Metodi Iterativi Generalità e convergenza Metodi di base Cenni sui metodi basati sul gradiente Cenni sui metodi multigriglia

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1 Itroduzioe Metodi diretti Elimiazioe di Gauss Decomposizioe LU Casi particolari Metodi Iterativi Geeralità e covergeza Metodi di base Cei sui metodi basati sul gradiete Cei sui metodi multigriglia 1 Itroduzioe Metodi diretti Elimiazioe di Gauss Decomposizioe LU Casi particolari Metodi Iterativi Geeralità e covergeza Metodi di base Cei sui metodi basati sul gradiete Cei sui metodi multigriglia 2

2 Itroduzioe Limitiamoci, per semplicità, a cosiderare il caso di griglie Cartesiae bidimesioali, co riferimeto alla geerica equazioe di trasporto: y x i,j (i-1)n+j vevamo già visto che, a seguito della discretizzazioe, otteiamo u sistema lieare di N equazioi elle N icogite φ l : φ = S (3.1) dove rappreseta la matrice dei coefficieti, ϕ è il vettore delle icogite, ed S è il vettore dei termii oti (RHS). Si era ache osservato che la matrice è sparsa, cioè u umero rilevate dei coefficieti è zero, e la sua struttura dipede dal modo co cui soo umerate le variabili: Pertato ei metodi utilizzati per risolvere il sistema (3.1) è ecessario teere coto, per ridurre il tempo di calcolo e la memoria richiesta. 3 Itroduzioe Metodi diretti Elimiazioe di Gauss Decomposizioe LU Casi particolari Metodi Iterativi Geeralità e covergeza Metodi di base Cei sui metodi basati sul gradiete Cei sui metodi multigriglia 4

3 Metodi diretti Per brevità, utilizziamo la otazioe comuemete usata per matrici piee (full), poiché i metodi diretti per matrici sparse seguoo direttamete da questi; Il metodo di Cramer (per qualche straa ragioe acora illustrato.) è impropoibile, poiché il umero di operazioi ecessario è dell ordie di (N+1)!: ad esempio, per N=100 (griglia 10 10), il umero di operazioi è pari a ; utilizzado u calcolatore di poteza 1 Gflops (10 9 operazioi al secodo), sarebbero ecessari circa 2, ai!! Metodo di Gauss (elimiazioe di Gauss) L obiettivo è quello di trasformare il sistema di parteza i u sistema per il quale la matrice dei coefficieti abbia gli elemeti o ulli solo sulla diagoale pricipale e al di sopra di questa - sistema triagolare superiore. 5 = M Metodo di Gauss N M N 2 L L O L 1N 2N M NN (3.2) L idea è quella di elimiare 21, cioè rimpiazzarlo co uo zero; Ciò si ottiee moltiplicado la prima equazioe (prima riga della matrice) per 21 / 11 e sottraedola dalla secoda equazioe; I tale processo, ache tutti gli altri elemeti della secoda riga risulterao modificati, così come il secodo elemeto del termie oto S 2 ; Si procede così per tutti gli altri elemeti della prima coloa della matrice: i 1 i 1 ij = ij 1 j; Si = Si S1 (3.3)

4 Metodo di Gauss - cot. Quado questa fase è completata, essua delle equazioi 2,3, N cotiee la variabile φ 1 ; Si passa quidi ad elimiare la variabile φ 2, da questo sistema ridotto, ello stesso modo; Si cotiua quidi per le coloe 3, 4,., N-1: ik ik ij = ij ; (3.4) kj Si = Si S k kk kk dove il sego = sigifica rimpiazza, e la matrice dei coefficieti risultate, alla fie del processo di elimiazioe i avati, è: 0 U = M M 0 22 L L O L 1N 2N M NN (3.5) 7 Metodo di Gauss - cot. questo puto il sistema così modificato è facilmete risolto, osservado che: SN φn = (3.6) NN e procededo all idietro, per N-1, N-2,, 1: N Si ij φ j j= i+ 1 φi = (3.7) ii La sequeza di operazioi che, partedo dalla matrice triagolare superiore, forisce i valori delle icogite, è detta sostituzioe all idietro; Si può dimostrare che, per N sufficietemete grade, il umero totale di operazioi ecessarie è proporzioale a N 3 /3, sebbee la fase di sostituzioe richiede N 2 /2 operazioi, ed è quidi molto meo costosa; Il metodo di Gauss, i questa forma, o è mai utilizzato i CFD, ed ioltre si presta male all esecuzioe su piattaforme di calcolo parallele. 8

