ESERCIZI SVOLTI di ANALISI DEI SISTEMI

Transcript

1 ESERCIZI SVOLTI di ANALISI DEI SISTEMI Davide Giglio DIST - Univerità di Genova Via Opera Pia, Genova, Italy Tel: Fax: Davide.Giglio@unige.it

2

3 Queta raccolta di eercizi volti per il coro di Analii dei Sitemi è tata realizzata con lo copo di fornire un auilio agli tudenti durante la loro preparazione all eame. Gli eercizi ono tati da me riolti eguendo il metodo o i metodi che mi embravano più opportuni al momento della rioluzione. Prego tutti gli tudenti che riolveranno gli eercizi propoti di comunicarmi via (all indirizzo davide.giglio@unige.it) la preenza di errori, impreciioni o metodi di rioluzione alternativi. Davide Giglio

4

5 Parte Sitemi Lineari Tempo Invarianti 5

6 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi 6

7 Eercizio. Calcolare la antitraformata di Laplace delle eguenti funzioni nella variabile complea : F () ; F () ( + ) + 9 ; F () Conidero F () Il numeratore e il denominatore hanno lo teo grado. Devo innanzitutto dividere il numeratore per il denominatore La funzione da antitraformare può quindi eere critta come F () + 4 La funzione è già in fratti emplici e quindi può eere direttamente antitraformata. f(t) L { } F () L { } { } L + 4 δ(t) e 4t (t) Conidero F () ( + ) + 9. Il numeratore e il denominatore hanno lo teo grado. Devo innanzitutto viluppare il polinomio al denominatore per poi dividere numeratore e denominatore. F () ( + ) La funzione da antitraformare e`quindi F () + ( + ) + 9 Queta funzione è già in fratti emplici. Si ha quindi: f(t) L { } F () L { } { } L + ( + ) + 9 δ(t) e t co 3t (t) 7

8 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi Conidero F () Anche in queto cao il numeratore e il denominatore hanno lo teo grado La funzione da antitraformare può quindi eere critta come F () ( + )( + ) + ( ( + ) ) 4 + ( ( ( + ) ) ( ) ) 3 + Antitraformo utilizzando il metodo della compoizione in fratti emplici. 3 ( ( ( + ) ) ( ) ) A B ( + ( ) ) ( C ) + ( ( ) 3 + ) ( ( A ) ( ) ) ( B ( + ) + C 3 3 A A + A + B + B + C + C C A + C 3 A + B + C 3 A + B C C A A + A 3 A A 3 3 B 3 A 3 3 B 3 C 3 F () ) ( + ) B B 3 3 ( ) + Antitraformando i fratti emplici i ottiene f(t) δ(t) 3 3 e t + 3 e t in ( ) t + 3 e t co 3 t ( ) ( ) + ( ) 3 8

9 Eercizio. Calcolare la y(t) del eguente itema u(t) + 4 y(t) con. u(t) 3 in 3t;. u(t) e t. Conidero il itema con u(t) e t.... Per ottenere la tea oluzione i poteva utilizzare il metodo della ripota in frequenza, che viene di eguito riportato, e che viene conigliato in tutti quei cai l ingreo, la funzione di traferimento, o entrambi iano funzioni inuoidali.... Conidero il itema con u(t) 3 in 3t. Traformo la funzione di ingreo econdo Laplace. { } U() L 3 in 3t L ucita, nella variabile complea, è quindi Y () T () U() Antitraformo la funzione ( + 4) ( + 9). 9 ( + 4) ( + 9) A + B C + D ( (A + B) + 9 ) + (C + D) ( + 4 ) + 9 ( + 4) ( + 9) 9 A 3 + B + 9A + 9B + C 3 + D + 4C + 4D A + C A B + D B D 9A + 4C C 9B + 4D 9 9D + 4D 9 D 9 5 A B 9 5 C D 9 5 9

10 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi La funzione da antitraformare è quindi Y () 9 5 La funzione nel tempo è y(t) 9 in t 3 5 in 3t Anche in queto cao è poibile ottenere la tea oluzione utilizzando il metodo della ripota in frequenza. Eendo adeo, ia l ingreo che la funzione di traferimento, funzioni inuoidali, è neceario procedere come egue. Dato il prodotto + 4 9, i conidera + 9 prima e poi + 4, cioé in t, come ingreo (ia eo u (t)) e 3 + 9, cioé in 3t, come ingreo (ia eo u (t)) e Nel primo cao i ottiene il modo di ripota y (t) ( ) ( ) T j in (t + Φ [T ]) j mentre nel econdo il modo y (t) ( ) ( ) T 3j in (3t + Φ [T ]) 3j come funzione di traferimento (ia ea T ()) come funzione di traferimento (ia ea T ()) La y(t) cercata è y(t) y (t) + y (t) Conidero T ( j ). T ( j ) Il modulo è T ( j ) 9 e la fae è Φ [ T ( j ) ]. Conidero T ( 3j ). T ( 3j ) Il modulo è T ( 3j ) 3 5 e la fae è Φ [T ( 3j ) ] π. La funzione cercata è quindi y(t) 9 in t in ( 3t + π ) 9 in t 3 in 3t 5

11 Eercizio.3 Si conideri il itema δ(t) S y(t) caratterizzato dalla eguente ripota all impulo h(t) t / π 3/ π 5/ π 7/ π 9/ π Scrivere la forma eatta di T (). Il egnale in figura è un egnale inuoidale con modulo unitario e periodo π, tralato in ampiezza di una unità. La forma eatta del egnale è: h(t) in t Paando nel campo della variabile complea i ha H() T () U() Eendo il egnale in figura una ripota all impulo (cioé u(t) δ(t)), è ovvio che U(), e quindi H() T () Di coneguenza { } T () L h(t) + + ( + )

12 Eercizio.4 Dato il itema rappreentato rappreentato dalla eguente relazione ingreo/ucita ÿ(t) + 9ẏ(t) + 8y(t) u(t) con u(t) δ(t). Eitono condizioni iniziali per cui i ha y(t) e 4t? e per cui i ha y(t) e t? Traformo, econdo Laplace, la relazione ingreo / ucita data, al fine di lavorare nel campo della variabile complea. L { y(t) } Y () L { ẏ(t) } L { y(t) } y( ) Y () y( ) L { ÿ(t) } L { ẏ(t) } ẏ( ) Y () y( ) ẏ( ) L { u(t) } U() Si ha quindi Y () y( ) ẏ( ) + 9Y () 9y( ) + 8Y () U() ( )Y () ( + 9)y( ) + ẏ( ) + U() Y () y( ) + [ 9y( ) + ẏ( ) ] U() I modi di ripota del itema ono dati dalle oluzioni di , cioé 8 Si può quindi già affermare che non arà mai poibile ottenere un ucita y(t) e 4t in quanto 4 non è un polo del itema. Poiamo invece vedere e eitono condizioni iniziali per cui i ha y(t) e t. U() Y () y( ) + [ 9y( ) + ẏ( ) ] Impongo che queta funzione razionale fratta ia uguale alla traformata di Laplace di e t, cioé a y( ) + [ 9y( ) + ẏ( ) + ] y( ) + [ 9y( ) + ẏ( ) + ] { y( ) 9y( ) + ẏ( ) + 8 { y( ) ẏ( ) Le condizioni iniziali per cui i ha y(t) e t ono y( ) ẏ( ) +.

