1. Cosa si intende dicendo che A e B sono eventi indipendenti.;

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "1. Cosa si intende dicendo che A e B sono eventi indipendenti.;"

Transcript

1 Laurea in Chimica e Tecnologia Farmaceutiche Corso di Matematica e Statistica esercizi di calcolo delle probabilità BASI. Esercizio 1 Siamo alle battute conclusive di una partita al Gioco dell Oca; al giocatore Verde, che sopravanza il giocatore Nero di due caselle, è sufficiente realizzare un 3 per raggiungere la meta. I due giocatori lanciano contemporaneamente un dado (a sei facce): nel caso entrambi raggiungano la meta la partita è considerata patta. Determinare la probabilità che, con un lancio di dadi: 1) il giocatore Verde vinca la partita; 2) il giocatore Nero vinca la partita; 3) la partita finisca in patta; 4) nessuno dei due giocatori raggiunga la meta. Esercizio 2 Siano A, B eventi in uno spazio di eventi Ω. 1. Cosa si intende dicendo che A e B sono eventi indipendenti.; 2. è vero che se A e B sono indipendenti allora anche i loro complementari A e B lo sono? si cerchi di provare in modo rigoroso l affermazione fatta. 3. Da un mazzo di carte napoletane (40 carte in 4 semi diversi) viene estratta una carte; si dica quali coppie fra quelle che si possono costituire fra i seguenti eventi sono indipendenti: A : la carta estratta è un due; B : la carta estratta è una carta di bastoni; C: la carta estratta ha valore minore o uguale a 5; Esercizio 3 Siano A e B eventi in uno spazio di eventi Ω. Cosa si intende dicendo che A e B sono incompatibili? Si dica poi quali fra le seguenti affermazioni sono vere: 1. se A e B sono incompatibili allora p(a) + p(b) 1; 2. se p(a) + p(b) 1 allora A e B sono incompatibili; 3. se A e B sono incompatibili allora A e B sono incompatibili. Esercizio 4 1. Qual è la probabilità che, lanciando tre dadi non truccati la somma dei punti sia minore uguale a sei? 2. Qual è la probabilità che la somma sia 6 sapendo che il primo dado dà 1? Esercizio 5 In un lancio di due dadi a sei facce, si determini la probabilità di ciascuno dei seguenti eventi A: esce almeno un 3; B: esce almeno un 3 sapendo che esce almeno un numero dispari; C: esce almeno un 3 sapendo che esce almeno un numero pari. Esercizio 6 Dei due eventi A, B (di uno stesso spazio Ω) si conosce p(a) 0.75, p(b) 0.6, p(a B) 0.2 (dove, come usuale, B Ω \ B). Si determini: 1. p(a B); 2. p(a B); 3. p(b A).

2 Esercizio 7 La ruota di una roulette contiene i numeri da 1 a 36 (non contiamo lo 0; quindi non si tratta di una vera roulette da casinò). 1. Un giocatore punta un euro sul pari ed un euro sul quadrato costituito dall insieme di numeri {8, 9, 11, 12}; qual è la probabilità che il giocatore vinca qualcosa? 2. Giocando per tre volte di seguito la prima dozzina {1, 2,..., 12}, qual è la probabilità di vincere almeno una volta? PROBABILITÀ CONDIZIONATA. Esercizio 8 Di tre eventi A, B e C (di uno stesso spazio) si conosce Si determini: p(a C) 0.2, p(b C) 0.4, p(a B C) p(a B C); 2. p(a C B); 3. p(a B C). Esercizio 9 Ad una svendita fallimentare il prof. B acquista una partita di 150 lampadine, il 20% delle quali sono fulminate. Sapendo che 100 lampadine sono di colore rosso e 50 giallo, e che la probabilità che una lampadina rossa sia fulminata è il doppio della probabilità che lo sia una lampadina gialla, si dica: 1. qual è la probabilità che una lampadina rossa sia fulminata; 2. qual è la probabilità che una lampadina funzionante sia gialla. Esercizio 10 Durante una seduta spiritica vi è incertezza se lo spirito evocato sia quello di Dante o quello di Petrarca. Alla domanda del medium: Chi sei?, lo spirto risponde: Dante, ovvia!. Sapendo che la probabilità che si tratti di ciascuno dei due sommi letterati è la stessa (cioè 0, 5) e che lo spirito di Dante mente nel 72% dei casi mentre quello di Petrarca mente nel 38% dei casi, si dica qual è la probabilità che lo spirito evocato sia effettivamente quello di Dante. In un altra occasione, alla domanda del medium lo spirto (che si sa essere quello di Dante o quello di Petrarca) risponde con una palese menzogna. Qual è la probabilità che si tratti di Dante? Esercizio 11 Trattate con solfato ferroso due specie di batteri non facilmente distinguibili presentano statisticamente il seguente comportamento: nella specie X diventa azzurro il 30% dei batteri, nella specie Y il 60%. Un trattamento su una cultura mista di batteri X e Y dà come esito l azzurramento del 40% dei batteri. 1. Si dica quale percentuale della coltura è, statisticamente, composta da batteri di specie X. 2. Osservando al microscopio si vede un batterio divenuto azzurro; si dica qual è la probabilità che appartenga alla specie X. Esercizio 12 L arciere Tuk colpisce il centro del bersaglio nel 60% dei casi; l arciere Kuk nel 42%, e l arciere Buk nel 50%. Ad una gara di tiro, ciascuno di loro scaglia una freccia: 1. qual è la probabilità che il bersaglio sia stato centrato almeno una volta? 2. qual è la probabilità che il bersaglio sia stato centrato almeno due volte? 2

3 3. sapendo che il bersaglio è stato centrato, qual è la probabilità che una delle frecce che lo ha colpito sia quella dell arciere Tuk? Esercizio 13 Durante l intera competizione citata nell esercizio precedente Tuk scaglia 10 frecce, Kuk 15 e Buk 20; al termine un paggio raccoglie una freccia finita a terra (cioè: una che non ha centrato il bersaglio). Qual è la probabilità che si tratti di una freccia di Tuk? Raccogliendone due da terra, qual è la probabilità che almeno una sia dell arciere Tuk? TEST DIAGNOSTICI Esercizio 14 In una popolazione di 1200 individui, relativamente ad una malattia M ed un test diagnostico T si rilevano i seguenti dati: T T + M M Si determini: 1) l incidenza della malattia; 2) sensibilità e specificità del test; 3) valore predittivo positivo del test. Esercizio 15 La sensibilità di un test diagnostico è 0.60, la sua specificità Indicando con q l incidenza della malattia, si determini in funzione di q la probabilità che un individuo il cui test è negativo sia sano. Si calcoli poi il valore nel nei casi q 0.10 e q Esercizio 16 Un test diagnostico per una certa malattia ha specificità 0.96 e sensibilità qual è il valore predittivo positivo (cioè la probabilità che risultando il test positivo si abbia la malattia) se l incidenza della malattia è di 2%; 2. quale incidenza dovrebbe avere la stessa malattia affinché il valore predittivo positivo del test superi il 50%? Esercizio 17 Un test diagnostico per una certa malattia M eseguito su un campione di 2000 individui ha dato esito positivo in 200 casi e negativo nei rimanenti. Sapendo che la malattia ha un incidenza del 12% e che la specificità del test è 0.9, si determini la sua sensibilità. IL PROFESSOR B. Esercizio 18 I prof. B tiene reclusa una popolazione di criceti così composta: metà hanno meno di 1, anno, un quarto tra 1 e 2 anni, e il rimanente quarto più di 2 anni. Molti di loro soffrono di depressione: per la precisione: il 18% dei criceti che hanno meno di un anno; il 42% dei criceti che hanno da 1 a 2 anni; il 70% dei criceti che hanno più di 2 anni. Sulla base di questi dati si calcoli: 1. la proabilità che un criceto scelto a caso sia depresso? 2. la probabilità che un criceto non depresso abbia da 1 a 2 anni? 3

