CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE DEI SEGNALI

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1 INGEGNERIA E ECNOLOGIE DEI SISEMI DI CONROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica CAMPIONAMENO E RICOSRUZIONE DEI SEGNALI Ing. Cristian Secchi el secchi.cristian@unimore.it

2 Campionamento e Ricostruzione I sistemi in retroazione con controllo digitale sono caratterizzati da una parte continua (il processo da controllare) e una parte discreta (il controllore digitale) sono quindi presenti sia variabili a tempo discreto sia variabili a tempo continuo i dispositivi di interfaccia sono: campionatore (convertitore A/D) - converte un segnale a tempo continuo in una sequenza di campioni prelevati negli istanti t =0,,2,...,dove è il periodo di campionamento ricostruttore (convertitore D/A) - es. campionatore di ordine zero e(t) e(k) x(k) x r (t) Controllore Ricostruttore Cristian Secchi ISC03 p.2/48

3 Ricostruttore di ordine zero Il ricostruttore di uso più frequente è il ricostruttore di ordine zero, detto anche circuito di tenuta (Hold), il quale mantiene in uscita per k t<(k +1) il valore numerico ricevuto in ingresso all istante t = k. Ponendo la sequenza x(k) in ingresso al ricostruttore di ordine zero si ottiene in uscita il segnale ricostruito x r (t): x r (t) = x(k)[h(t k) h(t (k +1) )] k=0 dove h(t t 0 )= { 0 t<t 0 1 t t 0 Cristian Secchi ISC03 p.3/48

4 Ricostruttore di ordine zero Applicando la trasformata di Laplace al segnale continuo x r (t) e ricordando che L[h(t k)] = e k s /s: L[x r (t)] = X r (s) = = 1 e s s [ e k s e (k+1)s ] x(k) s k=0 x(k)e k s k=0 Cristian Secchi ISC03 p.4/48

5 Ricostruttore di ordine zero X r (s) = 1 e s s x(k)e k s X r (s) può essere espressa come prodotto delle due seguenti funzioni: k=0 H 0 (s) = 1 e s s, X (s) = x(k)e k s k=0 La funzione X (s) è la trasformata di Laplace di un segnale x (t) che è funzione della sequenza di campioni x(k). Antitrasformando si ottiene x (t) =L 1 [X (s)] = x(k)δ(t k) k=0 dove δ(t k) é l impulso di Dirac di area unitaria applicato all istante t = k. Cristian Secchi ISC03 p.5/48

6 Campionamento impulsivo Indicando con δ (t) la sequenza di impulsi di Dirac δ (t) = δ(t k) k=0 δ (t) t É possibile scrivere il segnale x (t) come: x (t) =x(t) δ (t) Il segnale x (t) rappresenta quindi una sequenza di impulsi di Dirac modulati in ampiezza dai campioni x(k). L operazione di moltiplicazione di un segnale x(t) per una sequenza di impulsi δ (t) prende il nome di campionamento impulsivo del segnale x(t). Cristian Secchi ISC03 p.6/48

7 Campionamento Impulsivo Indicheremo il campionamento impulsivo mediante i seguenti simboli. x(t) X(s) δ (t) x (t) X (s) x(t) X(s) δ (t) x (t) X (s) Il campionatore impulsivo è un modello ideale del campionatore reale (convertitore A/D) considerato adeguato alle esigenze di analisi e progetto dei controlli digitali. Il campionatore impulsivo è un modello ideale del campionatore reale (convertitore A/D) considerato adeguato alle esigenze di analisi e progetto dei controlli digitali. Cristian Secchi ISC03 p.7/48

8 Descrizione matematica del campionatore/ricostruttore x(t) x(k) x r (t) Hold x(t) x (t) 1 e s x r (t) δ s X r (s) =H 0 (s) X (s) = 1 e s X (s) s H 0 (s) é una descrizione matematica del ricostruttore di ordine zero quando il campionatore reale viene sostituito da un campionatore ideale di tipo impulsivo. Cristian Secchi ISC03 p.8/48

