Studio ed implementazione della tecnica MSPE per un controllo affidabile della convergenza nei modelli stocastici per il pricing di opzioni

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1 Studio ed implementazione della tecnica MSPE per un controllo affidabile della convergenza nei modelli stocastici per il pricing di opzioni Candidato: Ing. Pier Giuseppe Giribone Dipartimento di Ingegneria DIME - Università di Genova Middle Office - Amministrazione Finanza - Banca CARIGE Relatore: Chiar.mo Prof. Ing. Roberto Mosca Dottorato di Ricerca in Ingegneria Matematica e Simulazione Ciclo XXV

2 Hai guardato un uomo abile nel suo lavoro? Saprà porsi dinnanzi ai re Antico Testamento - Proverbi 22, 29

3 Ringraziamenti In primo luogo desidero rivolgere un sentito ringraziamento ai Docenti Universitari della Scuola di Dottorato in Ingegneria Matematica e Simulazione (DIMS) che mi hanno costantemente guidato e consigliato durante l approfondimento delle tematiche di ricerca scelte. In particolare il mio Relatore Chiar.mo Prof. Roberto Mosca e l Ing. Lucia Cassettari per avermi concesso l opportunità di intraprendere studi e ricerche di rilevante interesse scientifico e professionale, come è stato lo sviluppo di questo progetto di ricerca. Desidero porgere un particolare ringraziamento all Ufficio presso il quale ho avuto modo di approfondire e testare sperimentalmente le ricerche effettuate: il Middle Office del Reparto Amministrazione Finanza di Banca CARIGE. Cito preliminarmente i miei tutor aziendali, Dott. Matteo Ferrando, Dott. Alessandro Currao e l Ing. Simone Ventura per avermi seguito in tutte le fasi di sviluppo del lavoro con grande disponibilità ed esperienza, il dirigente Dott. Paolo Boretti, per essere promotore della mia formazione professionale nell ambito della ricerca e sviluppo. Desidero ringraziare in modo speciale Paolo Raviola, mio insuperabile Maestro dell Arte della Programmazione, per i suoi preziosi consigli informatici, oltre ad avermi messo a disposizione la necessaria potenza di calcolo per la verifica sperimentale delle metodologie trattate nell elaborato. Desidero personalizzare i ringraziamenti a tutti i componenti del Middle Office, citando nominalmente i miei colleghi, persone che hanno rappresentato per me costanti riferimenti, indirizzandomi e consigliandomi sempre in modo opportuno: Elena Corallo, Alessandra

4 Fusco, Fabio Ghiglione, Paolo Goldoni, Simone Ligato ed Elena Sommariva. Infine voglio dire un grazie di cuore e con profondo affetto ai miei genitori, Piero e Giuliana, perchè non potevo aspirare ad avere delle guide migliori nel complesso cammino della vita. Dedico questa tesi ad una persona speciale con la quale ho iniziato a dipingere un meraviglioso quadro e che il Destino non ci ha ancora reso noto come completarlo. Indipendentemente, grazie per i colori che mi hai prestato.

5 Abstract Nella determinazione del prezzo di derivati complessi, gli uffici di valorizzazione delle banche e degli istituti finanziari fanno riferimento, per pervenire ad un valore degli stessi, a modelli matematici involventi distribuzioni statistiche di frequenza. Per conseguenza l utilizzo del metodo Monte Carlo diventa una metodologia imprescindibile per la valorizzazione stocastica del derivato. Resta, tuttavia, per una corretta determinazione del valore finale, da stabilire il numero di iterazioni replicate sul modello che consentano di pervenire ad un livello accettabile dell errore sperimentale che affligge l output del modello stesso. In questo lavoro si propone come soluzione a questo problema l impiego della metodologia di studio dell evoluzione della Mean Square Pure Error nei lanci replicati. Le applicazioni ai modelli di pricing di derivati non quotati presentati in questo elaborato evidenziano da un lato la validità della metodologia proposta e dall altro evitano gli errori che si possono commettere affidandosi a numeri di lanci standard (da a ).

