti biomiali. Così la i) = = della proposizioe 9 può essere motivata osservado che ci soo solo 0 u sottoisieme co 0 elemeti (l isieme vuoto ) e uo co ( tutto l isieme). Per la ii) = basta osservare che, quado scegliamo k elemeti tra, isoliamo k k automaticamete i restati -k. La iii) = + (formula di Stifel), k -, k k k si ottiee osservado che, fissato u elemeto tra gli, vi soo sottoisiemi di k ordie k che o lo cotegoo e che lo cotegoo ( quest ultimo umero si calcola k - -

12 escludedo l elemeto fissato e cotado il umero dei sottoisiemi di k- elemeti che si possoo formare co gli - elemeti rimasti ). Ache la formula del biomio di Newto (a+b) = a o k -k b k può essere dimostrata co cosiderazioi di tipo combiatorico. Osserviamo ifie che, sempre per il sigificato dei coefficieti biomiali, el triagolo di Tartaglia la somma dei umeri della riga -sima ci dà l ordie dell isieme delle parti di u isieme di ordie ( Problema ). Esercizi ) Quattro giocatori di teis voglioo giocare u doppio. Quate coppie distite si possoo formare? Soluzioe. Vi soo C 4, = 6 formazioi distite di due giocatori ciascua. ) Nel gioco del Superealotto bisoga idoviare 6 umeri scelti tra il umero e il umero 90. Quati isiemi di sei umeri si possoo formare? Soluzioe : 90 = ) Calcolare il umero di modi distiti i cui può essere servito u giocatore di scala quarata i ua sigola mao. Soluzioe. Suppoedo di giocare co 54x = 08 carte e sapedo che si dao 3 carte, abbiamo 08 possibilità. 3 4) (a) Quati isiemi di 5 carte si possoo avere co u mazzo da poker di 5 carte? (b) Quati poker di assi si possoo formare? (c) Quati poker diversi si possoo formare? Soluzioe. (a) C 5,5 = (b) 48 ( tate ifatti soo le scelte per la quita carta ) (c) = 64 ( ci soo ifatti 3 scelte per il grado del poker e per ogua 48 possibilità per la quita carta ) - -