5 Decomposizioe LU L idea (che o si dimostra) è di trasformare - fattorizzare - la matrice el prodotto di ua matrice triagolare superiore U ed ua iferiore L: = LU (3.8) Per redere la fattorizzazioe uica, impoiamo che gli elemeti della diagoale pricipale della matrice L siao uitari; È facile dimostrare che la matrice U è quella otteuta ella fase di elimiazioe i avati del metodo di Gauss, ed ioltre gli elemeti della matrice L soo proprio i coefficieti moltiplicativi (eq. (3.4)) utilizzati; Ciò cosete di otteere la fattorizzazioe attraverso ua piccola modifica dell algoritmo di Gauss; La fattorizzazioe cosete la soluzioe i due passi; defiedo: Uφ = Y (3.9) la soluzioe del sistema (3.1) diveta: LY = S (3.10) La soluzioe, i sequeza, della (3.10) e (3.9) permette di risolvere il problema. 9 Decomposizioe LU - cot. L importaza del metodo di decomposizioe LU deriva dal fatto che: Nei cofroti del metodo di Gauss, la fattorizzazioe può essere eseguita seza cooscere il vettore S dei termii oti; i tal modo se, come spesso accade, è ecessario risolvere più volte lo stesso sistema co diversi vettori dei termii oti, è ecessario eseguire la fattorizzazioe ua volta solamete, co coseguete otevole risparmio; La decomposizioe LU - o sue variati - costituisce la base di molti dei migliori metodi iterativi per la soluzioe dei sistemi lieari. 10

6 Casi particolari Esistoo casi speciali di sistemi lieari, per i quali esistoo algoritmi di soluzioe estremamete efficieti, i termii di tempo di CPU e memoria; Si citao, a scopo illustrativo, alcui di questi, dai più oti (e diffusi i CFD), sio a quelli meo coosciuti, idicado il umero di operazioi ecessarie i fuzioe del umero N di icogite: 1 lgoritmi per sistemi tridiagoali e tridiagoali ciclici: TDM, CTDM, Temperto - O(N) (www-dima.uiv.trieste.it/~irftc/research/cyctrid/) 2 lgoritmi per griglie Cartesiae (cilidriche e sferiche) 2D e 3D uiformi (sistemi tridiagoali a blocchi): Fourier, Riduzioe Ciclica -O(N l 2 N); 3 lgoritmi per griglie Cartesiae (o cilidriche e sferiche) 2D e 3D o uiformi: Tesor Product; Matrix Decompositio (Matrix diagoalizatio) - O(N 4/3 ). Si tratta di algoritmi tipicamete utilizzati, i ambito CFD, i DNS (e LES) su geometrie semplici o di media complessità: Esempio: la soluzioe dell equazioe di Poisso su ua griglia è otteuta, su u PC co PIII 450 Mhz, i circa 2s co uo dei metodi (2), ed i 5s co uo dei metodi (3). 11 Itroduzioe Metodi diretti Elimiazioe di Gauss Decomposizioe LU Casi particolari Metodi Iterativi Geeralità e covergeza Metodi di base Cei sui metodi basati sul gradiete Cei sui metodi multigriglia 12

