SISTEMI AUTOMATICI ED ORGANIZZAZIONE DELLA PRODUZIONE STABILITA DEI SISTEMI CRITERIO DI BODE. ESERCIZI SUL CRITERIO DI BODE Completamente svolti

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1 SISTEMI AUTOMATICI ED ORGANIZZAZIONE DELLA PRODUZIONE STABILITA DEI SISTEMI CRITERIO DI BODE ESERCIZI SUL CRITERIO DI BODE Completamente svolti A cura del prof. Michele ZIMOTTI 1

2 Esercizi sulla stabilità di un sistema ESERCIZIO A Stabilire in base ai valori dei poli, se le seguenti fdt riferite a sistemi controreazionati ad anello chiuso, caratterizzano sistemi stabili: 10(s 2)(s - 4) a) (s + 1)(s + 5)(s + 7) 15(s + 1) b) (s + 3)(s - 4)(s + 6) 20(s 2) c) s(s + 3)(s + 7) 10s d) (s j)(s + 2-2j) 30 e) (s + 2)(s j)(s -3-2j) 15(s 3) f) (s + 4)(s ) 20 g) 2 2 (s - 9)(s + 9) 2 10s h) (s + 2)(s j)(s + 1-2j) (s + 1) i) 2 s (s + 2)(s + 3) 2

3 SOLUZIONE 10(s 2)(s - 4) a) (s + 1)(s + 5)(s + 7) la fdt proposta ha tutti i poli negativi: p 1 =-1; p 2 =-5; p 3 =-7 quindi si riferisce ad un sistema stabile. Il fatto di avere zeri positivi ( z 1 =2; z 2 =4) non influisce sulla stabilità del sistema. 15(s + 1) b) (s + 3)(s - 4)(s + 6) la fdt proposta ha i poli : p 1 =-3; p 2 =+4; p 3 =-6 quindi essendo presente il polo positivo p 2, si riferisce ad un sistema instabile. 20(s 2) c) s(s + 3)(s + 7) la fdt proposta ha i poli : p 1 =0; p 2 =-3; p 3 =-7 quindi essendo presente il polo nullo p 1, si riferisce ad un sistema al limite della stabilità. 3

4 10s d) (s j)(s + 2-2j) la fdt proposta ha i poli complessi coniugati: p 1 =-2-2j; p 2 =-2+2j con la parte reale negativa, quindi essa si riferisce ad un sistema stabile asintoticamente. 30 e) (s + 2)(s j)(s -3-2j) la fdt proposta ha i poli : p 1 =-2; p 2 =+3-2j; p 3 =+3+2j i cui poli complessi coniugati presentano la parte reale positiva, quindi essa si riferisce ad un sistema instabile. 15(s 3) f) (s + 4)(s ) la fdt proposta ha i poli : p 1 = - 4; p 2 =-5j; p 3 =+5j i cui poli immaginari coniugati presentano la parte reale nulla, quindi essa si riferisce ad un sistema stabile ma non asintoticamente. 4

5 20 g) 2 2 (s - 9)(s + 9) la fdt proposta ha i poli : p 1 = - 3; p 2 =+3; p 3 =+3j; p 4 =-3j poiché è presente un polo positivo p 2, il sistema è instabile. 2 10s h) (s + 2)(s j)(s + 1-2j) la fdt proposta ha i poli : p 1 = - 2; p 2 =-1-2j; p 3 =-1+2j il sistema è stabile asintoticamente. (s + 1) i) 2 s (s + 2)(s + 3) la fdt proposta ha i poli : p 1,2 =0 ; p 3 =-2; p 4 =-3 il sistema, avendo un polo nullo doppio, è instabile. 5

6 Esercizio B Stabilire se i seguenti sistemi, sollecitati da impulsi unitari o da segnali limitati in ingresso, sono stabili, asintoticamente stabili o instabili, in base al tipo di risposta. 1 Poiché l ingresso limitato produce un uscita di ampiezza limitata, il sistema è STABILE ma non asintoticamente. 2. se l ingresso è un segnale di tipo impulsivo, per caratterizzare un sistema stabile, la risposta deve tendere a zero e non essere limitata in ampiezza: quindi nel nostro caso il sistema è INSTABILE 6

7 3. Poiché l ingresso è un segnale di tipo impulsivo e la risposta tende a zero il sistema è STABILE 4. Poiché la risposta ad un segnale limitato in ampiezza tende a zero, il sistema è asintoticamente STABILE 5. Poiché la risposta ad un segnale impulsivo unitario tende a zero, il sistema è STABILE 7

