1. Cosa si intende dicendo che A e B sono eventi indipendenti.;

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "1. Cosa si intende dicendo che A e B sono eventi indipendenti.;"

Transcript

1 Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Corso di Matematica e Statistica esercizi di calcolo delle probabilità BASI. Esercizio 1 Siamo alle battute conclusive di una partita al Gioco dell Oca; al giocatore Verde, che sopravanza il giocatore Nero di due caselle, è sufficiente realizzare un 3 per raggiungere la meta. I due giocatori lanciano contemporaneamente un dado (a sei facce): nel caso entrambi raggiungano la meta la partita è considerata patta. Determinare la probabilità che, con un lancio di dadi: 1) il giocatore Verde vinca la partita; 2) il giocatore Nero vinca la partita; 3) la partita finisca in patta; 4) nessuno dei due giocatori raggiunga la meta. Esercizio 2 Siano A, B eventi in uno spazio di eventi Ω. 1. Cosa si intende dicendo che A e B sono eventi indipendenti.; 2. è vero che se A e B sono indipendenti allora anche i loro complementari A e B lo sono? si cerchi di provare in modo rigoroso l affermazione fatta. 3. Da un mazzo di carte napoletane (40 carte in 4 semi diversi) viene estratta una carte; si dica quali coppie fra quelle che si possono costituire fra i seguenti eventi sono indipendenti: A : la carta estratta è un due; B : la carta estratta è una carta di bastoni; C: la carta estratta ha valore minore o uguale a 5; Esercizio 3 Siano A e B eventi in uno spazio di eventi Ω. Cosa si intende dicendo che A e B sono incompatibili? Si dica poi quali fra le seguenti affermazioni sono vere: 1. se A e B sono incompatibili allora p(a) + p(b) 1; 2. se p(a) + p(b) 1 allora A e B sono incompatibili; 3. se A e B sono incompatibili allora A e B sono incompatibili. Esercizio 4 1. Qual è la probabilità che, lanciando tre dadi non truccati la somma dei punti sia minore uguale a sei? 2. Qual è la probabilità che la somma sia 6 sapendo che il primo dado dà 1? Esercizio 5 In un lancio di due dadi a sei facce, si determini la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi A: esce almeno un 3; B: esce almeno un 3 sapendo che esce almeno un numero dispari; C: esce almeno un 3 sapendo che esce almeno un numero pari. Esercizio 6 Dei due eventi A, B (di uno stesso spazio Ω) si conosce p(a) 0.75, p(b) 0.6, p(a B) 0.2 (dove, come usuale, B Ω \ B). Si determini: 1. p(a B); 2. p(a B); 3. p(b A).

2 Esercizio 7 La ruota di una roulette contiene i numeri da 1 a 36 (non contiamo lo 0; quindi non si tratta di una vera roulette da casinò). 1. Un giocatore punta un euro sul pari ed un euro sul quadrato costituito dall insieme di numeri {8, 9, 11, 12}; qual è la probabilità che il giocatore vinca qualcosa? 2. Giocando per tre volte di seguito la prima dozzina {1, 2,..., 12}, qual è la probabilità di vincere almeno una volta? PROBABILITÀ CONDIZIONATA. Esercizio 8 Di tre eventi A, B e C (di uno stesso spazio) si conosce Si determini: p(a C) 0.2, p(b C) 0.4, p(a B C) p(a B C); 2. p(a C B); 3. p(a B C). Esercizio 9 Ad una svendita fallimentare il prof. B acquista una partita di 150 lampadine, il 20% delle quali sono fulminate. Sapendo che 100 lampadine sono di colore rosso e 50 giallo, e che la probabilità che una lampadina rossa sia fulminata è il doppio della probabilità che lo sia una lampadina gialla, si dica: 1. qual è la probabilità che una lampadina rossa sia fulminata; 2. qual è la probabilità che una lampadina funzionante sia gialla. Esercizio 10 Durante una seduta spiritica vi è incertezza se lo spirito evocato sia quello di Dante o quello di Petrarca. Alla domanda del medium: Chi sei?, lo spirto risponde: Dante, ovvia!. Sapendo che la probabilità che si tratti di ciascuno dei due sommi letterati è la stessa (cioè 0, 5) e che lo spirito di Dante mente nel 72% dei casi mentre quello di Petrarca mente nel 38% dei casi, si dica qual è la probabilità che lo spirito evocato sia effettivamente quello di Dante. In un altra occasione, alla domanda del medium lo spirto (che si sa essere quello di Dante o quello di Petrarca) risponde con una palese menzogna. Qual è la probabilità che si tratti di Dante? Esercizio 11 Trattate con solfato ferroso due specie di batteri non facilmente distinguibili presentano statisticamente il seguente comportamento: nella specie X diventa azzurro il 30% dei batteri, nella specie Y il 60%. Un trattamento su una cultura mista di batteri X e Y dà come esito l azzurramento del 40% dei batteri. 1. Si dica quale percentuale della coltura è, statisticamente, composta da batteri di specie X. 2. Osservando al microscopio si vede un batterio divenuto azzurro; si dica qual è la probabilità che appartenga alla specie X. Esercizio 12 L arciere Tuk colpisce il centro del bersaglio nel 60% dei casi; l arciere Kuk nel 42%, e l arciere Buk nel 50%. Ad una gara di tiro, ciascuno di loro scaglia una freccia: 1. qual è la probabilità che il bersaglio sia stato centrato almeno una volta? 2. qual è la probabilità che il bersaglio sia stato centrato almeno due volte? 2

3 3. sapendo che il bersaglio è stato centrato, qual è la probabilità che una delle frecce che lo ha colpito sia quella dell arciere Tuk? Esercizio 13 Durante l intera competizione citata nell esercizio precedente Tuk scaglia 10 frecce, Kuk 15 e Buk 20; al termine un paggio raccoglie una freccia finita a terra (cioè: una che non ha centrato il bersaglio). Qual è la probabilità che si tratti di una freccia di Tuk? Raccogliendone due da terra, qual è la probabilità che almeno una sia dell arciere Tuk? TEST DIAGNOSTICI Esercizio 14 In una popolazione di 1200 individui, relativamente ad una malattia M ed un test diagnostico T si rilevano i seguenti dati: T T + M M Si determini: 1) l incidenza della malattia; 2) sensibilità e specificità del test; 3) valore predittivo positivo del test. Esercizio 15 La sensibilità di un test diagnostico è 0.60, la sua specificità Indicando con q l incidenza della malattia, si determini in funzione di q la probabilità che un individuo il cui test è negativo sia sano. Si calcoli poi il valore nel nei casi q 0.10 e q Esercizio 16 Un test diagnostico per una certa malattia ha specificità 0.96 e sensibilità qual è il valore predittivo positivo (cioè la probabilità che risultando il test positivo si abbia la malattia) se l incidenza della malattia è di 2%; 2. quale incidenza dovrebbe avere la stessa malattia affinché il valore predittivo positivo del test superi il 50%? Esercizio 17 Un test diagnostico per una certa malattia M eseguito su un campione di 2000 individui ha dato esito positivo in 200 casi e negativo nei rimanenti. Sapendo che la malattia ha un incidenza del 12% e che la specificità del test è 0.9, si determini la sua sensibilità. IL PROFESSOR B. Esercizio 18 I prof. B tiene reclusa una popolazione di criceti così composta: metà hanno meno di 1, anno, un quarto tra 1 e 2 anni, e il rimanente quarto più di 2 anni. Molti di loro soffrono di depressione: per la precisione: il 18% dei criceti che hanno meno di un anno; il 42% dei criceti che hanno da 1 a 2 anni; il 70% dei criceti che hanno più di 2 anni. Sulla base di questi dati si calcoli: 1. la proabilità che un criceto scelto a caso sia depresso? 2. la probabilità che un criceto non depresso abbia da 1 a 2 anni? 3

