AZIONI ESPLOSIVE SU TRAVI IN ACCIAIO BLAST LOADS ON STEEL BEAMS

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1 AZIONI ESPLOSIVE SU TRAVI IN ACCIAIO BLAST LOADS ON STEEL BEAS Flavio Stochino, Università degli Stdi di Sassari, DADU, Alghero, Italia Università egli Stdi di Cagliari DICAAR, Cagliari, Italia Sergio Tattoni, Università egli Stdi di Cagliari DICAAR Cagliari, Italia ABSTRACT In this paper, the strctral responses of steel beams sbjected to air-blast loading are investigated. In order to assess the response of beams, two Single Degree of Freedom models are developed. In the first model (denoted as dnamic model ), the dnamic behavior of the beam is simlated b a simple spring-mass oscillator. The second model (named energ model ) is developed from the eqation of energ balance. In both formlations, the strain rate dependencies of the constittive properties of the beams are considered. In fact, these effects shold not be ignored in problems concerning blast and implsive loads, since the mechanical properties of steel strongl depend on the rate of deformation. In this paper, strain rate effects are considered in accordance with the espression provided b Cowper-Smonds strain rate model. Finall, in order to test the validit of the two approaches, the theoretical reslts prodced b the latter ones are compared with some experimental data fond in literatre. Both approaches ield reliable reslts, even thogh the are based on some approximations. Being also ver simple to implement, the ma serve as an sefl tool in practical applications. SOARIO In qesto articolo si analizza la risposta strttrale di travi in acciaio soggette al carico da e- splosione. Si sono svilppati de modelli ad n grado di libertà: il primo (chiamato modello dinamico ) simla il comportamento della trave mediante n sistema massa-molla, il secondo (chiamato modello energetico ) si basa sll eqazione di conservazione dell energia. In entrambe le formlazioni si tiene conto di come le caratteristiche meccaniche dell acciaio varino in fnzione della velocità di deformazione ( strain rate ). Infatti nel caso di carichi esplosiviimplsivi qesto aspetto diventa molto importante per rappresentare il fenomeno con na bona precisione. In qesto articolo gli effetti di strain rate sono stati espressi secondo il modello di Cowper-Smonds. Infine per verificare la correttezza dei risltati teorici si è prodotto n confronto con risltati sperimentali reperiti in letteratra. Entrambi gli approcci hanno prodotto risltati accettabili e consistenti nonostante che alla base dei modelli ci siano delle necessarie approssimazioni. Il vantaggio principale si concretizza nella semplicità di implementazione che rende i modelli molto tili anche nelle applicazioni progettali.

2 1 INTRODUZIONE Alcne strttre speciali debbono essere progettate per resistere alle azioni eccezionali (costrzioni militari o strategiche), ma il reqisito di robstezza è richiesto per ttti i fabbricati. Esplosioni ed rti rappresentano na parte delle possibili azioni eccezionali, caratterizzate da carichi implsivi applicati con grande velocità. In qeste sitazioni i materiali da costrzione sbiscono forti velocità di deformazione che provocano variazioni delle caratteristiche meccaniche spesso non trascrabili. Nelle applicazioni pratiche i singoli elementi qali travi e colonne possono essere schematizzati con modelli ad n grado di libertà (vedi [1]-[4]) in ci si calcolano rigidezza, massa ed eventalmente smorzamento eqivalenti alle caratteristiche reali della strttra. odelli alternativi si possono ottenere imponendo condizioni di bilancio energetico (vedi [4]-[6]), convenienti da n pnto di vista comptazionale, ma spesso non in grado di fornire i dettagli della risposta strttrale che si possono ottenere con modelli a più gradi libertà come mostrato in [3] e [4]. In qest articolo si analizza l effetto del carico da esplosione s alcne travi in acciaio mediante de modelli ad n grado di libertà: il primo (chiamato modello dinamico ) simla il comportamento della trave mediante n sistema massa-molla, il secondo (chiamato modello energetico ) si basa sll eqazione di conservazione dell energia. In entrambi i casi si propone na formlazione che tenga conto di come la velocità di deformazione modifichi le caratteristiche meccaniche dell acciaio e i risltati teorici vengono confrontati con dei risltati sperimentali reperiti in letteratra: [7] e [8]. ODELLO SEZIONALE Il modello sezionale presentato in qesto lavoro richiama qanto già esposto e discsso per le strttre in Calcestrzzo Armato in [3] e [4], ma in qesta sede esteso alle strttre in acciaio. Come nei precedenti lavori ([3] e [4]) i modelli strttrali assmono l ipotesi di Eler- Bernolli di conservazione delle sezioni piane, trascrando le deformazioni a taglio. Pertanto da qi in avanti ci si concentrerà sl comportamento flessionale di travi in acciaio..1 Leggi Costittive dei ateriali Per l acciaio si è assnto n legame sforzo-deformazione di tipo simmetrico idealmente elasto-plastico in ci f k ed s rappresentano rispettivamente la tensione e la deformazione al limite di snervamento (vedi Fig.1). Si considerano sezioni di classe I, vedi [9]. s f k E s - s s s -f k. Caratteristiche sezionali Fig. 1: Legame costittivo per l acciaio In qesto articolo lo stato limite elastico è considerato ragginto qando la fibra della sezione maggiormente deformata ragginge il valore limite s (vedi Fig. 1). Invece lo stato limite l-