13 Eercizio.5 Si conideri il eguente itema: ẋ(t) x(t) y(t) [ ] x(t) Trovare x( ) tale che y(t) e t + 3e t La ripota del itema è cotituita ecluivamente dalla ripota libera non eendo preente nel itema il termine Bu(t). Y () C(I A) x( ) (I A) + + (Il calcolo della matrice (I A) è banale eendo la matrice A diagonale: è ufficiente invertire i termini ulla diagonale della matrice (I A)) C(I A) [ ] C(I A) x( x ( ) ) + + x ( x ( ) ) + + x ( ) + Antitraformando i ottiene la ripota del itema. { y(t) L x ( ) + + x ( } ) x ( )e t + x ( )e t + Lo tato iniziale richieto è quindi { x ( ) x ( x( ) ) 3 3 3

14 Eercizio.6 Si conideri il eguente itema: ẋ(t) x(t) + u(t) 3 y(t) [ ] x(t) Trovare le condizioni iniziali per cui i ha la eguente ripota all impulo y(t) 3e t + e 3t La ripota compleiva del itema, nella variabile complea, è Y () C(I A) x( ) + C(I A) BU() La ripota all impulo i ottiene imponendo u(t) δ(t), cioé U() Le condizioni iniziali da determinare conitono in un vettore colonna di dimenione pari alla dimenione del itema. Nel notro cao x( x ( ) ) x ( ) Determino (I A). La matrice + (I A) + 3 è una matrice diagonale. La ua matrice invera è quindi cotituita da una matrice diagonale i cui valori ulla diagonale corripondono ai valori reciproci degli elementi ulla diagonale della matrice di partenza: (I A) Si ha: C(I A) [ ] + Y () [ + x ( ) [ x ( ) + ] ] [ x ( ) x ( ) x ( ) ] [ [ x ( ) + ] Antitraformando econdo Laplace i ottiene 4 y(t) [ x ( ) + ] e t + [ x ( ) + ] e 3t ]

15 Eercizio.6 DIST - Univerità di Genova Per ottenere la ripota all impulo data devo quindi imporre { x ( ) + 3 x ( ) + { x ( ) x ( ) Le condizioni iniziali cercate ono x( ) 5

16 Eercizio.7 Si conideri il eguente itema: ẋ(t) x(t) y(t) [ ] x(t) Trovare lo tato iniziale corripondente a y(t) 3e t Non eendo preente, nell epreione del itema in equazioni di tato, il termine B U(), l ucita del itema, nella variabile complea, è emplicemente Y () C(I A) x( ) La matrice A del itema dato è una matrice diagonale. Si ha quindi immediatamente (I A) + + e C(I A) [ ] + + [ + ] + Abbiamo C(I A) x( ) [ + ] x ( ) + x ( x ( ) + x ( ) ) + e, antitraformando y(t) L { x ( ) + x ( ) + Deve quindi eere x ( ) + x ( ) 3 } [ x ( ) + x ( ) ] e t Vi ono tati iniziali che fornicono l ucita richieta x( 3 k ) k 6

17 Eercizio.8 Si conideri il eguente itema: ẋ(t) x(t) + u(t) y(t) [ ] x(t) con u(t) (t) Determinare x( ) tale che y(t) ia limitata. La ripota compleiva del itema, nella variabile complea, è Y () C(I A) x( ) + C(I A) BU() Determino la matrice invera (I A). + (I A) + det (I A) ( + ) ( ) ( + )( ) adj (I A) ( + )( ) + ( + ) ( + )( ) + adj T (I A) ( + )( ) ( + ) (I A) adjt (I A) det (I A) + + ( + )( ) Si ha inoltre C(I A) [ ] + ( + )( ) ( + )( ) C(I A) x( + ( ) x ) x + ( + )( ) ( ) x ( ) x 3 ( + + x 3( ) ( + ) ( + )( ) ) [ x ( ) + x 3 ( ) ] + [ x ( ) + x 3 ( ) ] C(I A) B [ + ( + )( ) ] + ( + )( ) 7

18 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi L ucita del itema è quindi data da [ x ( ) + x 3 ( ) ] + [ x ( ) + x 3 ( ) ] Y () ( + )( ) Antitraformo econdo Laplace utilizzando il metodo della compoizione in fratti emplici: [ x ( ) + x 3 ( ) ] + [ x ( ) + x 3 ( ) ] A ( + )( ) + + B A A + B + B ( + )( ) A + B + A + B { A + B x ( ) + x 3 ( ) A + B x ( ) + x 3 ( ) B 3x 3 ( ) B 3 x 3( ) A x ( ) x 3 ( ) A x ( ) x 3( ) ( + )( ) La ripota del itema è cotituita da un eponenziale negativo (dovuto al modo di ripota ) che converge a per t, e da un eponenziale poitivo (dovuto al modo di ripota ) che diverge a + per t. Perché la ripota ia limitata deve quindi eere annullato il contributo dovuto all eponenziale poitivo, cioé è neceario porre B e quindi x 3 ( ) Ho quindi condizioni iniziali che mi fornicono un ucita limitata: c x( ) c Con tali condizioni iniziali l ucita è infatti y(t) c e t (t) 8

19 Eercizio.9 Si conideri il eguente itema: ẋ(t) x(t) + kx(t) 3 y(t) [ ] x(t) Determinare, e poibile, k e x( ) tali che y LIBERA (t) 3e t + 4 (t) Nel itema dato i preenta una retroazione ullo tato. Scriviamo quindi il itema dato nel eguente modo: [k ] ẋ(t) x(t) + k 3 x(t) x(t) + x(t) 3 k k [ ] x(t) k 3 k La ripota libera, nella variabile complea, è data da Y LIBERA () C(I A) x( ) Determiniamo quindi la matrice invera (I A). (I A) k + 3 k + det (I A) ( )( k + ) k + 3 k + + k k ( k ) + ( k + k ) k + k adj (I A) 3 adj T k + (I A) k 3 (I A) adjt (I A) det (I A) [ k + ] k 3 + ( k ) + ( k + k ) I modi di ripota che i vogliono ottenere ono e t e (t). Nell epreione di Y LIBERA () dovranno comparire i termini + (traformata di Laplace di e t ) e (traformata di Laplace di (t)). Poo quindi già imporre il determinante della matrice (I - A) uguale a ( + ), cioé { k k + k ) { k k 9

20 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi La matrice invera (I A) calcolata precedentemente diventa + + (I A) ( + ) ( + ) + ( + ) ( + ) Inoltre + C(I A) [ ] ( + ) ( + ) [ C(I A) x( ) + 4 ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ] [ x ( ) x ( ) [ + 4 ( + ) ] ] ( + ) ( 4)x ( ) + ( )x ( ) ( + ) ( x ( ) + x ( ) ) + ( 4x ( ) x ( ) ) ( + ) La traformata di Laplace della ripota libera richieta è Y LIBERA () ( + ) ( + ) Impongo quindi { x ( ) + x ( ) 7 4x ( ) x ( ) 4 { x ( ) 7 + x ( ) 4x ( ) 4 x ( ) 4 {... 6x ( ) 8 x ( ) 3 { x ( ) 3 x ( ) 4 La oluzione richieta è k [ ] x( ) 3 4

21 Eercizio. Si conideri il eguente itema: ẋ x + u Trovare:. la ripota all impulo delle componenti del vettore di tato;. le condizioni iniziali per cui la ripota libera delle componenti del vettore di tato è uguale alla ripota all impulo. E noto che: X() x( ) AX() + BU() X() AX() x( ) + BU() (I A)X() x( ) + BU() X() (I A) x( ) + (I A) BU() } {{ } } {{ } Ripota LIBERA Ripota FORZATA La ripota all impulo delle componenti del vettore di tato corriponde alla ripota forzata (I A) BU() quando u(t) δ(t). u(t) δ(t) U() X δ ()(I A) B (I A) det (I A) adj (I A) (I A) X δ () Antitraformando X δ () i ottiene la La ripota all impulo delle componenti del vettore di tato. (t) x δ (t) In maniera analoga è poibile calcolare la ripota libera del itema. x ( ) X L () (I A) x( ) x ( ) + x ( ) x ( ) x ( ) Perché la ripota libera delle componenti del vettore di tato ia uguale alla ripota forzata deve quindi eere { x ( ) x ( x( ) )

