Esercizi sulle equazioni logaritmiche

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1 Esercizi sulle equazioni logaritmiche Per definizione il logaritmo in base a di un numero positivo x, con a > 0 e a 1, è l esponente che occorre dare alla base a per ottenere il numero x. In simboli log a x = y x = a y. Per risolvere un equazione logaritmica bisogna innanzitutto ricordare che l argomento del logaritmo, qualunque sia la sua base, deve essere positivo, occorre sempre, prima di fare qualunque calcolo, eliminare i valori che portano ad argomenti negativi o nulli. Inoltre è utile richiamare quelle che sono le proprietà fondamentali dei logaritmi: log a 1 = 0 qualunque sia la base a log a c d = log a c + log a d log a c d = log a c log a d log a c d = d log c Esercizio 1: Risolvere la seguente equazione logaritmica x + 3 = 1. L argomento dei vari logaritmi deve essere positivo. In questo caso la x compare solo nel primo logaritmo e deve essere x > 0. Utilizzando la proprietà dei logaritmi si trova log a c d = log a c + log a d x + 3 = 1 3x = 1 e, siccome gli argomenti dei due logaritmi devono essere uguali, segue che deve essere 3x = 1 x = 4. Siccome 4 è positivo x = 4 è la soluzione cercata. Esercizio : Risolvere la seguente equazione logaritmica (x ) + () = x. L argomento dei vari logaritmi deve essere positivo occorre prima impostare il sistema: x > 0 per x >, > 0 per x > 3 x > 0 per x > 0 1

2 0 3 Quindi si possono accettare solo le soluzioni maggiori di. Usando le proprietà dei logaritmi: si trova log a c d = log a c + log a d; log a c d = log a c log a d; log a c d = d log c (x ) + () = x (x )() x = 0 (x )() x = 0 avremo (x )() x = 0 (x )() x = 10 0 (x )() x = 1 (x )() x = 1 x 7x + 6 x 1 = 0 x 7x + 6 x x = 0 x 7x + 6 x = 0 x 1, = 7 ± 49 4 x 1, = 7 ± 5 x 1, = 7 ± 5 x1 = 1 x = 6 Abbiamo trovato le soluzioni x = 1 e x = 6 ma di queste solo la seconda può essere accettata perché x = 1 non rientra nell intervallo delle soluzioni possibili. Esercizio 3: Risolvere la seguente equazione logaritmica log 7 (x + 6x + 58) =. L argomento del logaritmo deve essere positivo occorre prima impostare la disequazione: x + 6x + 58 > 0 Avremo x 1, = 6 ± x 1, = 6 ± 196

3 e siccome si ha < 0 e il coefficiente del termine di secondo grado è positivo, segue che l argomento del logaritmo è sempre positivo, ogni soluzione trovata sarà accettabile. log 7 (x + 6x + 58) = x + 6x + 58 = 7 x + 6x + 58 = 49 x + 6x + 9 = 0 avremo x 1, = 6 ± Abbiamo trovato la soluzione x = 3. x 1, = 6 ± 0 x 1 = x = 3 Esercizio 4: Risolvere la seguente equazione logaritmica log 7 (x + 6x) log 7 (0) =. L argomento dei vari logaritmi deve essere positivo occorre prima impostare il sistema: x + 6x > 0 Analizziamo la prima disequazione. Avremo 0 > 0 x + 6x > 0 x(x + 6) > 0 x > 0 per x > 0 x + 6 > 0 per x > segue che la prima disequazione è soddisfatta per i valori x < 6 e x > 0. Analogamente si vede facilmente che la seconda disequazione è soddisfatta per x > 10 il sistema diventa x < 6 e x > 0 graficamente x >

4 Quindi si possono accettare solo le soluzioni maggiori di 10. Usando la proprietà dei logaritmi: si trova log a c d = log a c log a d log 7 (x + 6x) log 7 (0) = log 7 x + 6x 0 = e poiché, per definizione, il logaritmo di un numero è l esponente che si deve dare alla base per x + 6x 0 = 7 x + 6x 0 = 49 x + 6x 49x = 0 x 43x = x 1, = 43 ± x 1, = 43 ± 111 e siccome si ha < 0 l equazione non ammette soluzioni. Esercizio 5: Risolvere la seguente equazione logaritmica x + 10x + 16 L argomento del logaritmo deve essere positivo occorre prima impostare la disequazione: x + 10x + 16 > 0 Avremo x 1, = 10 ± x 1, = 10 ± 36 x 1, = 10 ± 6 x 1 = 8 x =. deve essere (x + 8)(x + ) > 0 x + 8 > 0 per x > 8 x + > 0 per x > > 0 per x >

5 si possono accettare solo i valori appartenenti all intervallo 8 < x < e x > 1. Calcolato questo si può procedere alla risoluzione dell equazione logaritmica x + 10x + 16 x + 10x + 16 = 1 x + 10x + 16 = 10 1 x + 10x x + 10 = 0 x + 6 = 0 e siccome x per ogni x reale l equazione non ammette soluzioni. Esercizio 6: Risolvere la seguente equazione logaritmica log x 5x 6 L argomento del logaritmo deve essere positivo occorre prima impostare la disequazione: x 5x 6 > 0 Avremo x 1, = 5 ± 5 4 ( 6) x 1, = 5 ± 49 x 1, = 5 ± 7 x 1 = 1 x = 6. deve essere (x + 1)(x 6) > 0 x + 1 > 0 per x > 1 x 6 > 0 per x > 6 > 0 per x > si possono accettare solo i valori appartenenti all intervallo 1 < x < 3 e x > 6. 5

6 Calcolato questo si può procedere alla risoluzione dell equazione logaritmica log x 5x 6 log x 5x 6 = 1 log x 5x 6 x 7x = 1 x 5x 6 x + 6 x 3 x = 0 = 0 x(x 7) = 0 x = 7 = 0 e siccome entrambi i valori trovati sono interni agli intervalli trovati con la disequazione le soluzioni dell equazione sono x = 0 e x = 7. 6

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