3 timo di collasso corrisponde al raggingimento del momento plastico ltimo con la totale plasticizzazione della sezione [10] come mostrato in Fig.. b s f k s f k x a x h e (a) (b) (c) Fig. : Sezione tipo considerata per le analisi (a); stato deformativo e tensionale allo stato limite elastico (b), stato deformativo e tensionale allo stato limite ltimo di collasso (c). La condizione di eqilibrio alla traslazione orizzontale si esprime come: da 0. (1) A Pertanto, per la simmetria della legge costittiva assnta (vedi Fig. 1) qesta condizione (Eq. (1)) impone che l asse netro x rimanga a metà altezza della sezione h/: h x. () Il momento flettente corrispondente allo stato limite elastico si pò facilmente calcolare secondo la teoria classica di Navier: Sx f k, (3) in ci Sx rappresenta il momento statico rispetto all asse principale x-x (vedi Fig. ). Di segito il momento flettente corrispondente allo stato limite ltimo si pò calcolare secondo la teoria classica del calcolo plastico come: Z f, (4) in ci Z rappresenta il modlo plastico della sezione, la ci espressione si pò trovare per diversi casi in [10]. Rislta immediato determinare la crvatra allo stato limite di snervamento, che in riferimento alla Fig. rislta essere: s. (5) h / Nel caso di acciaio di adegata dttilità è possibile approssimare il valore della crvatra ltima in fnzione del valore della crvatra elastica assmendo che il lembo estremo della sezione ragginga na deformazione s pari a circa volte s (vedi [10], =13). Grazie a qest ipotesi si pò assmere che: k, (6) Nelle applicazioni pratiche, nel caso di travi soggette a sforzi flessionali, il legame momento crvatra viene salmente approssimato con n legame bilineare (vedi Fig. 3a). Anche se conveniente dal pnto di vista comptazionale, l approssimazione insita nella discontinità di tangente, nel passaggio dal campo elastico a qello plastico, lo rende na grossolana semplifi-