4 Esercizio 19 Il criceto Carletto, evaso nottetempo dalla sua gabbia nel laboratorio del prof.b, si imbatte in un sacchetto contenente frutta secca, composto al 24% da anacardi e il rimanente da nocciole. Inoltre, per effetto degli esperimenti del prof. B, un 1/4 dei frutti nel sacchetto sono radioattivi. È noto infine che la percentuale di anacardi radioattivi è del 15%. Qual è la probabilità che, estraendo dal sacchetto un frutto a caso, il criceto Carletto trovi una nocciola non radioattiva? Esercizio 20 Il professor B acquista una scatola contenente 40 funghi neri e 60 funghi rossi, con l intenzione di somministrarli al suo criceto Carletto. Sapendo che (nei criceti) i funghi neri generano allucinazioni con probabilità 0.60 e quelli rossi con probabilità 0.80, e che, inoltre, le allucinazioni generate dai funghi neri conducono Carletto a tentare di mordere il naso del prof. B, calcolare 1. la probabilità che Carletto, ingerito uno dei funghi, abbia le allucinazioni; 2. le probabilità che, sapendo che il nostro criceto ha ingerito uno dei funghi ed è entrato in stato allucinatorio, egli morda il naso del prof. B. 3. la probabilità che, avendo ingerito 5 funghi, Carletto morda almeno una volta il naso al prof.b. Esercizio 21 Il professor B effettua un trattamento musicale sui criceti, diffondendo tra le gabbiette brani scelti da un selezionatore casuale, tra quelli disponibili nella memoria di un ipod da lui sequestrato in un aula universitaria. Sono note le seguenti informazioni: - la probabilità che un brano tra quelli dell ipod piaccia al criceto Carletto è 1/3. - la percentuale dei brani di Frank Zappa che piacciono a Carletto è del 92%; - la probabilità che un brano che piace a Carletto sia di Frank Zappa è sapendo che il numero di brani in memoria è 253, dire quanti sono quelli di Frank Zappa; 2. qual è la probabilità che un brano (selezionato a caso) sia un brano di Frank Zappa che piace al criceto? 3. dire se dopo la selezione consecutiva di tre brani, la probabilità che almeno uno sia un brano di Zappa che piace al criceto è maggiore del 50%. Esercizio 22 Il professor B ha rubato un flacone di un certo siero dallo studio di un collega (tale Jekyll), e lo somministra ai suoi criceti. Durante la notte, il siero agisce sul 40% dei criceti maschi e il 20% dei criceti femmina, trasformando i criceti su cui agisce in sanguinari criceti-hyde. Pochi minuti dopo, ogni criceto-hyde assale un criceto che non ha subito la trasformazione, facendolo a pezzi; al mattino, ogni criceto ritorna normale. Sapendo che i criceti maschi sono il 60% del gruppo si dica 1. qual è la probabilità che, al mattino, il criceto Carletto sia ancora vivo? 2. qual è la probabilità che il criceto Carletto, sapendo che non ha subito la trasformazione notturna, sia una femmina? (non date peso al nome: il prof. B di certe cose non ci ha mai capito molto e, se è per questo, nemmeno il criceto). DADI, CARTE, PALLINE Esercizio 23 Dato un mazzo di carte napoletane (40 carte e quattro semi: bastoni, coppe, danari, spade); una mano consiste in un insieme di 4 carte pescate dal mazzo: 4

5 1. quante sono le mani fatte solo da carte a bastoni? e quante quelle fatte da carte dello stesso seme? 2. qual è la probabilità di avere una mano fatta da carte di semi tutti diversi? 3. quante sono le mani in cui ci sono esattamente due carte a bastoni? 4. pescando 2 carte dal mazzo, qual è la probabilità che siano di semi diversi? Esercizio 24 Un urna A contiene 5 palline bianche e 6 palline rosse; un altra urna B ne contiene 8 rosse e 3 bianche. Un meccanismo casuale sposta una pallina dall urna B all urna A. 1. Qual è la probabilità che (dopo il passaggio) estraendo una pallina dall urna A si trovi una pallina bianca? [usare la legge delle alternative] 2. Dopo il passaggio si estrae a caso una pallina dall urna A; sapendo che questa è bianca, dire qual è la probabilità che la pallina inizialmente trasferita da B ad A sia bianca. Esercizio 25 Dire se lanciando 4 dadi a sei facce non truccati, la probabilità che esca almeno una coppia di valori uguali è superiore o inferiore al 70%. Esercizio 26 Le facce di un dado dodecaedrico (cioè a dodici facce) vengono colorate: 4 di rosso, 3 di bianco, 3 di verde e 2 di nero. Lanciandolo cinque volte di seguito qual è la probabiloità: 1. escano esattamente due facce rosse; 2. escano due facce rosse, due bianche e una nera; 3. escano solo facce rosse e nere. Esercizio 27 Vi sono tre urne ognuna delle quali contiene 12 palline rosse e 18 palline gialle. Viene estratta a caso una pallina da ogni urna. 1. Qual è la probabilità che vengano estratte esattamente 2 palline rosse? 2. qual è la probabilità che vengano estratte tre palline dello stesso colore? Esercizio 28 Una slot-machine è formata da tre ruote, ognuna delle quali contiene otto caselle di cui 2 recano il disegno di una ciliegia e le rimanenti sei i numeri da 1 a 6. Qual è la probabilità che, azionando la leva: 1. escano esattamente due ciliegie; 2. escano tre simboli uguali. I CASSETTI MALEFICI Esercizio 29 In un armadio provvisto di otto cassetti vengono collocate casualmente, una per cassetto, 6 maglie rosse e 2 maglie verdi. 1. Qual è la probabilità di trovare una maglia rossa aprendo un cassetto a caso? 2. Aprendo a caso due cassetti qual è la probabilità di trovare: almeno una maglia rossa, due maglie rosse, due maglie di colori diversi? 5

6 Esercizio 30 Nell armadio a otto cassetti vengono collocate alla rinfusa 14 paia di pantaloni, in due delle quali è stato lasciato un portafoglio. 1. Qual è la probabilità di trovare un paio di pantaloni col portafoglio aprendo un cassetto a caso? 2. Aprendo un cassetto si trovano due paia di pantaloni; qual è la probabilità che ci sia (almeno) un portafoglio? Esercizio 31 Nell armadio a otto cassetti vengono collocate alla rinfusa 12 camicie. 1. Qual è la probabilità di trovare una camicia aprendo un cassetto a caso? 2. Se dopo aver aperto due cassetti non si è trovata alcuna camicia, qual è la probabilità che aprendo il prossimo se ne trovino due? 3. Sapendo che un certo cassetto contiene (almeno) una camicia, qual è la probabilitrà, aprendolo, di trovarne due? Esercizio 32 Un nuovo armadio ha nove cassetti, ma uno - di cui non si conosce la posizione - è stregato, per cui qualsiasi cosa vi si metta dentro essa scompare. Nell armadio vengono riposte 6 camicie, mettendone in ogni cassetto al più una; qual è la probabilità che aprendo un cassetto a caso si trovi una camicia. 6