22 Eercizio. Si conideri il eguente itema ẋ(t) x(t) y(t) [ ] x(t) u(t). Supponendo x( ), determinare e ia poibile trovare u(t) in modo da ottenere (a) x () x () (b) x () x (). Supponendo U(), determinare le condizioni iniziali x( ) in modo tale che la ripota globale ia y(t) + e t e 3t t Determino lo pazio degli tati controllabili per valutare quali ono gli tati raggiungibili. P [ B AB ] 4 rank P dim {X C } Una bae dello pazio degli tati controllabili può eere ricavata coniderando una (eendo una la dimenione dello pazio degli tati controllabili) colonna linearmente indipendente della matrice P. Conideriamo quindi come bae il vettore E quindi poibile raggiungere tutti gli tati del tipo x (t) x (t). Pertanto non è poibile ottenere lo tato x () x () mentre è poibile raggiungere lo tato x () x (): (a) Non poibile (b) Poibile La ripota globale del itema è data da Y () C(I A) x( ) + C(I A) BU() } {{ } } {{ } Ripota LIBERA Ripota FORZATA Determino, nella variabile complea, i vari termini che cotituicono la ripota globale del itema. (I A) det (I A) ( + 5) ( + )( + 3) adj (I A) adj T + 5 (I A) 6

23 Eercizio. DIST - Univerità di Genova + 5 (I A) adjt (I A) det (I A) ( + )( + 3) ( + )( + 3) 6 ( + )( + 3) ( + )( + 3) + 5 C(I A) [ ] ( + )( + 3) ( + )( + 3) 6 ( + )( + 3) ( + )( + 3) [ ] + 5 ( + )( + 3) ( + )( + 3) [ ] C(I A) + 5 B ( + )( + 3) ( + )( + 3) + [ ] C(I A) x( + 5 x ( ) ) ( + )( + 3) ( + )( + 3) x ( ) x ( ) + [ 5x ( ) + x ( ) ] ( + )( + 3) C(I A) BU() + ( + ) La ripota globale del itema è quindi Y () x ( ) + [ 5x ( ) + x ( ) ] ( + )( + 3) + ( + ) x ( ) + [ 5x ( ) + x ( ) ] ( + )( + 3) x ( ) + [ + 5x ( ) + x ( ) ] + 3 ( + )( + 3) Tale funzione nella variabile complea deve eere uguale alla traformata di Laplace della funzione nella variabile reale t, y(t) + e t e 3t. L { y(t) } { L + } e t e 3t ( + )( + 3) + ( + 3) ( + ) ( + )( + 3) ( + )( + 3) + 3 ( + )( + 3) Devo quindi imporre { x ( ) + 5x ( ) + x ( ) { x ( ) x ( ) Le condizioni iniziali richiete ono x( ) 3

24 Eercizio. Dato il itema di ordine n: ẋ(t) Ax(t) A Dicutere la tabilità e dire e la proprietà trovata dipende dall ordine n del itema. Una matrice A deve eere vita come una matrice diagonale i cui valori della diagonale ono tutti nulli. Di coenguenza, è immediato che il polinomio caratteritico del itema è ϕ(λ) λ n Ho un polo in con molteplicità algebrica pari a n. E neceario andare a verificare la molteplicità del polo in nel polinomio minimo. Il polinomio minimo può eere determinato in più modi.. Attravero lo tudio di m(λ) ϕ(λ) α(λ) dove α(λ) è il maimo comun diviore di tutti i termini della matrice adj (I A). La matrice adj (I A) del itema dato ha la forma λ n λ n λ n e quindi è immediato che α(λ) λ n Il polinomio minimo è m(λ) λn λ n λ La determinazione del polinomio minimo attravero lo tudio del minimo comune multiplo dei denominatori degli elementi della matrice (I A) è coneguenza diretta del metodo appena vito. In ogni cao λ (I A) λ λ e quindi m(λ) λ. Applico il teorema di Caley-Hamilton. Se la matrice A verifica il polinomio λ i, i n, allora eo arà il polinomio minimo. Eendo la matrice A nulla, ea oddifa certamente il polinomio λ. Il polinomio minimo è quindi m(λ) λ 4

25 Eercizio. DIST - Univerità di Genova 3. Determino la dimenione k dell autopazio relativo all autovalore nullo e applico la relazione dove µ c k µm µ c k + µ c è la molteplicità dell autovalore in quetione nel polinomio caratteritico µ m è la molteplicità dell autovalore in quetione nel polinomio minimo La dimenione dell autopazio relativo all autovalore nullo i determina attravero lo tudio dell equazione omogenea (I A) z dove z è un generico vettore n-dimenionale. z z z n.. La dimenione dell autopazio è n. Quindi n n µm n n + µ m µ m Il polinomio minimo è m(λ) λ Il itema dato è emplicemente tabile e tale proprietà non dipende dall ordine n del itema. 5

26 Eercizio.3 Si conideri un itema rappreentato dalla eguente funzione di traferimento T () Determinare la tabilità del itema;. Calcolare la ripota all impulo h(t); 3. Cacolare lim t h(t). Il denominatore della funzione data può eere critto nel eguente modo ( + ) + ( + ) ( + )( 3 + ) ( + ) ( + ) ( ( + ) )( 3 + ) 3 Il itema preenta una coppia di poli reali coincidenti in e una coppia di poli complei coniugati a parte reale poitiva 3. Il itema è intabile. Poo arrivare allo teo riultato applicando il criterio di Routh-Hurwitz. Il criterio di Routh-Hurwitz può eere applicato olamente e il polinomio al denominatore è completo e e tutti i uoi coefficienti ono poitivi (condizioni necearie ma non ufficienti). Utilizzo quindi, come coefficiente del termine mancante un valore poitivo piccolo a piacere ɛ. 4 ɛ 3 ɛ ɛ ɛ Il terzo valore della prima colonna, ɛ è da coniderare negativo. Queto bata a concludere che il itema è intabile. La ripota all impulo è l antitraformata di Laplace della funzione di traferimento. utilizzo il metodo della compoizione in fratti emplici A + + B ( + ) + C + D + Per antitraformare, A( + )( + ) + B( + )+ + (C + D)( + + ) A 3 A + A + A A + A + B B + B+ + C + C + C + D 3 + D + D

27 Eercizio.3 DIST - Univerità di Genova A + D B + C + D B + C + D A + B + C D A B A C 3A 3C 3C C 3 D B D A A + B + C A B + C A + B + C D A B 4 3 A 3A 4 A 4 3 C 3 A 4 3 C Attravero il completamento dei quadrati e opportune operazioni algebriche, poo crivere il termine nel eguente modo ( ) ( + ) ( 3 ) 3 ( ( ) ) 3 3 ( ( ) ) La funzione da antitraformare è quindi ( + ) ( 3 ) ( ) + 3 ( + ) 3 ( + ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) 3 Antitraformando i ottiene la ripota all impulo h(t) del itema dato. h(t) 4 3 e t 3 e 3 3 t co t + 3 e 3 t in t 4 3 e t ( 3 e 3 t co t ) 3 3 in t

28 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi La ripota all impulo h(t) è una funzione nella variabile reale t cotituita da tre componenti. La prima componente, 4 3 e t, è una funzione eponenziale negativa e quindi il uo contributo i eaurice per t. La econda e la terza componente cotituicono una funzione inuoidale il cui inviluppo è la funzione eponenziale poitiva e t ; queto termine diverge al crecere del tempo. Pertanto, il limite per t della ripota all impulo h(t) non eite. 8