9 Legame tra trasformata di Laplace e trasformata Zeta Si consideri ancora la trasformata di Laplace del segnale impulsivo x (t) =x(t)δ (t): X (s) = x(k)e k s Definiamo z come Allora si ha che: k=0 z = e s s = 1 ln z X (s) 1 = s = ln z x(k) z k Il termine a destra é uguale alla Z-trasformata della sequenza di campioni x(0), x( ), x(2 ),..., ovvero la Z-trasformata del segnale x(t) campionato negli istanti t = k. k=0 Cristian Secchi ISC03 p.9/48

10 Legame tra trasformata di Laplace e trasformata Zeta Allora si può scrivere: X (s) s = 1 ln z = X ( ) 1 ln z = X(z) = x(k) z k k=0 da cui risulta chiara la corrispondenza esistente tra la trasformata di Laplace X (s) del segnale campionato ad impulsi di Dirac e la Z-trasformata X(z) della sequenza di valori x(k). L uso della trasformata zeta della sequenza x(k) anziché quello della trasformata di Laplace del segnale x (t) è motivato dal fatto di voler operare con funzioni razionali fratte anziché con funzioni trascendenti di variabile complessa. Cristian Secchi ISC03 p. 10/48

11 Spettro del segnale campionato Vediamo ora in maggior dettaglio qual è il legame tra la trasformata di Laplace X (s) del segnale campionato e la trasformata di Laplace X(s) del segnale originario. Supponendo che il segnale x(t) sia nullo per t<0, il segnale campionato x (t) può essere espresso come il prodotto di x(t) per la sequenza δ (t) di impulsi di Dirac di area unitaria estesa a tutto l asse del tempo, ossia considerando come estremo inferiore della sommatoria n = x (t) =x(t) δ (t) =x(t) n= δ(t n ) Cristian Secchi ISC03 p. 11/48

12 Spettro del segnale campionato Essendo periodico di periodo, δ (t) può essere sviluppato in serie di Fourier: δ (t) = n= c n e jnω st, c n = 1 0 δ (t) e jnω st dt = 1 dove ω s =2π/ e dove si è utilizzata la seguente proprietà dell impulso di Dirac: β f(τ) se τ ]α, β[ δ(t τ)f(t)dt = α 0 altrimenti Si può quindi scrivere: x (t) =x(t) 1 n= e jnω st = 1 n= x(t) e jnω st Cristian Secchi ISC03 p. 12/48

13 Spettro del segnale campionato Applicando la trasformata di Laplace e utilizzando le proprietà di linearità e di traslazione complessa si ottiene: X (s) =L[x (t)] = 1 n= L [ x(t) e jnω st ] = 1 n= X(s jnω s ) A meno della costante moltiplicativa 1/, la trasformata di Laplace X (s) del segnale campionato si ottiene dalla somma degli infiniti termini X(s jnω s ), ciascuno dei quali è ottenuto da X(s) mediante traslazione di jnω s nel campo complesso. Cristian Secchi ISC03 p. 13/48

14 Spettro del segnale campionato Per comprendere bene il processo di campionamento da un punto di vista frequenziale, prendiamo ora in considerazione un segnale x(t) avente uno spettro limitato in frequenza, o come spesso si dice a banda limitata. X (jω)= 1 n= X(jω jnω s) X(jω) 1 ω c 0 ω c ω Il segnale x(t) non contiene nessuna componente frequenziale al di sopra della pulsazione ω c. Cristian Secchi ISC03 p. 14/48

15 Spettro del segnale campionato L andamento spettrale del segnale campionato si ottiene sostituendo jω al posto della variabile complessa s nell espressione di X (s). X (jω)= 1 n= X(jω jnω s ) Nel caso in cui ω s > 2ω c. X (jω) 2ω ω 0 ω c s s ω s 2ω 3ω s ω s ω s 3ω s s Nello spettro frequenziale X (jω) la componente X(jω) / è chiamata componente primaria, mentre tutte le altre componenti X(jω ± jnω s ) / (n 0) sono chiamate componenti complementari. La condizione ω s > 2ω c mantiene distinta la componente primaria da quelle complementari per cui, mediante filtraggio, è possibile ricostruire completamente il segnale x(t) a partire da quello campionato x (t). Cristian Secchi ISC03 p. 15/48 1 ω

