Sistemi differenziali: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Sistemi lineari

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1 Sistemi differenziali: esercizi svolti Sistemi lineari Sistemi lineari 3 3

2 2 Sistemi differenziali: esercizi svolti Sistemi lineari 2 2 Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore Esercizio Determinare l integrale generale dei seguenti sistemi lineari: { x [{ + x y = x(t = c e t + c 2 e 3t a y 4x + y = y(t = 2c e t 2c 2 e 3t, c, c 2 R ] { x [{ = 2x + y x(t = c e 3t + c 2 e 2t ] b c, c 2 R y = 4x y y(t = c e 3t 4c 2 e 2t, ( [ ( 3 4 (2c c X + c 2 + 2c 2 te t ] = AX, con A = X(t = (c + c 2 te t, c, c 2 R Svolgimento a Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti { x + x y = y 4x + y = Scritto in forma esplicita (o normale diventa { x = x + y y = 4x y e in forma matriciale è X = AX, dove la matrice dei coefficienti è A = ( 4 L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da X(t = e At C, C R 2, dove e At è la matrice esponenziale di At Calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det(a λi = λ 4 λ = (λ Quindi gli autovalori di A sono λ = con molteplicità m = e λ 2 = 3 con molteplicità m 2 = Ne segue che A è diagonalizzabile

3 Sistemi lineari Determiniamo gli autovettori associati a λ e λ 2 Cominiciamo con λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = Posto v = (x, y si ottiene y = 2x Quindi si ha v = (x, 2x, x R Sia quindi v = (, 2 uno di questi autovettori Cerchiamo un autovettore associato a λ 2 = 3 Risolviamo il sistema lineare (A + 3Iv = Posto v = (x, y si ottiene y = 2x Quindi si ha v = (x, 2x, x R Sia quindi v 2 = (, 2 uno di questi autovettori I vettori v e v 2 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: Quindi si ha X(t = e At C = P e Bt C = per ogni c, c 2 R B = P = ( 3 ( 2 2 ( ( e t 2 2 e 3t ( ( c c e t + c 2 e 3t =, c 2 2c e t 2c 2 e 3t In modo alternativo ma equivalente, si può dire che l integrale generale è dato da X(t = c e t v + c 2 e 3t v 2, c, c 2 R, ovvero che l integrale generale è dato da X(t = c X (t + c 2 X 2 (t, c, c 2 R, dove X, X 2 sono le due soluzioni linearmente indipendenti X (t = e t v, X 2 (t = e 3t v 2 b Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti { x = 2x + y y = 4x y Scritto in forma matriciale è X = AX, dove la matrice dei coefficienti è A = ( 2 4

4 4 Sistemi differenziali: esercizi svolti L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da dove e At è la matrice esponenziale di At X(t = e At C, C R 2, Calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det(a λi = 2 λ 4 λ = λ2 λ 6 Quindi gli autovalori di A sono λ = 3 con molteplicità m = e λ 2 = 2 con molteplicità m 2 = Ne segue che A è diagonalizzabile Determiniamo gli autovettori associati a λ e λ 2 Cominiciamo con λ Risolviamo il sistema lineare (A 3Iv = Posto v = (x, y si ottiene y = x Quindi si ha v = (x, x, x R Sia quindi v = (, uno di questi autovettori Cerchiamo un autovettore associato a λ 2 = 2 Risolviamo il sistema lineare (A + 2Iv = Posto v = (x, y si ottiene y = 4x Quindi si ha v = (x, 4x, x R Sia quindi v 2 = (, 4 uno di questi autovettori I vettori v e v 2 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: ( 3 B = 2 Quindi si ha X(t = e At C = P e Bt C = per ogni c, c 2 R P = ( 4 ( ( e 3t 4 e 2t ( ( c c e 3t + c 2 e 2t =, c 2 c e 3t 4c 2 e 2t In modo alternativo ma equivalente, si può dire che l integrale generale è dato da ovvero che l integrale generale è dato da X(t = c e 3t v + c 2 e 2t v 2, c, c 2 R, X(t = c X (t + c 2 X 2 (t, c, c 2 R, dove X, X 2 sono le due soluzioni linearmente indipendenti X (t = e 3t v, X 2 (t = e 2t v 2