7 ALCUNE SOLUZIONI Esercizio 1. Ogni giocatore lancia il dado; lo spazio degli eventi è quello naturale delle coppie di numeri da 1 a 6: Ω {(x, y) x, y {1,..., 6}}, dunque Ω 36. Denotiamo con v e con n, rispettivamente, il punteggio realizzato col lancio del dado dal giocatore Verde e quello realizzato dal giocatore Nero. 1. Verde vince la partita se v {3, 4, 5, 6} e n {1, 2, 3, 4}; i casi favorevoli alla vittoria del Verde sono quindi , e la probabilità che Verde vinca è 16/36 4/9. 2. Nero vince la partita se v {1, 2} e n {5, 6}; i casi favorevoli alla vittoria del Nero sono 2 2 4, e la probabilità che Nero vinca è 4/36 1/9. 3. Si ha parità se v {3, 4, 5, 6} e n {5, 6}; i casi favorevoli alla patta sono 4 2 8, e la probabilità che la partita termini in parità è 8/36 2/9. 4. Nessuno giunge alla meta nei casi v {1, 2} e n {1, 2, 3, 4}; il numero di questi casi è 2 4 8, e la probabilità che nessuno vinca è 8/36 2/9. [si osservi che i quattro eventi di cui si è calcolato la probabilità sono a due a due incompatibili e che la loro unione ricopre l intero spazio degli eventi; la somma delle probabilità è, infatti, 4/9 + 1/9 + 2/9 + 2/9 9/9 1.] Esercizio Gli eventi A e B sono indipendenti se p(a B) p(a)p(b). 2. Supponiamo che A e B siano indipendenti e verifichiamo che per i complementari vale l identità p(a B) p(a)p(b) che stabilisce la loro indipendenza. Per farlo, si può ricorrere all identità di De Morgan A B A B, e la formula p(a B) 1 p(a) p(b) + p(a B). Abbiamo, p(a B) p(a B) 1 p(a B) 1 p(a) p(b) + p(a B) 1 p(a) p(b) + p(a)p(b) (1 p(a))(1 p(b)) p(a)p(b). dunque A e B sono indipendenti. 3. Abbiamo, per ovvie considerazioni, E, ancora, p(a) 4/40 1/10, p(b) 10/40 1/4 e p(c) 20/40 1/2. p(a B) 1/40, p(a C) 4/40, p(b C) 5/40. Ora, basta esaminare le varie possibilità. Si trova che p(a B) 1/40 (1/10)(1/4) p(a)p(b) e dunque A e B sono indipendenti. Calcolando allo stesso modo, p(b C) 5/40 1/8 (1/4)(1/2) p(b)p(c) p(a C) 4/40 (1/10)(1/2) p(a)p(c) dunque B e C sono indipendenti, mentre A e C non lo sono. Esercizio 3. Gli eventi A e B sono incompatibili se p(a B) Vero. Infatti, se A e B sono eventi sappiamo che p(a) + p(b) P (A B) p(a B). Se A e B sono incompatibili, p(a B) 0, dunque p(a) + p(b) p(a B) 1. 7

8 2. Falso. Consideriamo, ad esempio, un lancio di un dato a sei facce, e i due eventi: A esce un numero pari, B esce un numero minore a uguale a 2. Allora p(a) + p(b) 1/2 + 1/3 5/6 1, ma A e B non sono incompatibili (infatti p(a B) p(esce 2) 1/6 0). 3. Falso. Ad esempio, ancora nel lancio di un dado a sei facce, consideriamo gli eventi A esce maggiore o uguale a 5, B esce un numero minore a uguale a 2. A e B sono incompatibili mentre, p(a B) p(a B) 1 p(a B) 1 4/6 1/3 0. Dunque, A e B non sono incompatibili. Esercizio I casi possibili sono I casi favorevoli si devono contare; essi sono costituiti dalle seguenti uscite tre 1 due 1 e un 1 due 1 e un 3 due 1 e un 4 un 1 e due 2 un 1 un 2 e un 3 tre 2 1 caso 3 casi 3 casi 3 casi 3 casi 6 casi 1 caso i casi favorevoli (somma 6) sono dunque 20; la probabilità cercata è quindi p Chiaramente, il valore cercato in questo caso è uguale alla probabilità che, lanciando due dadi, la somma dei punti sia uguale a 5. Per questo, i casi favorevoli sono 4 (cioè (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)) su possibili. La probabilità cercata è dunque p Esercizio 5. Per due dadi a sei facce i casi possibili sono : i casi favorevoli all evento A sono 11, quindi p(a) I casi in cui esce almeno un dispari sono 27 (cioè 36 meno quelli in cui escono due pari che sono 3 2 9), quelli con almeno un 3 sono ancora 11 (si osservi che l evento esce almeno un 3 è contenuto nell evento esce almeno un dispari ); la probabilità cercata è quindi p I casi in cui esce almeno un pari sono (come per i dispari) 27; tra questi, quelli dove esce un 3 sono 6; la probabilità cercata è dunque p Esercizio p(a B) p(a) + p(b) p(a B) p(a) + (1 p(b)) p(a B) Osserviamo che p(a B) + p(a B) p(a); quindi p(a B) p(a) p(a B) p(b A) 1 p(b A) 1 p(b A) 1 [p(a) + p(b) p(a B)] 1 ( )

9 Esercizio La probabilità che, per un giro della pallina, esca un numero pari p(p ) , quella che esca un numero di A {8, 9, 11, 12} è p(a) Quindi, la probabilità di vincere qualcosa per un giocatore che punti sul peri e sulla quartina A è p(a P ) p(a) + p(p ) p(a P ) La probabilità di vincere, in un turno, puntando sulla dozzina è p 1 3 (e quella di non vincere è q 1 p 2 3. Gli eventi di diversi turni della roulette sono ovviamente indipendenti; quindi le probabilità che si hanno ad ogni turno si moltiplicano tra loro. Nel caso specifico, la probabilità di non vincere per tre volte di seguito puntando sulla dozzina è: q , e dunque la probabilità di vincere almeno una volta è La probabilità di vincere al primo turno e perdere negli altri è p q 2, e la stessa è per la vincita solo al secondo o solo al terzo turno. Dunque, la probabilità di vincere esattamente una volta è 3(p q 2 ) (si tratta di un caso molto semplice di distribuzione bernoulliana) Esercizio Per definizione di probabilità condizionata e la proprietà distributiva: p(a B C) p((a B) C) p((a C) (B C)) p(c) p(c) p(a C) p(b C) p(a B C) + p(c) p(c) p(c) p(a C) + p(b C) p(a C B) p((a B) C)/p(B) p(a B C)/p(B) 0/p(B) Osserviamo che, poiché p(a C B) p(a B C) 0, si ha p(a C B) p(a C). Quindi p(a B C) p(a C) p(a B C) p(a C) 0.2. p(c) p(c) Esercizio 9. Denotiamo con p(r), p(g), p(f ) la probabiltà che una lampadina presa a caso tra quelle acquistate sia, rispettivamente, rossa, gialla, fulminata. Le informazioni a disposizione sono quindi p(r) , p(g) , p(f ) , e, inoltre, p(f R) 2 p(f G). 1. Ponendo x p(f R), la legge delle alternative si scrive 1 2 p(f ) p(f R)p(R) + p(f G)p(G) x x x da cui si ricava x 6/ Dal punto precedente si ha, anche, p(f G) La probabilità che una lampadina finzuionante sia gialla è p(g F ); per la formula di Bayes: p(g F ) p(f G)p(G) p(f ) 1 p(f G) 1 p(f ) 9 p(g)