16 Spettro del segnale campionato Nel caso in cui ω s < 2ω c X (jω) 1 2ω s ω s 0 ω s 2ω s ω La componente primaria è parzialmente sovrapposta alle componenti complementari contigue per cui mediante filtraggio NON è più possibile ricavare il segnale originario a partire dal segnale campionato. Cristian Secchi ISC03 p. 16/48

17 eorema di Shannon Le consideraioni fatte finora sono riassunte nel noto eorema di Shannon: Sia ω s = 2π campionamento, e sia ω c la più alta componente spettrale del segnale tempo-continuo x(t). Il la pulsazione di campionamento (detta pulsazione di Nyquist) ove è il periodo di segnale x(t) è completamente ricostruibile a partire dal segnale campionato x (t) se la pulsazione di campionamento è maggiore del doppio della pulsazione ω c : ω s > 2ω c Cristian Secchi ISC03 p. 17/48

18 Filtraggio Ideale La ricostruzione di x(t) avviene filtrando il segnale campionato x (t) mediante un filtro ideale G I (jω) avente il seguente spettro: G I (jω)= G I (jω) ω s 2 ω ω s 2 0 altrove 0 ω s ω s 2 2 Il filtro ideale G I (jω) non è fisicamente realizzabile, ossia G I (jω) non rappresenta un sistema causale. Questo si può vedere calcolando la risposta all impulso g I (t) del filtro. Avendo a disposizione l andamento spettrale G I (jω), per calcolare g I (t) utilizziamo la trasformata inversa di Fourier: g I (t) = 1 2π = 2πjt G I (jω)e jωt dω = 1 2π ωs 2 ω s 2 e jωt dω [ ] e jωst/2 e jω st/2 = πt sin ω st 2 = sin(ω st/2) ω s t/2 Cristian Secchi ISC03 p. 18/48

19 Filtraggio Ideale La risposta all impulso g I (t) è diversa da zero anche per t<0. Adunimpulsodi Dirac applicato all istante t =0,ilfiltro G I (jω) risponde con un segnale che è non nullo anche per t<0. Il sistema G I (jω) risulta dunque anticipativo e quindi non fisicamente realizzabile. Cristian Secchi ISC03 p. 19/48

20 Filtraggio Ideale Utilizzando G I (jω) si ottiene la formula di ricostruzione (di Shannon): = x(k) k= x(t) = x (τ) g I (t τ) dτ δ(τ k) sin(ω s(t τ)/2) ω s (t τ)/2 dτ ossia, per la proprietà dell impulso di Dirac x(t) = k= x(k) sin(ω s(t k)/2) ω s (t k)/2 Per ricostruire il segnale originario al tempo t occorrono tutti i campioni x(k) passati e futuri. Nei problemi riguardanti controlli in retroazione tale soluzione non può essere assolutamente adottata. Cristian Secchi ISC03 p. 20/48

21 Filtraggio Ideale Siccome non è possibile realizzare fisicamente il filtro ideale, e siccome i segnali di controllo reali hanno sempre contenuti armonici ad elevata frequenza dovuti a rumori di varia natura, ne consegue che, indipendentemente dal periodo di campionamento scelto, non è mai possibile ricostruire esattamente un segnale a tempo continuo a partire dal corrispondente segnale campionato. In pratica, si ottengono risultati soddisfacenti introducendo prima del campionamento un filtro che garantisca sufficiente attenuazione (es 40 db ed oltre) per ω ω s /2. Nel campo dei controlli, i ricostruttori che vengono utilizzati in pratica sono i ricostruttori di ordine zero, di ordine uno, ecc. Essi hanno una risposta frequenziale che è solo una grossolana approssimazione di quella del filtro ideale. Essi hanno tuttavia il pregio di essere causali e facilmente realizzabili. Cristian Secchi ISC03 p. 21/48