4 cazione rispetto ai risltati dei test sperimentali. Per qesto motivo in [3] e [4] gli atori hanno introdotto n legame espresso da na sola relazione per il campo elastico e per qello plastico rappresentato in Fig. 3b e nella segente: tanh. (7) A 1 A (a) Fig. 3: Relazione bilineare tra momento e crvatra (a), relazione tra momento e crvatra espressa dall Eq. (7). La precedente Eq. (7) ha mostrato di descrivere meglio della legge bilineare il comportamento sezionale in [3] e [4]. I parametri caratterizzanti e rappresentano rispettivamente la pendenza iniziale della crva:. (8) ed il valore del massimo momento flettente eqivalente. In particolare è determinato - gagliando le aree A 1 (Fig. 3a) ed A (Fig.3b) slla base di semplici considerazioni energetiche: A1 A ln cosh. (9) (b). odello per lo strain rate Le caratteristiche meccaniche dell acciaio sono sensibili alla velocità di deformazione (strainrate). Generalmente (vedi [3], [4], [11], [1]) all amentare dello strain-rate si osserva: n amento dello sforzo di snervamento f k ed n amento della deformazione ltima. Il modlo elastico di Yong rislta, al contrario, indipendente dalla velocità di deformazione. Un semplice modello che permette di tener conto di come variano le caratteristiche statiche in fnzione della velocità di deformazione è qello di Cowper-Smonds [13]: 1/ p fk, din fk 1, (10) D In ci f k, din e f k rappresentano rispettivamente la caratteristica dinamica e statica considerate (nel caso presente la tensione di snervamento dell acciaio), è la velocità di deformazione, D e p sono caratteristiche del materiale scelto. Nel caso di acciaio di adegata dttilità si assmono D=40.4 e p=5 come riportato in [7] e [14].

5 3 ODELLO STRUTTURALE Nei segenti paragrafi verranno presentati i de modelli strttrali ad n grado di libertà tilizzati dagli atori per rappresentare il comportamento di travi in acciaio sottoposte al carico da esplosione. Lo smorzamento non è considerato in qesto lavoro poiché lo spostamento massimo viene ottento drante il primo ciclo di oscillazione, inoltre, nel caso di carichi e- stremi (qali rti ed esplosioni) il collasso viene generalmente ragginto drante il tempo di applicazione del carico stesso (vedi [15]) che, di solito, rislta molto più piccolo del periodo fondamentale della trave. Assmendo che la carica esplosiva sia posta ad na sfficiente distanza dalla trave è possibile assmere na distribzione spaziale niforme del carico. Per qestioni di semplicità, da qesto momento in poi ci si riferirà esclsivamente al caso di trave in semplice appoggio soggetta ad n carico niformemente distribito. 3.1 odello dinamico q(t) P P P q l 8 P P l E,pl ve ve v(,t) E (t) l E (t) P E (t) P E,el 8 P q l l E,pl P 384 E,el 3 ve 5l 1 ve ve lp l 4 v l p Ep v E (t) (a) (b) Fig. 4: Trave e sistema SDOF eqivalente (a), caratteristiche dello SDOF eqivalente (b). v E Il comportamento dinamico della trave pò essere stdiato in primo logo con n semplice modello ad n grado di libertà (SDOF). In qesto caso l intera strttra è rappresentata da n sistema massa-molla come mostrato in Fig 4a. Il legame tra la relazione sezionale momenticrvatre e la relazione eqivalente forza-spostamenti (Fig 4b) è calcolato mediante eqazioni di eqilibrio e di eqivalenza energetica; si rimanda a [3]-[4] per na descrizione dettagliata del modello. Il comportamento non lineare della trave discende dall ipotesi che il collasso sia di tipo flessionale ed avvenga con formazione di cerniera plastica concentrata in mezzeria, l estensione di qest ltima è stata assnta pari a 0.35l (vedi [10]). In sintesi il comportamento dinamico dell oscillatore viene rappresentato da de eqazioni differenziali a coefficienti variabili accoppiate: na valida in campo elastico (Eq. (11)) ed na in campo plastico (Eq. (1)). d ve t E,el E,el t ve t PE t per 0 v E ve, (11) dt d ve t E,pl E,pl tve t E,el t E,pl t ( t) ve PE t per v E ve ve. (1) dt Nelle precedenti Eq. (11)-(1) si sono introdotti i valori delle masse eqivalenti: E,pl =0.66 per il campo plastico e E,el =0.78. Tali valori, desnti da [16], esprimono l eqivalenza energetica tra la trave reale e lo SDOF eqivalente e l gaglianza tra il massimo spostamento di v E 5 q l 5 P l v Ep v E v E

