PROBLEMI DI SCELTA. Problemi di. Scelta. Modello Matematico. Effetti Differiti. A Carattere Continuo. A più variabili d azione (Programmazione

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1 1 PROBLEMI DI SCELTA Problemi di Scelta Campo di Scelta Funzione Obiettivo Modello Matematico Scelte in condizioni di Certezza Scelte in condizioni di Incertezza Effetti Immediati Effetti Differiti Effetti Immediati A Carattere Discreto A Carattere Continuo Ogni via da un risultato che è funzione di una sola variabile A più variabili d azione (Programmazione lineare) Effetti Differiti Ogni da un risultato unico Ogni da un risultato che è funzione di una sola variabile 1

2 Ogni giorno sia in campo economico che finanziario, l azienda, lo Stato o il singolo cittadino si trovano a dover risolvere problemi che prevedono la scelta tra più alternative per risolvere problemi di vario genere. La metodologia usata per risolvere tali problemi prende il nome di ricerca o- perativa, i problemi da risolvere prendono il nome di problemi di scelta. La Ricerca Operativa è una metodologia che con procedimenti matematici e statistici, si propone di individuare la condotta migliore per raggiungere un o- biettivo prefissato. L impostazione e risoluzione un problema di scelta prevede le seguenti fasi: Fase1: ricerca della funzione obiettivo. La funzione obiettivo traduce in termini matematici l obiettivo fissato e può essere un costo, un ricavo, un guadagno etc. La funzione obiettivo può dipendere da una o più variabili chiamate variabili d azioni. Risolvere un problema di scelta significa cercare il massimo o il minimo della funzione obiettivo (massimizzare o minimizzare la funzione obiettivo). Fase : individuazione del Campo di scelta. Il Campo di scelta è costituito dall insieme dei valori che possono assumere le variabili d azione. CLASSIFICAZIONE DEI PROBLEMI DI SCELTA I problemi di scelta possono essere classificati in base alle condizioni ed agli effetti. Le condizioni indicano i dati da cui si parte e possono essere di certezza o di incertezza. Gli effetti sono le conseguenze della scelta e possono essere immediati o differiti, a seconda del tempo che passa tra la scelta effettuata e le conseguenze. 1. problemi che comportano scelte in condizione di certezza con effetti immediati: gli effetti della scelta sono noti ed immediati. Es: Per spedire delle merci posso scegliere tra le seguenti alternative: a. 100 al quintale più 800 di spesa fissa.

3 3 b. 100 al quintale più 1000 di spesa fissa. Determinare qual è la scelta più favorevole. Problemi di scelta in condizioni di certezza con effetti differiti. Problemi incui le condizioni sono certi e gli effetti sono differiti nel tempo. Es. : per ammortizzare un debito posso scegliere tra le seguenti alternative: 1. In 10 anni col metodo progressivo al 10% annuo;. Rimborso unico del debito dopo 10 anni con rimborso annuo degli interessi al 9% annuo e con un versamento finale di Problemi di scelta in condizioni di incertezza: gli effetti della scelta dipendono dal verificarsi o meno di determinati eventi aleatori ( il reddito azionario, il risarcimento di un danno, l estrazione di un obbligazione, ecc). PROBLEMI DI SCELTA IN CONDIZIONE DI CERTEZZA ED IMMEDIATEZ- ZA I problemi di scelta in condizione di certezza possono essere a carattere continuo o discreto. A carattere continuo se il campo di scelta è costituito da infinite soluzioni date dai valori che la variabile d azione può assumere in un intervallo o nel campo reale (insieme dei numeri reali). A carattere discreto se il campo di scelta è costituito da un numero finite di alternative. SCELTA NEL CONTINUO Nel problema di scelta nel continuo, fissata la funzione obiettivo e le variabili d azione, bisogna individuare il campo di scelta cioè precisare se le variabili d azione d azione possono assumere qualsiasi valore nel campo di scelta oppure sono soggette a delle limitazioni. Le limitazioni possono essere espres- 3