4 Esercizio 19 Il criceto Carletto, evaso nottetempo dalla sua gabbia nel laboratorio del prof.b, si imbatte in un sacchetto contenente frutta secca, composto al 24% da anacardi e il rimanente da nocciole. Inoltre, per effetto degli esperimenti del prof. B, un 1/4 dei frutti nel sacchetto sono radioattivi. È noto infine che la percentuale di anacardi radioattivi è del 15%. Qual è la probabilità che, estraendo dal sacchetto un frutto a caso, il criceto Carletto trovi una nocciola non radioattiva? Esercizio 20 Il professor B acquista una scatola contenente 40 funghi neri e 60 funghi rossi, con l intenzione di somministrarli al suo criceto Carletto. Sapendo che (nei criceti) i funghi neri generano allucinazioni con probabilità 0.60 e quelli rossi con probabilità 0.80, e che, inoltre, le allucinazioni generate dai funghi neri conducono Carletto a tentare di mordere il naso del prof. B, calcolare 1. la probabilità che Carletto, ingerito uno dei funghi, abbia le allucinazioni; 2. le probabilità che, sapendo che il nostro criceto ha ingerito uno dei funghi ed è entrato in stato allucinatorio, egli morda il naso del prof. B. 3. la probabilità che, avendo ingerito 5 funghi, Carletto morda almeno una volta il naso al prof.b. Esercizio 21 Il professor B effettua un trattamento musicale sui criceti, diffondendo tra le gabbiette brani scelti da un selezionatore casuale, tra quelli disponibili nella memoria di un ipod da lui sequestrato in un aula universitaria. Sono note le seguenti informazioni: - la probabilità che un brano tra quelli dell ipod piaccia al criceto Carletto è 1/3. - la percentuale dei brani di Frank Zappa che piacciono a Carletto è del 92%; - la probabilità che un brano che piace a Carletto sia di Frank Zappa è sapendo che il numero di brani in memoria è 253, dire quanti sono quelli di Frank Zappa; 2. qual è la probabilità che un brano (selezionato a caso) sia un brano di Frank Zappa che piace al criceto? 3. dire se dopo la selezione consecutiva di tre brani, la probabilità che almeno uno sia un brano di Zappa che piace al criceto è maggiore del 50%. Esercizio 22 Il professor B ha rubato un flacone di un certo siero dallo studio di un collega (tale Jekyll), e lo somministra ai suoi criceti. Durante la notte, il siero agisce sul 40% dei criceti maschi e il 20% dei criceti femmina, trasformando i criceti su cui agisce in sanguinari criceti-hyde. Pochi minuti dopo, ogni criceto-hyde assale un criceto che non ha subito la trasformazione, facendolo a pezzi; al mattino, ogni criceto ritorna normale. Sapendo che i criceti maschi sono il 60% del gruppo si dica 1. qual è la probabilità che, al mattino, il criceto Carletto sia ancora vivo? 2. qual è la probabilità che il criceto Carletto, sapendo che non ha subito la trasformazione notturna, sia una femmina? (non date peso al nome: il prof. B di certe cose non ci ha mai capito molto e, se è per questo, nemmeno il criceto). DADI, CARTE, PALLINE Esercizio 23 Dato un mazzo di carte napoletane (40 carte e quattro semi: bastoni, coppe, danari, spade); una mano consiste in un insieme di 4 carte pescate dal mazzo: 4

5 1. quante sono le mani fatte solo da carte a bastoni? e quante quelle fatte da carte dello stesso seme? 2. qual è la probabilità di avere una mano fatta da carte di semi tutti diversi? 3. quante sono le mani in cui ci sono esattamente due carte a bastoni? 4. pescando 2 carte dal mazzo, qual è la probabilità che siano di semi diversi? Esercizio 24 Un urna A contiene 5 palline bianche e 6 palline rosse; un altra urna B ne contiene 8 rosse e 3 bianche. Un meccanismo casuale sposta una pallina dall urna B all urna A. 1. Qual è la probabilità che (dopo il passaggio) estraendo una pallina dall urna A si trovi una pallina bianca? [usare la legge delle alternative] 2. Dopo il passaggio si estrae a caso una pallina dall urna A; sapendo che questa è bianca, dire qual è la probabilità che la pallina inizialmente trasferita da B ad A sia bianca. Esercizio 25 Dire se lanciando 4 dadi a sei facce non truccati, la probabilità che esca almeno una coppia di valori uguali è superiore o inferiore al 70%. Esercizio 26 Le facce di un dado dodecaedrico (cioè a dodici facce) vengono colorate: 4 di rosso, 3 di bianco, 3 di verde e 2 di nero. Lanciandolo cinque volte di seguito qual è la probabiloità: 1. escano esattamente due facce rosse; 2. escano due facce rosse, due bianche e una nera; 3. escano solo facce rosse e nere. Esercizio 27 Vi sono tre urne ognuna delle quali contiene 12 palline rosse e 18 palline gialle. Viene estratta a caso una pallina da ogni urna. 1. Qual è la probabilità che vengano estratte esattamente 2 palline rosse? 2. qual è la probabilità che vengano estratte tre palline dello stesso colore? Esercizio 28 Una slot-machine è formata da tre ruote, ognuna delle quali contiene otto caselle di cui 2 recano il disegno di una ciliegia e le rimanenti sei i numeri da 1 a 6. Qual è la probabilità che, azionando la leva: 1. escano esattamente due ciliegie; 2. escano tre simboli uguali. I CASSETTI MALEFICI Esercizio 29 In un armadio provvisto di otto cassetti vengono collocate casualmente, una per cassetto, 6 maglie rosse e 2 maglie verdi. 1. Qual è la probabilità di trovare una maglia rossa aprendo un cassetto a caso? 2. Aprendo a caso due cassetti qual è la probabilità di trovare: almeno una maglia rossa, due maglie rosse, due maglie di colori diversi? 5

6 Esercizio 30 Nell armadio a otto cassetti vengono collocate alla rinfusa 14 paia di pantaloni, in due delle quali è stato lasciato un portafoglio. 1. Qual è la probabilità di trovare un paio di pantaloni col portafoglio aprendo un cassetto a caso? 2. Aprendo un cassetto si trovano due paia di pantaloni; qual è la probabilità che ci sia (almeno) un portafoglio? Esercizio 31 Nell armadio a otto cassetti vengono collocate alla rinfusa 12 camicie. 1. Qual è la probabilità di trovare una camicia aprendo un cassetto a caso? 2. Se dopo aver aperto due cassetti non si è trovata alcuna camicia, qual è la probabilità che aprendo il prossimo se ne trovino due? 3. Sapendo che un certo cassetto contiene (almeno) una camicia, qual è la probabilitrà, aprendolo, di trovarne due? Esercizio 32 Un nuovo armadio ha nove cassetti, ma uno - di cui non si conosce la posizione - è stregato, per cui qualsiasi cosa vi si metta dentro essa scompare. Nell armadio vengono riposte 6 camicie, mettendone in ogni cassetto al più una; qual è la probabilità che aprendo un cassetto a caso si trovi una camicia. 6

