Aeroelasticità Computazionale con modelli CFD

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1 Aeroelasticità Computazionale con modelli CFD Luca Cavagna, Giuseppe Quaranta e Paolo Mantegazza Politecnico di Milano, Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Abstract L analisi aeroelastica in campo transonico richiede l adozione di modelli aerodinamici accurati quali le equazioni di Eulero o di Navier-Stokes. Viene introdotta in questo articolo una procedura aeroelastica per la modellazione di problemi di interazione fluido-struttura (F) basata sull integrazione di diversi codici commerciali. La soluzione dinamica delle equazioni della fluidodinamica computazionale richiede risorse computazionali molto maggiori di quelle usate per l aeroelasticità classica. Per questo, particolare attenzione è dedicata alla definizione di una strategia che renda il processo globalmente efficiente e quindi applicabile ai problemi industriali realistici. L attuale potenza di calcolo unita alla disponibilità di codici dedicati per l analisi strutturale e fluidodinamica, come MSC-NASTRAN e FLUENT, fanno sì che i tempi per estendere vantaggiosamente l Aeroelasticità Computazionale (CA) oltre l ambito accademico di ricerca, senza l ausilio di codici appositamente dedicati, siano oramai maturi. Aeroelastic analysis in transonic regime requires the adoption of accurate aerodynamic models, such as Euler or Navier-Stokes equations. This article introduces an aeroelastic procedure for fluid-structure (F) problems modelling, based on the integration of different commercial software. Far more computational resources than those used in the classic approach are required to solve the dynamic equations of the computational fluid dynamics. Therefore, particular attention is paid in order to define a strategy making the whole process efficient and well-suited for the realistic industrial environment problems. Current hardware resources, combined with the availability of specific software for structural and fluid dynamics analysis, such as MSC-NASTRAN and FLUENT, make the time mature for extending Computational Aeroelasticity (CA) beyond the academic research environment, without using a specifically developed code. Keywords: Fluidodinamica Computazionale, Aeroelasticità Computazionale, Flutter Transonico. Introduzione Molti velivoli moderni, sia civili che militari, operano per gran parte della loro vita in un regime di volo detto transonico, cioè a cavallo di una zona in cui le equazioni che modellano le forze aerodinamiche, per loro natura intrinseca, non sono linearizzabili a causa di fenomeni aerodinamici, come la formazione di onde d urto normali e le interazioni fra di esse e lo strato limite, che rendono questo regime particolarmente complesso. In tali casi, i metodi classici basati sulla teoria del potenziale possono fornire dei risultati grossolanamente approssimati, per cui diviene necessario rivolgersi a modelli fluidodinamici più accurati che permettano la risoluzione completa del campo di moto attraverso le equazioni di Eulero o di Navier-Stokes 1;2. Il calcolo delle forze aerodinamiche richiede quindi l impiego di metodologie numeriche appartenenti alla classe della Fluidodinamica Computazionale CFD (Computational Fluid Dynamics). L uso di tali codici eleva di ordini di grandezza le richieste in termini di carico computazionale al fine di ottenere delle analisi che possano dare delle risposte anche quantitativamente accettabili. Affinchè tali analisi siano utili sia in fase di progetto che di verifica, cioè in situazioni nelle quali è richiesta la valutazione di un elevato numero di configurazioni, è necessario identificare delle procedure di calcolo in grado sempre di coniugare l accuratezza con l efficienza computazionale 3;4. Analisi aeroelastica classica L aeroelasticità si occupa dello studio dei fenomeni derivanti dall interazione tra le forze elastomecca- 18 B OLLETTI DEL CILEA N.98 AGOSTO 2005