10 Esercizio 10. Denotiamo con D e P, rispettivamente gli eventi lo spirito è Dante e lo spirito è Petrarca, e con M l evento lo spirito mente. I dati a nostra disposizione sono quindi - p(d) p(p ) p(m D) 0.72, p(m P ) La prima questione chiede di determinare p(d M) (dove M è l evento complementare a M, ovvero lo spirito dice la varità). Dalla definizione di probabilità condizionata abbiamo: p(d M) p(m D)p(D) (1 p(m D))p(D) (0.28)(0.5) La seconda questione chiede di trovare p(d M). Applicando Bayes p(d M) p(m D)p(D) p(m) (1) e, come si fa spesso, p(m) si calcola mediante la legge delle alternative: p(m) p(m D)p(D) + p(m P )p(p ) (0.72)(0.5) (0.38)(0.5) 0.55 Quindi, da (1) si ricava: p(d M) (0.72)(0.5) Esercizio 11. Denotiamo con X e Y l evento il batterio appartiene alla specie X o, rispettivamente, specie Y, e con A il batterio diventa azzurro. I dati di cui disponiamo si traducono come p(a X) 0.3, p(a Y ) 0.6 e p(a) Nella popolazione sottoposta al trattamento ci sono solo batteri dei due tipi; dunque p(x) + p(y ) 1. Quindi, usando all indietro la formula delle alternative: 0.4 p(a) p(a X)p(X) + p(a Y )p(y ) (0.3)p(X) + (0.6)(1 p(x)) da cui si ricava: p(x) 2/3. Dunque la percentuale di batteri appartenenti alla specie X si può stimare nel 66. 6%. 2. La domanda chiede di calcolare p(x A). Basta applicare la formula dii Bayes: p(x A) p(a X)p(X) p(a) (0.3)(2/3) Esercizio 12. Sia T l evento: la freccia di Tuk centra il bersaglio, K l evento: la freccia di Kuk centra il bersaglio e B l evento: la freccia di Buk centra il bersaglio. Poiché ciascuno lancia una freccia, i tre eventi sono mutuamente indipendenti, e si ha p(t ) 0.6, p(k) 0.42, p(b) ) Si vuol determinare la probabilità p dell evento T K B. Conviene usare il complementare T K B T K B. Poiché anche gli eventi T, K, B sono mutuamente indipendenti si ha p 1 p(t K B) 1 (1 p(t ))(1 p(k))(1 p(b))

11 2) La probabilità p cercata è la somma delle probabilità (per quattro eventi indipendenti); p 0 p(t K B), p 1 p(t K B), p 2 p(t K B), p 3 p(t K B). Poiché le tre frecce determinano eventi indipendenti, si ha: p p p p Quindi, p ) Il bersaglio è stato colpito è l evento C T K B, la cui probabilità, calcolata al punto (1), è p(c) Quel che cerchiamo è la probabilità condizionata p(t C). Poiché l evento T è contenuto nell evento C, non si ha altro che p(t C) p(t C) p(c) p(t ) p(c) Esercizio 13. Cambiando notazione rispetto all esercizio precedente, denotiamo con T, K e B il fatto che la freccia sia stata scagliata, rispettivamente, da Tuk, Kuk e Buk, e con C l evento: la freccia ha centrato il bersaglio. Quindi, i dati del problema forniscono p(t ) 10/45 2/9, p(k) 15/45 3/9, p(b) 20/45 4/9; più i dati del precedente che si traducono con p(c T ) 0.6, p(c K) 0.42, p(c B) 0.5. La formula delle alternative fornisce la probabilità di C: p(c) p(c T )p(t ) + p(c K)p(K) + p(c B)pB) 4/ Quello che cerchiamo è la probabilità p(t C). Applicando la formula di Bayes: p(t C) p(c T )p(t ) p(c) (1 p(c T ))p(t ) 1 p(c) Esercizio Gli individui affetti dalla malattia sono quelli nell insieme M +, e M L incidenza della malattia è dunque 2. Per definizione, la sensibilità del test è e la sua specificità p(m + ) Se p(t + M + ) p(t + M + ) p(m + ) Sp p(t M ) p(t M ) p(m ) 168/ / ; 912/ / Tenendo conto che p(t + ) , il valore predittivo è, per definizione, V p + p(m + T + ) p(t + M + )p(m + ) p(t + )

12 Esercizio 15. Indichiamo, come di consueto, con M + i soggetti affetti dalla malattia, con M quelli non affetti, con T + quelli il cui test risulta positivo e T quelli il cui test risulta negativo. Quindi, l incidenza della malattia è q p(m + ) 0.20, mentre, per definizione, indicando con Sp la specificità del test e con Se la sua sensibilità, Sp p(t M ) e Se p(t + M + ). Vogliamo trovare a probabilità che un individuo il cui test è negativo non sia affetto dalla malattia, cioè p(m T ) p(t )p(t M ) p(m ) Ora, per la formula delle alternative p(t ) Sp 1 q 0.8 p(t ). 1 q p(t ) p(t M )p(m ) + p(t M + )p(m + ) Sp (1 q) + (1 p(t + M + )) q Sp (1 q) + (1 Se) q q Quindi, sostituendo nell uguaglianza precedente, p(m T ) q 1 q q 1 q. Per q 0.10 si ha p(m T ) Per q 0.30 si ha p(m T ) Esercizio Denotiamo con V + il valore predittivo cercato. Per definizione e la formula di Bayes V + p(m + T + ) p(t + M + )p(m + ) p(t +. (2) ) dove p(t + M + ) 0.98 è la sensibilità del test e p(m + ) 0.02 l incidenza della malattia. Per calcolare il denominatore si può usare la formula delle alternative, ricordando che p(t M ) 0.96 è la specificità del test. Si ha p(t + ) p(t + M + )p(m + ) + p(t + M )p(m ) Sostituendo nell equazione (2), che è il valore cercato. p(t + M + )p(m + ) + (1 p(t M ))(1 p(m + )) V / In questo punto l incognita è x p(m + ). Come nel punto precedente, p(t + ) p(t + M + )x + p(t + M )(1 x) 0.98x (1 x) 0.94x Poi, dall equazione (2) e dalle condizioni del testo, 0.5 V + p(t + M + )x p(t + ) Si tratta quindi di risolvere la disequazione 0.98x 0.94x x 0.94x

