MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 7 settembre 2010 programma a.a

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1 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 7 settembre 2010 programma a.a Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Corso: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un importo monetario cresce al tasso annuo composto i = 5%, partendo da euro. Si determini: il numero di anni t necessario affinché raggiunga i euro t = anni. il tasso periodale di interesse j = %, il tasso semestrale composto i sem = %, l intensità di interesse in base annua γ = anni 1. Si assuma ora che il tasso anno i sia semplice anziché composto e si determini nuovamente: il numero di anni t necessario affinché raggiunga i euro t = anni. il tasso periodale di interesse j = %, il tasso semestrale semplice i sem = %, l intensità di interesse in base annua γ = anni 1. Esercizio 2. Ad un imprenditore viene proposto un prestito di euro, da rimborsarsi in due rate semestrali rispettivamnte di R 1 = ed R 2 = euro. Si calcoli il tasso interno di rendimento in base annua i del finanziamento proposto. i = % Giudicando troppo oneroso lo scambio, il nostro imprenditore vuole contrattare una diminuzione della seconda rata. Se il suo obiettivo è quello di portare il tasso interno di rendimento annuo del finanziamento al 10%, quale è la diminuzione che deve riuscire a spuntare? Nel caso ci riesca, quale è la scomposizione della seconda rata in quota capitale C 2 e quota interesse I 2? = euro C 2 = euro I 2 = euro

2 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento in 4 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 4.04%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: la prima rata sia di preammortamento, la quota capitale della seconda rata sia euro, la terza rata sia euro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

3 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui, al tempo t = 0, è in vigore la struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse { 0.04 anni 1 se s 1 anno, δ(0, s) = s anni 1 se s > 1 anno. In riferimento allo scadenzario {0.5, 1, 1.5} anni, si determini la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti e a termine in questo mercato, esprimendoli in forma percentuale e in base annua. i(0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1, 1.5) = % Esercizio 5. Si consideri un azienda che deve investire la sua liquidità di euro in un portafoglio composto da BOT a 3 mesi e BOT a 1 anno, in modo che la durata media finanziaria del portafoglio sia di 4 mesi. Determinare l importo V 3m da investire in BOT a 3 mesi e l importo V 1a da investire in BOT a 1 anno. V 3m = euro V 1a = euro L azienda possieda anche un altro portafoglio di titoli di Stato, con valore euro e durata media finanziaria 3 anni e mezzo. Determinare il valore V tot e la durata media finanziaria D tot (in anni) della posizione complessiva in titoli di Stato dell azienda. V tot = euro D tot = anni

4 Esercizio 6. In un mercato di titoli obbligaionari sono quotati i tassi di interest rate swap (fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno) sullo scadenzario {1, 2, 3} anni i sw (0; 1) = 3% i sw (0; 2) = 3.5% i sw (0; 3) = 3.2%. Sullo stesso scadenzario si determini la struttura per scadenza dei fattori di sconto e dei tassi a pronti in base annua. v(0, 1) = v(0, 2) = v(0, 3) = i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = %

5 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 7 settembre 2010 programma a.a Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Corso: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un importo monetario cresce al tasso annuo composto i = 4%, partendo da euro. Si determini: il numero di anni t necessario affinché raggiunga i euro t = anni. il tasso periodale di interesse j = %, il tasso semestrale composto i sem = %, l intensità di interesse in base annua γ = anni 1. Si assuma ora che il tasso anno i sia semplice anziché composto e si determini nuovamente: il numero di anni t necessario affinché raggiunga i euro t = anni. il tasso periodale di interesse j = %, il tasso semestrale semplice i sem = %, l intensità di interesse in base annua γ = anni 1. Esercizio 2. Ad un imprenditore viene proposto un prestito di euro, da rimborsarsi in due rate semestrali rispettivamnte di R 1 = ed R 2 = euro. Si calcoli il tasso interno di rendimento in base annua i del finanziamento proposto. i = % Giudicando troppo oneroso lo scambio, il nostro imprenditore vuole contrattare una diminuzione della seconda rata. Se il suo obiettivo è quello di portare il tasso interno di rendimento annuo del finanziamento al 10%, quale è la diminuzione che deve riuscire a spuntare? Nel caso ci riesca, quale è la scomposizione della seconda rata in quota capitale C 2 e quota interesse I 2? = euro C 2 = euro I 2 = euro