2 niche strutturali e quelle aerodinamiche. Un aeromobile rappresenta infatti un sistema dinamico, denominato sistema aeroelastico, costituito da due sotto-sistemi anche essi dinamici, quello strutturale e quello aerodinamico, tra di loro strettamente dipendenti. Ciascun componente rappresenta un sistema a sè, con proprie caratteristiche statiche, dinamiche, propri modelli e tecniche di analisi. Tra le diverse classi di problemi affrontabili in questa disciplina, quello più importante, di vitale importanza per un velivolo, è lo studio del flutter, fenomeno di instabilità dinamica che si manifesta con oscillazioni autoeccitate, spesso catastrofiche, sostenute dall introduzione di energia nel sistema dovuta all accoppiamento tra il sistema strutturale ed aerodinamico. Lo studio classico del flutter valuta la stabilità in piccolo del sistema aeroelastico linearizzato e tempoinvariante 5. La modellazione strutturale si basa sull assunzione di comportamento elastico lineare con piccole deformazioni e sulla rappresentazione modale attraverso un insieme discreto di modi propri tali da permettere di rappresentare correttamente il meccanismo oggetto di studio. La dinamica strutturale è quindi rappresentata da matrici generalizzate di massa [m], rigidezza [k] e smorzamento [c] diagonali. L analisi di flutter, come altri problemi di stabilità, rappresenta un studio degli autovalori del sistema. Nel caso del flutter interessa valutare come il sistema strutturale si instabilizzi per effetto dell interazione con il sistema aerodinamico: la condizione critica è stabilita nel momento in cui un autovalore risulti avere parte reale nulla, con conseguente annullamento dello smorzamento del sistema. L equazione del flutter, nel dominio delle frequenze di Laplace s: ( [m]s 2 + [c]s + [k] q [H am (k, M )] ) {q} = 0 (1) dove q rappresenta la pressione dinamica di riferimento e {q} il vettore delle ampiezze modali, deriva dall equazione della dinamica strutturale alla quale è aggiunto il termine aerodinamico [H am (jk, M )] necessario per introdurre gli effetti dei carichi aerodinamici generalizzati. La definizione del termine aerodinamico costituisce sicuramente una fase delicata per l analisi aeroelastica. Le teorie classiche instazionarie operano direttamente nel dominio delle frequenze e forniscono le forze generalizzate dovute a movimenti armonici, attraverso una matrice di trasferimento tabulata per punti discreti di numero di Mach M e di frequenza ridotta k, parte immaginaria della frequenza ridotta complessa p = sl a /V, dove L a indica una lunghezza aerodinamica di riferimento e V una velocità di riferimento. Questo complica la risoluzione della Eq. (1) dal momento che, a causa dell impossibiltà di arrivare ad una espressione analitica, la dipendenza del termine aerodinamico dalla frequenza è implicita. La soluzione della Eq. (1) non rappresenta quindi un problema agli autovalori classico e richiede lo sviluppo di appositi metodi numerici 6. Negli ultimi anni la messa a punto di sistemi di controllo per la soppressione del flutter e di alleviazione dei carichi da raffica ha reso necessario portare la classica matrice di trasferimento aerodinamica nel dominio del tempo, in modo da utilizzare tutte le moderne tecniche tipiche dello studio dei sistemi dinamici e dei controlli. A partire dai primi lavori di Richardson 7, è stato possibile riscrivere la matrice di trasferimento classica, fornita da un modello aerodinamico classico o da un codice CFD, in una forma più semplice, come un comune sistema dinamico, grazie alla possibilità di identificare l aerodinamica instazionaria, con i suoi infiniti gradi di libertà, in uno spazio ridotto agli stati. Si parla perciò di Aeroelasticità Moderna, per sottolineare il passaggio dal dominio delle frequenze, della cosiddetta Aeroelasticità Classica, a quello del tempo. In questo modo è possibile passare dall analisi di risposta alle forzanti mediante la risposta in frequenza, all analisi di risposta diretta, e ricondurre l analisi di stabilità della Eq. (1) ad un problema classico agli autovalori, risolubile attraverso i comuni metodi numerici. La Fig. 1 mostra gli elementi sui quali è possibile agire per realizzare una procedura di analisi aeroelastica mediante codici CFD robusta ed efficiente: l interfaccia aeroelastica, un processo interpolatorio tra le diverse schematizzazioni aerodinamiche e strutturali; la deformazione di griglia, ossia la gestione del movimento degli elementi della griglia aerodinamica in seguito alle deformazioni del modello strutturale; l estrapolazione, mediante una ragionata eccitazione del sistema, di un modello dinamico ridotto (Reduced Order Model ROM ) per l aerodinamica instazionaria al fine di eseguire successive analisi di risposta e di stabilità del sistema linearizzato. L analisi linearizzata contiene, come introdotto sopra, delle ipotesi semplificatrici alla base, specie per il termine aerodinamico, sede di non-linearità quali onde d urto o separazioni del flusso. Queste sono appunto linearizzate in seguito all ipotesi di piccoli movimenti strutturali in modo da arrivare ad un operatore aerodinamico lineare. Al contrario però della metodologia classica, l analisi di flutter con modelli CFD, oltre a garantire una migliore modellazione del B OLLETTI DEL CILEA N.98 AGOSTO