13 ovvero quindi da cui 0.98x 0.5(0.94x ) 0.47x ( )x 0.02 x % Esercizio 17. Esercizio 18. Esercizio 19. Indicando con p(r) la probabilità che un frutto del sacchetto sia radioattivo, con p(a) la probabilità che sia un anacardo e p(n) che sia una nocciola. I dati del problema si rappresentano quindi con p(r) 1/4 0.25, p(a) 0.24, p(n) 0.76, p(r A) La provbabilità cercata è p(n R). Dalla formula delle alternative, posto x p(r N), 0.25 p(r) p(r A)p(A) + p(r N)p(N) x da cui si ricava x Dunque p(r N) 1 x A questo punto, per definizione di probabilità condizionata, p(n R) p(r N)p(N) Esercizio 20. Fissando le seguenti notazioni per i vari eventi N: fungo nero, R: fungo rosso, A: allucinazioni, i dati del problema si riformulano come p(n) 0.4, p(r) 0.6, p(a N) 0.6, p(a R) Basta applicare la formula delle alternative: p(a) p(a N)p(N) + p(a R)p(R) Osservando che l evento Carletto morde il prof.b coincide con N A, la probabilità cercata è la probabilità condizionata p(n A). Basta quindi applicare la formula di Bayes: p(n A) p(n)p(a N) p(a) ( 76 5 ( Come al punto precedente, la probabilità che un fungo induca a mordere il naso è p(m) (N A) p(a N)p(N) Quindi la probabilità che un fungo non induca a mordere è 1 p(m) La probabilità che, in 5 ingestioni, Carletto mangi solo funghi di questo tipo è ) q ) Pertanto, la probabilità che, mangiando 5 funghi, il criceto abbia le allucinazioni e morda il professore almeno una volta è 1 q

14 Esercizio 21. Denotiamo con Z il brano è di Franz Zappa, con C il brano piace a Carletto. I dati a disposizione si traducono con p(c) 1/3, p(c Z) 0.92, p(z C) Sia x il numero di brani di Zappa; allora la probabilità che un brano selezionato a caso sia di Frank Zappa è x/253. Occorre quindi determinare p(z). Per la formula di Bayes da cui si ricava e quindi x p(z C) p(c Z)p(Z) p(c) 0.92p(Z) 1/3 x 0.6 p(z) p(Z) 2. Qui ci chiede di calcolare p(z C). Dalla definizione di probabilità condizionata si ha da cui p(z C) p(z C) p(z C) pc) p(z C) 1/3 3. La probabilità che un brano casuale sia di Zappa e piaccia al criceto, calcolata al punto 2., è p 0.2. Quindi la probabilità che per tre volte di seguito non sia selezionato un brano del genere è (1 p) 3, e dunque la probabilità che almeno uno lo sia è che è inferiore al 50%. 1 (1 p) 3 1 (0.8) Esercizio Le carte a bastoni sono un insieme di 10 elementi; una mano a bastoni consiste in un suo sottoinsieme di quattro elementi. Il numero di tali sottoinsiemi (e la risposta alla domanda) è: ( ) ! Per la seconda domanda basta ovviamente moltiplicare per quattro: 4 (10 ) Poiché i semi sono tanti quanto le carte di una mano, il numero di mani formate da carte di semi tutti diversi è ciascun Il numero totale di mani possibili è ( ) La probabilità cercata è dunque p 104 ) ( Il numero di coppie di carte a bastoni è ( ) ; quello delle coppie formate da carte degli altri tre semi è ( ) Il numero di mani costituita da una coppia a bastoni ed una coppia di altri semi è dunque Il numero totale di coppie di carte è ( ) Il numero di coppie costituite da carte dello stesso seme è 4 (10 ) 2 180; dunque il numero di coppie di carte di seme diverso è La probabilità di pescare una coppia di carte di seme diverso è dunque p

15 Esercizio 24. Scriviamo R e B per intendere che da B a A è passata una pallina rossa e, rispettivamente, bianca. Quindi p(r) 8/11 e p(b) 3/11. Denotiamo poi con r e b il fatto che dall urna A venga estratta, dopo il passaggio, una pallina di colore rosso o, rispettivamente, di colore bianco. 1. Per la legge delle alternative p(b) p(b B)p(B) + p(b R)p(R) 6 12 p(b) p(r) La domanda chiede di calcolare la probabilità condizionata p(b b). Tenendo conto che p(b B) 6/12 1/2 ed usando la formula di Bayes si trova p(b b) p(b B)p(B) p(b) (1/2)(3/11) 29/ Esercizio 28. La probabilità che, su ciascuna ruota, esca una ciliegia è p Le tre ruote poi sono indipendenti l una dall altra. La risposta al punto 1. è quindi un applicazione della formula per gli eventi bernoulliani: p(2cil) ( ) 3 2 p 2 (1 p) , Lo spazio degli eventi è costituito da 8 3 casi. Di questi quelli in cui i tre simboli sono uguali sono 6 se il simbolo comune non è la ciliegia e se è la ciliegia; quindi i casi favorevoli sono 6 + 8n 14. Pertanto, la probabilità cercata è Il caso di tre simboli diversi è più complicato da analizzare: questo perché la ciliegia ha più probabilità di uscire di uno specifico numero. Mantenendo lo spazio degli eventi quello di tutte le possibili ruotate (quindi Ω 8 3 ), possiamo ripartire l evento A tutti simboli diversi in due casi tra loro incompatibili: A 1 i simboli sono diversi e non c è la ciliegia; A 2 i simboli sono diversi e c è la ciliegia;. A 1 si calcola facilmente, infatti - poiché i numeri sono sei in ogni ruota - è uguale al numero di disposizioni senza ripetizione A 1 D 6, Per calcolare A 2 possiamo calcorae quante sono le coppie ordinate di smboli diversi tra loro e dalla ciliegia, che sono 6 5; poi tener conto che la ciliegia, può uscire in 6 modi; si ha quindi A 2 6 (6 5). Dunque A A 1 + A Pertanto, la probabilità che escano tre simboli diversi è: p(diversi) A Ω Esercizio La probabilità di trovare una maglia rossa aprendo un cassetto a caso è 6/8. 15

16 2. Le possibili scelte per due cassetti sono ( 8 2) 28 e ovviamente c é una sola coppia di cassetti contenenti entrambi una maglia verde. Dunque la probabilità di trovare almeno una maglia rossa aprendo due cassetti a caso è: p Le coppie di cassetti con maglie rosse sono ( 6 2) 15; quindi la probabilità di trovare due maglie rosse aprendo due cassetti a caso è: p La probabilità di trovare due maglie di colori diversi aprendo due cassetti a caso è: p 3 p 1 p

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 1. Si lancia una moneta 2 volte: qual è la probabilità che esca TESTA 0 volte? 1 volta? 2 volte? 2. Si lancia una moneta 3 volte:

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli

8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura?

8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura? www.matematicamente.it Probabilità 1 Calcolo delle probabilità Cognome e nome: Classe Data 1. Quali affermazioni sono vere? A. Un evento impossibile ha probabilità 1 B. Un vento certo ha probabilità 0

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y = ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

Calcolo combinatorio

Calcolo combinatorio Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Calcolo combinatorio Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica

Dettagli

Lezione 10. La Statistica Inferenziale

Lezione 10. La Statistica Inferenziale Lezione 10 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE variabile casuale (rv): regola che associa un numero ad ogni evento di uno spazio E. variabile casuale di Bernoulli: rv che può assumere solo due valori (e.g.,

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità

Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Appunti di Teoria dei Segnali Capitolo 8 - Introduzione alla probabilità Concetti preliminari di probabilità... Introduzione alla probabilità... Deinizione di spazio degli eventi... Deinizione di evento...