29 Eercizio.4 Si conideri il eguente itema: 3 k h ẋ x + u 3 Per quali k e h il itema è completamente controllabile? Devo imporre il determinante di P [ B AB ] divero da. 3 k h AB 3 P h 3h + k 3 3h + k 3 det P 3h 3h k k det P h, k Il itema è quindi completamente controllabile per qualiai h e per k divero da. 9

30 Eercizio.5 Si conideri il eguente itema: k ẋ(t) x(t) + u(t) Per quali k il itema è completamente controllabile? E ufficiente imporre il determinante di P [ B AB A B ] divero da (che equivale a imporre rank P 3). k k AB A B k k 4k La matrice P è quindi k 4k P La econda e la terza riga, che non dipendono dal parametro k, ono linearmente dipendenti (R 3 R ). Queto vuol dire che det P rank P k R k R Il itema dato non è mai completamente controllabile. 3

31 Eercizio.6 Si conideri la eguente ripota all impulo: h(t) π/ π t e π/4 Determinare la funzione di traferimento; Retroazionare il itema ull ucita e determinare k in modo che il itema riulti:. non completamente controllabile e non completamente oervabile;. emplicemente tabile; 3. aintoticamente tabile. La ripota all impulo in figura è una inuoide che tende a zero per t e preenta un valore divero da zero nell origine. Ea può quindi eere critta come h(t) a e bt co ωt dove a, b e ω ono tre parametri reali da determinare in bae alle eguenti coniderazioni:. nell origine h(t) vale, cioé h() ;. la frequenza della inuoide è doppia; 3. in π la ripota all impulo vale e π 4. Dalla prima coniderazione i ottiene: h() a e co a Dalla econda coniderazione i ottiene: ω Dalla terza coniderazione i ottiene: ( π ) h e b π π co e π 4 e b π e π 4 b La ripota all impulo è quindi h(t) e t co t La funzione di traferimento è T () H() ( )

32 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi La funzione di traferimento appena determinata corriponde alla eguente relazione ingreo/ucita ÿ(t) + ẏ(t) y(t) u(t) u(t) E quindi poibile mettere il itema in equazioni di tato utilizzando la particolare realizzazione denominata forma compagna controllabile. Nel notro cao a 7 4 a b b b e quindi ẋ(t) 7 x(t) + [ 4 y(t) ] x(t) u(t) Il itema ottenuto attravero la forma compagna controllabile è icuramente completamente controllabile. Verifichiamo comunque queto fatto attravero lo tudio del rango della matrice P [ B AB ]. AB 7 4 P rank P Il rango della matrice P è e quindi il[ itema] è completamente controllabile. Verifico l oervabilità attravero C lo tudio del rango della matrice Q. CA [ CA Q 7 4 ] [ rank Q Il rango della matrice Q è e quindi il itema è anche completamente oervabile. 3 ] Una retroazione algebrica ull ucita non modifica le caratteritiche di controllabilità e di oervabilità. Di coneguenza non potrà eitere alcun k che renda il mio itema non completamente controllabile e non completamente oervabile. Verifico comunque queto fatto. Il itema retroazionato è ẋ(t) 7 x(t) + [ 4 y(t) ] x(t) (v(t) ) k y(t) [ ẋ(t) 7 x(t) ] x(t) + k [ 4 y(t) ] x(t) ẋ(t) 7 x(t) k x(t) + k [ 4 y(t) ] x(t) v(t) v(t) 3

33 Eercizio.6 DIST - Univerità di Genova [ ] ẋ(t) k 7 k [ 4 y(t) ] x(t) [ x(t) + v(t) ] Determiniamo il rango delle matrici P e Q del itema retroazionato. [ ] AB k 7 k k 4 P rank P k k [ CA ] [ k k 7 k 7 k 3 ] 4 4 Q k 7 k 3 rank Q k 4 Come è poibile vedere, il rango delle matrici P e Q è maimo indipendentemente dal parametro k. coneguenza, il itema retroazionato arà completamente controllabile e completamente oervabile k. Per verificare la proprietà di tabilità del itema retroazionato, determino il determinante della matrice (I A). (I A) [ k k + ] Di det (I A) ( + k + ) k ( 7 + (k + ) + 4 k ) Il itema retroazionato è emplicemente tabile per k + > k > 7 k k k Il itema retroazionato è aintoticamente tabile per k + > k > 7 > k k > k < k > < k < 7 33

34 Eercizio.7 Si conideri il eguente itema: ẋ(t) x(t) + u(t) y(t) [ ] x(t). Dicutere le proprietà trutturali;. Dire e, per qualche valore di x( ), e applicando una retroazione ullo tato, i poa avere: (a) y(t) b e t + b e t + b 3 e 3t (b) y(t) b e t + b e t + b 3 e 3t Studio le proprietà di tabilità, controllabilità e oervabilità. Determino i poli del itema attravero la matrice (I - A). (I A) + + det (I A) ( + ) ( ( + ) + ) ( + )( + + ) ( + ) 3 Ho tre poli reali negativi coincidenti ( ). Il itema è aintoticamente tabile. Verifico la controllabilità attravero il rango della matrice P [ B AB A B ]. A 3 AB A B 3 3 P 3 rank P Il rango della matrice P è. Il itema è non completamente controllabile. Avendo tre poli reali coincidenti ed eendo il rango della matrice P uguale a, è immediato verificare che nel itema dato i hanno due poli controllabili in e un polo non controllabile in. C Verifico l oervabilità attravero il rango della matrice Q CA. CA CA [ ] [ ] 34

35 Eercizio.7 DIST - Univerità di Genova CA [ ] 3 [ ] Q rank Q 3 Il rango della matrice Q è 3. Il itema è completamente oervabile. I tre poli reali coincidenti in ono quindi poli controllabili. Una retroazione ullo tato conente di potare a piacimento olamente i poli controllabili in quanto una tale retroazione non modifica la proprietà di controllabilità del itema. Poo quindi potare a piacimento due poli ma uno rimane in ogni cao in. Potrò quindi avere ma non y(t) b e t + b e t + b 3 e 3t y(t) b e t + b e t + b 3 e 3t 35

36 Eercizio.8 Si conideri il eguente itema ẋ(t) x(t) + u(t) y(t) [ ] x(t). Dicutere le proprietà trutturali del itema;. Trovare x 3 (t) con u(t) in 4t e con condizioni iniziali nulle; 3. calcolare lim t x 3 (t). 36 Stabilità Per lo tudio della tabilità determino i poli del itema ponendo il determinante della matrice (I A) uguale a. det (I A) + det + ( ( + ) + 4 ) ( ) ( + + 5) I poli del itema ono i 3 + i Il itema è emplicemente tabile. Controllabilità 5 i Per lo tudio della controllabilità determino il rango della matrice P [ B AB ]. 3 4 A AB A B 4 3 P rank P

37 Eercizio.8 DIST - Univerità di Genova Il rango della matrice P è. Il itema quindi è non completamente controllabile. Determino la matrice di controllabilità (I A) B per determinare quali ono i poli controllabili e quali non controllabili. + (I A) + det (I A) ( + + 5) ( + ) adj (I A) ( + ) ( + ) adj T (I A) ( + ) (I A) adjt (I A) det (I A) (I A) B è l unico polo controllabile mentre e 3 ono poli non controllabili. Oervabilità Per lo tudio dell oervabilità determino il rango della matrice Q CA [ ] [ 3 ] CA [ ] [ 7 ] Q 3 rank Q 7 C CA CA Il rango della matrice Q è. Il itema quindi è non completamente oervabile. Determino la matrice di oervabilità C(I A) per determinare quali ono i poli oervabili e quali non oervabili. + C(I A) [ ] [ ] e 3 ono i poli oervabili mentre è l unico polo non oervabile.. 37