22 Aliasing aliasing: fenomeno per il quale, mediante campionamento, si generano nuove componenti spettrali (armoniche) alla stessa frequenza della componente spettrale di partenza. ali armoniche impediscono la corretta ricostruzione del segnale di partenza. Si può avere aliasing solo nel caso in cui la condizione ω s > 2ω c del teorema di Shannon non sia verificata. Cristian Secchi ISC03 p. 22/48

23 Sistemi del secondo ordine Campionamento della risposta all impulso del un sistema del secondo ordine: 25 G(s) = s 2 +6s +25 Il sistema G(s) ha un guadagno statico unitario, ha due poli complessi coniugati p 1,2 = 3 ± j4, pulsazione naturale ω n =5rad/s e coefficiente di smorzamento δ =3/5. Diagramma di Bode della ampiezze di G(jω): 0 scala logaritmica G(jw) (db) scala lineare G(jw) Cristian Secchi ISC03 p. 25/48

24 Sistemi del secondo ordine Applicando la Z-trasformata si ha: G(z) =Z[g(t)] = 25 4 e 3 sin(4 ) z z 2 2e 3 cos(4 ) z + e 6 Ricordando il legame tra la trasformata Z e la trasformata di Laplace, lo spettro del segnale campionato g (t) é dato da: G (jω)=g(z) z = e jω 0 ω π Al variare del periodo di campionamento varia l andamento spettrale della G (jω) Cristian Secchi ISC03 p. 26/48

25 Sistemi del secondo ordine Per ω s 2 =10ω n = ω = π ω = π 50 e = π ω = π 25 si hanno gli andamenti spettrali: Avvicinando la pulsazione di campionamento ω s a ω n le componenti spettrali complementari tendono ad avvicinarsi e a sovrapporsi sempre più. In questo caso, mediante filtraggio, non è più possibile ricostruire il segnale x(t) a partire da x (t). Cristian Secchi ISC03 p. 27/48

26 Ricostruttori di segnale x(k) Ricostruttore x r (t) I ricostruttori di segnale sono dispositivi che ricevono in ingresso una sequenza x(k) di valori campionati e forniscono in uscita un segnale continuo x r (t) che in qualche modo approssima il segnale x(t) da cui è stata ricavata la sequenza x(k). Quelli di uso più comune si ottengono dall espansione in serie di aylor del segnale x(t) nell intorno del punto t = k: x(t) =x(k)+ dx(t) dt (t k)+ d2 x(t) (t k) 2 t=k dt 2 t=k 2! + essendo dispositivi di interfaccia tra sistemi tempo-discreti e tempo-continui, possono essere rappresentati da una funzione di trasferimento continua H r (s) solo se la sequenza x(k) viene interpretata come una sequenza di impulsi di Dirac aventi area pari ai valori x(k) Cristian Secchi ISC03 p. 28/48

27 Ricostruttori di Segnale Avendo a disposizione solamente i valori campionati x(k), le derivate del segnale x(t) nel punto t = k vengono calcolate secondo le seguenti espressioni: dx(t) dt d 2 x(t) dt 2 t=k k x(k) x((k 1) ) dx(t) t=k dx(t) dt dt t=(k 1) x(k) 2 x((k 1) )+x((k 2) ) 2 Il numero di termini derivativi che vengono presi in considerazione nell espansione di aylor è detto ordine del ricostruttore. Al crescere dell ordine migliora la capacità di ricostruzione del dispositivo, ma aumentano anche la complessità realizzativa del dispositivo stesso e gli effetti negativi dovuti all introduzione di ritardi più elevati nell anello di controllo. Cristian Secchi ISC03 p. 29/48