5 Sistemi lineari c Consideriamo il sistema lineare omogeneo a coefficienti costanti X = AX, dove A = ( 3 4 L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da X(t = e At C, C R 2, dove e At è la matrice esponenziale di At Calcoliamo gli autovalori di A Si ha che det(a λi = 3 λ 4 λ = λ2 2λ + Quindi gli autovalori di A sono λ = con molteplicità m = 2 Determiniamo gli autovettori associati a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = Posto v = (x, y si ottiene y = 2x Quindi si ha v = (x, 2x, x R Ne segue che la molteplicità geometrica dell autovalore λ è Quindi la matrice A non è diagonalizzabile Sia v = (, 2 uno di questi autovettori Determiniamo ora un autovettore generalizzato associato a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = v Posto v = (x, y si ottiene x = 2y + Quindi gli autovettori generalizzati sono della forma v = (2y +, y, y R Sia quindi v 2 = (, uno di questi autovettori I vettori v e v 2 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: Quindi si ha X(t = e At C = P e Bt C = per ogni c, c 2 R B = P = ( ( 2 ( ( e t te t 2 e t ( ( c c e t + c 2 te t =, c 2 c e t + c 2 te t In modo alternativo ma equivalente, si può dire che l integrale generale è dato da X(t = c e t v + c 2 e t (tv + v 2, c, c 2 R,

6 6 Sistemi differenziali: esercizi svolti ovvero che l integrale generale è dato da X(t = c X (t + c 2 X 2 (t, c, c 2 R, dove X, X 2 sono le due soluzioni linearmente indipendenti X (t = e t v, X 2 (t = e t (tv + v 2 Esercizio 2 Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy: { X ( ( = AX + B 2 e 2t a A =, B = X( =, 4 e 2t [ ( 3 25 X(t = e3t 3 25 e 2t + 2 ] 5 te 2t 3 25 e3t 3 25 e 2t 8 5 te 2t b X = AX ( X( =, A = ( [ ( te 2t ] X(t = 3 (t + e 2t Svolgimento a L integrale generale del sistema lineare X = AX + B è dato da X(t = e At ( e At B(t dt, dove e At e e At sono rispettivamente le matrici esponenziali di At e At Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che det (A λi = 2 λ 4 λ = λ2 λ 6 Quindi gli autovalori di A sono λ = 3 e λ 2 = 2 Quindi A è diagonalizzabile Determiniamo gli autovettori associati a λ e λ 2 Cominiciamo con λ Risolviamo il sistema lineare (A 3Iv = Si ha x + y = = v = (x, x, x R Sia quindi v = (, uno di questi autovettori

7 Sistemi lineari Cerchiamo un autovettore associato a λ 2 = 2 Risolviamo il sistema lineare (A + 2Iv = Si ha 4x + y = = v = (x, 4x, x R Sia quindi v 2 = (, 4 uno di questi autovettori I vettori v, v 2 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: ( 3 B = 2 Quindi si ha P = Allora la matrice esponenziale e At è e At = P e Bt P = = (, P = 4 ( ( e 3t 4 e 2t ( ( 4 5 ( 4 5 e3t + 5 e 2t 5 e3t 5 e 2t 4 5 e3t 4 5 e 2t 5 e3t e 2t e la matrice esponenziale e At è ( 4 e At = e A( t 5 = e 3t + 5 e2t 5 e 3t 5 e2t 4 5 e 3t 4 5 e2t 5 e 3t e2t Si ha che ( 4 e At 5 B(t = e 3t + 5 e2t 5 e 3t ( 5 e2t e 2t ( e 3t 4 5 e2t 5 e 3t e2t e 2t = e 5t e 5t 8 5 Allora e At B(t dt = ( 3 5 e 5t + 2 ( dt = e 5t t + c 3 5 e 5t e 5t 8 5 t + c, c, c 2 R 2 X(t = e At ( e At B(t dt = ( 4 5 = e3t + 5 e 2t 5 e3t ( 5 e 2t 3 25 e 5t t + c 4 5 e3t 4 5 e 2t 5 e3t e 2t 3 25 e 5t 8 5 t + c = 2 ( ( 4 5 c c e 3t + 5 c 5 c t e 2t = ( (, c, c 2 R 4 5 c c e 3t c c t e 2t =