7 ALCUNE SOLUZIONI Esercizio 1. Ogni giocatore lancia il dado; lo spazio degli eventi è quello naturale delle coppie di numeri da 1 a 6: Ω {(x, y) x, y {1,..., 6}}, dunque Ω 36. Denotiamo con v e con n, rispettivamente, il punteggio realizzato col lancio del dado dal giocatore Verde e quello realizzato dal giocatore Nero. 1. Verde vince la partita se v {3, 4, 5, 6} e n {1, 2, 3, 4}; i casi favorevoli alla vittoria del Verde sono quindi , e la probabilità che Verde vinca è 16/36 4/9. 2. Nero vince la partita se v {1, 2} e n {5, 6}; i casi favorevoli alla vittoria del Nero sono 2 2 4, e la probabilità che Nero vinca è 4/36 1/9. 3. Si ha parità se v {3, 4, 5, 6} e n {5, 6}; i casi favorevoli alla patta sono 4 2 8, e la probabilità che la partita termini in parità è 8/36 2/9. 4. Nessuno giunge alla meta nei casi v {1, 2} e n {1, 2, 3, 4}; il numero di questi casi è 2 4 8, e la probabilità che nessuno vinca è 8/36 2/9. [si osservi che i quattro eventi di cui si è calcolato la probabilità sono a due a due incompatibili e che la loro unione ricopre l intero spazio degli eventi; la somma delle probabilità è, infatti, 4/9 + 1/9 + 2/9 + 2/9 9/9 1.] Esercizio Gli eventi A e B sono indipendenti se p(a B) p(a)p(b). 2. Supponiamo che A e B siano indipendenti e verifichiamo che per i complementari vale l identità p(a B) p(a)p(b) che stabilisce la loro indipendenza. Per farlo, si può ricorrere all identità di De Morgan A B A B, e la formula p(a B) 1 p(a) p(b) + p(a B). Abbiamo, p(a B) p(a B) 1 p(a B) 1 p(a) p(b) + p(a B) 1 p(a) p(b) + p(a)p(b) (1 p(a))(1 p(b)) p(a)p(b). dunque A e B sono indipendenti. 3. Abbiamo, per ovvie considerazioni, E, ancora, p(a) 4/40 1/10, p(b) 10/40 1/4 e p(c) 20/40 1/2. p(a B) 1/40, p(a C) 4/40, p(b C) 5/40. Ora, basta esaminare le varie possibilità. Si trova che p(a B) 1/40 (1/10)(1/4) p(a)p(b) e dunque A e B sono indipendenti. Calcolando allo stesso modo, p(b C) 5/40 1/8 (1/4)(1/2) p(b)p(c) p(a C) 4/40 (1/10)(1/2) p(a)p(c) dunque B e C sono indipendenti, mentre A e C non lo sono. Esercizio 3. Gli eventi A e B sono incompatibili se p(a B) Vero. Infatti, se A e B sono eventi sappiamo che p(a) + p(b) P (A B) p(a B). Se A e B sono incompatibili, p(a B) 0, dunque p(a) + p(b) p(a B) 1. 7

8 2. Falso. Consideriamo, ad esempio, un lancio di un dato a sei facce, e i due eventi: A esce un numero pari, B esce un numero minore a uguale a 2. Allora p(a) + p(b) 1/2 + 1/3 5/6 1, ma A e B non sono incompatibili (infatti p(a B) p(esce 2) 1/6 0). 3. Falso. Ad esempio, ancora nel lancio di un dado a sei facce, consideriamo gli eventi A esce maggiore o uguale a 5, B esce un numero minore a uguale a 2. A e B sono incompatibili mentre, p(a B) p(a B) 1 p(a B) 1 4/6 1/3 0. Dunque, A e B non sono incompatibili. Esercizio I casi possibili sono I casi favorevoli si devono contare; essi sono costituiti dalle seguenti uscite tre 1 due 1 e un 1 due 1 e un 3 due 1 e un 4 un 1 e due 2 un 1 un 2 e un 3 tre 2 1 caso 3 casi 3 casi 3 casi 3 casi 6 casi 1 caso i casi favorevoli (somma 6) sono dunque 20; la probabilità cercata è quindi p Chiaramente, il valore cercato in questo caso è uguale alla probabilità che, lanciando due dadi, la somma dei punti sia uguale a 5. Per questo, i casi favorevoli sono 4 (cioè (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)) su possibili. La probabilità cercata è dunque p Esercizio 5. Per due dadi a sei facce i casi possibili sono : i casi favorevoli all evento A sono 11, quindi p(a) I casi in cui esce almeno un dispari sono 27 (cioè 36 meno quelli in cui escono due pari che sono 3 2 9), quelli con almeno un 3 sono ancora 11 (si osservi che l evento esce almeno un 3 è contenuto nell evento esce almeno un dispari ); la probabilità cercata è quindi p I casi in cui esce almeno un pari sono (come per i dispari) 27; tra questi, quelli dove esce un 3 sono 6; la probabilità cercata è dunque p Esercizio p(a B) p(a) + p(b) p(a B) p(a) + (1 p(b)) p(a B) Osserviamo che p(a B) + p(a B) p(a); quindi p(a B) p(a) p(a B) p(b A) 1 p(b A) 1 p(b A) 1 [p(a) + p(b) p(a B)] 1 ( )

9 Esercizio La probabilità che, per un giro della pallina, esca un numero pari p(p ) , quella che esca un numero di A {8, 9, 11, 12} è p(a) Quindi, la probabilità di vincere qualcosa per un giocatore che punti sul peri e sulla quartina A è p(a P ) p(a) + p(p ) p(a P ) La probabilità di vincere, in un turno, puntando sulla dozzina è p 1 3 (e quella di non vincere è q 1 p 2 3. Gli eventi di diversi turni della roulette sono ovviamente indipendenti; quindi le probabilità che si hanno ad ogni turno si moltiplicano tra loro. Nel caso specifico, la probabilità di non vincere per tre volte di seguito puntando sulla dozzina è: q , e dunque la probabilità di vincere almeno una volta è La probabilità di vincere al primo turno e perdere negli altri è p q 2, e la stessa è per la vincita solo al secondo o solo al terzo turno. Dunque, la probabilità di vincere esattamente una volta è 3(p q 2 ) (si tratta di un caso molto semplice di distribuzione bernoulliana) Esercizio Per definizione di probabilità condizionata e la proprietà distributiva: p(a B C) p((a B) C) p((a C) (B C)) p(c) p(c) p(a C) p(b C) p(a B C) + p(c) p(c) p(c) p(a C) + p(b C) p(a C B) p((a B) C)/p(B) p(a B C)/p(B) 0/p(B) Osserviamo che, poiché p(a C B) p(a B C) 0, si ha p(a C B) p(a C). Quindi p(a B C) p(a C) p(a B C) p(a C) 0.2. p(c) p(c) Esercizio 9. Denotiamo con p(r), p(g), p(f ) la probabiltà che una lampadina presa a caso tra quelle acquistate sia, rispettivamente, rossa, gialla, fulminata. Le informazioni a disposizione sono quindi p(r) , p(g) , p(f ) , e, inoltre, p(f R) 2 p(f G). 1. Ponendo x p(f R), la legge delle alternative si scrive 1 2 p(f ) p(f R)p(R) + p(f G)p(G) x x x da cui si ricava x 6/ Dal punto precedente si ha, anche, p(f G) La probabilità che una lampadina finzuionante sia gialla è p(g F ); per la formula di Bayes: p(g F ) p(f G)p(G) p(f ) 1 p(f G) 1 p(f ) 9 p(g)

