RATIONAL APPROXIMATION AND REALIZATION OF GENERALIZED FORCE-DISPLACEMENT RELATIONSHIP OF AN UNBOUNDED MEDIUM

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1 RATIONAL APPROXIMATION AND REALIZATION OF GENERALIZED FORCE-DISPLACEMENT RELATIONSHIP OF AN UNBOUNDED MEDIUM THÈSE No (1 997) PRÉSENTÉE AU DÉPARTEMEM DE GÉNIE CIVIL ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE POUR L'OBTENTION DU GRADE DE DOCTEUR ÈS SCIENCES TECHNIQUES PAR Antonio PARONESSO lngegnere Civile Edile Università degli Studi di Roma "La Sapienza", Italie de nationalité italienne acceptée sur proposition du jury: Dr J. P. Woif, directeur de thèse Prof. D. Aubry, corapporteur Prof. J. Descloux, corapporteur Dr P. Myszkorowski, corapporteur Prof. M. Sayir, corapporteur Lausanne, EPFL 1997

2 Abstract In a dynamic unbounded medium-structureinteraction problem based on the substructure method, the bounded structure (e.g. a building or a dam) and the unbounded (semiinfinite) medium (soil, reservoir of water) are coupled on the structure-medium interface. The spatial discretization of the bounded (generalized) structure (which can include an irregular bounded region of the medium adjacent to the actual structure) with finite elements is well understood, resulting in a system of second-order differential equations describing the motion of the structure with respect to a finite number of degrees of freedom. When the structure behaves non-linearly, the resulting equations of motion are non-linear and must be solved in the time domain. As a consequence, the (generalized) interaction forces {R(t)) acting between the structure and the unbounded medium should also be evaluated in the time domain. The modeling of the linear time-invariant unbounded medium, although much more difficult, is also possible by introducing the symrnetric unit-impulse response matrix [S(t)] which defines the input (generalized) {u (t)) displacement-output {R(t)) (generalized) interaction force relationship of the unbounded medium with respect to the N degrees of freedom of the nodes on the structure-medium interface. In time domain, {R(t)) is computed as a convolution integral of [S(t)] with {u (t)). The relationship is global in time and space, that is, the interaction forces at a specific time depend on the time histories of the displacements in al1 nodes from the start of the excitation onward. In this rigorous evaluation of the interaction forces a large computational effort (proportional to the square of the number of time steps of the numerical analysis) and storage requirement result, which makes it unrealistic to evaluate large practical problem such as the seismic analysis of a dam with many degrees of freedom on the dam-soi1 and dam-reservoir interfaces. The goal of the present thesis is to derive efficient procedures for reducing the computational effort of the evaluation of the interaction forces during an actual analysis in time domain. Two alternatives which make use of concepts of linear system theory will be addressed. In the first one, the force-displacement relationship of the unbounded medium is approximated and realized as a linear time-invariant continuous-time system described by a system of ordinary linear first- or second-order symmetric differential equations with constant coefficients. In frequency domain, this is equivalent to approximating the dynamic stiffness matrix [S(w)] of the unbounded medium (Fourier transform of [S(t)]) with a real rational transfer function [S(iw)] along the iw-axis of the complex plane. Since each element of [S(iw)] is a rational function of iw with real coefficients, [S(iw)] is referred to as a rational approximation of [S(w)]. The unbounded medium is represented in the same manner as the bounded structure, so that the same computer program can be applied. After assemblage with the property matrices of the structure, the resulting equations of motions can be solved using a time integrator. In the second alternative, the convolution integr al leading to {R(t)) is firstly transformed to a convolution sum. This corresponds to transforming the continuous-time system with unit-impulse response matrix [S(t)] to a discrete-time system with time step