Dettagli

Probabilità e statistica. Veronica Gavagna

Probabilità e statistica. Veronica Gavagna Probabilità e statistica Veronica Gavagna Testa o croce? Immaginiamo di lanciare una moneta facendola cadere su un piano liscio chiunque dirà che la probabilità dell evento testa sarà del 50%, al pari

Dettagli

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Ingegneria Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Laurea in Ingegneria dei Materiali - Anno Accademico 010/11

Dettagli

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

Esercizio 1. Svolgimento

Esercizio 1. Svolgimento Esercizio 1 Vengono lanciate contemporaneamente 6 monete. Si calcoli: a) la probabilità che si presentino esattamente 2 testa ; b) la probabilità di ottenere almeno 4 testa ; c) la probabilità che l evento

Dettagli

TELECOMUNICAZIONI (TLC) Generico sistema di telecomunicazione (TLC) Trasduttore. Attuatore CENNI DI TEORIA (MATEMATICA) DELL INFORMAZIONE

TELECOMUNICAZIONI (TLC) Generico sistema di telecomunicazione (TLC) Trasduttore. Attuatore CENNI DI TEORIA (MATEMATICA) DELL INFORMAZIONE TELECOMUNICAZIONI (TLC) Tele (lontano) Comunicare (inviare informazioni) Comunicare a distanza Generico sistema di telecomunicazione (TLC) Segnale non elettrico Segnale elettrico TRASMESSO s x (t) Sorgente

Dettagli

I numeri che si ottengono successivamente sono 98-2 = 96 4 = 92 8 = 84 16 = 68 32 = 36 e ci si ferma perché non possibile togliere 64

I numeri che si ottengono successivamente sono 98-2 = 96 4 = 92 8 = 84 16 = 68 32 = 36 e ci si ferma perché non possibile togliere 64 Problemini e indovinelli 2 Le palline da tennis In uno scatolone ci sono dei tubi che contengono ciascuno 4 palline da tennis.approfittando di una offerta speciale puoi acquistare 4 tubi spendendo 20.

Dettagli

SCUOLA DELL INFANZIA ANDERSEN SPINEA I CIRCOLO ANNO SCOLASTICO 2006/07. Documentazione a cura di Quaglietta Marica

SCUOLA DELL INFANZIA ANDERSEN SPINEA I CIRCOLO ANNO SCOLASTICO 2006/07. Documentazione a cura di Quaglietta Marica SCUOLA DELL INFANZIA ANDERSEN SPINEA I CIRCOLO ANNO SCOLASTICO 2006/07 GRUPPO ANNI 3 Novembre- maggio Documentazione a cura di Quaglietta Marica Per sviluppare Pensiero creativo e divergente Per divenire

Dettagli

COMUNE DI CAMPIONE D ITALIA

COMUNE DI CAMPIONE D ITALIA COMUNE DI CAMPIONE D ITALIA REGOLAMENTO DI GIOCO DELLA ROULETTE (al Casino Municipale di Campione d Italia) adottato con delib. C.C. n. 83 del 2.12.1993 approvata dal CRC con atto n. 13 in data 4.1.1994

Dettagli

La probabilità di avere non più di un maschio, significa la probabilità di averne 0 o 1: ( 0) P( 1)

La probabilità di avere non più di un maschio, significa la probabilità di averne 0 o 1: ( 0) P( 1) Esercizi sulle distribuzioni binoiale e poissoniana Esercizio n. Una coppia ha tre figli. Calcolare la probabilità che abbia non più di un aschio se la probabilità di avere un aschio od una feina è sepre

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 1 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Insiemi La teoria degli

Dettagli

La guerra delle posizioni

La guerra delle posizioni www.maestrantonella.it La guerra delle posizioni Gioco di carte per il consolidamento del valore posizionale delle cifre e per il confronto di numeri con l uso dei simboli convenzionali > e < Da 2 a 4

Dettagli

Un gioco da brividi per 8 24 giocatori, da 8 anni in su. Contenuto. (Prima della prima partita rimuovete con cura i segnalini dalle fustelle.

Un gioco da brividi per 8 24 giocatori, da 8 anni in su. Contenuto. (Prima della prima partita rimuovete con cura i segnalini dalle fustelle. Un gioco da brividi per 8 24 giocatori, da 8 anni in su Nello sperduto villaggio di Tabula, alcuni abitanti sono affetti da licantropia. Ogni notte diventano lupi mannari e, per placare i loro istinti,

Dettagli

conquista il mondo in pochi minuti!

conquista il mondo in pochi minuti! conquista il mondo in pochi minuti! Il gioco di conquista e sviluppo più veloce che c è! Il gioco si spiega in meno di 1 minuto e dura, per le prime partite, non più di quindici minuti. Mai nessuno ha

Dettagli

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile.

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ Statistica5 23/10/13 Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. Se si afferma che un vitello di razza chianina pesa 780 kg a 18

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA

CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA CALCOLO COMBINATORIO E PROBABILITA Con calcolo combinatorio si indica quel settore della matematica che studia i possibili modi di raggruppare ed ordinare oggetti presi da un insieme assegnato, con l obiettivo

Dettagli

Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia?

Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia? Logica fuzzy e calcolo delle probabilità: due facce della stessa medaglia? Danilo Pelusi 1 Gianpiero Centorame 2 Sunto: Il seguente articolo illustra le possibili analogie e differenze tra il calcolo delle

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi :

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi : Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Analisi dei dati quantitativi : Confronto tra due medie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in

Dettagli

Teoria degli insiemi

Teoria degli insiemi Teoria degli insiemi pag 1 Easy Matematica di dolfo Scimone Teoria degli insiemi Il concetto di insieme si assume come primitivo, cioè non riconducibile a concetti precedentemente definiti. Sinonimi di

Dettagli

Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti

Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti Lo schema di Bernoulli (o delle prove indipendenti): un esempio di modello probabilistico applicabile a diversi contesti Rita Giuliano (Pisa) 0. Introduzione. È ormai acquisizione comune il fatto che uno

Dettagli

Svolgimento del gioco. Un gioco di Matthias Cramer per 2-5 persone dai 10 anni

Svolgimento del gioco. Un gioco di Matthias Cramer per 2-5 persone dai 10 anni Un gioco di Matthias Cramer per 2-5 persone dai 10 anni Anno 1413 Il nuovo re d'inghilterra, Enrico V di Lancaster persegue gli ambiziosi progetti di unificare l'inghilterra e di conquistare la corona

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

PROVA DI MATEMATICA - Scuola Primaria - Classe Seconda

PROVA DI MATEMATICA - Scuola Primaria - Classe Seconda PROVA DI MATEMATICA - Scuola Primaria - Classe Seconda Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2011 2012 PROVA DI MATEMATICA Scuola Primaria Classe Seconda Spazio per l etichetta autoadesiva ISTRUZIONI

Dettagli

Test d ingresso per i curricula in lingua inglese Coloro che intendono iscriversi ai curricula in lingua inglese Economics of Financial and Insurance