10 Esercizio 10. Denotiamo con D e P, rispettivamente gli eventi lo spirito è Dante e lo spirito è Petrarca, e con M l evento lo spirito mente. I dati a nostra disposizione sono quindi - p(d) p(p ) p(m D) 0.72, p(m P ) La prima questione chiede di determinare p(d M) (dove M è l evento complementare a M, ovvero lo spirito dice la varità). Dalla definizione di probabilità condizionata abbiamo: p(d M) p(m D)p(D) (1 p(m D))p(D) (0.28)(0.5) La seconda questione chiede di trovare p(d M). Applicando Bayes p(d M) p(m D)p(D) p(m) (1) e, come si fa spesso, p(m) si calcola mediante la legge delle alternative: p(m) p(m D)p(D) + p(m P )p(p ) (0.72)(0.5) (0.38)(0.5) 0.55 Quindi, da (1) si ricava: p(d M) (0.72)(0.5) Esercizio 11. Denotiamo con X e Y l evento il batterio appartiene alla specie X o, rispettivamente, specie Y, e con A il batterio diventa azzurro. I dati di cui disponiamo si traducono come p(a X) 0.3, p(a Y ) 0.6 e p(a) Nella popolazione sottoposta al trattamento ci sono solo batteri dei due tipi; dunque p(x) + p(y ) 1. Quindi, usando all indietro la formula delle alternative: 0.4 p(a) p(a X)p(X) + p(a Y )p(y ) (0.3)p(X) + (0.6)(1 p(x)) da cui si ricava: p(x) 2/3. Dunque la percentuale di batteri appartenenti alla specie X si può stimare nel 66. 6%. 2. La domanda chiede di calcolare p(x A). Basta applicare la formula dii Bayes: p(x A) p(a X)p(X) p(a) (0.3)(2/3) Esercizio 12. Sia T l evento: la freccia di Tuk centra il bersaglio, K l evento: la freccia di Kuk centra il bersaglio e B l evento: la freccia di Buk centra il bersaglio. Poiché ciascuno lancia una freccia, i tre eventi sono mutuamente indipendenti, e si ha p(t ) 0.6, p(k) 0.42, p(b) ) Si vuol determinare la probabilità p dell evento T K B. Conviene usare il complementare T K B T K B. Poiché anche gli eventi T, K, B sono mutuamente indipendenti si ha p 1 p(t K B) 1 (1 p(t ))(1 p(k))(1 p(b))

11 2) La probabilità p cercata è la somma delle probabilità (per quattro eventi indipendenti); p 0 p(t K B), p 1 p(t K B), p 2 p(t K B), p 3 p(t K B). Poiché le tre frecce determinano eventi indipendenti, si ha: p p p p Quindi, p ) Il bersaglio è stato colpito è l evento C T K B, la cui probabilità, calcolata al punto (1), è p(c) Quel che cerchiamo è la probabilità condizionata p(t C). Poiché l evento T è contenuto nell evento C, non si ha altro che p(t C) p(t C) p(c) p(t ) p(c) Esercizio 13. Cambiando notazione rispetto all esercizio precedente, denotiamo con T, K e B il fatto che la freccia sia stata scagliata, rispettivamente, da Tuk, Kuk e Buk, e con C l evento: la freccia ha centrato il bersaglio. Quindi, i dati del problema forniscono p(t ) 10/45 2/9, p(k) 15/45 3/9, p(b) 20/45 4/9; più i dati del precedente che si traducono con p(c T ) 0.6, p(c K) 0.42, p(c B) 0.5. La formula delle alternative fornisce la probabilità di C: p(c) p(c T )p(t ) + p(c K)p(K) + p(c B)pB) 4/ Quello che cerchiamo è la probabilità p(t C). Applicando la formula di Bayes: p(t C) p(c T )p(t ) p(c) (1 p(c T ))p(t ) 1 p(c) Esercizio Gli individui affetti dalla malattia sono quelli nell insieme M +, e M L incidenza della malattia è dunque 2. Per definizione, la sensibilità del test è e la sua specificità p(m + ) Se p(t + M + ) p(t + M + ) p(m + ) Sp p(t M ) p(t M ) p(m ) 168/ / ; 912/ / Tenendo conto che p(t + ) , il valore predittivo è, per definizione, V p + p(m + T + ) p(t + M + )p(m + ) p(t + )

12 Esercizio 15. Indichiamo, come di consueto, con M + i soggetti affetti dalla malattia, con M quelli non affetti, con T + quelli il cui test risulta positivo e T quelli il cui test risulta negativo. Quindi, l incidenza della malattia è q p(m + ) 0.20, mentre, per definizione, indicando con Sp la specificità del test e con Se la sua sensibilità, Sp p(t M ) e Se p(t + M + ). Vogliamo trovare a probabilità che un individuo il cui test è negativo non sia affetto dalla malattia, cioè p(m T ) p(t )p(t M ) p(m ) Ora, per la formula delle alternative p(t ) Sp 1 q 0.8 p(t ). 1 q p(t ) p(t M )p(m ) + p(t M + )p(m + ) Sp (1 q) + (1 p(t + M + )) q Sp (1 q) + (1 Se) q q Quindi, sostituendo nell uguaglianza precedente, p(m T ) q 1 q q 1 q. Per q 0.10 si ha p(m T ) Per q 0.30 si ha p(m T ) Esercizio Denotiamo con V + il valore predittivo cercato. Per definizione e la formula di Bayes V + p(m + T + ) p(t + M + )p(m + ) p(t +. (2) ) dove p(t + M + ) 0.98 è la sensibilità del test e p(m + ) 0.02 l incidenza della malattia. Per calcolare il denominatore si può usare la formula delle alternative, ricordando che p(t M ) 0.96 è la specificità del test. Si ha p(t + ) p(t + M + )p(m + ) + p(t + M )p(m ) Sostituendo nell equazione (2), che è il valore cercato. p(t + M + )p(m + ) + (1 p(t M ))(1 p(m + )) V / In questo punto l incognita è x p(m + ). Come nel punto precedente, p(t + ) p(t + M + )x + p(t + M )(1 x) 0.98x (1 x) 0.94x Poi, dall equazione (2) e dalle condizioni del testo, 0.5 V + p(t + M + )x p(t + ) Si tratta quindi di risolvere la disequazione 0.98x 0.94x x 0.94x

13 ovvero quindi da cui 0.98x 0.5(0.94x ) 0.47x ( )x 0.02 x % Esercizio 17. Esercizio 18. Esercizio 19. Indicando con p(r) la probabilità che un frutto del sacchetto sia radioattivo, con p(a) la probabilità che sia un anacardo e p(n) che sia una nocciola. I dati del problema si rappresentano quindi con p(r) 1/4 0.25, p(a) 0.24, p(n) 0.76, p(r A) La provbabilità cercata è p(n R). Dalla formula delle alternative, posto x p(r N), 0.25 p(r) p(r A)p(A) + p(r N)p(N) x da cui si ricava x Dunque p(r N) 1 x A questo punto, per definizione di probabilità condizionata, p(n R) p(r N)p(N) Esercizio 20. Fissando le seguenti notazioni per i vari eventi N: fungo nero, R: fungo rosso, A: allucinazioni, i dati del problema si riformulano come p(n) 0.4, p(r) 0.6, p(a N) 0.6, p(a R) Basta applicare la formula delle alternative: p(a) p(a N)p(N) + p(a R)p(R) Osservando che l evento Carletto morde il prof.b coincide con N A, la probabilità cercata è la probabilità condizionata p(n A). Basta quindi applicare la formula di Bayes: p(n A) p(n)p(a N) p(a) ( 76 5 ( Come al punto precedente, la probabilità che un fungo induca a mordere il naso è p(m) (N A) p(a N)p(N) Quindi la probabilità che un fungo non induca a mordere è 1 p(m) La probabilità che, in 5 ingestioni, Carletto mangi solo funghi di questo tipo è ) q ) Pertanto, la probabilità che, mangiando 5 funghi, il criceto abbia le allucinazioni e morda il professore almeno una volta è 1 q

14 Esercizio 21. Denotiamo con Z il brano è di Franz Zappa, con C il brano piace a Carletto. I dati a disposizione si traducono con p(c) 1/3, p(c Z) 0.92, p(z C) Sia x il numero di brani di Zappa; allora la probabilità che un brano selezionato a caso sia di Frank Zappa è x/253. Occorre quindi determinare p(z). Per la formula di Bayes da cui si ricava e quindi x p(z C) p(c Z)p(Z) p(c) 0.92p(Z) 1/3 x 0.6 p(z) p(Z) 2. Qui ci chiede di calcolare p(z C). Dalla definizione di probabilità condizionata si ha da cui p(z C) p(z C) p(z C) pc) p(z C) 1/3 3. La probabilità che un brano casuale sia di Zappa e piaccia al criceto, calcolata al punto 2., è p 0.2. Quindi la probabilità che per tre volte di seguito non sia selezionato un brano del genere è (1 p) 3, e dunque la probabilità che almeno uno lo sia è che è inferiore al 50%. 1 (1 p) 3 1 (0.8) Esercizio Le carte a bastoni sono un insieme di 10 elementi; una mano a bastoni consiste in un suo sottoinsieme di quattro elementi. Il numero di tali sottoinsiemi (e la risposta alla domanda) è: ( ) ! Per la seconda domanda basta ovviamente moltiplicare per quattro: 4 (10 ) Poiché i semi sono tanti quanto le carte di una mano, il numero di mani formate da carte di semi tutti diversi è ciascun Il numero totale di mani possibili è ( ) La probabilità cercata è dunque p 104 ) ( Il numero di coppie di carte a bastoni è ( ) ; quello delle coppie formate da carte degli altri tre semi è ( ) Il numero di mani costituita da una coppia a bastoni ed una coppia di altri semi è dunque Il numero totale di coppie di carte è ( ) Il numero di coppie costituite da carte dello stesso seme è 4 (10 ) 2 180; dunque il numero di coppie di carte di seme diverso è La probabilità di pescare una coppia di carte di seme diverso è dunque p