4 4 se sotto forma di equazioni o sotto forma di disequazioni e vengono dette vincoli. I vincoli espressi da eguaglianza possono diminuire il numero delle variabili (una variabile può essere espressa come funzione delle altre), i vincoli sotto forma di eguaglianza limitano il campo di scelta e se si riferiscono solo al segno vengono detti vincoli di segno. Risolvere un problema di scelta nel continuo significa trovare il il valore da attribuire alla variabile d azione affinché il valore della funzione obiettivo sia un massimo oppure un minimo. RISOLUZIONE DI UN PROBLEMA DI SCELTA NEL CONTINUO Problema in una variabile risolvibile con una funzione lineare. PROBLEMA: un azienda è in possesso delle seguenti informazioni relative al costo di produzione di un certo prodotto: costo fisso mensile 1000, spese per le materie prime 5 al kg, spese di manodopera 3 al kg. Sapendo che mensilmente si possono produrre al massimo 4000 kg di prodotto e che il prezzo di vendita è di 0 al kg, determinare qual è la produzione minima per non lavorare in perdita e qual è la quantità che conviene produrre per avere il massimo guadagno. RISOLUZIONE: Primo metodo sia x la variabile d azione che indica la quantità di prodotto, rappresentiamo 1. Su una tabella mettiamo i dati noti Descrizione Valori Spese fisse 1000 al mese Costo unitario per materie prime 5 /kg Costo unitario per manodopera 3 /kg Prezzo di vendita 0 /kg Produzione massima 4000 kg 4

5 5. Troviamo la funzione obiettivo La funzione obiettivo è data da: funzione guadagno (y g ) funzione ricavo (y r ) - funzione costi (y c ) y r ricavi pervariabile d azione y r 0x y c costi variabili per variabile d azione +costi fissi y c 5x+3x+1000 y g 0x- (5x+3x+1000) y g 0x-5x-3x-1000 y g 1x Si rappresenta la funzione guadagno sul piano cartesiano x y D O B C A A(0;-10000) B(1000;0) C(4000;0) D(4000; 36000) 4. Discussione del diagramma di redditività Se x<1000 kg si ha una perdita e l area compresa nel triangolo OAB si chiama area di perdita. 5

6 6 Se x1000 i costi coincidono con i ricavi, il guadagno è 0, il punto B prende il nome di punto di equilibrio oppure punto di rottura (break even point) Se x>1000 si ha un guadagno, l area a partire da BC prende il nome di area di guadagno Se x4000 si ha il massimo ricavo che è di RISOLUZIONE: Secondo metodo sia x la variabile d azione che indica la quantità di prodotto, rappresentiamo 1. Su una tabella mettiamo i dati noti Descrizione Valori Spese fisse 1000 al mese Costo unitario per materie prime 5 /kg Costo unitario per manodopera 3 /kg Prezzo di vendita 0 /kg Produzione massima 4000 kg. Troviamo la funzione obiettivo In questo caso abbiamo due funzioni obiettivo da confrontare graficamente: funzione ricavo (y r ) e funzione costi (y c ) y r ricavi per variabile d azione y r 0x y c costi variabili per variabile d azione +costi fissi y c 5x+3x Si rappresentano le due funzioni, costi e ricavo sul piano cartesiano Per la funzione costi si hanno i seguenti valori x y Per la funzione ricavo si hanno i seguenti valori 6

7 7 x y C O A B A(1000;0) B(4000;0) C(4000; 36000) 4. Discussione del diagramma di redditività Se x<1000 kg si ha una perdita e l area compresa nel triangolo OAC si chiama area di perdita. Se x1000 i costi coincidono con i ricavi, il guadagno è 0, il punto C prende il nome di punto di equilibrio oppure punto di rottura (break even point) Se x>1000 si ha un guadagno, l area superiore a C prende il nome di area di guadagno Se x4000 si ha il massimo ricavo che è di

8 8 Riassumendo questo problema si può in due modi diversi, o considerando direttamente la funzione guadagno oppure intersecando la funzione costi con la funzione ricavi. Problema in una variabile risolvibile con una funzione non lineare, funzione quadratica. PROBLEMA Un industria che ha una capacità produttiva massima di 3000 kg, produce e vende in condizioni di monopolio un dato bene al prezzo unitario p, espresso dalla relazione p,5 0,0005x (il prezzo di vendita dipende dalla quantità di prodotto venduta e diminuisce aumentando la vendita), dove x è il numero di kg prodotti e offerti ogni giorno. Sapendo che i costi di produzione sono dati da: Costo fisso giornaliero pari 1000 ; Costi per kg di prodotto 0,6 Determinare quale quantità conviene produrre e vendere per realizzare il massimo utile e quale quantità per non lavorare in perdita. RISOLUZIONE: primo metodo 1. Su una tabella mettiamo i dati noti Descrizione Valori Costo fisso giornaliero 1000 Costo unitario 0,6 Prezzo unitario di vendita p,5 0,0005x Produzione massima 3000 kg 8