6 Indice Indice 5 1 Descrizione della metodologia MSPE L approccio metodologico Sviluppo teorico della metodologia MSPE Esempio di applicazione del metodo Le opzioni asiatiche Pricing analitico di un opzione asiatica Pricing numerico di un opzione asiatica Applicazione della metodologia MSPE Le opzioni barriera Pricing di una Standard Barrier Pricing di una Double Barrier Pricing di una Partial-Time Single-Asset Pricing di una Two-Asset Barrier Option Pricing di una Partial-Time Two-Asset Barrier Option Pricing di una Look-Barrier Option Pricing di una Discrete Barrier Option Pricing di una Soft Barrier Option Pricing di una Parisian Barrier Option Le opzioni Forward Start Pricing di un opzione Forward Start

7 INDICE 5 Le opzioni Cliquet Le opzioni Cliquet Europee Le opzioni Cliquet Asiatiche Le opzioni Lookback Le opzioni Floating-Strike Lookback Le opzioni Fixed-Strike Lookback Le opzioni Partial-Time Floating-Strike Lookback Le opzioni Partial-Time Fixed-Strike Lookback Le opzioni binarie Le opzioni Cash or Nothing Le opzioni Asset or Nothing Le opzioni Gap Validazione della metodologia MSPE Altre tipologie di opzioni esotiche Le opzioni Paylater Le opzioni Chooser Le opzioni Basket Le opzioni Quanto Le opzioni Rainbow Le opzioni Compound Le opzioni americane Le formule analitiche approssimate L esercizio anticipato nella metodologia Monte Carlo Conclusioni 145 Codice Matlab 150 Elenco delle figure 269 Bibliografia 272 6

8 149

9 Codice Matlab CAPITOLO 1: Descrizione della Metodologia MSPE 1.A - Generazione delle curve di stazionarietà MSPE - pag B - Formula analitica esatta per la valorizzazione di una call europea plainvanilla (Black-Scholes-Merton 1973) - pag C - Valorizzazione di una opzione europea plain-vanilla mediante il metodo Monte Carlo - pag. 156 CAPITOLO 2: Le opzioni asiatiche 2.A - Valorizzazione di un opzione geometrica asiatica di tipo APO con campionamento continuo mediante la formula di Kemna-Vorst (1990) - pag B - Valorizzazione di un opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Vorst (1990) - pag C - Valorizzazione di un opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Turnbull e Wakeman (1991) - pag D - Valorizzazione di un opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Levy (1992) - pag E - Valorizzazione di un opzione aritmetica asiatica di tipo APO mediante il modello di Curran (1992) - pag F - Valorizzazione di una opzione asiatica con campionamento continuo mediante il metodo Monte Carlo - pag G - Valorizzazione di una opzione asiatica con campionamento discreto mediante il metodo Monte Carlo - pag

10 CAPITOLO 3: Le opzioni barriera 3.A - Valutazione analitica di una Standard Barrier Option - pag B - Approssimazione numerica alla distribuzione cumulativa normale - pag C - Valorizzazione di una opzione barriera standard mediante il classico schema di integrazione stocastica (Crude Monte Carlo) - pag D - Valorizzazione di una opzione barriera standard mediante il metodo Monte Carlo di El Babsiri e Noel (Conditional Monte Carlo) - pag E - Valutazione analitica di una Double Barrier Option - pag F - Valutazione numerica di una Double Barrier Option mediante il Crude Monte Carlo method - pag G - Valutazione numerica di una Double Barrier Option mediante il Conditional Monte Carlo method - pag H - Approssimazione numerica alla distribuzione cumulativa normale bivariata - pag I - Valutazione analitica di una Partial-Time Single-Asset Barrier Option - pag L - Valutazione numerica di una Partial-Time Single-Asset Barrier Option - pag M - Valutazione analitica di una Two-Asset Barrier Option - pag N - Valutazione numerica di una Two-Asset Barrier Option mediante il Crude Monte Carlo method - pag O - Valutazione numerica di una Two-Asset Barrier Option mediante il Conditional Monte Carlo method - pag P - Valutazione analitica di una Partial-Time Two-Asset Barrier Option - pag Q - Valutazione numerica di una Partial-Time Two-Asset Barrier Option - pag R - Valutazione numerica di una Look-Barrier Option - pag S - Correzione di Broadie - Glasserman - Kou (1995) per il monitoraggio discreto della barriera. - pag