38 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi Lo tato del itema nella variabile complea è dato da X() (I A) BU() U() In particolare, X 3 () con u(t) in 4t è X 3 () + 6 Antitraformo utilizzando il metodo della compoizione in fratti emplici. + 6 A + B + C A + 6A + B + C A + B A 4 C B 6A 4 4 C X 3 () ( ) x 3 (t) 4 co 4t (t) 4 Infine, date le caratteritiche della funzione x 3 (t) (x 3 (t) è compota da una parte cotante e da una parte inuoidale), i può concludere che il limite richieto non eite. lim x 3(t) t 38

39 Eercizio.9 Si conideri il eguente itema: p ẋ(t) x(t) + u(t) y(t) [ ] x(t). Dicutere le proprietà trutturali del itema (tabilità, controllabilità e oervabilità) al variare del parametro p;. Trovare, e eite, la matrice k tale che u(t) kx(t) permette di aegnare tutti i poli del itema in.. Determino i poli del itema. det (I A) + p det ( + ) I poli del itema ono con molteplicità e. Non poo ancora concludere ulla tabilità in quanto devo verificare la molteplicità del polo in nel polinomio minimo. Determino il polinomio minimo come minimo comune multiplo di tutti i denominatori preenti nella matrice (I A). Calcolo la matrice (I A). det (I A) ( + ) adj (I A) p ( + ) p + ( + ) p p adj T (I A) ( + ) + ( + ) p + ( + ) (I A) adjt (I A) det (I A) p ( + ) Il polinomio minimo è quindi m() ( + ) Il itema è intabile. 39

40 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi Determino la matrice di controllabilità (I A) B. p p p + ( + ) ( + ) (I A) B ( + ) p p( + ) ( + ) + ( + ) + I poli controllabili del itema ono quelli che compaiono nei denominatori della matrice di controllabilità (I A) B. Se p tutti i poli del itema compaiono nella matrice di controllabilità (il minimo comune multiplo di tutti i denominatori di (I A) B è ( + )), mentre e p la prima riga della matrice (I A) B i annulla e quindi il minimo comune multiplo diventa emplicemente. In quet ultimo cao il polo riulta non controllabile. Riaumendo: e p il itema è completamente controllabile; e p il itema è non completamente controllabile (poli controllabili: (con molteplicità ) poli non controllabili ). Determino la matrice di oervabilità C(I A). p C(I A) [ ] + ( + ) p ( + ) [ ] Si può ubito oervare che la matrice di oervabilità non dipende dal parametro p. Il minimo comune multiplo di tutti i denominatori di C(I A) è. Si può quindi concludere che il itema è non completamente oervabile (poli oervabili: (con molteplicità ) poli non oervabili ).. La retroazione u(t) kx(t) è una retroazione ullo tato. Una retroazione ullo tato conente di aegnare a piacimento tutti i poli controllabili del itema. Nel notro cao particolare: e p il itema è completamente controllabile e quindi poo determinare una matrice k che mi permette di aegnare tutti i poli in ; e p il itema è non completamente controllabile. Oervo però che l unico polo non controllabile del itema è. In pratica l unico polo che non poo aegnare a piacimento i trova già in, come richieto. Poo quindi anche in queto cao determinare una matrice k che mi aegnerà i due poli controllabili ( con molteplicità ) in eendo il terzo già correttamente poizionato. Pongo u(t) kx(t). Il itema diventa p ẋ(t) x(t) ] p k k k 3 x(t) x(t) k k k 3 x(t) k k k 3 p k k k 3 x(t) k k k 3 Per aegnare i poli, determinare il polinomio caratteritico della matrice (I A). p det (I A) det k k k 3 k k k 3 4 ( + ) [ ( + k )( + k 3 ) k (k 3 ) ] + p [ k ( + k 3 ) k (k 3 ) ] ( + ) [ + k + k 3 + k k 3 k k 3 + k ] + p [ k + k k 3 k k 3 + k ] 3 + k + k 3 + k + + k + k 3 + k + pk + pk 3 + (k + k 3 + ) + (pk + 3k + k 3 ) + (pk + k )

41 Eercizio.9 DIST - Univerità di Genova Impongo che il polinomio caratteritico ia uguale a ( + ) cioé al polinomio caratteritico di un itema di terzo ordine che ha tutti i poli in. 3 + (k + k 3 + ) + (pk + 3k + k 3 ) + (pk + k ) k + k pk + 3k + k 3 pk + k 8 k 3 4 k 8 k + 3k + 8 k k 8 k p... k 4 k 4... k 3 k 4 k La matrice k tale che u(t) kx(t) permette di aegnare tutti i poli del itema in è [ 4 ] 4

42 Eercizio. Si conideri il eguente itema u(t) + k + + y(t). Dicutere, al variare di k, le proprietà trutturali del itema;. Mettere il itema in equazioni di tato; 3. Dicutere la poibilità di aegnare i poli del itema in {, 3, }. Dicuto le proprietà trutturali del itema, al variare del parametro k, attravero l algebra dei blocchi. Conidero il ottoitema + k + + Ho due blocchi in parallelo. Se vi ono poli che compaiono in entrambi i blocchi, perdo ia controllabilità che oervabilità. E immediato quindi concludere che e k il itema è non completamente controllabile e non completamente oervabile. In queto cao infatti i blocchi in parallelo preentano la tea funzione di traferimento e quindi hanno gli tei poli. Riolvendo il parallelo i ottiene + k + + k ( + k) ( ) + k ( + k) Il itema diventa u(t) ( + k ) ( + k) y(t) Analizzo la erie. Ho, indipendentemente dal parametro k, una cancellazione zero/polo (cancellazione di ) che mi fa perdere la completa controllabilità. Poo quindi immediatamente concludere che il itema è non completamente controllabile k R. Inoltre, e k, ho una cancellazione polo/zero (cancellazione di ) che mi fa perdere la completa controllabilità. Riaumendo: 4 il itema è non completamente controllabile k R; il itema è non completamente oervabile per k e k.

43 Eercizio. DIST - Univerità di Genova Per quanto riguarda la tabilità, il itema originario preenta i tre poli, e 3 k. Il itema è intabile indipendentemente dal parametro k, data la preenza di un polo a parte reale poitiva. Metto il itema in equazioni di tato. Conidero eparatamente i tre blocchi di cui è compoto il itema originario. S : u (t) y (t) { ẋ (t) x (t) + u (t) y (t) x (t) + u (t) S : u (t) + k y (t) { ẋ (t) kx (t) + u (t) y (t) x (t) S 3 : u 3 (t) y 3 (t) { ẋ3 (t) u 3 (t) y 3 (t) x 3 (t) Si hanno inoltre le eguenti relazioni di collegamento tra gli ingrei e le ucite dei tre blocchi: Quindi: y(t) y (t) + y 3 (t) u (t) y (t) u 3 (t) y (t) u (t) u(t) ẋ (t) x (t) + u(t) ẋ (t) kx (t) + y (t) x (t) kx (t) + u(t) ẋ 3 (t) y (t) x (t) + u(t) y(t) x (t) + x 3 (t) In forma matriciale: ẋ(t) k x(t) + u(t) y(t) [ ] x(t) Verifico le proprietà trutturali dicue in precedenza. det (I A) det + k 43

44 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi ( )( + k) I poli del itema ono, e 3 k. Il itema è intabile k R. P [ B AB A B ] P k k k + det P k R Il itema è non completamente controllabile k R. Q C CA CA P k k k det Q k ( k( k) ) k (k k) k k + k k + k k(k + ) Il itema è non completamente oervabile per k e per k. Per poter aegnare i poli a piacimento devo utilizzare una retroazione algebrica ullo tato. Ea però mi permette di modificare, e quindi di aegnare, a piacimento olo il valore dei poli controllabili, mentre il valore dei poli non controllabili rimane cotante. Determino quindi il valore dei poli controllabili e dei poli non controllabili, al variare del parametro k. det (I A) ( )( + k) ( + k) + k adj (I A) ( ) ( )( + k) ( + k) adj T (I A) ( ) + k ( )( + k) (I A) adjt (I A) det (I A) ( )( + k) + k ( ) (I A) B ( )( + k) + k ( )( + k) + + k ( ) ( ) + ( )( + k) I poli controllabili ono tutti i poli preenti nella matrice di controllabilità (I A) B. E quindi immediato concludere che: 44 il polo è non controllabile; il polo è controllabile; il polo 3 k è controllabile e k (infatti e k i ha la cancellazione di nella econda riga della matrice di controllabilità rendendo quindi non controllabile il polo 3 ).