28 Ricostruttore di ordine zero Il legame ingresso-uscita è: x 0 (t) =x(k), k t<(k +1) La risposta all impulso del sistema g 0 (t) g 0 (t) 1 0 t Indicando con h(t t ) la funzione gradino unitario applicata all istante t = t, la funzione di trasferimento H 0 (s) del ricostruttore di ordine zero si ottiene trasformando secondo Laplace la risposta all impulso g 0 (t): H 0 (s) =L[g 0 (t)] = L[h(t) h(t )] = 1 s e s s = 1 e s s Cristian Secchi ISC03 p. 30/48

29 Ricostruttore di ordine uno Fornisce in uscita un segnale x(t) che è funzione non solo del campione x(k) all istante t = k, ma anche del campione x((k 1) ) all istante precedente. L uscita é data da: x 1 (t) =x(k)+ x(k) x((k 1) ) (t k) per k t<(k +1). La risposta all impulso g 1 (t) è: g 1 (t) t Cristian Secchi ISC03 p. 31/48

30 Ricostruttore di ordine uno Indicando con h(t k) e r(t k) rispettivamente il gradino e la rampa unitaria applicati all istante t = k, la risposta all impulso g 1 (t) èla seguente: g 1 (t) =h(t)+ r(t) 2 h(t ) 2 r(t ) + h(t 2 )+ r(t 2 ) La funzione di trasferimento H 1 (s) é: H 1 (s) = 1 s + 1 2e s s 2 s 2 e s s 2 + e 2s s + e 2s s 2 = 1+s ( 1 e s s ) 2 Ricostruttori di ordine più elevato (due, tre, ecc.) in genere non vengono utilizzati per l eccessiva complessità realizzativa e per gli eccessivi ritardi introdotti nell anello di controllo. Cristian Secchi ISC03 p. 32/48

31 Ricostruttore di ordine frazionario É una variante del ricostruttore di ordine uno. La relazione ingresso-uscita è: x f (t) =x(k)+k x(k) x((k 1) ) (t k), 0 K 1 La risposta all impulso g f (t) ha il seguente andamento: g f (t) 1 K = t La funzione di trasferimento H f (s) vale: H f (s) = K + s ( 1 e s s ) 2 +(1 K) (1 e s ) s e s Cristian Secchi ISC03 p. 33/48

32 Ricostruttore ad uscita continua Questo ricostruttore viene utilizzato nei casi in cui si desideri avere un segnale continuo all uscita del ricostruttore in modo da non sollecitare eccessivamente l attuatore. L uscita é data da: x c (t) =x((k 1) )+ x(k) x((k 1) ) (t k) per k t<(k +1). La risposta all impulso g c (t) ha il seguente andamento: g c (t) 1 0 t 2 Ad essa corrisponde la funzione di trasferimento: ( 1 e s g c (t) = r(t) 2 r(t ) + r(t 2 ) ) 2 H c (s) = 1 s Cristian Secchi ISC03 p. 34/48

33 Ricostruttori di segnale - panoramica x(k) x 0 (t) x 1 (t) x f (t) x c (t) t t t t t Sequenza di campioni Ordine zero Ordine uno Ordine K =0.5 Ad uscita continua Cristian Secchi ISC03 p. 35/48

34 Ricostruttori di Segnale Per la sua semplicità realizzativa, il ricostruttore di ordine zero è quello utilizzato nella quasi totalità delle applicazioni pratiche. Cristian Secchi ISC03 p. 36/48

35 Corrispondenza tra piano s e piano z La trasformata di Laplace X (s) del segnale campionato è legata alla trasformata zeta X(z) della sequenza di campioni x(k) dalla relazione: X (s) =X(z) z=e s Le variabili complesse s e z sono legate fra di loro dalla relazione: Posto s = σ + jω si ha: z = e s z = e (σ+jω) = e σ e jω = e σ 2kπ j(ω+ e ), k intero Punti del piano s la cui pulsazione differisce di un multiplo intero della pulsazione di campionamento 2π/ vengono trasformati nello stesso punto del piano z. Quindi la relazione non è biunivoca. Cristian Secchi ISC03 p. 37/48