8 8 Sistemi differenziali: esercizi svolti Imponendo la condizione iniziale X( = si ha c = c 2 = 3 25 Quindi la soluzione del problema di Cauchy è ( 2 5 t 3 X(t = 3 25 e3t e3t ( 8 5 t e 2t e 2t b L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da X(t = e At C, C R 2 Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che det (A λi = λ 3 λ = (λ 22 Quindi gli autovalori di A sono λ = 2 con molteplicità algebrica 2 Determiniamo gli autovettori associati a λ Risolviamo il sistema lineare (A 2Iv = Si ha x + y = = v = (x, x, x R Sia quindi v = (, uno di questi autovettori Ne segue che la matrice A non è diagonalizzabile Cerchiamo un autovettore generalizzato associato a λ Risolviamo il sistema lineare (A 2Iv = v Si ha x + y = = v = (x, x +, x R Sia quindi v 2 = (, uno di questi autovettori I vettori v, v 2 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: Quindi si ha X(t = e At C = P e Bt C = B = P = ( 2 2 ( ( ( e 2t te 2t e 2t ( ( c c e 2t + c 2 te 2t =, c 2 (c + c 2 e 2t + c 2 te 2t

9 Sistemi lineari ( per ogni c, c 2 R Imponendo la condizione iniziale X( = si ha c = e c 2 = Quindi la soluzione del problema di Cauchy è ( te 2t X(t = (t + e 2t

10 Sistemi differenziali: esercizi svolti 2 Sistemi lineari 3 3 Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore Esercizio Determinare l integrale generale del sistema lineare X = AX nei seguenti casi: a A = 2 2 X(t = c cos t + c 2 sin t + 2c 3 e 2t 5c 3 e 2t (c 2 c cos t (c + c 2 sin t 3c 3 e 2t, c, c 2, c 3 R b A = c A = 2 d A = 2 c 3 e t X(t = (c + c 2 te 2t 2c 3 e t, c 2 e 2t + c 3 e t ( c + c 2 t + 2 c 3t 2 e t X(t = 2 c 3e t ( 2 c c t, c e t X(t = (c c 2 + c 3 + c 2 te t c 3 e t (c + c 2 te t, c, c 2, c 3 R c, c 2, c 3 R c, c 2, c 3 R Svolgimento a L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da dove e At è la matrice esponenziale di At X(t = e At C, C R 3, Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che λ det (A λi = 2 λ = (2 2 λ λ(λ2 + Quindi gli autovalori di A sono λ,2 = ±i, λ 3 = 2, tutti con molteplicità Quindi la matrice A è diagonalizzabile in C Poichè la matrice A ha autovalori non reali, conviene cercare un sistema fondamentale di soluzioni di X = AX L integrale

11 Sistemi lineari 3 3 generale è dato da una qualunque combinazione lineare degli elementi di questo sistema fondamentale di soluzioni Determiniamo gli autovettori associati a λ, λ 2, λ 3 Cominiciamo con λ Risolviamo il sistema lineare (A iiv = Si ha ( ix + z = y = 2x ( + iz = = v = (x,, ( + ix, x R Sia quindi w = (,, +i uno di questi autovettori Essendo λ 2 = i complesso coniugato di λ = i, un autovettore associato a λ 2 è w 2 = w = (,, i Infine, cerchiamo un autovettore associato a λ 3 = 2 Risolviamo il sistema lineare (A 2Iv = Si ha { x y + z = 2x + y 3z = = v = Sia quindi v 3 = (2, 5, 3 uno di questi autovettori (x, 5 2 x, 3 2 x, x R Un sistema fondamentale di soluzioni è dato da cos t X (t = Re (e λt w = Re e it =, + i cos t sin t sin t X 2 (t = Im (e λt w = Re e it =, + i cos t sin t 2 2e 2t X 3 (t = e λ3t v 3 = e 2t 5 = 5e 2t 3 3e 2t = per ogni c, c 2, c 3 R X(t = c X (t + c 2 X 2 (t + c 3 X 3 (t = c cos t + c 2 sin t + 2c 3 e 2t 5c 3 e 2t c ( cos t sin t + c 2 (cos t sin t 3c 3 e 2t b L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da X(t = e At C, C R 3,,