3 Basemodalestrutturale Definizione delmodello CFD Interfaccia aeroelastica Soluzionedelladinamica strutturale Movimento dellagriglia Integrazione diretta Soluzionedelcampodi moto Analisi linearizzata Indentificazione della matriceditrasferimento aerodinamica (ROM) Figura 1: Diagramma a blocchi dell analisi aeroelastica integrata con codici CFD. fluido per gli effetti della comprimibilità e di dissipazione viscosa, consente di determinare la condizione di flutter nei pressi di una condizione di riferimento ottenuta come soluzione di un sistema non-lineare. Inoltre è possibile includere l effetto della deformabilità strutturale sullo spostamento dell onda d urto o gli effetti legati a manovre ad alta incidenza. Potenzialmente, per la non-linearità del sistema, ogni condizione di equilibrio rappresenta un caso a sè e quindi, esibendo un comportamento diverso nei confronti della stabilità, andrebbe verificata singolarmente. Questo porterebbe ad un tempo di analisi spesso insostenibile per cui è necessario estrapolare quanto contenuto nella matrice di trasferimento H am, costruita in corrispondenza di una determinata configurazione, a condizioni prossime, che differiscono per piccole modifiche nel flusso, nella rigidezza strutturale o nella massa. In tal caso è infatti possibile, qualora la base modale utilizzata come approssimazione del movimento strutturale sia sufficientemente ampia ed eventualmente arricchita con alcune forme statiche 8, approssimare i nuovi modi come una opportuna ricombinazione di quelli vecchi e ricondurre i termini strutturali alla forma diagonale. Accanto al metodo linearizzato deve però sempre esistere la possibilità di effettuare una simulazione nonlineare basata sull integrazione della dinamica strutturale accoppiata alle equazioni della fluidodinamica. Questa soluzione permette di giudicare, senza possibili indebite supposizioni, la stabilità del sistema, permettendo di studiare la sua l evoluzione anche nel post-flutter. Tale metodo verrà quindi utilizzato per quelle condizioni considerate critiche dall analisi linearizzata. Nelle prossime sezioni vengono discusse le diverse strategie adottate per la messa a punto di tutti gli elementi che contribuiscono ad arrivare all implementazione di un solutore aeroelastico integrato basato, nel caso specifico 9, sui codici commerciali MSC-NASTRAN e FLUENT. Interfaccia aeroelastica La modalità classica utilizzata nelle analisi dei sistemi aeroelastici si basa sullo studio separato dei campi che caratterizzano la fisica del problema, permettendo di posticipare il problema dell analisi del sistema strutturale ed aerodinamico in maniera accoppiata. Così facendo è possibile continuare ad utilizzare i metodi e modelli numerici di analisi consolidati e ormai tipici di ciascuna disciplina. L aspetto multidisciplinare dell aeroelasticità com- 20 B OLLETTI DEL CILEA N.98 AGOSTO 2005

4 Figura 2: Risultati della procedura di interfaccia modello strutturale-aerodinamico per i primi due modi propri della semiala AGARD porta però la capacità di rendere i due sistemi comunicanti, con l esigenza di saper tradurre le deformate strutturali in modifiche delle condizioni al contorno dell aerodinamica e di riportare poi i relativi carichi in termini di pressione sulla struttura. Lo scambio di informazioni tra struttura ed aerodinamica avviene attraverso l interfaccia aeroelastica ossia una procedura di interpolazione di campi di variabili, tipicamente posizioni, spostamenti, velocità e forze, tra due sistemi discretizzati diversamente sia in termini di dimensioni caratteristiche che di posizionamento spaziale dei nodi. Nella maggior parte delle applicazioni pratiche, si pensi all ambito industriale nel quale i modelli possono venire da diversi dipartimenti, risulta difficile avere la medesima griglia da utilizzare sia per un analisi strutturale