7 Geeralità e covergeza L utilizzo di metodi iterativi - cioè metodi per i quali, a differeza dei metodi diretti, il umero esatto di operazioi ecessarie o è oto a priori - è giustificato i CFD dalle segueti osservazioi: Co il metodo LU, sebbee la matrice sia sparsa, le matrici L e U o lo soo ella stessa misura (fills-i), e quidi la memoria richiesta è rilevate; Gli errori di discretizzazioe soo usualmete molto superiori agli errori di trocameto, pertato o è strettamete ecessario risolvere il sistema i modo esatto; I CFD è spesso ecessario risolvere sistemi di rilevate dimesioe, per i quali u metodo diretto stadard richiederebbe ua quatità di memoria o dispoibile. L idea dei metodi iterativi cosiste el partire da ua soluzioe di tetativo, e di migliorarla sio al livello desiderato/ecessario; Se l iterazioe è ecoomica, ed il umero di iterazioi ecessarie è modesto, i metodi iterativi soo più ecoomici dei metodi diretti. 13 Geeralità e covergeza - cot. Cosiderado uovamete il sistema di equazioi rappresetato dalla (3.1), possiamo affermare che dopo iterazioi avremo ua soluzioe approssimata φ, che o soddisfa l equazioe i modo esatto, per cui vi sarà u residuo ρ : φ = S ρ (3.11) sottraedo questa equazioe dalla (3.1), si ottiee ua relazioe fra l errore di covergeza, defiito dalla: ε = φ φ (3.12) ed il residuo: ε = ρ (3.13) Ovviamete l obiettivo della procedura iterativa è di dimiuire, sio a zero, il residuo; i tal caso ache l errore di covergeza va a zero. 14

8 Geeralità e covergeza - cot. U tipico schema iterativo può essere scritto come: 1 M φ + = Nφ + B (3.14) Per qualuque metodo iterativo la soluzioe, a covergeza, deve soddisfare l equazioe di parteza (3.1). covergeza, ioltre, φ +1 = φ = φ, da cui: = M N e B = S (3.15) o, più i geerale: P = M N e B = PS (3.16) dove P è ua matrice (o sigolare) di precodizioameto. Ua versioe alterativa della (3.14) si ottiee sottraedo Mφ da questa, otteedo: M + ( 1 φ φ ) = B ( M N) φ o Mδ = ρ (3.17) dove δ =φ +1 -φ è la correzioe (update) e rappreseta u approssimazioe dell errore di covergeza. 15 Geeralità e covergeza - cot. U metodo iterativo è tato più efficace quato più ecoomica è la soluzioe del sistema (3.14) - o (3.17) - e quato più rapida è la covergeza; Si può dimostrare che la velocità di covergeza del metodo iterativo, rappresetato dalla (3.14), è fuzioe del raggio spettrale (autovalore massimo) della matrice di iterazioe M -1 N; I particolare, u espressioe approssimata del umero di iterazioi ecessarie è dato dalla: δ l a1 (3.18) l λ 1 dove a 1 è ua costate, δ è la tolleraza richiesta, e λ 1 è il raggio spettrale. Si può otare che, per λ 1 prossimo all uità, la covergeza può risultare molto leta. 16

9 Metodi di base Il metodo di Jacobi è il più semplice: M è ua matrice diagoale, i cui elemeti soo gli elemeti diagoali di ; Utilizzado la otazioe geografica, il metodo può essere espresso dalla: S 1 P Eφ Wφ Nφ E W N Sφ + S φp = (3.19) Si tratta di u metodo alquato leto, e quidi di scarsa utilità. Nel metodo SOR (successive over-relaxatio) la matrice M è costituita dalla porzioe triagolare iferiore della ; se, come già visto, ogi iterazioe iizia ell agolo i alto a siistra, e procede per coloe (ordie lessicografico), il metodo può essere espresso dalla: φ S φ φ φ P E E W W N N S S P = ω + P P P φ ( 1 ω ) φ (3.20) 17 Metodi di base - cot. Nella (3.20) ω è il fattore di sovrarilassameto, maggiore dell uità per accelerare la covergeza (valore ottimale 1.8) ; Il metodo di Gauss-Seidel corrispode alla (3.20) co ω = 1; Il metodo SOR è decisamete più efficiete del metodo di Jacobi, ifatti a differeza di quest ultimo, co SOR si utilizza il valore uovo (all iterazioe attuale) delle variabili o appea questo è dispoibile; La semplicità del metodo, e le prestazioi accettabili, fao sì che vega acora utilizzato i umerose situazioi. 18