3 At and unit-pulse response matrix [G(k)]. The resulting discrete-time force-displacement relationship of the unbounded medium is then approximated and realized as a linear timeinvariant discrete-time system described by a system of first-order symmetric difference or recursive equations with constant coefficients. In frequency domain, this is equivalent to approximating the frequency response [G(w)] of the discrete-time system (discrete-time Fourier transform of [G(k)]) with a real rational transfer function G eiwat along the [ ( 11 unit circle of the complex plane. Since each element of [G (eiwat)] is a rational function Of &wat with real coefficients, [G (eiwat)] is referred to as a rational approximation of [G (w)]. The realizations so obtained permit the recursive evaluation of the interaction forces. The convolution sum is thus avoided? and the number of operations is proportional to the number of time steps of the numerical analysis. To make the rational approximation of the force-displacement relationship of the unbounded medium feasible also when the number N of degrees of freedom in the nodes on the structure-medium interface is large, a preliminary transformation of [S (t)] (or equivalently of [S (w)], [G (k)] and [G (w)]) called 'diagonalization' is performed without introducing any approximation. Since the latter also represents the starting point for deriving a global lumped parameter model, that is a mechanical system with frequency response equal to [S (w)] which physically connects the degrees of freedom in the nodes on the structure-medium interface, a physical interpretation of the transformation and of the subsequent rational approximation is provided. In the context of the goals previously formulated, the following main topics are dealt with in the thesis. A detailed discussion of BIBO-stability and Lyapunov-stability versus causality, noncausaiity, anticausality for both rational continuous and discrete-time systems is provided. Mappings by sampling and interpolation between continuous- and discrete-time systems are studied in depth. An introduction to the rational approximation problem in different normed spaces as well as to the balancing approximation problem is presented. A classification of the different methods for achieving the rational approximation of the force-displacement relationship of the unbounded medium is discussed. A singular-value decomposition based algorithm for the least squares rational approximation of a continuouçtime system described in frequency domain by partial data is derived. A four step algorithm for determining a balancing approximation of a discretktime system described in time domain by partial data is proposed. For the latter, a criterion for stopping the computation of new data is also derived. An exhaustive discussion of the direct and inverse mapping associated with the impulse-invariant method is addressed for the rational case. Several local and global symmetric realizations leading to the property matrices or alternatively to the recursive evaluation of the interaction forces of the unbounded medium are derived. The construction of the global lumped parameter model is also discussed and its application is provided for a few useful practical cases. Sufficient stability criteria which make use of the passivity condition of the continuoustime rational approximation of the unbounded medium are derived for the flexibility formulations of the unbounded medium alone and for the coupled linear structure-medium system. An extension to the discrete-time case is also provided. Some interesting auxiliary results concerning sufficient conditions for the regularity of a symmetric complex matrix are also established.

4 Sommario In un problema d'interazione fra un mezzo illimitato e una struttura di dimensioni finite formulato secondo il metodo delle sottostrutture, la struttura finita (ad esempio una costruzione civile O il corpo di una diga) e il mezzo infinito (suolo, liquido contenuto nell'invaso della diga) sono accoppiati lungo l'interfaccia struttura-mezzo illimitato. La discretizzazione spaziale della struttura (generalizzata) (la quale pu6 includere una porzione finita ed irregolare del mezzo adiacente la struttura propriamente detta) con il metodo agli elementi finiti é prassi comune e conduce ad un sistema di equazioni differenziali del secondo ordine le quali descrivono il moto della struttura rispetto ad un numero finito di gradi di libertii della stessa. Per strutture a comportamento non lineare, le corrispondenti equazioni del moto sono non lineari e devono pertanto essere risolte ne1 dominio del tempo. Di conseguenza le forze (generalizzate) d'interazione {R(t)) agenti fia struttura e mezzo infinito devono essere determinate ne1 dominio del tempo. La modellizzazione del mezzo infinito lineare e tempo invariante, sebbene molto piu complessa di quella della struttura, é anch'essa possibile introducendo la matrice simmetrica di risposta all'impulso unitario [S(t)]. Quest'ultima definisce la relazione fra il vettore degli spost amenti (generalizzati) {u(t)) e il vet tore delle forze d'interazione (generalizzate) {R(t)) del mezzo infinito associata agli N gradi di liberta dei nodi introdotti in corrispondenza dell'interfaccia struttura-mezzo infinito. Ne1 dominio del tempo {R(t)) é calcolato come integrale di convoluzione di [S(t)] con {u (t)). Tale relazione é globale ne1 tempo e ne110 spazio. Le forze d'interazione ad uno specifico istante dipendono dalle time histories degli spostamenti di tutti i nodi presenti sull'interfaccia struttura-mezzo infinito a partite dall'istante di applicazione dell'eccitazione in poi. Questa valutazione rigorosa delle forze d'interazione richiede un notevole sforzo computazionale (proporzionale al quadrato del numero dei passi dell'analisi numerica) ed una elevata disponibilitii di memoria. Ci6 ne rende irrealistica l'applicazione al calcolo di problemi concreti quali l'analisi sismica di dighe con elevato numero N di gradi di liberta presenti sulle interfacce diga-su010 e diga-liquido d'invaso. Obiettivo della presente dissertazione é derivare procedure alternative efficienti capaci di ridurre 10 sforzo computazionale associato alla determinazione delle forze d'interazione in analisi d'interesse pratico effettuate ne1 dominio del tempo. Due alternative basate su concetti sviluppati nella teoria dei sistemi lineari sono discusse. Nella prima, la relazione forza-spostamento del mezzo infinito é approssimata e realizzata con un sistema a tempo continuo, lineare e temp~invariante, descritto, ne1 dominio del tempo, da un sistema simmetrico di equazioni differenziali ordinarie lineari di primo O secondo ordine a coefficienti costanti. Ne1 dominio della frequenza ci6 equivale ad approssimare la matrice di rigidezza dinamica [S(w)] del mezzo infinito (trasformata di Fourier di [S(t)]) con una matrice di trasferimento razionale a coefficienti costanti [S(iw)] lungo l'asse immaginario iw del piano complesso. Dato che ogni elemento di [S(iw)] é una funzione razionale in iw a coefficienti costanti, [S(iw)] é denominata approssimazione razionale di [S(w)]. Il mezzo infinito é quindi rappresentato al10 stesso modo della struttura. Pertanto gli stessi programmi