che aerodinamica, avente quindi lo stesso grado di discretizzazione, perchè, se si vogliono ottenere analisi efficienti e allo stesso tempo accurate, ciascun sistema preso a sè richiede un diverso grado di risoluzione e di modellazione. A rigore un accurato ed efficiente schema di interfaccia deve soddisfare i seguenti requisiti: possibilità di connessione tra diverse discretizzazioni e topologie; esatto trattamento di traslazioni e rotazioni rigide; indipendenza della formulazione numerica degli elementi della griglia strutturale e CFD; conservazione delle quantità scambiate, in particolare energia e quantità di moto; possibilità di controllo sulla regolarità della grandezza interfacciata. Gli ultimi due punti sono particolarmente importanti perchè la creazione o l eliminazione di energia spuria da parte dell interfaccia potrebbe alterare la stabilità del sistema e, nel caso di soluzioni mediante le equazioni di Eulero o di Navier-Stokes, una non corretta regolarità delle superfici potrebbe portare a problemi di convergenza numerica e di instabilità locali del flusso non fisiche. I requisiti sopra introdotti vengono soddisfatti mediante la tecnica dei Minimi Quadrati Mobili (MLS) 10 basato sulla minimizzazione sul dominio di definizione Γ, di un funzionale Π definito come: Π = W(x) ε 2 (x)dγ (2) Γ in cui ε(x) rappresenta l errore, pesato attraverso la funzione W (x), commesso in seguito all utilizzo di B OLLETTI DEL CILEA N.98 AGOSTO

5 una soluzione approssimata per la funzione f da ricostruire. Il problema consiste nel partire dalla conoscenza di una generica funzione f, di classe C d su un dominio Ω R 3, in punti discreti arbitrariamente distribuiti appartenenti al vettore di supporto: {X} = {x 1, x 2,..., x N } (3) per poi, una volta costruita una sua approssimazione, estenderla ad altri x punti discreti del dominio. Si scrive quindi una formulazione approssimata f di f attraverso un opportuno sviluppo polinomiale, tipicamente lineare o quadratico, di m termini: f = m p i (x) q i (x) (4) i=1 opportunamente moltiplicati per altrettanti pesi incogniti q i, da determinare attraverso la minimizzazione del funzionale: Min W(x x) (f f(x)) 2 dγ(x) (5) Γ Il problema così posto può essere localizzato agendo attraverso funzioni peso a supporto compatto come le Radial Basis Functions (RBF) 11, solitamente scritte nella forma W (r/δ), dove δ rappresenta un fattore di scala che consente di modificare le dimensioni del supporto per i diversi centri x. Questo consente di avere una procedura flessibile in grado di attingere informazioni della grandezza da interpolare solo da un numero sufficiente di punti relativamente vicini, scartando invece quelli più distanti in modo da non appesantire inutilmente il carico computazionale 12. La Fig. 2 mostra alcuni risultati ottenuti seguendo lo schema riportato. Deformazione della griglia La formulazione ALE (Arbitrary Lagrangian Eulerian) per le equazioni di bilancio del fluido, consente di considerare il movimento e l aggiornamento della griglia CFD nel corso dell analisi senza il bisogno di ricostruirne una nuova ad ogni passo. La deformabilità strutturale comporta fisicamente una modificazione del dominio fluidodinamico. La procedura di deformazione deve quindi consentire il movimento strutturale, mantenendo allo stesso tempo una buona qualità degli elementi, vale a dire distorsioni contenute e volumi sempre positivi in modo da evitare problemi numerici. Esistono numerosi metodi proposti, segno del fatto che questa problematica è molto sentita dagli autori per la sua estrema delicatezza e per i grandi tempi di analisi cui questa può portare. Il metodo implementato in FLUENT riprende l analogia elastica proposta da Batina 13 che si basa sulla modellazione di ciascuna connessione nodale attraverso una molla non-lineare con rigidezza inversamente proporzionale alla distanza tra i suoi vertici. Degand e Farhat 14 arricchiscono il modello con molle torsionali su ogni vertice così da evitare problemi di collasso degli elementi; questo rende però il processo globalmente più costoso. Per motivi di efficienza computazionale e di robustezza degli algoritmi di deformazione, la procedura di deformazione utilizzata è esterna a quelle predefinite da FLUENT e si basa, attraverso il solutore statico implementato in MSC-NASTRAN, sulla analogia tra volume della griglia e continuo deformabile. Il