45 Eercizio. DIST - Univerità di Genova Dovendo aegnare i poli in {, 3, }, poo farlo olo imponendo k. Conidero la retroazione ullo tato u(t) Hx(t) + v(t) Il itema diventa: ẋ(t) k x(t) h h h 3 x(t) + v(t) k x(t) h h h 3 h h h 3 x(t) + v(t) h h h 3 h h h 3 h k h h 3 x(t) + v(t) h h h 3 Per aegnare i poli in {, 3, } devo imporre det (I A) ( + )( + 3) + h h h 3 (I A) h + k + h h 3 h h + h 3 det (I A) h 3 [ h (h ) ( + k + h )(h ) ] h 3 [ ( + h )h h (h ) ] + + ( + h 3 ) [ ( + h )( + k + h ) h (h ) ] Impongo quindi cioé h 3 [ (h )( k) ] h 3 [ h ] + ( + h 3 ) [ + k + h + h + kh + + h h k h h h + h ] h 3 ( h kh + + k h ) k + h + h + kh k+ + h 3 + kh 3 + h h 3 + h h 3 + kh h 3 h 3 kh 3 h h 3 kh h 3 + h 3 + kh 3 h h k + h + h + kh k+ + h 3 + kh 3 + h h 3 + h h 3 + kh h 3 h 3 kh k + h + h + h 3 + kh k + kh k + h + h + h 3 + kh k + kh 3 ( + )( + 3) [ + (h + h + h 3 + k ) + (kh + kh 3 ) ] ( ) Per aegnare i poli in {, 3, } vanno quindi bene tutti i valori h R, h R, h 3 R, k che oddifano il itema { { h + h + h 3 + k 5 h + h + h 3 + k 6 kh + kh 3 6 kh + kh

46 Eercizio. Si conideri il eguente itema: u(t) y(t). Determinare le proprietà trutturali del itema (tabilità, controllablità e oervabità);. Progettare, nel cao in cui il itema riulti intabile, una retroazione; 3. Data una retroazione algebrica k ull ucita, determinare k in modo che a regime la ripota al gradino nello tato zero ia limitata tra. Ho due blocchi in parallelo che diminuicono la dimenione del itema. Il itema riulta quindi eere: non completamente controllabile; non completamente oervabile. Se i vuole determinare la dimenione dello pazio di controllabilità e quella dello pazio di oervabilità, devo verificare e vi ono altre cancellazioni nella emplificazione del itema attravero l algebra dei blocchi. u(t) + + y(t) u(t) ( + ) ( + )( ) y(t) Non vi ono altre cancellazioni quindi poo concludere che dim {X C } dim {X O } La funzione di traferimento è T () ( + ) ( + )( ) Verifico queto riultato mettendo il itema in equazioni di tato. u(t) S S + + S 3 y(t) 46

47 Eercizio. DIST - Univerità di Genova con S : S : S 3 : { ẋ (t) x (t) + u (t) y (t) x (t) { ẋ (t) x (t) + u (t) y (t) x (t) { ẋ3 (t) x 3 (t) + u 3 (t) y 3 (t) 4x 3 (t) + u 3 (t) u (t) u(t) u (t) u(t) u 3 (t) y (t) + y (t) y(t) y 3 (t) Si ha quindi ẋ (t) x (t) + u(t) ẋ (t) x (t) + u(t) ẋ 3 (t) x 3 (t) + y (t) + y (t) x (t) + x (t) + x 3 (t) y(t) 4x 3 (t) + y (t) + y (t) x (t) + x (t) + 4x 3 (t) e il itema in equazioni di tato è ẋ(t) x(t) + u(t) y(t) [ 4 ] x(t) Determino i poli del itema attravero la matrice (I - A). + (I A) + Ho : det (I A) ( + ) ( ) due poli reali negativi coincidenti ( ); polo reale poitivo (). Il itema è quindi intabile. (Potevo giungere a queto riultato in precedenza non appena determinata la funzione di traferimento che preenta il polo poitivo) Verifico ancora le proprietà di controllabilità e di oervabilità. Studio la controllabilità ia attravero il rango della matrice P [ B AB A B ], ia attravero la matrice di controllabilità (I A) B (per determinare quali ono i poli controllabili e quelli non controllabili). A 4 AB A B 4 47

48 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi P rank P Il rango della matrice P è. Il itema, come già verificato in precedenza attravero l algebra dei blocchi, è non completamente controllabile. ( + )( ) + adj (I A) ( + )( ) + ( + ) ( + )( ) adj T (I A) ( + )( ) + + ( + ) (I A) adjt (I A) det (I A) (I A) B + ( + )( ) + + ( + )( ) + ( + )( ) + + ( + )( ) ( + )( ) I poli controllabili ono quindi e. Il polo non controllabile è. C Studio l oervabilità ia attravero il rango della matrice Q CA, ia attravero la matrice di oervabilità CA C(I A) (per determinare quali ono i poli oervabili e quelli non oervabili). CA [ 4 ] [ ] CA [ 4 ] [ ] 4 4 Q rank Q Il rango della matrice Q è. Il itema, come già verificato in precedenza attravero l algebra dei blocchi, è non completamente oervabile. 48 C(I A) [ 4 ] + ( + )( ) [ + ( + )( ) + ( + )( ) + ( + )( ) ] 4

49 Eercizio. DIST - Univerità di Genova I poli oervabili ono quindi e. Il polo non oervabile è. Il polo in è comunque un polo oervabile e controllabile. Lo poo quindi potare per rendere il itema tabile. Progetto una retroazione algebrica ull ucita u(t) v(t) ky(t). v(t) + u(t) - S y(t) k U() V () ky () Y () T ()U() T ()V () kt ()Y () [ + kt () ] Y () T ()V () Y () T () + kt () V () T () T () + kt () V () ( + ) ( + )( ) k( + ) + ( + )( ) ( + ) ( + )( ) + k( + ) ( + ) + + k + 4k ( + ) + (k ) + (k ) Applico la regola di Carteio e impongo k > k > E quindi poibile tabilizzare il itema attravero una retroazione algebrica k ull ucita. Con k > è garantita l aintotica tabilità (mentre non è poibile avere emplice tabilità). Per determinare il valore a regime della ripota al gradino del itema retroazionato algebricamente ull ucita, utilizzo l epreione dell ucita nella variabile complea, Y () T ()U() ( + ) ( + (k ) + (k ) ) e applico il teorema del valore finale (che poo applicare ecluivamente upponendo k > ; infatti olo e k > poiamo affermare che lim t y(t) eite finito). lim y(t) lim Y () t ( + ) lim + (k ) + (k ) k A queto punto devo imporre k < { < k k > k > k > 3 k > Per avere a regime la ripota al gradino del itema retroazionato algebricamente ull ucita limitata tra, deve quindi eere k > 3. 49