15 Esercizio 24. Scriviamo R e B per intendere che da B a A è passata una pallina rossa e, rispettivamente, bianca. Quindi p(r) 8/11 e p(b) 3/11. Denotiamo poi con r e b il fatto che dall urna A venga estratta, dopo il passaggio, una pallina di colore rosso o, rispettivamente, di colore bianco. 1. Per la legge delle alternative p(b) p(b B)p(B) + p(b R)p(R) 6 12 p(b) p(r) La domanda chiede di calcolare la probabilità condizionata p(b b). Tenendo conto che p(b B) 6/12 1/2 ed usando la formula di Bayes si trova p(b b) p(b B)p(B) p(b) (1/2)(3/11) 29/ Esercizio 28. La probabilità che, su ciascuna ruota, esca una ciliegia è p Le tre ruote poi sono indipendenti l una dall altra. La risposta al punto 1. è quindi un applicazione della formula per gli eventi bernoulliani: p(2cil) ( ) 3 2 p 2 (1 p) , Lo spazio degli eventi è costituito da 8 3 casi. Di questi quelli in cui i tre simboli sono uguali sono 6 se il simbolo comune non è la ciliegia e se è la ciliegia; quindi i casi favorevoli sono 6 + 8n 14. Pertanto, la probabilità cercata è Il caso di tre simboli diversi è più complicato da analizzare: questo perché la ciliegia ha più probabilità di uscire di uno specifico numero. Mantenendo lo spazio degli eventi quello di tutte le possibili ruotate (quindi Ω 8 3 ), possiamo ripartire l evento A tutti simboli diversi in due casi tra loro incompatibili: A 1 i simboli sono diversi e non c è la ciliegia; A 2 i simboli sono diversi e c è la ciliegia;. A 1 si calcola facilmente, infatti - poiché i numeri sono sei in ogni ruota - è uguale al numero di disposizioni senza ripetizione A 1 D 6, Per calcolare A 2 possiamo calcorae quante sono le coppie ordinate di smboli diversi tra loro e dalla ciliegia, che sono 6 5; poi tener conto che la ciliegia, può uscire in 6 modi; si ha quindi A 2 6 (6 5). Dunque A A 1 + A Pertanto, la probabilità che escano tre simboli diversi è: p(diversi) A Ω Esercizio La probabilità di trovare una maglia rossa aprendo un cassetto a caso è 6/8. 15

16 2. Le possibili scelte per due cassetti sono ( 8 2) 28 e ovviamente c é una sola coppia di cassetti contenenti entrambi una maglia verde. Dunque la probabilità di trovare almeno una maglia rossa aprendo due cassetti a caso è: p Le coppie di cassetti con maglie rosse sono ( 6 2) 15; quindi la probabilità di trovare due maglie rosse aprendo due cassetti a caso è: p La probabilità di trovare due maglie di colori diversi aprendo due cassetti a caso è: p 3 p 1 p

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete

Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica. Esercizi su variabili aleatorie discrete Corso di Calcolo delle Probabilità e Statistica Esercizi su variabili aleatorie discrete Es.1 Da un urna con 10 pallina bianche e 15 palline nere, si eseguono estrazioni con reimbussolamento fino all estrazione

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico.

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2009/2010. C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico. Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2009/2010 C.d.L.S.: Ingegneria Civile-Architettonico, Ingegneria Civile-Strutturistico Probabilità Ines Campa e Marco Longhi Probabilità e Statistica - Esercitazioni

Dettagli

Test sul calcolo della probabilità

Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità 2 Test sul calcolo della probabilità Test sul calcolo della probabilità. La probabilità p di un evento E, quando si indica con E il suo complementare, è : a) 0 se E è

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che:

Esercizi. Rappresentando le estrazioni con un grafo ad albero, calcolare la probabilità che: Esercizi Esercizio 4. Un urna contiene inizialmente 2 palline bianche e 4 palline rosse. Si effettuano due estrazioni con la seguente modalità: se alla prima estrazione esce una pallina bianca, la si rimette

Dettagli

Somma logica di eventi

Somma logica di eventi Somma logica di eventi Da un urna contenente 24 palline numerate si estrae una pallina. Calcolare la probabilità dei seguenti eventi: a) esce un numero divisibile per 5 o superiore a 20, b) esce un numero

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

Esercizi sul calcolo delle probabilità

Esercizi sul calcolo delle probabilità Esercizi sul calcolo delle probabilità Svolti e da svolgere (per MAR 13 marzo) Dati due eventi A e B dello spazio campionario Ω. Si sappia che P(A c )=0,3 P(B)=0,4 e P(A B c )=0,5 si determinino le probabilità

Dettagli

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }.

A = { escono 2 teste e due croci (indipendentemente dall ordine) } B = { al primo tiro esce testa }. ESERCIZI ELEMENTARI DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Teorema della somma 1) Giocando alla roulette, calcolare la probabilità che su una estrazione esca: a) Un numero compreso tra 6 e 12 (compresi) oppure maggiore

Dettagli

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI

PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI PROBABILITA' E VARIABILI CASUALI ESERCIZIO 1 Due giocatori estraggono due carte a caso da un mazzo di carte napoletane. Calcolare: 1) la probabilità che la prima carta sia una figura oppure una carta di

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Il calcolo delle probabilità ha avuto origine nel Seicento in riferimento a questioni legate al gioco d azzardo e alle scommesse. Oggi trova tante applicazioni in ambiti anche

Dettagli

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007

Probabilità e Statistica Esercitazioni. a.a. 2006/2007 Probabilità e Statistica Esercitazioni a.a. 2006/2007 C.d.L.: Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio, Ingegneria Civile, Ingegneria Gestionale, Ingegneria dell Informazione C.d.L.S.: Ingegneria Civile

Dettagli

Elementi di calcolo delle probabilità

Elementi di calcolo delle probabilità Elementi di calcolo delle probabilità Definizione di probabilità A) Qui davanti a me ho un urna contenente 2 palline bianche e 998 nere. Mi metto una benda sugli occhi, scuoto ripetutamente l urna ed estraggo

Dettagli

(concetto classico di probabilità)

(concetto classico di probabilità) Probabilità matematica (concetto classico di probabilità) Teoria ed esempi Introduzione Il calcolo delle probabilità è la parte della matematica che si occupa di prevedere, sulla base di regole e leggi

Dettagli

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo.

Corso di Matematica. Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia. Università degli Studi di Pisa. Maria Luisa Chiofalo. Corso di Matematica Corso di Laurea in Farmacia, Facoltà di Farmacia Università degli Studi di Pisa Maria Luisa Chiofalo Scheda 18 Esercizi svolti sul calcolo delle probabilità I testi degli esercizi sono

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

SIMULAZIONE TEST INVALSI

SIMULAZIONE TEST INVALSI SIMULAZIONE TEST INVALSI STATISTICA E PROBABILITA Nel sacchetto A ci sono 4 palline rosse e 8 nere mentre nel sacchetto B ci sono 4 palline rosse e 6 nere. a. Completa correttamente la seguente frase inserendo

Dettagli

Per poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete.