modello costruito agisce direttamente sulle caratteristiche del materiale a comportamento lineare, variando il modulo di Young locale in modo inversamente proporzionale al lato minimo di ciascun elemento: 1 E el = min x j x k β (6) j,k el La strategia adottata, analogamente a quella di Batina 13, permette di irrigidire maggiormente gli elementi nelle vicinanze delle superfici portanti, solitamente per ragioni computazionali più piccoli, lasciando quindi a quelli più lontani, ossia quelli più grossi, il compito di farsi carico delle deformazioni senza subire pericolose distorsioni. La Fig. 3 mette in luce la robustezza della procedura che permette di imporre degli spostamenti dell ordine della stessa apertura alare senza ricorrere a rigidezze non-lineari. Il coefficiente di Poisson ν imposto varia tra 0 e 0.35 in modo da evitare il malcondizionamento del problema strutturale mentre, per il calcolo del modulo elastico trasversale G, è possibile sfruttare la legge costitutiva elastico-lineare. È comunque possibile adottare diverse leggi costitutive oltre quella elastica isotropa, in modo da lasciare all utente la facoltà di controllare la deformazione e la qualità degli elementi. Non è necessario introdurre delle molle torsionali sui gradi di libertà di rotazione, dal momento che, grazie all analogia del continuo, è possibile agire direttamente sulla matrice di rigidezza del materiale, ossia sui termini E, ν, G, e β, per raggiungere il risultato desiderato. Non esistono limitazioni sul tipo di griglie, ibride o meno, e sul tipo di elementi utilizzati. 22 B OLLETTI DEL CILEA N.98 AGOSTO 2005

6 Figura 3: Deformazione della griglia CFD secondo il primo modo flessionale. Come mostrato in Fig. 4, è possibile partizionare la griglia in diverse zone di fluido così da gestire in modo diversificato l implementazione delle caratteristiche resistive e deformare con un comportamento differenziato le diverse zone, o in alcuni casi non muoverle nemmeno. Inoltre partizionare il problema originale in diversi sotto-problemi consente di accelerare i tempi di calcolo: i singoli problemi da risolvere divengono più piccoli, la loro soluzione è più rapida ed è inoltre possibile eseguire contemporaneamente diversi processi su più macchine di calcolo. Ovviamente le deformate dei diversi blocchi devono rispettare opportune condizioni cinematiche di compatibilità per evitare lacerazioni o compenetrazioni degli elementi e l invalidità della griglia di calcolo. Una particolare attenzione richiede il calcolo in parallelo, dal momento che risulta necessario muovere in modo congruente le porzioni di griglia memorizzate su ogni macchina. Un algoritmo appositamente dedicato, una volta ricostruita l intera deformata del continuo, consente di inviare i movimenti nodali in modo selettivo alle rispettive macchine. Generalmente per griglie relativamente grandi la soluzione della deformata avviene in modo iterativo, evitando la costosa operazione di fattorizzazione della matrice di rigidezza. Bisogna però considerare che il processo di deformazione di griglia deve essere eseguito ad ogni passo temporale per tutte le analisi necessarie a verificare le diverse configurazioni aerodinamiche, strutturali e di carico. Per accelerare quindi il tempo di calcolo, è possibile introdurre una prima conveniente strategia che consiste nel fattorizzare la matrice di rigidezza del continuo una volta per tutte, dal momento che il problema è lineare; questo consente di eseguire poi tutte analisi necessarie, mediante sostituzione passo-avanti passo-indietro. Una seconda strategia ancora più conveniente permette di evitare l integrazione del codice fluidodinamico con quello strutturale per la deformazione della griglia. È possibile infatti eseguire una sola volta N calcoli di deformazione di griglia, con spostamenti alle pareti pari a ciascun modo proprio strutturale, creando una sorta di database delle deformate di griglia. Ad ogni passo temporale la deformata di tutta la griglia sarà ottenuta dalla sovrapposizione delle deformate globali modali opportunamente pesate secondo le ampiezze modali provenienti dalla risoluzione della dinamica strutturale. Si comprende quindi il motivo per il quale il partizionamento della griglia venga fatto a priori agendo sulla sua separazione in diverse zone di fluido anzichè sfruttare quello derivante dal processo parallelo: in questo caso infatti si perderebbe, al variare del numero di macchine utilizzate per l analisi, la possibilità di eseguire un unica analisi di deformata. Creazione del modello aerodinamico ridotto L aerodinamica rappresenta un sistema dinamico dotato di propri ingressi, gli spostamenti e le velocità strutturali, e proprie uscite, le forze generalizzate. Per ragioni di efficienza computazionale, tutti i metodi classici di aerodinamica instazionaria, basati sulla B OLLETTI DEL CILEA N.98 AGOSTO