6 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento in 4 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 6.09%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: la prima rata sia di preammortamento, la quota capitale della seconda rata sia euro, la terza rata sia euro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

7 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui, al tempo t = 0, è in vigore la struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse { 0.05 anni 1 se s 1 anno, δ(0, s) = s anni 1 se s > 1 anno. In riferimento allo scadenzario {0.5, 1, 1.5} anni, si determini la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti e a termine in questo mercato, esprimendoli in forma percentuale e in base annua. i(0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1, 1.5) = % Esercizio 5. Si consideri un azienda che deve investire la sua liquidità di euro in un portafoglio composto da BOT a 3 mesi e BOT a 1 anno, in modo che la durata media finanziaria del portafoglio sia di 5 mesi. Determinare l importo V 3m da investire in BOT a 3 mesi e l importo V 1a da investire in BOT a 1 anno. V 3m = euro V 1a = euro L azienda possieda anche un altro portafoglio di titoli di Stato, con valore euro e durata media finanziaria 4 anni e mezzo. Determinare il valore V tot e la durata media finanziaria D tot (in anni) della posizione complessiva in titoli di Stato dell azienda. V tot = euro D tot = anni

8 Esercizio 6. In un mercato di titoli obbligaionari sono quotati i tassi di interest rate swap (fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno) sullo scadenzario {1, 2, 3} anni i sw (0; 1) = 3% i sw (0; 2) = 3.6% i sw (0; 3) = 3.3%. Sullo stesso scadenzario si determini la struttura per scadenza dei fattori di sconto e dei tassi a pronti in base annua. v(0, 1) = v(0, 2) = v(0, 3) = i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = %

9 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 7 settembre 2010 programma a.a Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Corso: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un importo monetario cresce al tasso annuo composto i = 3%, partendo da euro. Si determini: il numero di anni t necessario affinché raggiunga i euro t = anni. il tasso periodale di interesse j = %, il tasso semestrale composto i sem = %, l intensità di interesse in base annua γ = anni 1. Si assuma ora che il tasso anno i sia semplice anziché composto e si determini nuovamente: il numero di anni t necessario affinché raggiunga i euro t = anni. il tasso periodale di interesse j = %, il tasso semestrale semplice i sem = %, l intensità di interesse in base annua γ = anni 1. Esercizio 2. Ad un imprenditore viene proposto un prestito di euro, da rimborsarsi in due rate semestrali rispettivamnte di R 1 = ed R 2 = euro. Si calcoli il tasso interno di rendimento in base annua i del finanziamento proposto. i = % Giudicando troppo oneroso lo scambio, il nostro imprenditore vuole contrattare una diminuzione della seconda rata. Se il suo obiettivo è quello di portare il tasso interno di rendimento annuo del finanziamento al 10%, quale è la diminuzione che deve riuscire a spuntare? Nel caso ci riesca, quale è la scomposizione della seconda rata in quota capitale C 2 e quota interesse I 2? = euro C 2 = euro I 2 = euro

10 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento in 4 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 8.16%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: la prima rata sia di preammortamento, la quota capitale della seconda rata sia euro, la terza rata sia euro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

11 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui, al tempo t = 0, è in vigore la struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse { 0.06 anni 1 se s 1 anno, δ(0, s) = s anni 1 se s > 1 anno. In riferimento allo scadenzario {0.5, 1, 1.5} anni, si determini la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti e a termine in questo mercato, esprimendoli in forma percentuale e in base annua. i(0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1, 1.5) = % Esercizio 5. Si consideri un azienda che deve investire la sua liquidità di euro in un portafoglio composto da BOT a 3 mesi e BOT a 1 anno, in modo che la durata media finanziaria del portafoglio sia di 6 mesi. Determinare l importo V 3m da investire in BOT a 3 mesi e l importo V 1a da investire in BOT a 1 anno. V 3m = euro V 1a = euro L azienda possieda anche un altro portafoglio di titoli di Stato, con valore euro e durata media finanziaria 5 anni e mezzo. Determinare il valore V tot e la durata media finanziaria D tot (in anni) della posizione complessiva in titoli di Stato dell azienda. V tot = euro D tot = anni