5 d'integrazione numerica utilizzati per l'analisi dinamica di strutture finite possono essere applicati anche al sistema totale ottenuto assemblando le equazioni del moto delle due sottostrutture. Nella seconda alternativa esaminata, l'integrale di convoluzione che interviene ne1 calcol0 di {R(t)) é in primo luogo trasformato in somma di convoluzione. Ci6 corrisponde a trasformare il sistema a tempo continuo, con matrice di risposta all'impulso unitario [S(t)], in un sistema a tempo discreto di passo At con matrice di risposta alla pulsazione unitaria [G(k)]. La relazione a tempo discreto fra forza e spostamento del mezzo infinito cosi ottenuta é in seguito approssimata e realizzata con un sistema a tempo discreto, lineare e tempo-invariante, descritto, ne1 dominio del tempo, da un sistema simmetrico di equazioni alle differenze di primo ordine O, alternativamente, da un sistema di equazioni ricorsive entrambi a coefficienti costanti. Ne1 dominio della frequenza, ci6 equivale ad approssimare la risposta frequenziale [G (w)] del sistema a tempo discreto (trasformata di Fourier a tempo discreto di [G(k)]) con una matrice di trasferimento razionale a coefficienti reali [G (eiwat)] lungo la circonferenza unitaria del piano complesso. Dato che ogni elemento di [G (ewat)] é una funzione razionale in eiwat a coefficienti costanti, [G (eiwat)] é d e nominata approssimazione razionale di [G (w)]. La realizzazione cosi ottenuta permette il calcolo ricorsivo delle forze d'interazione. La somma di convoluzione é quindi evitata e il numero di operazioni necessarie per il calcolo di {R (t)) é proporzionale al numero di passi dell'analisi numerica. Al fine di rendere fattibile I'approssimazione razionale della relazione forza-spostamento del mezzo infinito anche per valori elevati di N, una trasformazione preliminare denominata 'diagonalizzazione' é applicata, senza introdurre alcuna approssimazione, alla matrice [S (t)] (O in modo equivalente alle matrici [S (w)], [G (k)] e [G (w)]). Un'interpretazione fisica della diagonalizzazione e della successiva approssimazione razionale pu6 essere ottenuta ossemando che tale trasformazione rappresenta anche il punto di partenza per ottenere un 'global lumped parameter model' e cioé un sistema meccanico con risposta frequenziale pari a [S (w)] il quale connette fisicamente i gradi di liberta dei nodi appartenenti all'interfaccia struttura-mezzo infinito. Nell'ambito degli obiettivi precedentemente formulati i principali temi trattati nella tesi sono i seguenti. Discussione dettagliata delle relazioni esistenti fra BIBO-stabilita, Lyapunov-stabilita e causalita, noncausalit6 e anticausalitii per entrambi i casi di sistemi razionali a tempo continuo e a tempo discreto. Studio approfondit0 di trasformazioni ha sistemi a tempo continuo e tempo discreto ottenute per campionamento e interpolazione di [S (t)]. Introduzioni al problema di approssimazione razionale in differenti spazi normati e al problema di approssimazione bilanciata. Classificazione dei metodi di approssimazione razionale della relazione forza-spostamento ne1 mezzo infinito. Definizione di un algoritmo basato sulla decomposizione ai valori singolari per l'approssimazione razionale secondo il metodo dei minimi quadrati di un sistema a tempo continuo descritto ne1 dominio della frequenza da dati parziali. Definizione di un algoritmo per l'approssimazione bilanciata di un sistema a tempo discreto descritto ne1 dominio del tempo da dati parziali. Per quest'ultimo é proposto un criterio d'arresto per il calcolo di nuovi dati. Per il caso razionale é inoltre presentata una discussione approfondita delle trasformazioni diretta ed inversa indotte dal 'impulse-invariant method'. Derivazione di realizzazioni simmetriche locali e globali per la determinazione delle matrici di massa, di smorzamento e di rigidezza statica O, alternativamente, delle matrici di ricorsione del mezzo infinito. In tale contesto é discussa anche la costruzione del global