11 3.T - Valutazione analitica di una Soft Barrier - pag U - Valutazione numerica di una Soft-Barrier Option - pag V - Valutazione numerica di una Parisian Barrier Option - pag. 208 CAPITOLO 4: Le opzioni Forward-Start 4.A - Valutazione analitica di una Forward Start Option - pag B - Valutazione numerica di una Forward Start Option mediante metodo Monte Carlo con variabili antitetiche - pag. 216 CAPITOLO 5: Le opzioni Cliquet 5.A - Valutazione analitica di una Cliquet Option Europea - pag B - Valutazione numerica di una Cliquet Option Europea con tecnica di riduzione della varianza - pag C - Valutazione analitica di una Cliquet Option Asiatica - pag D - Valutazione numerica di una Cliquet Option Asiatica con tecnica di riduzione della varianza - pag. 223 CAPITOLO 6: Le opzioni Lookback 6.A - Valutazione analitica di una Floating Strike Lookback - pag B - Valutazione numerica di una Floating Strike Lookback mediante il Crude Monte Carlo method - pag C - Valutazione numerica di una Floating Strike Lookback mediante il Conditional Monte Carlo method - pag D - Valutazione analitica di una Fixed Strike Lookback - pag E - Valutazione numerica di una Fixed Strike Lookback mediante il Crude Monte Carlo method - pag F - Valutazione numerica di una Fixed Strike Lookback mediante il Conditional Monte Carlo method - pag G - Valutazione analitica di una Partial-Time Floating-Strike Lookback - pag

12 6.H - Valutazione numerica di una Partial-Time Floating-Strike Lookback mediante Monte Carlo - pag I - Valutazione analitica di una Partial-Time Fixed-Strike Lookback - pag L - Valutazione numerica di una Partial-Time Fixed-Strike Lookback mediante Monte Carlo - pag. 237 CAPITOLO 7: Le opzioni Binarie 7.A - Valutazione analitica di una opzione binaria Cash-or-Nothing - pag B - Valutazione numerica di una opzione binaria Cash-or-Nothing mediante tecnica Monte Carlo. - pag C - Valutazione analitica di una opzione binaria Asset-or-Nothing - pag D - Valutazione numerica di una opzione binaria Asset-or-Nothing mediante tecnica Monte Carlo. - pag E - Valutazione analitica di una opzione binaria Gap - pag F - Valutazione numerica di una opzione binaria Gap mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 240 CAPITOLO 8: Altre tipologie di opzioni esotiche 8.A - Valutazione analitica di una PayLater Option. - pag B - Valutazione numerica di una PayLater Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag C - Valutazione analitica di una Simple Chooser Option. - pag D - Valutazione numerica di una Simple Chooser Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag E - Valutazione analitica di una Complex Chooser Option. - pag F - Valutazione numerica di una Complex Chooser Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag G - Valutazione numerica di una Basket Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag H - Valutazione analitica di una Quanto Option. - pag I - Valutazione numerica di una Quanto Option mediante tecnica Monte Carlo. 153

13 - pag L - Valutazione analitica di una Rainbow Option. - pag M - Valutazione numerica di una Rainbow Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag N - Valutazione analitica di una Compound Option. - pag O - Valutazione numerica di una Compound Option mediante tecnica Monte Carlo. - pag. 257 CAPITOLO 9: Le opzioni americane 9.A - Il modello di valutazione Roll-Geske-Whaley. - pag B - Il modello di valutazione Barone-Adesi-Whaley. - pag C - Il modello di valutazione Bjerksund-Stensland. - pag D - L algoritmo di Longstaff-Schwartz per il metodo Monte Carlo. - pag

14 Elenco delle figure 1.1 Curve di evoluzione MSPE MED e MSPE V AR Curve MSPE MED di quattro campagne sperimentali differenti a parità di condizioni iniziali Campionamento dei dati sperimentali Soluzione grafica della SDE descritta dal moto diffusivo (Eq.1.5) Grafico (i, MSPE MED ) con i = 1,..., per un opzione Call plain-vanilla Grafico (j, Price) con i = 1,...,10000 e j = 1,..., Grafico (j, Price) con i = 1,...,30000 e j = 1,..., Grafico (i, MSPE MED ) con i = 1,..., con soglia massima di errore accettabile Grafico (j, Price) con i = 1,..., e j = 1,..., Distribuzione discreta delle y Curve (i, MSPE MED ) con i = 1,..., Grafico M SP E per un opzione asiatica Put con media geometrica di tipo APO con campionamento continuo Distribuzione discreta delle y per un opzione asiatica Put con media geometrica di tipo APO con campionamento continuo Grafico (j, Price) con i = 1,..., e j = 1,...,2000 per un opzione asiatica Put con media geometrica di tipo APO con campionamento continuo