8 6. Il sistema è stabile ma non asintoticamente, risposta limitata ad un segnale limitato 7. Poiché la risposta ad un segnale limitato in ampiezza diverge, il sistema è INSTABILE 8. Poiché la risposta ad un segnale impulsivo unitario tende a zero, il sistema è STABILE 8

9 9. Poiché la risposta ad un segnale impulsivo diverge, il sistema è INSTABILE. (Per essere stabile deve tendere a zero) ESERCIZIO C CRITERIO DI BODE 1. Dato il sistema controreazionato di figura determinare se è stabile tramite il criterio di BODE: 9

10 dove 20 s(1-2s) H(s) 1 = (1 + s) Soluzione La fdt ad anello aperto G(s)H(s) risulta 20) G(s)H(s) = s(1-2s)(1 + s) E poichè presenta un polo p=1/2 positivo, il sistema a cui è associata, è instabile e pertanto il criterio non può essere applicato. 2. Determinare se il sistema rappresentato in figura è stabile applicando il criterio di BODE Soluzione: La fdt ad anello aperto è: 10s G1(s)G2(s)H(s) == (s + 1)(s + 4)(s + 2) 10

11 Pertanto è stabile perchè presenta poli negativi, ma essendo la controreazione positiva, il criterio di BODE non può essere applicato. 3. Determinare, mediante il criterio di BODE, se il sistema rappresentato in figura è stabile: La fdt ad anello aperto del sistema 10(1-2s) G1(s)G2(s) == (1 + 3s)(1 + 5s) Risulta stabile presentando i poli p 1 =-1/3 e p 2 =-1/5 negativi, però non essendo a sfasamento minimo per avere uno zero positivo z 1 =1/2, il criterio di BODE non può essere applicato 11

12 ESERCIZIO D Si discuta la stabilità dei sistemi rappresentati a catena aperta dalle seguenti fdt mediante il criterio di BODE: 20(1 + s) a. G(s)H(s) == s(1 + 0,16s)(1 + 10s) -10(1 + s) b. G(s)H(s) == (1 + 4s)(1 + 10s) 30s c. G(s)H(s) == 2 (1 + 10s) (1 + 0,2s) 2 10(1 + s) d. G(s)H(s) == 2 s (1 + 2s)( s) 5(1 + 5s)( s) e. G(s)H(s) == (1 + 50s)( s)(1 + 0,1s) 0.5(1 + 20s) f. G(s)H(s) == (1 + 2s)( s)(1 + 0,05s) 12

13 Soluzione a. Il diagramma di BODE delle attenuazioni 20(1 + jw) G(jw)H(jw) == jw(1 + 0,16jw)(1 + 10jw) Il guadagno statico Go[dB]= 20 Log20= 26 db Le pulsazioni d angolo: hw 1 =1 rad/s iw* 2 =1 rad/s ( polo nullo origine) iw 3 = 1/0,16= 6.25 rad/s iw 4 =1/10= 0.1 rad/s Modulo 13

14 Fase 14

15 Essendo il modulo della fase, in corrispondenza della w t = 2 rad/s a 0 db, inferiore a 180, il sistema risulta STABILE e il margine di fase mdf=circa = circa 40 Lo sfasamento in corrispondenza della w t =2 rad/s si può determinare applicando la seguente formula ϕ t =ϕ(ω t )=arctgω t τ 1 + arctgω t τ 2 +arctgω t τ 3...-g arctgω t T 1 -arctgω t T 2 -arctgω t T 3 = arctg(2*1) arctg(2*0.16)- arctg(2*10)= = =

16 b. Il diagramma di BODE delle attenuazioni -10(1 + jw) G(jw)H(jw) == (1 + 4jw)(1 + 10jw) Il guadagno statico Go[dB]= 20 Log10= 20 db Le pulsazioni d angolo: hw 1 =1 rad/s iw 2 =1/4=0.25 rad/s iw 3 = 1/10= 0.1 rad/s Modulo 16

17 Fase Modulo 17

18 Fase Il sistema è INSTABILE 18

19 c. Il diagramma di BODE delle attenuazioni 30(jw) G(jw)H(jw) == 2 (1 + 10jw) ( jw) Il guadagno statico Go[dB]= 20 Log30= 29.5 db Le pulsazioni d angolo: hw* 1 =1 rad/s ( origine) iiw 2 =1/10=0.1 rad/s iw 3 = 1/0.2= 5 rad/s Modulo 19

20 Fase Modulo 20

21 Fase Il sistema è STABILE 21