10 Cei sui metodi basati sul gradiete I metodi basati sul gradiete - la cui derivazioe è alquato complessa - soo basati sul fatto che è possibile miimizzare ua fuzioe, rispetto più direzioi, lavorado su ua sola direzioe alla volta; Tali metodi, particolarmete efficieti ed utilizzati, co opportui precodizioatori, ella gra parte dei programmi CFD commerciali, possoo veire classificati i fuzioe del tipo di sistemi (matrici) lieari: Sistemi simmetrici: Gradiete Coiugato - CG (Cojugate Gradiet); ICCG (Icomplete Cholesky Cojugate Gradiet); sistemi simmetrici risultao tipicamete dall equazioe di correzioe della pressioe (o della pressioe) e problemi di Stokes (flussi puramete diffusivi); Sistemi o simmetrici: Gradiete Bicoiugato - BGC (Bicojugate Gradiet); CGS (Cojugate Gradiet Squared); CGSTB (CGS Stabilized); GMRES (Geeralized Miimal Residual); sistemi o simmetrici risultao dalle equazioi di trasporto. 19 Cei sui metodi multigriglia I metodi multigriglia, ella loro formulazioe stadard, soo basati sull utilizzo di più griglie: la griglia effettiva di calcolo, ed ua sequeza di griglie via via più rade, dove ciascua cella della griglia rada comprede più celle della griglia immediatamete più fie - tipicamete, per griglie strutturate, 4 i 2D e 8 i 3D. griglia l griglia l-1 20

11 Cei sui metodi multigriglia L idea alla base dei metodi multigriglia è basata sulle segueti osservazioi (limitiamoci al caso di 2 sole griglie): Qualuque metodo iterativo risulta particolarmete efficace ella riduzioe degli errori caratterizzati da lughezza d oda piccola (frequeza elevata), il che avviee elle prime iterazioi; Viceversa, la riduzioe degli errori a frequeza via via più bassa avviee più letamete, ed i effetti, dopo le prime iterazioi, la covergeza si riduce; Si è pesato, quidi, di ridurre tali errori, i modo molto più ecoomico, su ua griglia più rada, ella quale i valori delle variabili (o residui) soo otteuti da quella più fie co opportue teciche di iterpolazioe e/o somma dei residui. 21 Cei sui metodi multigriglia - cot. Ua volta otteuta la soluzioe (ecoomica) sulla griglia rada, questa viee iiettata (sommata) sulla griglia fie. Il vataggio deriva dal fatto che le iterazioi sulla griglia più rada soo MOLTO più ecoomiche (almeo di u fattore 4 i 2D e 8 i 3D) di quelle sulla griglia più fie, e che la covergeza è più rapida; Il vataggio aumeta utilizzado più griglie - o livelli, ciascua utilizzata per abbattere il corrispodete errore di frequeza più elevata, sio a giugere alla griglia più rada, spesso affrotata co u metodo diretto; Si può dimostrare che, i determiate codizioi, il umero di iterazioi, e quidi il tempo di calcolo, è fuzioe lieare del umero N di variabili; I metodi multigriglia più versatili e robusti, e quidi di iteresse ella CFD idustriale, soo di due tipi: 1 dditive Multigrid o gglomeratio Multigrid; 2 lgebraic Multigrid. 22

12 Cei sui metodi multigriglia - cot. Nei metodi di tipo 1 viee sfruttata, oltreché la topologia della griglia, la proprietà di coservatività del metodo FV; Nei metodi di tipo 2, utilizzati solo el cotesto delle griglie o strutturate, si sfrutta soltato la matrice dei coefficieti, dalla quale vegoo ricavate ua serie di matrici (sistemi) via via più piccole; Come risolutore (smoother), elle varie griglie, può essere utilizzato uo qualsiasi dei metodi iterativi visti: Poiché è ecessario abbattere solo gli errori di frequeza elevata, ache gli schemi semplici (es. SOR) possoo risultare adeguati. Esistoo umerosissime versioi e variati del metodo, che costituisce oggetto di ricerca i vari ambiti (CFD, Calcolo Numerico etc.). 23 Cei sui metodi multigriglia - cot. Esempio: problema della lid-drive cavity, Re = 400, griglia 80x80: dditive Correctio Multigrid (CM); CELS (Couple Equatio Lie Solver) Lid - Drive cavity Re = 400; griglia 80 x Griglia sigola MG - 3 livelli Residuo Iterazioi equivaleti (CPU time) 24