Test d ingresso per i curricula in lingua inglese Coloro che intendono iscriversi ai curricula in lingua inglese Economics of Financial and Insurance Note e istruzioni per i test di ingresso ai Corsi di Studio del Dipartimento di Scienze Economiche, Aziendali, Matematiche e Statistiche (DEAMS) a.a. 2013/2014 Gli insegnamenti relativi ai Corsi di Laurea

Dettagli

Numeri reali. Funzioni e loro grafici

Numeri reali. Funzioni e loro grafici Argomento Numeri reali. Funzioni e loro grafici Parte B - Funzioni e loro grafici Funzioni reali di variabile reale Definizioni. Supponiamo che A sia un sottoinsieme di R e che esista una legge che ad

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Analisi Matematica di circuiti elettrici

Analisi Matematica di circuiti elettrici Analisi Matematica di circuiti elettrici Eserciziario A cura del Prof. Marco Chirizzi 2011/2012 Cap.5 Numeri complessi 5.1 Definizione di numero complesso Si definisce numero complesso un numero scritto

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado

Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado Kangourou Italia Gara del 19 marzo 2015 Categoria Student Per studenti di quarta e quinta della secondaria di secondo grado I quesiti dal N. 1 al N. 10 valgono 3 punti ciascuno 1. Angela è nata nel 1997,

Dettagli

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA

PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA PRINCIPI BASILARI DI ELETTROTECNICA Prerequisiti - Impiego di Multipli e Sottomultipli nelle equazioni - Equazioni lineari di primo grado e capacità di ricavare le formule inverse - nozioni base di fisica

Dettagli

"#$%&'()! "*$!$*#+#!,)!$-%#.# Guida ad un impiego sicuro dei solventi sul lavoro

#$%&'()! *$!$*#+#!,)!$-%#.# Guida ad un impiego sicuro dei solventi sul lavoro "#$%&'()! "*$!$*#+#!,)!$-%#.# Guida ad un impiego sicuro dei solventi sul lavoro "#$%&'()!"*$!$*#+#!,)!$-%#.# Cos é un solvente? Molte sostanze chimiche, usate per distruggere o diluire altre sostanze

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Regole del gioco UNO CONTENUTO DELLA CONFEZIONE: 108 Carte così distribuite: 19 Carte di colore Rosso che vanno dallo 0 al 9

Regole del gioco UNO CONTENUTO DELLA CONFEZIONE: 108 Carte così distribuite: 19 Carte di colore Rosso che vanno dallo 0 al 9 Regole del gioco UNO CONTENUTO DELLA CONFEZIONE: 108 Carte così distribuite: 19 Carte di colore Rosso che vanno dallo 0 al 9 19 Carte di colore Blu che vanno dallo 0 al 9 19 Carte di colore Giallo che

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

1. Limite finito di una funzione in un punto

1. Limite finito di una funzione in un punto . Limite finito di una funzione in un punto Consideriamo la funzione: f ( ) = il cui dominio risulta essere R {}, e quindi il valore di f ( ) non è calcolabile in =. Quest affermazione tuttavia non esaurisce

Dettagli

Svolgimento della prova

Svolgimento della prova Svolgimento della prova D1. Il seguente grafico rappresenta la distribuzione dei lavoratori precari in Italia suddivisi per età nell anno 2012. a. Quanti sono in totale i precari? A. Circa due milioni

Dettagli

Indovinelli Algebrici

Indovinelli Algebrici OpenLab - Università degli Studi di Firenze - Alcuni semplici problemi 1. L EURO MANCANTE Tre amici vanno a cena in un ristorante. Mangiano le stesse portate e il conto è, in tutto, 25 Euro. Ciascuno di

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FUNZIONI ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le funzioni nel discreto 3 1.1 Le funzioni nel discreto.................................. 3 1.1.1 La rappresentazione grafica............................

Dettagli

ma quanto è antico quest osso?

ma quanto è antico quest osso? ATTIVITÀ: ma quanto è antico quest osso? LIVELLO SCOLARE: primo biennio della scuola secondaria di secondo grado PREREQUISITI: lettura e costruzione di grafici, concetti di base di statistica modello atomico,

Dettagli

Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto

Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA IN MATEMATICA Esistenza di funzioni continue non differenziabili in alcun punto Relatore Prof. Andrea

Dettagli

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova

Le soluzioni dei quesiti sono in fondo alla prova SCUOLA MEDIA STATALE GIULIANO DA SANGALLO Via Giuliano da Sangallo,11-Corso Duca di Genova,135-00121 Roma Tel/fax 06/5691345-e.mail:scuola.sangallo@libero.it SELEZIONE INTERNA PER LA MARATONA DI MATEMATICA

Dettagli

1A ARITMETICA. I numeri naturali e le quattro operazioni. Esercizi supplementari di verifica

1A ARITMETICA. I numeri naturali e le quattro operazioni. Esercizi supplementari di verifica A ARITMETICA I numeri naturali e le quattro operazioni Esercizi supplementari di verifica Esercizio Rappresenta sulla retta orientata i seguenti numeri naturali. ; ; ; 0;. 0 Esercizio Metti una crocetta

Dettagli

In base alla formula di torneo adottata i tornei possono pertanto prevedere lo svolgimento di una o più partite.

In base alla formula di torneo adottata i tornei possono pertanto prevedere lo svolgimento di una o più partite. Formule di gioco La successione di mani necessarie per l eliminazione del penultimo giocatore o per la determinazione dei giocatori che accedono ad un turno successivo costituisce una partita. In base

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

Destinatari: adulti/giovani adulti di diversa provenienza linguistica e culturale che imparano l italiano in contesto L2 o LS

Destinatari: adulti/giovani adulti di diversa provenienza linguistica e culturale che imparano l italiano in contesto L2 o LS MA IL CIELO È SEMPRE PIÙ BLU di Rino Gaetano Didattizzazione di Greta Mazzocato Univerisità Ca Foscari di Venezia Destinatari: adulti/giovani adulti di diversa provenienza linguistica e culturale che imparano

Dettagli

Esperienze con l elettricità e il magnetismo

Esperienze con l elettricità e il magnetismo Esperienze con l elettricità e il magnetismo Laboratorio di scienze Le esperienze di questo laboratorio ti permettono di acquisire maggiore familiarità con l elettricità e il magnetismo e di sperimentare

Dettagli

Una formula molecolare è una formula chimica che dà l'esatto numero degli atomi di una molecola.

Una formula molecolare è una formula chimica che dà l'esatto numero degli atomi di una molecola. Una formula molecolare è una formula chimica che dà l'esatto numero degli atomi di una molecola. La formula empirica e una formula in cui il rappporto tra gli atomi e il piu semplice possibil Acqua Ammoniaca

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

Pasta per due. Capitolo 1. Una mattina, Libero si sveglia e accende il computer C È POSTA PER TE! e trova un nuovo messaggio della sua amica:

Pasta per due. Capitolo 1. Una mattina, Libero si sveglia e accende il computer C È POSTA PER TE! e trova un nuovo messaggio della sua amica: Pasta per due 5 Capitolo 1 Libero Belmondo è un uomo di 35 anni. Vive a Roma. Da qualche mese Libero accende il computer tutti i giorni e controlla le e-mail. Minni è una ragazza di 28 anni. Vive a Bangkok.