50 Eercizio. Si conideri il eguente itema u(t) + + ( + )( + 3) + + y(t) k h. Studiare la controllabilità e l oervabilità, al variare di k, h, ia attravero l algebra dei blocchi ia mettendo il itema in equazioni di tato;. Per k h 3, determinare la parte ocillante di y(t) in corripondenza di condizioni iniziali nulle e u(t) in 3t. Eliminiamo innanzitutto, attravero l algebra dei blocchi, i due nodi ommatori k h + k + h Il itema può eere ricritto nel eguente modo u(t) + k + h ( + )( + 3) y(t) Per tudiare la controllabilità e l oervabilità attravero l algebra dei blocchi, devo andare a vedere le poibili cancellazioni polo/zero e zero/polo. E noto infatti che una qualiai cancellazione polo/zero implica la non completa oervabilità del itema e una qualiai cancellazione zero/polo implica la non completa controllabilità del itema. Quindi: 5 Il itema riulta non completamente controllabile e completamente oervabile e k k 3 h h 3 Il itema riulta completamente controllabile e non completamente oervabile e k k 3 h h 3 Il itema riulta non completamente controllabile e non completamente oervabile e k k 3 h h 3

51 Eercizio. DIST - Univerità di Genova Il itema riulta completamente controllabile e completamente oervabile e k k 3 h h 3 Metto il itema in equazioni di tato u(t) S S S 3 y(t) Le relazioni ingreo/ucita dei ottoitemi ono S S S 3 : ẏ (t) u (t) + ku (t) : ÿ (t) + 4ẏ (t) + 3y (t) u (t) : ẏ 3 (t) u 3 (t) + hu 3 (t) Utilizzando, per ciacuno dei tre ottoitemi, la forma compagna controllabile, i ottiene { ẋ (t) u S : (t) y (t) kx (t) + u (t) S : ẋ (t) x 3 4 (t) + y (t) [ ] x (t) u (t) S 3 : { ẋ3 (t) u 3 (t) y 3 (t) hx 3 (t) + u 3 (t) Le relazioni tra gli ingrei e le ucite dei ottoitemi ono u (t) u(t) u (t) y (t) u 3 (t) y (t) y(t) y 3 (t) Si ha quindi ẋ (t) u(t) ẋ, (t) x, (t) ẋ, (t) 3x, (t) 4x, (t) + kx (t) + u(t) ẋ 3 (t) x, (t) y(t) hx 3 (t) + x, (t) e il itema in equazioni di tato è ẋ(t) k 3 4 x(t) + u(t) y(t) [ h ] x(t) Determino la controllabilità e l oervabilità attravero lo tudio del rango delle matrici P [ B AB A B C A 3 B ] e Q CA CA. CA 3 5

52 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi A k 3 4 k 3 4 k 3 4 4k 3 A 3 k 3 4 k 3 4 4k 3 4k 3 3k 39 4 k 3 4 Si ha P k 4 3 4k k 4 3 4k 3k 4 k 4 det P [ (3 4k)(k 4) (3k 4) ] + (k 4) [ (k 4) (3 4k) ] 3k 5 4k + 6k 3k + 4+ (k 4)[k + 6 8k 3 + 4k] 3k 5 4k + 6k 3k + 4+ k 3 + 4k 3k + 4 6k + k 3 + 4k 3k k(k 4k + 3) k(k 3)(k ) Il rango della matrice P è maimo quando k, k e k 3. Di coneguenza, eendo per ipotei k, il itema riulta non completamente controllabile per k k 3 La matrice Q è h Q h k 3 h 4 kh 4k 3h 3 4h det Q h{ [k( 3h) + 3(kh 4k) ] + h [ k(3 4h) (kh 4k)(h 4) ]} h { [k 3kh + 3kh k]+ h[3k 4kh kh + 4kh + 4kh 6k] } 3kh + 4kh kh 3 Suppongo, come da ipotei, h e k e conidero h 3 4h + 3h h(h 4h + 3) h(h )(h 3) Il rango della matrice Q è maimo quando h e h 3. Di coneguenza, il itema riulta non completamente oervabile per Pongo 5 h h 3 h k 3

53 Eercizio. DIST - Univerità di Genova La funzione di traferimento del itema può eere agevolmente calcolata dal itema iniziale utilizzando l algebra dei blocchi. T () + 3 ( + )( + 3) + 3 ( + 3) ( + )( + 3) L ingreo dato, nella variabile complea, è { U() L in } 3 3t + 3 Eendo nulle le condizioni iniziali, l ucita del itema è data da Y () T () U() La parte ocillante di y(t) i può determinare utilizzando la teoria ulla ripota in frequenza. Il modulo della parte ocillante è dato da T ( 3j) mentre la fae da Φ [ T ( 3j) ] Si ha quindi T ( 3j) ( 3j + 3) 3( 3j + )( 3j + 3) j 3( j + 3j + 3) 6j 3j 3 Φ [ T ( 3j) ] [ Φ ] 3 + j π + arctan π La parte ocillante di y(t) è y o (t) 3 in ( 3t + π) 3 in 3t 53

54 Eercizio.3 Si conideri il eguente itema: u (t) u (t) + k y(t) Determinare il parametro k in modo che:. il itema ia tabile;. con u (t) (t) e u (t) in t, a regime la parte ocillante ia in modulo minore di parte cotante. della Determino l epreione dell ucita nella variabile complea. Y () [ U () + k ( U () Y () )] + [ ] ku () + U () ky () + ( + k + k + U () + ) Y () + U () k + Y () k + U () + + U () + + k Y () k + + U () + + U () Y () k + + k U () k U () Il mio itema preenta un unico polo in k. Perché ia garantita la tabilità (BIBO) deve eere k < k > Determino l epreione dell ucita nella variabile reale t. Nel eguito, indicheremo con y (t) il contributo dell ucita dovuto all ingreo u (t) e con y (t) quello dovuto a u (t). Determino y (t). T () Y () k + + k k ( + + k) U () Antitraformo utilizzando il metodo della compoizione in fratti emplici. 54 k ( + + k) A + B + + k A + A + ka + B k

55 Eercizio.3 DIST - Univerità di Genova { A + B ( + k)a k Y () y (t) k + k k + k A k + B k + k + + k k + k (t) k + k e (+k)t L ucita y (t) è compota da un gradino e da un eponenziale decrecente (upponendo il itema tabile e quindi k >, altrimenti non i può parlare di regime). A regime rimane olamente il gradino, cioé lim y (t) k t + k Determino y (t). T () Y () + + k ( + + k)( + 4) U () + 4 Antitraformo utilizzando il metodo della compoizione in fratti emplici. ( + + k)( + 4) A + + k + B C + 4 A + 4A + B + B + kb + C + C + kc A + C B + ( + k)c 4A + ( + k)b A C B ( + k)c 4C ( + k) C A k + 4k + 8 ( + k) B k + 4k + 8 C k + 4k + 8 A C B + ( + k)c 4C + ( + k)b A C B ( + k)c C ( 4 + ( + k) ) Y () k + 4k k + + k k + 4k k + 4k y (t) + k k + 4k + 8 e (+k)t + k + 4k + 8 in t k co t + 4k + 8 L ucita y (t) è compota da un eponenziale decrecente e da una parte inuoidale cotituita dal econdo e dal terzo termine. La parte inuoidale è del tipo a in ωt + b co ωt che può eere critto come ( a + b in ωt + arctan b ) a dove a + b e arctan b a itema a + k k + 4k + 8 rappreentano ripettivamente il modulo e la fae della curva inuoidale. Nel notro b k + 4k