7 linearizzazione delle equazioni di conservazione del fluido, portano direttamente alla relazione tra forze generalizzate e coordinate generalizzate, espressa, nel caso di sistema lineare e tempo-invariante, dalla matrice di trasferimento aerodinamica H am della Eq. (1). Tale matrice deriva, secondo la definizione, dal rapporto tra la trasformate nel dominio delle frequenze dell uscita del sistema, le forze generalizzate, e l ingresso, il movimento generalizzato. Nel caso di analisi con modelli CFD, la linearizzazione avviene per via numerica, agendo sull entità dell eccitazione in modo tale che la risposta del sistema sia lineare per effetto delle piccole perturbazioni. Secondo quanto introdotto nel paragrafo introduttivo, la caratterizzazione del sistema attraverso dei movimenti armonici appare la più naturale, vista la classica definizione della H am nel dominio di Fourier. Questo modo di procedere obbliga ad eseguire diverse simulazioni, una per ciascun valore della frequenza k di interesse da eccitare, per cui è necessario identificare un metodo più rapido che consenta di ridurre il numero eccessivo delle simulazioni. La risposta ad uno scalino o ad un impulso superano questo limite, permettendo di caratterizzare attraverso una sola simulazione un largo intervallo di frequenze; la discontinuità però si ripercuote negativamente sia sulla qualità delle trasformate alle frequenze basse di interesse, sia sulla scelta del passo di integrazione da adottare; è infatti necessario prendere passi molto piccoli, a scapito del tempo globale di analisi. Il metodo proposto consiste nell eccitare il sistema attraverso un gradino raccordato in modo da migliorare la descrizione del transitorio aerodinamico e l accuratezza globale della soluzione, una volta stabilito il valore massimo di interesse k max : { q 2 (1 cos(ω q(τ) = 0 τ)) 0 τ τ max (7) q τ τ max π 2π k max. con τ = tv /L a, Ω 0 = τ max, τ max = Per arrivare alla costruzione della matrice di trasferimento è necessario eseguire una simulazione per ogni modo proprio di interesse. Per il movimento della griglia basta quindi accedere al database delle deformate di griglia, caricare la deformata corrispondente al modo scelto e scalarla nel tempo secondo la Eq. (7). Quello che interessa misurare è l uscita del sistema aerodinamico, le forze generalizzate, ad un ingresso stabilito, per cui la dinamica strutturale non viene risolta. Ad ogni passo viene perciò calcolato il vettore delle forze generalizzate w associato ai diversi modi contenuti nella base modale. Al termine di ogni simulazione è possibile costruire una colonna della matrice di trasferimento dal rapporto tra la trasformata di Fourier, effettuata tramite un algoritmo FFT, delle forze generalizzate e quella dell ingresso: H am (jk, M ) i = F F T (w(τ, M ) i ) F F T (q(τ, M ) i ). (8) A partire da quanto ottenuto in frequenza, è possibile ricostruire dei modelli agli stati nel dominio del tempo ẋ a = Ax a + Bq f a = Cx a + D 0 q + D 1 q + D 2 q, (9) dove x a rappresenta il vettore degli stati aerodinamici, f a il vettore delle forze generalizzate e q il vettore degli stati strutturali, utilizzando le tecniche agli stati finiti 15;16;17. Una volta unito il sistema strutturale a quello rappresentato dalla Eq. (9) e a eventuali servocomandi, è possibile valutare la stabilità e la risposta del sistema aeroelastico alle forzanti. Integrazione debole del sistema accoppiato L integrazione nel tempo del sistema accoppiato fluido-struttura viene implementata in modo per così dire debole rinunciando ad una descrizione monolitica del sistema aeroelastico (Fig. 6). La scelta del passo di integrazione è dettata, dal momento che vengono adottati schemi impliciti, da vincoli di accuratezza della soluzione aerodinamica e di corretto campionamento delle dinamiche ritenute importanti per il meccanismo di flutter. FLUENT adotta