Dettagli

Scelta sotto incertezza

Scelta sotto incertezza Scelta sotto incertezza 1. Introduzione Nei capitoli 1 e 2 della microeconomia standard si studia la scelta dei consumatori e dei produttori, che hanno un informazione perfetta sulle circostanze che caratterizzano

Dettagli

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO

ESAME DI STATO 2010 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Archimede ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO ARTICOLO Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. Sia ABCD un quadrato di

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

LA MAPPA DELLA SALUTE ovvero: com è che parlando,parlando, dalla frutta ci troviamo a discutere di salvaguardia della terra???

LA MAPPA DELLA SALUTE ovvero: com è che parlando,parlando, dalla frutta ci troviamo a discutere di salvaguardia della terra??? DIREZIONE DIDATTICA DI MARANELLO SCUOLA DELL INFANZIA STATALE J.DA GORZANO PROGETTO DI EDUCAZIONE ALIMENTARE LA MAPPA DELLA SALUTE ovvero: com è che parlando,parlando, dalla frutta ci troviamo a discutere

Dettagli

CARIBBEAN POKER. Come si gioca

CARIBBEAN POKER. Come si gioca CARIBBEAN POKER INDICE Caribbean Poker 2 Il tavolo da gioco 3 Le carte da gioco 4 Il Gioco 5 Jackpot Progressive 13 Pagamenti 14 Pagamenti con Jackpot 16 Combinazioni 18 Regole generali 24 CARIBBEAN POKER

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Scuola dell Infanzia H. C. Andersen Anno Scolastico 2012-2013 Sezione 2 mista Insegnanti: Martinelli, Tenace

Scuola dell Infanzia H. C. Andersen Anno Scolastico 2012-2013 Sezione 2 mista Insegnanti: Martinelli, Tenace Scuola dell Infanzia H. C. Andersen Anno Scolastico 2012-2013 Sezione 2 mista Insegnanti: Martinelli, Tenace Ogni giorno abbiamo modo di osservare come i bambini possiedono intuizioni geometriche, logiche

Dettagli

Enrico Persico, Il Giornale di Fisica, 1, (1956), 64-67. 1

Enrico Persico, Il Giornale di Fisica, 1, (1956), 64-67. 1 Che cos è che non va? Enrico Persico, Il Giornale di Fisica, 1, (1956), 64-67. 1 Mi dica almeno qualcosa sulle onde elettromagnetiche. La candidata, che poco fa non aveva saputo dire perché i fili della

Dettagli

19. Inclusioni tra spazi L p.

19. Inclusioni tra spazi L p. 19. Inclusioni tra spazi L p. Nel n. 15.1 abbiamo provato (Teorema 15.1.1) che, se la misura µ è finita, allora tra i corispondenti spazi L p (µ) si hanno le seguenti inclusioni: ( ) p, r ]0, + [ : p

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

La Bella Addormentata e altre illusioni probabilistiche. volcic@unical.it

La Bella Addormentata e altre illusioni probabilistiche. volcic@unical.it La Bella Addormentata e altre illusioni probabilistiche Aljoša Volčič volcic@unical.it Firenze, 25 novembre 2009 1 Che cosa è la probabilità? La probabilità di un evento A è la misura del grado di fiducia

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

Before the Wind By Torsten Landsvogt For 2-4 players, age 10+ Phalanx Games, 2007

Before the Wind By Torsten Landsvogt For 2-4 players, age 10+ Phalanx Games, 2007 Before the Wind By Torsten Landsvogt For 2-4 players, age 10+ Phalanx Games, 2007 IMPAGINAZIONE DELLE REGOLE 1.0 Introduzione 2.0 Contenuto del gioco 3.0 Preparazione 4.0 Come si gioca 5.0 Fine del gioco

Dettagli

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α?

Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? QUESITO 1 Nel triangolo disegnato a lato, qual è la misura, in gradi e primi sessagesimali, di α? Applicando il Teorema dei seni si può determinare il valore di senza indeterminazione, in quanto dalla

Dettagli

Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione

Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Semantica operazionale dei linguaggi di Programmazione Oggetti sintattici e oggetti semantici Rosario Culmone, Luca Tesei Lucidi tratti dalla dispensa Elementi di Semantica Operazionale R. Barbuti, P.

Dettagli

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI

IL GIOCO DEL 15. OVVERO: 1000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI IL GIOCO DEL. OVVERO: 000$ PER SPOSTARE DUE BLOCCHETTI EMANUELE DELUCCHI, GIOVANNI GAIFFI, LUDOVICO PERNAZZA Molti fra i lettori si saranno divertiti a giocare al gioco del, uno dei più celebri fra i giochi

Dettagli

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

Dettagli

Esempi introduttivi Variabili casuali Eventi casuali e probabilità

Esempi introduttivi Variabili casuali Eventi casuali e probabilità Esempi introduttivi Esempio tipico di problema della meccanica razionale: traiettoria di un proiettile. Esempio tipico di problema idraulico: altezza d'acqua corrispondente a una portata assegnata. Come

Dettagli

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale

Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Corso di Scienza Economica (Economia Politica) prof. G. Di Bartolomeo Lezione 10: Il problema del consumatore: Preferenze e scelta ottimale Facoltà di Scienze della Comunicazione Università di Teramo Scelta

Dettagli

Moto sul piano inclinato (senza attrito)

Moto sul piano inclinato (senza attrito) Moto sul piano inclinato (senza attrito) Per studiare il moto di un oggetto (assimilabile a punto materiale) lungo un piano inclinato bisogna innanzitutto analizzare le forze che agiscono sull oggetto

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

La Guardia Imperiale in Star Quest

La Guardia Imperiale in Star Quest La Guardia Imperiale in Star Quest Gli squadroni della Guardia Imperiale sono composti da 10 soldati ed hanno questa composizione: 1 Sergente armato di pistola laser e spada catena: Combattimento a distanza

Dettagli

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione.

1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1. Intorni di un punto. Punti di accumulazione. 1.1. Intorni circolari. Assumiamo come distanza di due numeri reali x e y il numero non negativo x y (che, come sappiamo, esprime la distanza tra i punti

Dettagli

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA

ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA ALGEBRA I: NUMERI INTERI, DIVISIBILITÀ E IL TEOREMA FONDAMENTALE DELL ARITMETICA 1. RICHIAMI SULLE PROPRIETÀ DEI NUMERI NATURALI Ho mostrato in un altra dispensa come ricavare a partire dagli assiomi di

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI

APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI APPUNTI DI MATEMATICA GLI INSIEMI NUMERICI I numeri naturali I numeri interi I numeri razionali Teoria degli insiemi (cenni) ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 L insieme N dei numeri naturali 4 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Numeri complessi e polinomi

Numeri complessi e polinomi Numeri complessi e polinomi 1 Numeri complessi L insieme dei numeri reali si identifica con la retta della geometria: in altri termini la retta si può dotare delle operazioni + e e divenire un insieme

Dettagli

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante

Circuiti Elettrici. Schema riassuntivo. Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante Circuiti Elettrici Schema riassuntivo Leggi fondamentali dei circuiti elettrici lineari Assumendo positive le correnti uscenti da un nodo e negative quelle entranti si formula l importante La conseguenza

Dettagli