12 2 Sistemi differenziali: esercizi svolti dove e At è la matrice esponenziale di At Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che λ det (A λi = 2 λ = ( λ(2 2 λ λ2 Quindi gli autovalori di A sono λ = con molteplicità m = e λ 2 = 2 con molteplicità m 2 = 2 Determiniamo gli autovettori associati a λ e λ 2 Cominiciamo con λ 2 perchè ha molteplicità 2 Risolviamo il sistema lineare (A 2Iv = Si ha x = x + z = x = = v = (, y,, y R Sia quindi v = (,, uno di questi autovettori Poichè λ 2 = 2 ha molteplicità algebrica m 2 = 2 e ha un solo autovettore lineramente indipendente, cioè ha molteplicità geometrica µ 2 =, allora la matrice A non è diagonalizzabile Cerchiamo ora un autovettore generalizzato associato a λ 2 Risolviamo il sistema lineare (A 2Iv = v Si ha x = x + z = x = = v = (, y,, y R Sia quindi v 2 = (,, uno di questi autovettori generalizzati Infine, cerchiamo un autovettore associato a λ = Risolviamo il sistema lineare (A Iv = Si ha { x + y + z = x + z = = v = (x, 2x, x, x R Sia quindi v 3 = (, 2, uno di questi autovettori I vettori v, v 2, v 3 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: 2 B = 2

13 Sistemi lineari Quindi si ha P = 2 e 2t te 2t c X(t = e At C = P e Bt C = 2 e 2t c 2 = e t c 3 c 3 e t = (c + c 2 te 2t 2c 3 e t, c 2 e 2t + c 3 e t per ogni c, c 2, c 3 R In modo alternativo ma equivalente, si può dire che l integrale generale è dato da X(t = c e 2t v + c 2 e 2t (tv + v 2 + c 3 e t v 3, c, c 2, c 3 R, ovvero che l integrale generale è dato da X(t = c X (t + c 2 X 2 (t + c 3 X 3 (t, c, c 2, c 3 R, dove X, X 2, X 3 sono le tre soluzioni linearmente indipendenti X (t = e 2t v, X 2 (t = e 2t (tv + v 2, X 3 (t = e t v 3 c L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da dove e At è la matrice esponenziale di At X(t = e At C, C R 3, Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che λ 3 2 det (A λi = λ = ( 2 λ λ3 Quindi gli autovalori di A sono λ = con molteplicità algebrica m = 3 Determiniamo gli autovettori associati a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = Si ha 3y + 2z = y = = v = (x,,, x R x R

14 4 Sistemi differenziali: esercizi svolti Sia quindi v = (,, uno di questi autovettori Poichè λ ha molteplicità algebrica m = 3 e ha un solo un autovettore linearmente indipendente, cioè ha molteplicità geometrica µ =, allora la matrice A non è diagonalizzabile Cerchiamo ora due autovettori generalizzati associati a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = v Si ha 3y + 2z = ( y = = v = x,,, x R 2 x R ( Sia quindi v 2 =,, 2 uno di questi autovettori generalizzati Risolviamo ora il sistema lineare (A Iv = v 2 Si ha 3y + 2z = ( 2y = = v = x, 2 4, 3, x R 8 x R ( Sia quindi v 3 =, 4, 3 8 uno di questi autovettori generalizzati I vettori v, v 2, v 3 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: Quindi si ha B = P = X(t = e At C = P e Bt C = c e t + c 2 te t + 2 c 3t 2 e t = 4 c 3e t per ogni c, c 2, c 3 R 2 c 2e t 3 8 c 3e t + 2 c 3te t e t te t 2 t2 e t e t te t e t, c c 2 = c 3 In modo alternativo ma equivalente, si può dire che l integrale generale è dato da X(t = c e t v + c 2 e t (tv + v 2 + c 3 ( 2 t2 v + tv 2 + v 3 e t, c, c 2, c 3 R,