9 9. Troviamo la funzione obiettivo La funzione obiettivo è data da: funzione guadagno (y g ) funzione ricavo (y r ) - funzione costi (y c ) y r ricavi per variabile d azione y r px y r (,5 0,0005x)x y r,5x 0,0005x y c costi variabili per variabile d azione +costi fissi y c 0,6x+1000 y g,5x -0,0005x (0,6x+1000) y g,5x - 0,0005x -0,6x 1000 y g -0,0005x +1,9x La funzione obiettivo è una parabola con la concavità verso il basso, il coefficiente di x è negativo. Per rappresentare la funzione obiettivo bisogna trovare il vertice della parabola e le sue intersezioni con l asse delle ascisse e con l asse delle ordinate. b b Troviamo il vertice della parabola che è dato da: V( ; 4ac ) a 4a b -4ac (1,9) -4(-0,0005)(-1000) 3,61-1,61 b 1,9 a ( 0,0005) b 4ac 4a V(1900;805) 1,9 0, ( 1,9 ) 4( 0,0005)( 1000) 4( 0,0005) 3,61 0,00 1,61 0, Intersezione con l asse delle ascisse, si risolve il sistema costituito dall equazione della parabola e dall equazione dell asse delle ascisse che è y0 9

10 x 0 0,0005x 0 + 1,9 x ,9 x Cambiando il segno nella prima equazione e moltiplicando per per togliere la virgola al primo coefficiente, si ottiene: 5x 19000x Risolviamo l equazione di secondo grado completa con la formula b ± x b 4ac a ± ( 19000) * ± ± x1 631, x 3168,8 10 4*5* ± Da cui avremo i due punti A(631,;0) e B(3168,8;0) Intersechiamo la funzione con l asse delle ordinate che ha equazione x0 0,0005x x x 1000 Sostituendo 0 al posto di ogni x si ottiene 1000 x 0 Da cui otteniamo il punto C(0;-1000) 10

11 11 3. Rappresentiamola funzione sul piano cartesiano V O A B C 4. Discussione del diagramma di redditività Per x<631 si ha una perdita Per x631 il ricavo coincide con i costi e quindi è la produzione minima per non essere in perdita, il punto A rappresenta il Break even point (punto di equilibrio). 631<x<3000 si ha un guadagno che è massimo per x1900 e sarà di 805 X>3000 non può essere preso in considerazione in quanto la produzione massima è di 3000 kg. L area compresa tra i punti OAC si chiama area di perdita. L area compresa tra i punti AVC si chiama area di utile. 11

12 1 RISOLUZIONE: secondo metodo 1. Su una tabella mettiamo i dati noti Descrizione Valori Costo fisso giornaliero 1000 Costo unitario 0,6 Prezzo unitario di vendita p,5 0,0005x Produzione massima 3000 kg. Troviamo la funzione obiettivo In questo caso abbiamo due funzioni obiettivo da confrontare graficamente: funzione ricavo (y r ) e funzione costi (y c ) y r ricavi per variabile d azione y r (,5-0,0005x)x y r,5x-0,0005x y c costi variabili per variabile d azione +costi fissi y c 0,6x+1000 La funzione obiettivo è costituita di due parti, la funzione costi e la funzione ricavi che dobbiamo confrontare. Per rappresentare la prima funzione bisogna trovare il vertice della parabola e le sue intersezioni con l asse delle ascisse e con l asse delle ordinate. b b Troviamo il vertice della parabola che è dato da: V( ; 4ac ) a 4a b -4ac(,5) -4*(-0,0005)*0 6,5 *,5 ( 0,0005),5 0,