obbligatoriamente, per il caso di utilizzo della formulazione ALE, uno schema di Eulero all indietro. Per quanto riguarda l integrazione della dinamica strutturale, è importante sottolineare come, attraverso l uso della base modale, il contenuto in frequenza del modello sia noto a priori e privo di effetti di disturbo da parte delle dinamiche ad alta frequenza. Riprendendo quanto proposto da Giles 18, è possibile determinare l evoluzione nel tempo del sistema aeroelastico al passo n + 1 mediante un algoritmo predictor-corrector derivato da quello di Crank-Nicholson: q = (I + 12 ) 1 ((I ha 12 ) ) ha q (n) + hp (n) (10) q (n+1) = (I + 12 ) 1 ha ((I 12 ) ha q (n) + 12 (11) (p h (n+1) + p (n))) 24 B OLLETTI DEL CILEA N.98 AGOSTO 2005

8 FLUENT Blocco1 Esportazione griglia Blocco2 Procedura di deformazione Fase preparatoria all'analisi BloccoN MSC NASTRAN1 MSC NASTRAN2 MSC NASTRANN DO1 update griglia Acquisizione deformate Soluzione campo di moto DO2 update griglia Passaggio dati (MPI) Parallelo FLUENT DOM update griglia DO 1 aggiornamento griglia Figura 4: Strategia di aggiornamento della griglia. FLUENT Condizione aerodinamica Analisi modon Avanzamento tempo t =D t i Determinazione parametri segnale di ingresso Caricamento griglia deformata modo N Aggiornamento griglia Sotto-iterazione k pseudo-tempo t Calcolo forze generalizzate Convergenza i=i+1 Convergenza N=N+1 Termine modi MATLAB Costruzione modello ROM Analisi di flutter Figura 5: Schema a blocchi per l analisi linearizzata. B OLLETTI DEL CILEA N.98 AGOSTO

9 FLUENT Condizione aerodinamica Acqusizione base modale Predizione soluzione strutturale Calcolo forze generalizzate Determinazione parametri eccitazione Avanzamento tempo t =D t i Calcolo deformazione Loop modi base modale Caricamento griglia modon MSC NASTRAN Termine modi Sovrapposizione movimento Aggiornamento griglia Sotto-iterazione k pseudo-tempo t Convergenza Calcolo forze generalizzate Correzione soluzione strutturale Termine simulazione Termine tempo i=i+1 Figura 6: Schema a blocchi per l analisi accoppiata. dove A rappresenta la matrice degli stati del modello strutturale modale, q il vettore degli stati (ampiezza e velocità modale), p il vettore delle forze generalizzate aerodinamiche e h il passo di integrazione. Lo schema consente di risolvere il campo fluidodinamico in base ad una prima predizione strutturale, poi corretta per tenere conto degli effetti aerodinamici sulla struttura che dipendono dalla configurazione stessa. Come mostrato da Giles 18, attraverso la scelta di un passo di integrazione adeguato, è possibile assicurare la stabilità globale del metodo, minimizzando il contributo energetico introdotto o perso attraverso lo schema debolmente accoppiato. La Fig. 6 riporta la rappresentazione a blocchi per l analisi dinamica accoppiata. Implementazione della procedura La procedura aeroelastica partizionata, sfrutta la flessibilità lasciata da FLUENT di integrare il codice con proprie funzioni, denominate User Defined Functions (UDF), mediante le quali è possibile modificare le equazioni di conservazione, accedere alla soluzione del campo di moto e svolgere qualsiasi tipo di calcolo. L interprete dei comandi FLUENT, scritto in linguaggio Scheme derivante dal Lisp, consente di creare, in modo estremamente flessibile, diverse procedure aeroelastiche: esportazione della metrica della griglia per l analogia col continuo, analisi di flutter linearizzato e analisi dinamica integrata. Inoltre è possibile creare proprie funzioni che possono essere richiamate ed interpretate in tempo reale. Come mostrato in Fig. 7, il nucleo della procedura aeroelastica in ambiente FLUENT è fondato su: una libreria compilata in linguaggio C che permette di gestire tutti i passi fondamentali del calcolo aeroelastico quali esportazione della metrica della griglia, calcolo delle forze a parete, determinazione delle forze generalizzate, soluzione della dinamica strutturale, aggiornamento della griglia ed interfaccia con MSC-NASTRAN; una libreria in linguaggio Scheme che sincronizza nel corso dell analisi la chiamata a tutte le funzioni della libreria C e gestisce in modo intelligente l integrazione nello pseudo-tempo e nel tempo fisico basandosi su criteri di convergenza stabiliti dall utente esterni a quelli predefiniti. 26 B OLLETTI DEL CILEA N.98 AGOSTO 2005

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