6 na sezione caratteristica della trave (sezione di mezzeria) e il massimo spostamento dell oscillatore elementare. Si rimarca come la presenza degli effetti di strain-rate (Eq. (10)) modifichi i coefficienti delle eqazioni (11) e (1) istante per istante, per qesto motivo la solzione è stata determinata per via nmerica con n integrazione alle differenze finite di tipo esplicito. 3. odello energetico Il principio di conservazione dell energia richiede che il lavoro dei carichi esterni agenti slla trave W sia pari alla somma dell energia cinetica e dell energia di deformazione U della trave in qalnqe istante: W( t) ( t) U( t). (13) In riferimento al caso di trave il ci modello sezionale sia espresso dalla Eq. (7), semplicemente appoggiata sottoposta ad n carico distribito niformemente q, l Eq. (13) si specializza nella segente: l t l l ( x, t) v( x, t) 1 v( x, t) ( t) q( t) dt dx dx ( t) tanh ( x, t) d dx t t 0 0 0, (14) 0 0 ( t) in ci rappresenta la massa distribita per l nità di lnghezza della trave in qestione. Nel caso analizzato è possibile approssimare la deformata della trave con na semplice distribzione sinsoidale: v( x, t) v0( t) sin x, (15) l in ci v 0 rappresenta lo spostamento in mezzeria. Introdcendo l Eq. (15) nella (14) si ottiene n eqazione integro-differenziale nell nica incognita v 0 : v t x v t x t t x q( t) sin dt dx sin dx ln cosh v ( t)sin dx t l t l l l l t l l 0( ) 1 0( ) ( ) ( ) ( t) ( t). (16) Anche nella Eq. (16) si è tento conto di come la velocità di deformazione modifichi le caratteristiche meccaniche dell acciaio. Per qesto motivo i parametri sezionali e sono variabili nel tempo. La solzione della Eq. (16) è stata trovata mediante na procedra iterativa basata slla discretizzazione alle differenze finite descritta nel dettaglio in [4]. 4 APPLICAZIONI 4.1 Test sperimentali In qesto articolo il lavoro sperimentale di Nassr et alt. [7], [8] è stato considerato come termine di paragone per i modelli presentati nei precedenti paragrafi. Nei test sperimentali le travi in acciaio denominate W150x4 (le ci caratteristiche statiche e sezionali sono riportate in Tabella 1, con riferimento alla Fig. ) sono state sottoposte al carico da esplosione provocato da diverse qantità di esplosivo posizionate a diverse distanze in ambiente aperto. Prtroppo non è stato possibile ottenere le misrazioni sperimentali delle pressioni rilevate. Infatti nei già citati [7] e [8] non sono presenti le time-histor delle pressioni, ma solo i picchi di carico, le drate della fase positiva e l implso. In prima approssimazione gli atori hanno assnto na distribzione nel tempo triangolare del carico di tipo triangolare con i picchi e le

7 drate della fase positiva pari alla media delle rilevazioni sperimentali riportate nei già citati lavori di Nassr. I valori assnti sono stati esplicitati nella Tabella. Tabella 1: Caratteristiche della trave W150x4 Tabella : Caratteristiche Carico 67 knm h 150 mm Shot 1 7 knm b 10 mm P AX 307 kpa a 7mm t d 7. ms s 4. Risltati Lce 413 mm e 10 mm Shot 3 4 kg/m A s 3060 mm P AX 1560 kpa t d 6. ms Fig. 5: Spostamenti in mezzeria della trave W150x4 nel test denominato SHOT1 (a) e SHOT 3 (b). In Fig. 5a sono riportati i risltati delle simlazioni effettate con i de modelli strttrali a confronto con le rilevazioni sperimentali per qanto rigarda la time-histor dello spostamento in mezzeria nel test denominato SHOT 1. La linea pnteggiata rappresenta la misra sperimentale, mentre qella tratteggiata il risltato del modello dinamico (SDOF) e in linea contina qello del modello energetico. Entrambi i modelli forniscono na misra molto precisa di qale sia il massimo spostamento della trave: 7.0 mm sperimentali, 7.0 mm SDOF ed energetico. Prtroppo l andamento nel tempo dello spostamento è meno preciso, ma probabilmente le approssimazioni dovte alla rozza scelta del modello triangolare che descrive l andamento del carico nel tempo sono molto inflenti nel risltato finale. In Fig. 5b sono mostrati i risltati relativi al test denominato SHOT 3 in ci il carico agente slla trave è decisamente più intenso. Lo spostamento massimo rilevato sperimentalmente è stato di 33. mm, mentre il modello SDOF fornisce 35. mm esattamente come il modello energetico. In qesto caso si sono rilevate lievi differenze nelle time-histor tra i de modelli e qella del modello energetico si avvicina maggiormente al risltato sperimentale. 5 CONCLUSIONI (a) In qesto articolo si sono presentati de modelli non lineari ad n grado di libertà, in ci si è tento conto degli effetti di strain-rate, per la valtazione della risposta di travi in acciaio al carico da esplosione. La validazione dei modelli è avventa tramite il confronto con dati spe- (b)