Per poter affrontare il problema abbiamo bisogno di parlare di probabilità (almeno in maniera intuitiva). Analizziamo alcune situazioni concrete. Parliamo di probabilità. Supponiamo di avere un sacchetto con dentro una pallina rossa; posso aggiungere tante palline bianche quante voglio, per ogni pallina bianca che aggiungo devo pagare però un prezzo

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I)

Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) Esercizi di Calcolo delle Probabilita (I) 1. Si supponga di avere un urna con 15 palline di cui 5 rosse, 8 bianche e 2 nere. Immaginando di estrarre due palline con reimmissione, si dica con quale probabilità:

Dettagli

Esericizi di calcolo combinatorio

Esericizi di calcolo combinatorio Esericizi di calcolo combinatorio Alessandro De Gregorio Sapienza Università di Roma alessandrodegregorio@uniroma1it Problema (riepilogativo) La segretaria di un ufficio deve depositare 3 lettere in 5

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu

Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu Esercizi di calcolo combinatorio e probabilità Svolgimento a cura di Mattia Puddu 1. Gli interi da 1 a 9 sono scritti nelle 9 caselle di una scacchiera 3x3, ogni intero in ogni casella diversa, in modo

Dettagli

Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes

Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes Sessione Live #3 Settimana dal 7 all 11 marzo 2003 Probabilità Calcolo combinatorio, probabilità elementare, probabilità condizionata, indipendenza, th delle probabilità totali, legge di Bayes Lezioni

Dettagli

Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a:

Si considerino gli eventi A = nessuno studente ha superato l esame e B = nessuno studente maschio ha superato l esame. Allora A c B è uguale a: TEST DI AUTOVALUTAZIONE - SETTIMANA 2 I diritti d autore sono riservati. Ogni sfruttamento commerciale non autorizzato sarà perseguito. Metodi statistici per la biologia 1 Parte A 1.1 Si considerino gli

Dettagli

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni

Analisi dei Dati 12/13 Esercizi proposti 3 soluzioni Analisi dei Dati 1/13 Esercizi proposti 3 soluzioni 0.1 Un urna contiene 6 palline rosse e 8 palline nere. Si estraggono simultaneamente due palline. Qual è la probabilità di estrarle entrambe rosse? (6

Dettagli

PROBABILITA CONDIZIONALE

PROBABILITA CONDIZIONALE Riferendoci al lancio di un dado, indichiamo con A l evento esce un punteggio inferiore a 4 A ={1, 2, 3} B l evento esce un punteggio dispari B = {1, 3, 5} Non avendo motivo per ritenere il dado truccato,

Dettagli

21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I C.L. in Matematica

21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I C.L. in Matematica 21.05.08 Prima prova parziale di Calcolo delle probabilità I Ogni esercizio vale 5 punti. 1. Si gioca a nascondino in una casa di quattro stanze: cucina, salotto, bagno e camera da letto. Otto bambini

Dettagli

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra

Esercizi di Probabilità e statistica. Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Esercizi di Probabilità e statistica Francesco Caravenna Paolo Dai Pra Capitolo 1 Spazi di probabilità discreti 1.1 Proprietà fondamentali Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini

Dettagli

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi

Teoria della probabilità Assiomi e teoremi Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Teoria della probabilità Assiomi e teoremi A.A. 2008-09 Alberto Perotti DELEN-DAUIN Esperimento casuale Esperimento

Dettagli

Probabilità. Esperimento, risultati e spazio campionario

Probabilità. Esperimento, risultati e spazio campionario Probabilità La probabilità è usata nel linguaggio comune per dare indicazioni quantitative sul verificarsi di certi eventi: i) probabilità di incorre in un data patologia causa l abuso di alcol, fumo,

Dettagli

Laboratorio di dinamiche socio-economiche

Laboratorio di dinamiche socio-economiche Dipartimento di Matematica Università di Ferrara giacomo.albi@unife.it www.giacomoalbi.com 21 febbraio 2012 Seconda parte: Econofisica La probabilità e la statistica come strumento di analisi. Apparenti

Dettagli

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado)

PROBABILITA. Sono esempi di fenomeni la cui realizzazione non è certa a priori e vengono per questo detti eventi aleatori (dal latino alea, dado) L esito della prossima estrazione del lotto L esito del lancio di una moneta o di un dado Il sesso di un nascituro, così come il suo peso alla nascita o la sua altezza.. Il tempo di attesa ad uno sportello

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 19 marzo 2007 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio 1 Un urna contiene due palle nere e una rossa. Una seconda urna ne contiene una bianca

Dettagli

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio

1 Probabilità. 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio Indice 1 Probabilità 1 1.1 Primi esercizi di probabilità con l uso del calcolo combinatorio.. 1 1.2 Probabilità condizionata, indipendenza e teorema di Bayes.... 2 1 Probabilità 1.1 Primi esercizi di probabilità

Dettagli

1 Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo

1 Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo Breve introduzione alla probabilità elementare: approccio intuitivo. È usuale che in molte situazioni che si presentano concretamente ci sia a priori incertezza su ciò che accadrà nel futuro: il calcolo

Dettagli

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO

ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO ESERCIZI DI CALCOLO COMBINATORIO 1. Calcolare il numero degli anagrammi che possono essere formati con le lettere della parola Amore. [120] 2. Quante partite di poker diverse possono essere giocate da

Dettagli

Esercizi di Probabilità e Statistica

Esercizi di Probabilità e Statistica Esercizi di Probabilità e Statistica Samuel Rota Bulò 9 giugno 006 Spazi di probabilità finiti e uniformi Esercizio Un urna contiene 6 palline rosse, 4 nere, 8 bianche. Si estrae una pallina; calcolare

Dettagli

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita?

Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 100 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Viene lanciata una moneta. Se esce testa vinco 00 euro, se esce croce non vinco niente. Quale è il valore della mia vincita? Osserviamo che il valore della vincita dipende dal risultato dell esperimento

Dettagli

1 Probabilità condizionata

1 Probabilità condizionata 1 Probabilità condizionata Accade spesso di voler calcolare delle probabilità quando si è in possesso di informazioni parziali sull esito di un esperimento, o di voler calcolare la probabilità di un evento

Dettagli

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott.

Modello probabilistico di un esperimento aleatorio. Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Modello probabilistico di un esperimento aleatorio Psicometria 1 - Lezione 6 Lucidi presentati a lezione AA 2000/2001 dott. Corrado Caudek 1 Un esperimento è il processo attraverso il quale un osservazione

Dettagli

Calcolo delle probabilità. 3. La probabiltà nella concezione frequentista. 4. La probabiltà nella concezione soggettiva

Calcolo delle probabilità. 3. La probabiltà nella concezione frequentista. 4. La probabiltà nella concezione soggettiva Calcolo delle probabilità. Gli eventi - definizioni propedeutiche 2. La probabiltà nella concezione classica. La probabiltà nella concezione frequentista 4. La probabiltà nella concezione soggettiva. La

Dettagli

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1

Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 Esercizi di consolidamento di probabilità e calcolo combinatorio parte 1 1. Si lancia una moneta 2 volte: qual è la probabilità che esca TESTA 0 volte? 1 volta? 2 volte? 2. Si lancia una moneta 3 volte:

Dettagli

COMPITO n. 1. 3. Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente

COMPITO n. 1. 3. Siano X, Y due variabili aleatorie tali che il vettore (X, Y ) sia distribuito uniformemente COMPITO n. 1 a) Nel gioco del poker ad ogni giocatore vengono distribuite cinque carte da un normale mazzo di 52. Quant è la probabilità che un giocatore riceva una scala di re (ovvero 9, 10, J, Q, K anche

Dettagli

STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012

STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 STATISTICA MEDICA Prof. Tarcisio Niglio http://www.tarcisio.net tarcisio@mclink.it oppure su Facebook Anno Accademico 2011-2012 Calcolo delle Probabilità Teoria & Pratica La probabilità di un evento è

Dettagli

TEOREMI SULLA PROBABILITÀ

TEOREMI SULLA PROBABILITÀ TEOREMI SULLA PROBABILITÀ o Probabilità totale oprobabilità contraria oprobabilità condizionata odipendenza stocastica oprobabilità composta oformula di Bayes oproblemi di riepilogo Probabilità di eventi

Dettagli

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni

Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Corso di ELEMENTI DI STATISTICA Alcuni problemi di probabilità, con soluzioni Si tratta di problemi elementari, formulati nel linguaggio ordinario Quindi, per ogni problema la suluzione proposta è sempre

Dettagli

Cosa dobbiamo già conoscere?