56 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi e quindi il modulo della parte ocillante a regime è k + 4k k + 4k + 8 k + 4k + 8 k + 4k + 8 k + 4k + 8 Allo teo valore potevo arrivare molto più rapidamente tilizzando la teoria ulla ripota in frequenza calcolando direttamente il modulo T (jω). T (j) j + + k ( + k) + j Il modulo di un numero compleo nella forma a + k b e quindi il modulo della parte ocillante a regime è k + 4k + 8 a + jb è uguale a. Nel notro cao a + b A queto punto è neceario imporre k + 4k + 8 < k + k k + 4k + 8 k + k < ( + k) k + 4k + 8 ( + k) < k + 4k + 8 A regime (e quindi upponendo empre k > ), i termini a denominatore (+k) e k + 4k + 8 ono entrambi poitivi k >. Poo quindi riolvere la diequazione ( + k) k + 4k + 8 < k + 4k + 8 > ( + k) Eendo k + 4k + 8 e ( + k) entrambi poitivi, i ha k + 4k + 8 > 4 + 4k + k 99k 396k 39 > 99 < k < Quindi, a regime, la parte ocillante è in modulo minore di della parte cotante per < k <

57 Eercizio.4 Si conideri il eguente itema d(t) u(t) y(t) k Determinare k in modo che l effetto del diturbo inuoidale, con pulazione rad, ia ridotto di 5 volte ripetto alla catena diretta. Sulla catena diretta ho T yd () L ampiezza dell ucita è quindi uguale all ampiezza del diturbo, cioé uguale a (eendo d(t) in t). Retroazionando, i ottiene: Y () D() + + [U() ky () ] ( + k ) Y () D() U() e quindi la funzione di traferimento tra l ucita y(t) e il diturbo d(t) diventa T yd () + k k L ampiezza dell effetto del diturbo è T yd (j). T yd (j) j + ( ) j + + k j + (j + ) (k + ) j (k + ) + j (k + ) + ) k + k + k + + j k k + k + kj + j + + k + j k + k + T yd (j) k + 4k k k + k + k + k + Perché l effetto del diturbo nel itema retroazionato ia ridotto di 5 volte ripetto alla catena diretta, devo imporre k + k + < 5 Il polinomio k +k+ non ha oluzioni nel campo reale e preenta valori ecluivamente poitivi. La diequazione diventa quindi 5 < k + k + 5 < k + k + 57

58 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi k + k 48 > k + k 48 k + 48 { 8; 6} e la oluzione è k < 8 k > 6 Analizzando la T yd (), oerviamo che, quando k < 8, il denominatore preenta una oluzione reale poitiva. Quindi, e k < 8, il itema riulta intabile e queto non poiamo accettarlo. Si può quindi concludere che l effetto del diturbo nel itema retroazionato è ridotto di almeno 5 volte ripetto alla catena diretta quando k > 6 58

59 Parte Eercizi Avanzati Sitemi a Tempo Dicreto 59

60

61 Eercizio. Si conideri il eguente itema: ẋ(t) x(t) + u(t) y(t) [ ] x(t). Dicutere la tabilità, la controllabilità e l oervabilità;. Effettuare la decompoizione canonica di Kalman; 3. Determinare la ripota impuliva del itema. Per dicutere la tabilità del itema i devono calcolare i poli del itema. Determino quindi le oluzioni del polinomio caratteritico: det ( λi A ) λ det λ + λ λ (λ + ) Ho un polo in - e un polo in con molteplicità doppia. Non poo ancora concludere nulla ulla tabilità del itema avendo un polo in a molteplicità doppia che potrebbe rendermi il itema ia emplicemente tabile che intabile (in ogni cao il itema non potrà mai riultare aintoticamente tabile). Devo verificare la molteplicità del polo in all interno del polinomio minimo. Vengono di eguito propote due divere metodologie per determinare la molteplicità del polo in nel polinomio minimo.. Applico il teorema di Caley-Hamilton. Se la matrice A verifica il polinomio λ(λ+) (cioé e A(A+I) ), allora eo arà il polinomio minimo. Altrimenti, la matrice A oddiferà per forza il polinomio λ (λ + ) (cioé A (A + I) ), e il polinomio minimo arà quindi proprio λ (λ + ). A(A + I) + Verifico che A oddifi effettivamente il polinomio λ (λ + ). A (A + I) + Il polinomio minimo è quindi λ (λ + ). 6

62 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi. Determino il polinomio minimo come rapporto tra il polinomio caratteritico ϕ(λ) e α(λ), definito come il maimo comune diviore di tutti i polinomi non nulli in adj T ( λi A ). adj ( λi A ) λ(λ + ) λ λ + λ λ(λ + ) adj T ( λi A ) λ(λ + ) λ λ λ + λ(λ + ) E evidente come ia α(λ) e quindi il polinomio minimo è m(λ) ϕ(λ) α(λ) λ (λ + ) λ (λ + ) In ogni cao la molteplicità del polo in nel polinomio minimo è e quindi il itema dato è intabile. Per dicutere la controllabilità del itema, determino la matrice P [ B AB A B ] verificandone il uo rango. AB A B P rank ( P ) Il itema dato è non completamente controllabile. Per dicutere l oervabilità del itema, determino la matrice Q C CA CA verificandone il uo rango. CA [ ] [ ] CA [ ] [ ] Q rank ( P ) Il itema dato è non completamente oervabile. Per effettuare la decompoizione canonica di Kalman, determino il ottopazio di raggiungibilità e il ottopazio di non oervabilità, nonché i ottopazi algebrici ortogonali ad ei. Tali ottopazi verranno utilizzati in eguito per determinare i vettori che compongono la matrice di traformazione. Sottopazio di raggiungibilità X R (cotituito dalle colonne linearmente indipendenti della matrice P ). X R 6

63 Eercizio. DIST - Univerità di Genova Sottopazio algebrico X NR (ottopazio ortogonale a X R ). a b c { { a + b a b c c a b c X NR Sottopazio di non oervabilità X NO (cotituito da tutti i vettori γ, γ R 3, tali che Qγ ). a a b γ, γ c X NO Sottopazio algebrico X O (ottopazio ortogonale a X NO ). a b c { b c a b c X O A queto punto i poono calcolare i vettori che cotituicono la matrice di traformazione T. La matrice T è infatti cotruita nel eguente modo: T [ T T T3 T4 ] dove: T è cotruita con vettori bae di X X R X NO (inieme dei vettori controllabili e non oervabili) T è cotruita con vettori bae di X X R ( X NR + X O ) (inieme dei vettori controllabili e oervabili) T 3 è cotruita con vettori bae di X 3 X NO ( X NR + X O ) (inieme dei vettori non controllabili e non oervabili) T 4 è cotruita con vettori bae di X 4 X NR X O (inieme dei vettori non controllabili e oervabili) Nel notro cao: X X R X NO X X R ( ) X NR + X O + X 3 X NO ( ) X NR + X O + 63

64 Davide Giglio Eercizi Svolti di Analii dei Sitemi X 4 X NR X O e quindi la matrice di traformazione è: T La matrice di traformazione T è una matrice a rango pieno e quindi invertibile. La matrice invera T è calcolata nel eguente modo: T T Pongo x T z. Il nuovo itema che i ottiene, nelle variabili z, z e z 3, arà a blocchi, e in particolare aumerà la forma ż (t) Ã Ã Ã 3 z (t) B ż (t) Ã z (t) + B u(t) ż 3 (t) Ã 33 z 3 (t) y(t) [ C ] z (t) z (t) z 3 (t) con: z variabile controllabile e non oervabile (Ã matrice [ ], B vettore colonna [ ]); z variabile controllabile e oervabile (Ã matrice [ ], B vettore colonna [ ], C vettore riga [ ]); z 3 variabile non controllabile e non oervabile (Ã33 matrice [ ]). Tali valori ono compatibili con il valore del rango delle matrici P e Q precedentemente calcolate. Effettuo il cambiamento di bae. { T ż(t) AT z(t) + Bu(t) y(t) CT z(t) 64 { ż(t) T AT z(t) + T Bu(t) y(t) CT z(t) T A T AT T B CT [ ] [ ]