15 ELENCO DELLE FIGURE 2.4 Grafico (i, MSPE MED ) con i = 1,..., per un opzione asiatica Call con media aritmetica di tipo APO con campionamento continuo Grafico (i, MSPE MED ) con i = 1,..., per un opzione asiatica Call con media aritmetica di tipo ASO con campionamento continuo Distribuzione discreta delle y per un opzione asiatica Call con media geometrica di tipo APO con campionamento discreto Grafico (i, MSPE MED ) con i = 1,..., per un opzione asiatica Call con media aritmetica di tipo APO con campionamento discreto Grafico MSPE per un opzione barriera standard Grafico (j, P rice) per un opzione barriera standard Grafico MSPE per un opzione Double Barrier Grafico (j, Price) per un opzione Double Barrier Curve di stazionarietà per un opzione Partial-Time Single-Asset Barrier Grafico (j, Price) per un opzione Look Barrier Grafico MSPE per un opzione forward start Grafico (j, Price) per un opzione forward start Grafico (j, P rice) per un opzione Cliquet europea, N sim = Grafico (j, Price) per un opzione Cliquet europea, Nsim = Grafico (j, Price) per un opzione Cliquet asiatica, Nsim = Grafico (j, P rice) per un opzione Floating-Strike Lookback Put, Nsim = Curve (i, MSPE) con i = 1,..., per un opzione Floating- Strike Put Grafico (j, P rice) per un opzione Floating-Strike Lookback Put, Nsim = Grafico (j, P rice) per un opzione Fixed-Strike Lookback Call, N sim =

16 ELENCO DELLE FIGURE Curve (i, MSPE) con i = 1,..., per un opzione Fixed- Strike Lookback Call Grafico (j, P rice) per un opzione Fixed-Strike Lookback Call, N sim = Grafico (j, P rice) per un opzione Fixed-Strike Lookback Call, N sim = Curve (i, M SP E) con i = 1,..., per un opzione put digitale Grafico (j, P rice) per un opzione put digitale, N sim = Curve (i, M SP E) con i = 1,..., per un opzione put digitale Grafico (j, Price) per un opzione put digitale, Nsim = Grafico (j, Price) per un opzione put digitale, Nsim = Curva (i, MSPE) con i = 1,..., per un opzione Complex Chooser Grafico (j, y ) per una opzione Complex Chooser, i = 1,...,8 10 5, j = 1,..., Curva (i, MSPE) con i = 1,..., per un opzione Basket Grafico (j, y ) per una opzione Basket, i = 1,...,5 10 5, j = 1,..., Curve (i, M SP E) con i = 1,..., per un opzione Rainbow Grafico (j, y ) per una opzione Rainbow, i = 1,...,80.000, j = 1,..., Curve (i, MSPE) con i = 1,..., per un opzione Compound Put su Call Grafico (j, y ) per una opzione Compound Put su Call, i = 1,..., , j = 1,..., Curva (i, M SP E) con i = 1,..., per un opzione americana Grafico (j, y ) per un opzione americana, i = 1,...,38000, j = 1,...,

17 Bibliografia [1] R. Mosca, P. Giribone, Optimal Length in O.R. Simulation Experiments of Large Scale Production System, Proc. IASTED International Symposium Applied Modelling and Simulation, AMS 82, Paris, 78-82, [2] E.G. Haug, The complete guide to option pricing formulas, McGraw-Hill, New Jork, USA, ISBN , [3] D. C. Montgomery, Design and analysis of experiments, John Wiley and Sons, Inc., [4] A. Hacura, M. J. Hacura, A. Kocot, Risk analysis in investment appraisal based on Monte Carlo simulation technique, Eur. Phys. J. B 20, , [5] D. Nawrocki, The problems with simulation, Journal of Financial Planning, 14, 11:92-108, [6] C.F. Kelliher, L.S. Mahoney, Using Monte Carlo simulation to improve longterm investment decisions, The Appraisal Journal, vol. 68, pp , [7] M. Di Franco, F. Polimeni, M. Proietti, Opzioni e titoli strutturati, Il Sole 24 Ore, Milano, ISBN , [8] Fixed-Income Toolbox 1 User s Guide, The MathWorks, Natick, MA, USA, [9] Econometrics Toolbox 1 User s Guide, The MathWorks, Natick, MA, USA,

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