Cosa dobbiamo già conoscere? Cosa dobbiamo già conoscere? Insiemistica (operazioni, diagrammi...). Insiemi finiti/numerabili/non numerabili. Perché la probabilità? In molti esperimenti l esito non è noto a priori tuttavia si sa dire

Dettagli

Introduzione alla probabilità

Introduzione alla probabilità Introduzione alla probabilità CAPITOLO TEORIA Il dilemma di Monty Hall In un popolare show televisivo americano il presentatore mostra al concorrente tre porte chiuse. Dietro a una di esse si cela il premio

Dettagli

Calcolo delle probabilità

Calcolo delle probabilità Calcolo delle probabilità Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Statistica Dai risultati di un esperimento si determinano alcune caratteristiche della popolazione Calcolo delle probabilità

Dettagli

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo

Statistica 1. Esercitazioni. Dott. Luigi Augugliaro 1. Università di Palermo Statistica 1 Esercitazioni Dott. 1 1 Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli, Università di Palermo ricevimento: lunedì ore 15-17 mercoledì ore 15-17 e-mail: luigi.augugliaro@unipa.it

Dettagli

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità CAPITOLO 12 Calcolo delle Probabilità 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità Una storia d amore Luca abita a Lecco, Bianca a Brindisi. Lui è innamorato perso. Anche lei ama lui, ma, ultimamente,

Dettagli

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita

Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita Primi esercizi per gli studenti del corso di Statistica ed Elementi di Probabilita NOTA 1 Gli esercizi sono presi da compiti degli scorsi appelli, oppure da testi o dispense di colleghi. A questi ultimi

Dettagli

Politecnico di Milano Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici [Mod 1] 1

Politecnico di Milano Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici [Mod 1] 1 Politecnico di Milano Appunti di calcolo delle probabilità per il corso di Fondamenti di Statistica e Segnali Biomedici [Mod 1] 1 Ilenia Epifani 1 Il contenuto di queste dispense è protetto dalle leggi

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Calcolo delle probabilità Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si vuole studiare la distribuzione del sesso dei figli nelle famiglie aventi due figli

Dettagli

Marco Di Marzio. Primi elementi di inferenza statistica

Marco Di Marzio. Primi elementi di inferenza statistica Marco Di Marzio Primi elementi di inferenza statistica Ringraziamenti Un sentito ringraziamento a Fabiola Del Greco e Agnese Panzera per la preziosa collaborazione. Indice Probabilità. Esperimenti casuali...........................................2

Dettagli

8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura?

8. Qual è la probabilità di estrarre da un mazzo di 40 carte napoletane una figura? www.matematicamente.it Probabilità 1 Calcolo delle probabilità Cognome e nome: Classe Data 1. Quali affermazioni sono vere? A. Un evento impossibile ha probabilità 1 B. Un vento certo ha probabilità 0

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio)

Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio) Esercizi di Calcolo delle Probabilità (calcolo combinatorio 1. Lanciamo due dadi regolari. Qual è la probabilità che la somma delle facce rivolte verso l alto sia pari a 7? 1/6 2. Due palline vengono estratte

Dettagli

Matematica Applicata. Probabilità e statistica

Matematica Applicata. Probabilità e statistica Matematica Applicata Probabilità e statistica Fenomeni casuali Fenomeni che si verificano in modi non prevedibili a priori 1. Lancio di una moneta: non sono in grado di prevedere con certezza se il risultato

Dettagli

ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1

ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 1 ESERCITAZIONE DI PROBABILITÀ 2/03/205 Primo foglio di esercizi Esercizio 0.. Una classe di studenti è costituita da 6 ragazzi e 4 ragazze. I risultati dell esame vengono esposti in una graduatoria in ordine

Dettagli

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate

CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA. Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi su eventi, previsioni e probabilità condizionate Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability

Dettagli

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ

PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ PROBABILITÀ - SCHEDA N. 1 INTRODUZIONE ALLA PROBABILITÀ 1. Che cos è la probabilità? «La teoria delle probabilità non è altro che il tentativo del genere umano di comprendere l incertezza dell universo,

Dettagli

Tabella 7. Dado truccato

Tabella 7. Dado truccato 0 ALBERTO SARACCO 4. Compiti a casa 7novembre 200 4.. Ordini di grandezza e calcolo approssimato. Esercizio 4.. Una valigia misura 5cm di larghezza, 70cm di lunghezza e 45cm di altezza. Quante palline

Dettagli

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R.

6. I numeri reali e complessi ( R e C ). x2 = 2. 6.1 I numeri reali R. 6. I numeri reali e complessi ( R e C ). 6.1 I numeri reali R. Non tratteremo in modo molto approfondito gli ulteriori ampliamenti che dai numeri razionali ci portano a quelli reali, all insieme, e R d

Dettagli

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y = ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo.

Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. Capitolo 1 9 Ottobre 00 Calcolo delle Probabilita, INGEGNERIA INFORMATICA, semestre II, laurea (ord. Leonardo. 000, Milano Esercizio 1.0.1 (svolto in classe [II recupero Ing. Matematica aa.00-0-rivisitato]nel

Dettagli

Probabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità

Probabilità. Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità Concetti fondamentali Definizione di probabilità Teoremi sulla probabilità Probabilità: indicazioni quantitative sul verificarsi di certi eventi (linguaggio comune), ad es. P di superare o

Dettagli

Esercizi di calcolo combinatorio

Esercizi di calcolo combinatorio CORSO DI CALCOLO DELLE PROBABILITÀ E STATISTICA Esercizi di calcolo combinatorio Nota: Alcuni esercizi sono tradotti, più o meno fedelmente, dal libro A first course in probability di Sheldon Ross, quinta

Dettagli

Esercizi di probabilità discreta

Esercizi di probabilità discreta Di seguito, potete trovare i testi (con risposta) degli esercizi svolti (o proposti) nel corso di esercitazioni dell insegnamento di Matematica applicata. 1 Esercizi di probabilità discreta Algebra degli

Dettagli

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1

Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1 Traccia della soluzione degli esercizi del Capitolo 1 Esercizio 1 Esprimere ciascuno dei seguenti eventi in termini degli eventi A, B, C. 1. Almeno un evento si verifica. 2. Al più un evento si verifica..

Dettagli

ESERCIZI DI RIEPILOGO 2. 7 jj(addi

ESERCIZI DI RIEPILOGO 2. 7 jj(addi ESERCIZI DI RIEPILOGO 2 ESERCIZIO 1 Da un comune mazzo di 52 carte francesi (13 carte per ognuno dei quattro semi: picche, cuori, fiori e quadri) viene estratta casualmente una carta. Definiti gli eventi:

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità

Caso e probabilità. Il caso. Il caso. Scommesse e probabilità Fenomeni aleatori Probabilità Introduzione Il caso Il caso commesse e probabilità Il caso i chiama evento casuale quello che si verifica in una situazione in cui gli eventi possibili sono più d uno, ma non si sa a priori quale si verificherà.