13 b 4ac 4a (,5) 4( 0,0005) 4( 0,0005) *0 6,5 0,00 Il vertice avrà coordinate V(500;315) Troviamo l intersezione con l asse delle ascisse 0,0005x 0 0,0005x 0 +,5x +,5x 0 ( 0,0005x +,5) x 0 0 x ,0005 y 0 x +,5 0 x,5 0, x Troviamo i punti O(0;0) A(5000;0) Troviamo l intersezione con l asse delle ordinate 0,0005x x 0 +,5x x 0 Ci da il punto O(0;0) 0 Cerchiamo i punti comuni alla retta dei costi ed alla curva dei ricavi 0,0005x +,5x 0,6x ,6x x 0,6x ,5x 0,6x ,6x ,0005x,5x + 0, ,0005x 1,9 x Risolviamo l equazione di secondo grado completa con la formula 13

14 14 b ± x b 4ac a ± ( 19000) * ± ± x1 631, x 3168,8 10 Sostituiamo nell altra equazione 4*5* ± x1 631, 1 0,6*361, x1 631, 1 116,7 x 3168,8 0,6*3168, x 3168,8 901,3 Otteniamo i punti A(631;117) e B(3169;901) Per x3000 il massimo della produzione abbiamo y0,6* D(3000;800) 3. Rappresentiamo la funzione sul piano cartesiano V B C A D O 14

15 15 4. Discussione del diagramma di redditività Per x<631 si ha una perdita Per x631 il ricavo coincide con i costi e quindi è la produzione minima per non essere in perdita, il punto A rappresenta il Break even point (punto di equilibrio). 631<x<3000 si ha un guadagno che è massimo per x500 X>3000 non può essere preso in considerazione in quanto la produzione massima è di 3000 kg. L area compresa tra i punti OAC si chiama area di perdita. L area compresa tra i punti AVBD si chiama area di utile. 15

16 16 PROBLEMI DI SCELTA FRA PIÙ ALTERNATIVE In molte occasioni il problema di scelta comporta la scelta tra due o più alternative possibili. Per esempio quando si deve far eseguire un lavoro oppure se si deve acquistare una nuova auto, si chiedono preventivi a più ditte, e, quindi, si deve scegliere tra varie proposte qual è quella più conveniente. Per effettuare la scelta, anche in questo caso, si deve individuare la funzione obiettivo che si deve analizzare ed ottimizzare, al variare della variabile d azione, per decidere quale sia la scelta migliore. In questo tipo di problema la scelta non è unica, ma dipende dal valore assunto dalla variabile. Ad esempio, se voglio depositare dei soldi e chiedo a più Banche qual è il tasso d interesse praticato, la prima cosa che le Banche mi chiederanno è qual è la somma che voglio depositare. Infatti, se la somma è bassa il tasso d interesse sarà più o meno uguale per ogni Banca, se, invece, la somma è più elevata il tasso varia in proporzione. ESEMPIO: Scelta fra tre alternative. PROBLEMA: Un impresa per il trasporto delle sue merci riceve tre offerte, che indicheremo con A, B e C. l offerta A richiede per ogni viaggio un compenso fisso di 50, più al quintale; l offerta B richiede un compenso fiso di 100 più 1,80 al quintale; l offerta C richiede un compenso fisso di 180, più 1,60 al quintale. Determinare l offerta che conviene scegliere, in funzione della quantità trasportata. 1. Su una tabella mettiamo i dati noti Offerta A Offerta B Offerta C Costi fissi Costi variabili 1,80 1,60 16

17 17. Scriviamo le funzioni dei tre costi Offerta A: y x+50 Offerta B: y 1,80x+100 Offerta C: y 1,60x Troviamo i punti in comune alle rette Intersezione delle rette A e B x ,80x y x + 50 x ,80 x x + 50 x 1,80x x ,x 50 x x 0, x 50 * x A(50;550) Intersezione delle rette A e C y y x + 1,60 50 x x + 50 x ,60x x + 50 x 1,60x x ,4x 130 x x 0,4 x 35 * x B(35;700) Intersezione delle rette B e C 1,80x ,60x ,80x ,80x ,60x ,80x ,80 1, ,80x ,x 0 1,80x x 0, x 100 1,80* x C(100;80) 17