6 lumped parameter model la cui derivazione é illustrata per alcuni utili casi pratici. Sviluppo di criteri sufficienti di stabilita per le formulazioni in flessibilita del mezzo infinito e del sistema totale ottenuto per accoppiamento del precedente con una struttura lineare, basati sulla condizione di passivita dell'approssimazione razionale a tempo continuo del mezzo infinito. E inoltre fornita un'estensione per il caso dell'approssimazione a tempo discreto. Nello stesso tempo sono stabiliti alcuni interessanti risultati ausiliari afferenti condizioni sufficienti per la regolarita di una matrice simmetrica cornplessa.

7 Contents Abstract 1 Sommario Acknowledgments iii vi 1 Introduction The substructure method Rational approximations and realizations Structure of the thesis Original contributions Continuous-time and discrete-time systems Continuous-time systems in time domain Input-output description Causality Stability Continuous-time systems in transformed domains Frequency domain Laplace domain Rational continuous-time systems Causality and stability Markov parameters and Hankel matrix Realizations Minimal realization, observability and controllability matrices Extensions to MIMO systems Chen's algorithm Reciprocity Discrete-time systems in time domain Input-output description and properties Discrete-time systems in transformed domains Frequency domain z-domain Rational discrete-time systems Causality and stability Markov parameters and Hankel matrix Realizations Hankel operator and Gramians Balanced realizations and mode1 reduction Chen's algorithm... 51

8 viii CONTENTS Recursive realization Extensions to MI340 systems Mapping between continuous- and discrete-time systems Discrete-time systems by sampling and interpolation in time domain Derivation of the unit-pulse response of the discrete-time system Frequency response of the discrete-time system Rational systems Numerical integration Transformations of input-output relationship Diagonalization [Tl as transpose of kinematic matrix of a global lumped parameter mode Parallel displacements Numerical improvements Congruence transformations Ritz vectors Rational approximations The rational approximation problem Metric spaces and normed linear spaces Equation error methods in transformed domain Equation error methods in time domain Hankel-nom methods Balancing approximations Input data for rational approximation Continuouçtime system in time domain Discrete-time system in time domain Continuous-time system in frequency domain Discrete-time system in frequency domain Minimization of the Ln-norm of the equation error Complete data Partial data: least squares method Partial data: results on interpolation problem Numerical issues in least squares method Examples H-norm and balancing approximations Complete data: interpolation problem Complete data: approximation problem Partial data: interpolation problem Partial data: approximation problem The impulse invariant method Rational system& continuous to discrete-time direct mapping Rational systems: discrete to continuous-time inverse mapping Examples Local and global realizations Local realizations from impulse invariant method Discrete-time local symmetric realization Discrete-time local complex symmetric realization

9 CONTENTS ix Discrete-time local recursive realization Continuous-time local first-order symmetric realization Continuous-time local second-order syrnrnetric realization Continuous-time local complex symmetric realization Local realizations from least squares method Continuous-time symmetric realizations using discrete-element models Continuous-time local first-order symmetric realization Continuous-time local second-order symmetric realization Continuous-time global symmetric realizations Starting from the local second-order symmetric realizations Starting from the local complex symmetric realizations Seismic excitation Discrete-time global realizations Discretetime global symmetric realization Discretetime global recursive realizations Global lumped-parameter mode Global lumped-parameter model for through-soi1 coupling of surface foundations Lumped-parameter model for a massless rigid cylindrical foundation embedded in a soi1 layer on rigid rock Stability criteria for flexibility formulations Influence of structure on stability of coupled system Passivity in terms of input-output description Necessary and sufficient conditions for passivity of LTI systems Linear structure: conditions for a passive velocity stiffness transferfunction matrix Unbounded medium: sufficient conditions for a passive velocity stiffness transfer-function matrix Passivity of the inverse operator Linear structure: sufficient conditions for a passive velocity flexibility trançfer-function matrix Unbounded medium: sufficient conditions for a passive velocity flexibility transfer-function matrix Stability criterion for unbounded medium Hybrid system Stability criterion for coupled system Hybrid system Check of passivity conditions Numerical integration Discrete-time stability criterion for unbounded medium Closure Conclusions Suggestions for furt her developments Bibliography 221 Curriculum vitae 227

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