36 Corrispondenza tra piano s e piano z z = e σ e jω I punti del piano s a parte reale negativa (σ <0) sono in corrispondenza con i punti del piano z all interno del cerchio unitario: z = e σ < 1 I punti sull asse immaginario (σ =0) vengono mappati sul cerchio unitario ( z =1), mentre quelli a parte reale positiva (σ >0) vengono mappati all esterno del cerchio unitario ( z > 1). È possibile suddividere il piano s in strisce orizzontali di ampiezza ω s tali che ogni striscia sia in corrispondenza biunivoca con tutto il piano z. La striscia di piano s delimitata dalle rette orizzontali s = jω s /2 e s = jω s /2 prende il nome di striscia primaria Cristian Secchi ISC03 p. 38/48

37 Corrispondenza tra piano s e piano z jω Striscia complementare Striscia complementare Striscia primaria Striscia complementare Striscia complementare j ω s 2 j 3ω s 2 j ω s 2 0 σ 0 1 Re j ω s 2 j 3ω s 2 j 5ω s 2 piano s Im 1 piano z Cristian Secchi ISC03 p. 39/48

38 Mapping tra striscia primaria e piano z jω Striscia 1 primaria piano s j ω s 2 j ω s 4 0 σ 6 j ω Re s 4 j ω s 2 Im piano z 1 Cristian Secchi ISC03 p. 40/48

39 Mapping tra luoghi noti del piano s e il piano z È particolarmente utile evidenziare i luoghi dei punti nel piano z corrispondenti a noti luoghi del piano s (limitati, per le considerazioni fatte, alla sola striscia primaria). Cristian Secchi ISC03 p. 41/48

40 Luoghi a decadimento esponenziale costante jω piano s Im piano z e σ 2 0 σ σ 1 σ 2 1 e σ 1 Re s = σ + jω z = e (σ+jω) = e σ e jω = e σ Cristian Secchi ISC03 p. 42/48

41 Luoghi a pulsazione costante jω piano s z = e (σ+jω 2) Im piano z j ω s 2 jω 2 jω 1 0 σ jω 1 1 ω 1 ω 1 z = e (σ+jω 1) 1 Re j ω s 2 z = e (σ jω 1) Cristian Secchi ISC03 p. 43/48

42 Luoghi dei punti a smorzamento δ costante Nel piano s, il luogo dei punti a cui corrisponde un coefficiente di smorzamento costante δ = δ 1 è una retta uscente dall origine s =0, che forma con il semiasse immaginario positivo un angolo β pari a arcsin δ 1. s = ω tan β + jω = ω δ 1 1 δ jω, ω 0 jws/2 piano s piano z jws/2 z = e s = e ( ω tan β+jω) = e ϕ tan β e jϕ, ϕ = ω Cristian Secchi ISC03 p. 44/48

43 Luoghi a smorzamento δ costante jws/2 piano z piano s -1 1 jws/2 Cristian Secchi ISC03 p. 45/48

44 Posizione dei poli in z e risposte campionate I punti del piano s e del piano z, posti in corrispondenza, possono essere interpretati anche come poli corrispondenti di trasformate F (s) ed F (z), dove F (z) è calcolata campionando F (s). Usando i luoghi caratteristici individuati si possono assegnare caratteristiche di risposta nel tempo alle posizioni dei poli nel piano z. Bisogna notare che, supposte soddisfatte le condizioni di Shannon sul campionamento, le caratteristiche di una funzione f(t) campionata sono le stesse della funzione prima del campionamento. Per esempio, ad una funzione esponenziale corrisponde un andamento esponenziale della sequenza dei suoi valori campionati Cristian Secchi ISC03 p. 47/48

45 Posizione dei poli in z e risposte campionate Cristian Secchi ISC03 p. 48/48

46 INGEGNERIA E ECNOLOGIE DEI SISEMI DI CONROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica CAMPIONAMENO E RICOSRUZIONE DEI SEGNALI Ing. Cristian Secchi el secchi.cristian@unimore.it