18 18 4. Rappresentiamo le tre funzioni sul piano cartesiano a: y x+50 b: y 1,80x+100 c: y 1,60x+180 B C A b c a 5. Discussione del diagramma di redditività Se x< 50 è più conveniente l alternativa a (la retta a sta sotto le altre due rette ed indica il costo minore) Se x > 50 è più conveniente l alternativa b (la retta b sta sotto le altre due rette) 18

19 19 Per x 50 sono indifferenti l alternativa a e c, il punto A è il punto di equilibrio (Break even point) L alternativa c non è mai conveniente. PROBLEMA DELLE SCORTE È un problema di scelta in condizioni di certezza nel continuo. Questo problema si riferisce ad un impresa che per la sua produzione utilizza una determinata materia prima e deve stabilire la quantità ottimale da acquistare di volta in volta per avere il minimo costo. Per impostare questo problema dobbiamo fare alcune considerazioni iniziali: La quantità di materia prima richiesta sia costante in ogni unità di tempo; Non vi siano sconti di quantità, cioè il costo unitario è lo stesso quale che sia la quantità di merce acquistata; Non vi siano vincoli per l acquisto della merce; Le spese di magazzino siano direttamente proporzionali alla quantità media di merce di scorta. I costi che l azienda deve sostenere sono: Le spese di magazzino; Le spese fisse per ordinazione. L azienda deve decidere in merito alla quantità ottima di ciascuna ordinazione e la periodicità ottima di rinnovamento delle scorte. La funzione obiettivo è data dalla somma dei costi relativi ad un certo periodo. La variabile d azione x è il numero di unità per ogni ordinazione. Siano: Qla quantità complessiva di merce da ordinare in un determinato periodo di tempo ( anno, settimana, mese, ecc) C 1 il costo d ordine (indipendente dalla quantità di merce acquistata) C il costo unitario di magazzinaggio 19

20 0 numero di ordinazioni per anno (se il periodo di riferimento è l anno) è la giacenza media (quanto tempo in media la merce resta in magazzino) Costo di magazzinaggio (giacenza media per costo unitario di magazzinaggio al giorno per numero di giorni) Costo complessivo annuo Della funzione obiettivo si vuole cercare, essendo un costo, il minimo che si avrà quando 180 e cioè PROBLEMA Un impresa industriale impiega, con consumo uniforme nel tempo, nella sua produzione una certa quantità di materia prima, si hanno i seguenti dati: Consumo materia prima: 100 q-giorno; Costo fisso per ordinazione 50; Costo di magazzinaggio: 0,01 al q-giorno. Determinare la quantità ottimale di materia prima da ordinare ogni volta. 1. Calcolo della funzione obiettivo: la quantità di materia prima da ordinare in un anno è: (100*1*30) q (contando 1 mesi di 30 giorni in un anno) Se x è la quantità di un ordinazione la giacenza media è e il numero di ordinazioni è (Q 360*100 numero di giorni per quantità giornaliera) Il costo per ordinazione è 50 (costo di un ordinazione per numero di ordinazioni) Il costo di magazzinaggio è : 0

21 1 0, ,8 (giacenza media per costo di un giorno per numero di giorni) La funzione obiettivo è: 1, Ricerca del minimo costo Questa è una funzione in una sola variabile che si vuole minimizzare. Calcoliamo la derivata prima 1, ) Poiché il minimo si ha quando la funzione si annulla, poniamo Y 0 e avremo: 1, Risolviamo questa disequazione, facciamo il mcm e, poiché x >0 sempre, a- vremo 1, Risolviamo prima l equazione e, quindi la disequazione ± ,8 ± ± ±1000 Poiché l equazione è incompleta pura e abbiamo due radici reali ed opposte, y 0 per valori esterni all intervallo delle radici e cioè: Riportiamo i risultati sul grafico Max min I valori negativi non possono essere presi in considerazione perché i costi non possono essere negativi e, quindi, l unica soluzione accettabile è x 1000 dove si ha il minimo. 1

22 3. Risultati finali Quindi la scelta ottimale è di ordinare 1000q ad ogni ordinazione. Il costo totale sarà: 1, Il numero di ordinazioni per anno è dato da: 36 L intervallo tra un ordinazione e l altra è: 10 (giorni per anno/numero di ordinazioni) La giacenza media è: 500

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