12 Esercizio 6. In un mercato di titoli obbligaionari sono quotati i tassi di interest rate swap (fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno) sullo scadenzario {1, 2, 3} anni i sw (0; 1) = 3% i sw (0; 2) = 3.7% i sw (0; 3) = 3.4%. Sullo stesso scadenzario si determini la struttura per scadenza dei fattori di sconto e dei tassi a pronti in base annua. v(0, 1) = v(0, 2) = v(0, 3) = i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = %

13 MATEMATICA FINANZIARIA Appello del 7 settembre 2010 programma a.a Cognome e Nome C.d.L Matricola n Firma Corso: dott. Quaranta (SI) prof. Pacati (SI) dott. Riccarelli (AR) dott. Falini (GR). Fornire le risposte richieste utilizzando esclusivamente gli spazi nelle caselle; eventuali punti decimali e/o segni negativi occupano una casella. Non consegnare fogli aggiuntivi. Scrivere con chiarezza i passi essenziali del procedimento negli appositi spazi. Esercizio 1. Un importo monetario cresce al tasso annuo composto i = 2%, partendo da euro. Si determini: il numero di anni t necessario affinché raggiunga i euro t = anni. il tasso periodale di interesse j = %, il tasso semestrale composto i sem = %, l intensità di interesse in base annua γ = anni 1. Si assuma ora che il tasso anno i sia semplice anziché composto e si determini nuovamente: il numero di anni t necessario affinché raggiunga i euro t = anni. il tasso periodale di interesse j = %, il tasso semestrale semplice i sem = %, l intensità di interesse in base annua γ = anni 1. Esercizio 2. Ad un imprenditore viene proposto un prestito di euro, da rimborsarsi in due rate semestrali rispettivamnte di R 1 = ed R 2 = euro. Si calcoli il tasso interno di rendimento in base annua i del finanziamento proposto. i = % Giudicando troppo oneroso lo scambio, il nostro imprenditore vuole contrattare una diminuzione della seconda rata. Se il suo obiettivo è quello di portare il tasso interno di rendimento annuo del finanziamento al 10%, quale è la diminuzione che deve riuscire a spuntare? Nel caso ci riesca, quale è la scomposizione della seconda rata in quota capitale C 2 e quota interesse I 2? = euro C 2 = euro I 2 = euro

14 Esercizio 3. Si consideri un individuo che vuole accendere un mutuo per una somma S = euro, da restituirsi secondo un ammortamento in 4 rate semestrali posticipate al tasso annuo i = 10.25%. L ammortamento prescelto è di tipo non standard e prevede che: la prima rata sia di preammortamento, la quota capitale della seconda rata sia euro, la terza rata sia euro. Si compili il piano di ammortamento. rata n. rata quota capitale quota interesse debito residuo

15 Esercizio 4. Si consideri un mercato in cui, al tempo t = 0, è in vigore la struttura per scadenza delle intensità istantanee di interesse { 0.07 anni 1 se s 1 anno, δ(0, s) = s anni 1 se s > 1 anno. In riferimento allo scadenzario {0.5, 1, 1.5} anni, si determini la struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti e a termine in questo mercato, esprimendoli in forma percentuale e in base annua. i(0, 0.5) = % i(0, 1) = % i(0, 1.5) = % i(0, 0, 0.5) = % i(0, 0.5, 1) = % i(0, 1, 1.5) = % Esercizio 5. Si consideri un azienda che deve investire la sua liquidità di euro in un portafoglio composto da BOT a 3 mesi e BOT a 1 anno, in modo che la durata media finanziaria del portafoglio sia di 7 mesi. Determinare l importo V 3m da investire in BOT a 3 mesi e l importo V 1a da investire in BOT a 1 anno. V 3m = euro V 1a = euro L azienda possieda anche un altro portafoglio di titoli di Stato, con valore euro e durata media finanziaria 6 anni e mezzo. Determinare il valore V tot e la durata media finanziaria D tot (in anni) della posizione complessiva in titoli di Stato dell azienda. V tot = euro D tot = anni

16 Esercizio 6. In un mercato di titoli obbligaionari sono quotati i tassi di interest rate swap (fisso a 1 anno contro variabile a 1 anno) sullo scadenzario {1, 2, 3} anni i sw (0; 1) = 3% i sw (0; 2) = 3.8% i sw (0; 3) = 3.5%. Sullo stesso scadenzario si determini la struttura per scadenza dei fattori di sconto e dei tassi a pronti in base annua. v(0, 1) = v(0, 2) = v(0, 3) = i(0, 1) = % i(0, 2) = % i(0, 3) = %