8 rimentali reperiti in letteratra. In entrambi i casi analizzati si è ottenta n ottima stima del valore del massimo spostamento, minore precisione si è riscontrata nel descrivere l andamento nel tempo dello stesso, ma probabilmente qesta è dovta alla rozza approssimazione del modello triangolare del carico. Svilppi ftri del lavoro sono attesi per qanto rigarda altre condizioni di vincolo e di carico. BIBLIOGRAFIA [1] Fischer., Häring I., SDOF response model parameters from dnamic blast loading experiments, Engineering Strctres. 31, , 009 [] Yang G., Lok T.-S., Analsis of RC strctres sbjected to air-blast loading acconting for strain rate effect of steel reinforcement, Int. J. Impact Eng. 34, , 007 [3] Carta G., Stochino F., Theoretical models to predict the flexral failre of reinforced concrete beams nder blast loads, Engineering Strctres, 49, , 013 [4] Stochino F., Flexral odels of Reinforced Concrete Beams nder Blast Load, PhD Thesis, Universit of Cagliari, 013. [5] Foo C.C., Seah L.., Chai G.B., A modified energ-balance model to predict lowvelocit impact response for sandwich composites, Comp. Strct., 93, , 011 [6] Crpi V., Epasto G., Gglielmino E., Collapse modes in alminim honecomb sandwich panels nder bending and impact loading, Int. J. Impact Eng., 43, 6-15, 01 [7] Nassr A.A., Razaqpr A. G., Tait. J., Campidelli., Foo S., Single and mlti degee of freedom analsis of steel beams nder blast loading, Nclear Engineering and Design, 4, 63-77, 01 [8] Nassr A.A., Razaqpr A. G., Tait. J., Campidelli., Foo S., Experimental Performance of Steel Beams nder Blast Loading, Jornal of Constrcted Facilities, 6 (5), , 01 [9] D 14 gennaio 008, Norme Tecniche per le Costrzioni, Gazzetta Ufficiale n. 9 del 4 febbraio 008 [10] assonet CH., Save., Calcolo plastico a rottra delle costrzioni, aggioli Editore, Sant arcangelo di Romagna (RN), Italia 007 [11] De matteis G., Cadoni E., Asprone D., Analsis of Behavior of Constrction Under Impact and Explosions: Approaches for strctral Analsis, from aterial odeling to Strctral Response, Final Report of Urban Habitat Constrctions nder Catastrophic Events, edited b azzolani, Talor & Francis Grop, London, 010 [1] Tattoni S, Stochino F., Azioni esplosive slle strttre in c.a., 19 Congresso CTE, Bologna 11/8-10, , 01 [13] Cowper, G.R., Smonds, P.S., Strain hardening and strain-rate effects in the impact loading of cantilever beams, Brown Universit Div. of App. ath. Report no. 8, 1957 [14] Stoffer D.C., Dame L.T., Inelastic Deformations of etals, John Wile & Sons, inc, New York, USA, 1996 [15] Riedel W., Fischer., ranzer C., Erskine J., Cleave R., Hadden D., Romani., odeling and validation of wall-window retrofit sstem nder blast loading, Engineering. Strctres, 37, 35-45, 01 [16] Biggs J.., Introdction to strctral dnamics, cgraw-hill, N.Y, 1964 PAROLE CHIAVE Esplosioni, Blast Load, Flexral odels, Travi in acciaio, SDOF, Energ odel, Strain rate.

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