Dettagli

Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni

Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni Analisi di situazioni casuali: apparenti paradossi e auto-inganni Fabio Spizzichino Associazione Civica XIX Libreria Passaparola, Roma Roma, 11 Aprile 2014 1 Ci sono tre tipi di bugie: le bugie normali,

Dettagli

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k

Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità. Le disposizioni semplici di n elementi di classe k Pordenone Corso di Matematica e Statistica 4 Calcolo combinatorio e probabilità UNIVERSITAS STUDIORUM UTINENSIS Giorgio T. Bagni Facoltà di Scienze della Formazione Dipartimento di Matematica e Informatica

Dettagli

Pillole di Probabilitá

Pillole di Probabilitá Pillole di Probabilitá Roberto Paoletti Supponiamo di dover fare una previsione su un esito che puó avvenire all interno di un certo insieme di eventi. Ad esempio, viene lanciato un dado e si vuole fare

Dettagli

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 7 - Pag. 1. Capitolo 7. Probabilità, verosimiglianze e teorema di Bayes.

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 7 - Pag. 1. Capitolo 7. Probabilità, verosimiglianze e teorema di Bayes. Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 7 - Pag. 1 Capitolo 7. Probabilità, verosimiglianze e teorema di Bayes. Probabilità, verosimiglianza e teorema di Bayes Se A e B sono

Dettagli

Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche «Mario Serio»

Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche «Mario Serio» PRECORSO 2014 Problemi di Matematica Giovanni Romano Dipartimento di Scienze Biomediche, Sperimentali e Cliniche «Mario Serio» PRECORSO 2014: ciclo formativo di orientamento alle prove di ammissione ai

Dettagli

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011)

k n Calcolo delle probabilità e calcolo combinatorio (di Paolo Urbani maggio 2011) b) (vedi grafo di lato) 7 0 9 0 0 0 ( E ) + + 0, ) Calcolare, riguardo al gioco del totocalcio, la probabilità dei seguenti eventi utilizzando il calcolo combinatorio a) E : fare b) E : fare 0 c) E : fare

Dettagli

Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini

Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini Corso Integrato di Statistica Informatica e Analisi dei Dati Sperimentali Note A.A. 2009-10 C. Meneghini 1 Elementi di calcolo delle probabilitá, teorema di Bayes e applicazioni 1.1 Definizione di probabilitá

Dettagli

Politecnico di Milano Esercizi di Calcolo delle Probabilità cod. 061195 Per gli allievi ING AUT, ELN, INF e TEL Anno accademico 2005-2006 1

Politecnico di Milano Esercizi di Calcolo delle Probabilità cod. 061195 Per gli allievi ING AUT, ELN, INF e TEL Anno accademico 2005-2006 1 Politecnico di Milano Esercizi di Calcolo delle Probabilità cod. 061195 Per gli allievi ING AUT, ELN, INF e TEL Anno accademico 2005-2006 1 Ilenia Epifani 16 ottobre 2006 1 Il contenuto di queste dispense

Dettagli

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità

Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità Esercitazione del 14/02/2012 Istituzioni di Calcolo delle Probabilità David Barbato Questa raccolta comprende sia gli esercizi dell esercitazione del 14 febbraio sia gli esercizi di ricapitolazione sulle

Dettagli

Probabilità discreta

Probabilità discreta Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che

Dettagli

STATISTICA Lezioni ed esercizi

STATISTICA Lezioni ed esercizi Università di Torino QUADERNI DIDATTICI del Dipartimento di Matematica MARIA GARETTO STATISTICA Lezioni ed esercizi Corso di Laurea in Biotecnologie A.A. 00/00 Quaderno # Novembre 00 M. Garetto - Statistica

Dettagli

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6

CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6 CORSO DI STATISTICA (parte 1) - ESERCITAZIONE 6 Dott.ssa Antonella Costanzo a.costanzo@unicas.it Riepilogo: Postulati del calcolo della probabilità (Kolmogorov): Dato un evento A Ω, dove è lo spazio degli

Dettagli

Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011

Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo 1 Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 2010/2011 Metodi quantitativi per il trade marketing Modulo Valutazione dei rischi per il marketing a.a. 200/20 Problemi per esercitazione individuale (non svolti in aula NB: i problemi assegnati per esercitazione

Dettagli

Ulteriori problemi di fisica e matematica

Ulteriori problemi di fisica e matematica Facoltà di Medicina e Chirurgia Università degli Studi di Firenze Agosto 2010 Ulteriori problemi di fisica e matematica Giovanni Romano Perché un raggio di luce proveniente dal Sole e fatto passare attraverso

Dettagli

Probabilità e statistica

Probabilità e statistica Indice generale.probabilità ed eventi aleatori....come si può definire una probabilità....eventi equiprobabili....eventi indipendenti, eventi dipendenti....eventi incompatibili....eventi compatibili....probabilità

Dettagli

Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti

Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti Introduzione al pensiero probabilistico Il problema delle parti Problema (in piccoli gruppi di lavoro) Due giocatori di pari abilità disputano una serie di partite; vince il gioco chi, per primo, raggiunge

Dettagli

La probabilità nella vita quotidiana

La probabilità nella vita quotidiana La probabilità nella vita quotidiana Introduzione elementare ai modelli probabilistici Bruno Betrò bruno.betro@mi.imati.cnr.it CNR - IMATI San Pellegrino, 6/9/2011 p. 1/31 La probabilità fa parte della

Dettagli

matematica probabilmente

matematica probabilmente IS science centre immaginario scientifico Laboratorio dell'immaginario Scientifico - Trieste tel. 040224424 - fax 040224439 - e-mail: lis@lis.trieste.it - www.immaginarioscientifico.it indice Altezze e

Dettagli

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di

LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di STATISTICA LA STATISTICA si interessa del rilevamento, dell elaborazione e dello studio dei dati; studia ciò che accade o come è fatto un gruppo numeroso di oggetti; cerca, attraverso l uso della matematica

Dettagli

UNA STORIA PROBABILE di Francesca D Iapico

UNA STORIA PROBABILE di Francesca D Iapico UNA STORIA PROBABILE di Francesca D Iapico Si mostrano qui alcune delle tappe attraverso le quali si è compiuto il cammino che ha portato al calcolo delle probabilità come lo usiamo oggi Un racconto pensato

Dettagli

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006

Calcolo delle probabilità (riassunto veloce) Laboratorio di Bioinformatica Corso A aa 2005-2006 Calcolo delle probabilità riassunto veloce Laboratorio di Bioinformatica Corso aa 2005-2006 Teoria assiomatica della probabilità S = spazio campionario = insieme di tutti i possibili esiti di un esperimento

Dettagli

CALCOLO COMBINATORIO

CALCOLO COMBINATORIO CALCOLO COMBINATORIO 1 Modi di formare gruppi di k oggetti presi da n dati 11 disposizioni semplici, permutazioni Dati n oggetti distinti a 1,, a n si chiamano disposizioni semplici di questi oggetti,

Dettagli

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A

E LE M E N T I D I P R O B A B I L I T A L M T I D I P R O B A B I L I T A CI STORICI Il calcolo delle probabilità si è andato sviluppando piuttosto di recente, intorno al 500 e per lungo tempo solo come una branca della matematica Solo dal secolo

Dettagli

ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE

ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE ESERCIZI EVENTI E VARIABILI ALEATORIE 1) Considera la tabella seguente, che descrive la situazione occupazionale di 63 persone in relazione al titolo di studio. Occupazione SI NO Titolo Licenza media 5%

Dettagli

Capitolo 4 Probabilità

Capitolo 4 Probabilità Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 4 Probabilità Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara Docenti: Dott.

Dettagli

6 (bac 2005, matematica 3 periodi) * 7. (bac 2000, matematica 5 periodi problema obbligatorio 4)

6 (bac 2005, matematica 3 periodi) * 7. (bac 2000, matematica 5 periodi problema obbligatorio 4) Esercizi tratti dai problemi del Bac delle scuole europee (ordinati per difficoltà: dai più semplici, senza asterisco, a quelli di media difficoltà, con 1 asterisco, a quelli difficili, con due asterischi)

Dettagli