Code a priorità (Heap) Definizione Heapify (mantenimento coda a priorità) Costruire un Heap Insert, Maximum e Extract-Max

Transcript

1 Code a prortà (Heap) Defnzone Heapfy (mantenmento coda a prortà) Costrure un Heap Insert, Maxmum e Extract-Max

2 Coda a prortà (Heap) Una coda a prortà può essere rappresentato da un albero bnaro completo. La chave del padre è sempre maggore d quella de fgl: key() key(parent()). Albero bnaro completo: Sono rempt tutt lvell eccetto possblmente l ultmo. Altezza=Θ(log(n)) 6 Coda a prortà: 4 0 Il nodo a maggore prortà (con la chave pù grande) sta n cma. Nota: s può ragonare n manera analoga quando s pone che key() key(parent()). 4

3 Heap tramte un Array Una coda a prortà può essere mplementato tramte un array (A). A[PARENT()] A[]. PARENT(j). return LEFT(). return j/ RIGHT(). return + heap-sze[a] length[a] 0 0 A n

4 Heapfy (mantenmento coda a prortà) S sstema l elemento A[]: s suppone gl alber con radce LEFT() e RIGHT() sano degl Heap. HEAPIFY(A,) // sstema A[] nel Heap. l LEFT() // fglo sx. r RIGHT() // fglo dx. f l heap-sze[a] and A[l] > A[] // cerca l maggore fra padre e 4. then magg l // due fgl (se c sono ) 5. else magg 6. f r heap-sze[a] and A[r] > A[magg]. then magg r. f magg // l magg è uno de due fgl. then scamba A[] A[magg] 0. HEAPIFY(A,magg)

5 Esempo Heapfy All nzo s chama HEAPIFY(A,)

6 Esempo Heapfy Il costo n termne d tempo è nel caso peggo l altezza dell albero. O(h) = O(log(n))

7 BUILD-HEAP(A) Costrure l Heap. heap-sze[a] length[a] // // stratega bottom-up: dal basso verso l alto. for length[a]/ downto // dalla metà n su. do HEAPIFY(A,) // sotto la metà sono tutte fogle Il costo d HEAPIFY è O(log(n)) e vene chamato O(n) volte. Qund un lmte del caso peggore è O(n log(n)). In realtà, l caso peggore può essere stmato come O(n). n h h O( h) = O( n ) = O( n ) = O(n) = O( n) h + h+ h+ h= 0 h= log n log n h= 0 0 = Rappresenta l massmo numero d sottoalber pen ad altezza h (avendo a dsposzone n element)

8 Esempo costruzone Heap A S comnca da qua Fogle

9 Esempo costruzone Heap Stratega button-up: dal basso verso l alto s chama HEAPIFY su tutte nod ntern

10 Esempo costruzone Heap Stratega button-up: dal basso verso l alto s chama HEAPIFY su tutte nod ntern

11 Altre operazon MAXIMUM(A): rtorna l elemento a massma prortà, ossa quello n cma. EXTRACT-MAX(A): estrae l elemento a massma prortà, successvamente l Heap andrebbe sstemato INSERT(A): nsersce un nuovo elemento nel Heap.

12 MAXIMUM e EXTRACT-MAX MAXIMUM(A) ha un tempo d esecuzone costante, O() MAXIMUM(A) // resttusc l elem. a magg. prortà,. return A[] // ossa quello n cma EXTRACT-MAX(A) ha un tempo d esecuzone O(log(n)), dovuto alla chamata HEAPIFY(). EXTRACT-MAX(A) // Estrae elemento a maggore prortà. f heap-sze[a] < // heap vuoto?. then error heap underflow. max A[] // memorzza elem. In cma 4. A[] A[heap-sze[A]] // mett l ultmo elemento n cma 5. heap-sze[a] heap-sze[a] // heap dmnusce d elem. 6. HEAPIFY(A,) // HEAPIFY sul elem.. return max // resttusc l elem. a magg. prortà

13 HEAP-INSERT HEAP-INSERT(A, KEY) ha un tempo d esecuzone O(log(n)), nel caso peggore s rsale l albero dalla fogla alla radce. HEAP-INSERT(A, key) // Insersc elemento nell Heap. heap-sze[a] heap-sze[a] + // aumenta Heap d elemento. heap-sze[a] // nza dall elem. nserto (ultmo). whle > and A[PARENT()]<key // l nuovo elem. Vene fatto 4. do A[] A[PARENT()] // rsalre 5. PARENT() 6. A[] key // fno a trovare l suo posto

14 Insermento n un Heap HEAP-INSERT(A, 5) key=5 L Heap vene aumentato d un elemento. S procede po a rsalre l albero per trovare l suo posto Nuovo elemento key = 5 0 4

15 Insermento n un Heap HEAP-INSERT(A, 5) key=5 L Heap vene aumentato d un elemento. S procede po a rsalre l albero per trovare l suo posto

16 Consderazon La struttura dat Heap gestsce una coda a prortà. Vene estratto l elemento a maggore prortà (es. quello con chave maggore) S può nvertre la relazone con l padre, se key() key(parent()). In questo caso l elemento a maggore prortà è l elemento pù pccolo Heap-sort: algortmo d ordnamento che usa un Heap. S estrae ogn volta l elemento pù pccolo fno ad ottenere un vettore ordnato. Tempo O(n log(n)).