15 Sistemi lineari ovvero che l integrale generale è dato da X(t = c X (t + c 2 X 2 (t + c 3 X 3 (t, c, c 2, c 3 R, dove X, X 2, X 3 sono le tre soluzioni linearmente indipendenti X (t = e t v, X 2 (t = e t (tv + v 2, X 3 (t = ( 2 t2 v + tv 2 + v 3 e t d L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da X(t = e At C, C R 3, dove e At è la matrice esponenziale di At Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che λ det (A λi = λ = ( 2 λ λ3 Quindi gli autovalori di A sono λ = con molteplicità algebrica m = 3 Determiniamo gli autovettori associati a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = Si ha x + y + z = = v = (y + z, y, z, y, z R Siano quindi v = (,, e v 2 = (,, due di questi autovettori Poichè λ ha molteplicità algebrica m = 3 e ha solo due autovettori linearmente indipendenti, cioè ha molteplicità geometrica µ = 2, allora la matrice A non è diagonalizzabile Cerchiamo ora un autovettore generalizzato associato a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = v Si ha x + y + z = = v = (y + z, y, z, y, z R Sia quindi v 3 = (,, uno di questi autovettori generalizzati I vettori v, v 3, v 2 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: B =

16 6 Sistemi differenziali: esercizi svolti Quindi si ha P = e t te t c X(t = e At C = P e Bt C = e t c 2 = e t c 3 per ogni c, c 2, c 3 R = (c c 2 + c 3 e t + c 2 te t c 3 e t, c e t + c 2 te t In modo alternativo ma equivalente, si può dire che l integrale generale è dato da X(t = c e t v + c 2 e t (tv + v 3 + c 3 e t v 2, c, c 2, c 3 R, ovvero che l integrale generale è dato da X(t = c X (t + c 2 X 2 (t + c 3 X 3 (t, c, c 2, c 3 R, dove X, X 2, X 3 sono le tre soluzioni linearmente indipendenti X (t = e t v, X 2 (t = e t (tv + v 3, X 3 (t = e t v 2 Esercizio 2 Determinare l integrale generale del sistema lineare X = AX + B, dove 3 t A =, B = Svolgimento L integrale generale del sistema lineare X = AX + B è dato da X(t = e At ( e At B(t dt, dove e At e e At sono rispettivamente le matrici esponenziali di At e At

17 Sistemi lineari Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che 3 λ det (A λi = λ = (3 λ( λ λ2 Quindi gli autovalori di A sono λ = con molteplicità m = 2 e λ 2 = 3 con molteplicità m 2 = Determiniamo gli autovettori associati a λ e λ 2 Cominiciamo con λ perchè ha molteplicità 2 Risolviamo il sistema lineare (A Iv = Si ha { 2x = = v = (,, z, z R y = Sia quindi v = (,, uno di questi autovettori Poichè λ = ha molteplicità algebrica m = 2 e ha un solo autovettore linearmente indipendente, cioè ha molteplicitè geometrica µ =, allora la matrice A non è diagonalizzabile Cerchiamo ora un autovettore generalizzato associato a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = v Si ha { 2x = = v = (,, z, z R y = Sia quindi v 2 = (,, uno di questi autovettori generalizzati Infine, cerchiamo un autovettore associato a λ 2 = 3 Risolviamo il sistema lineare (A 3Iv = Si ha { 2y = y 2z = Sia quindi v 3 = (,, uno di questi autovettori = v = (x,,, x R I vettori v, v 2, v 3 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: B = 3 Quindi si ha P =, P = P = Allora la matrice esponenziale e At è e t te t e 3t e At = P e Bt P = e t = e t e 3t te t e t

18 8 Sistemi differenziali: esercizi svolti e la matrice esponenziale e At è e 3t e At = e A( t = e t te t e t Si ha che e 3t t te 3t e At B(t = e t = e t te t e t te t Allora ( te 3t 3 t + 9 e 3t + c e At B(t dt = e t dt = te t e t + c 2, c, c 2, c 3 R (t + e t + c 3 X(t = e At ( e At B(t dt = = c e 3t 3 t 9 c 2 e t (c 2 t + c 3 e t + e 3t e t te t e t ( 3 t + 9 e 3t + c e t + c 2 = (t + e t + c 3, c, c 2, c 3 R Esercizio 3 Determinare la soluzione dei seguenti problemi di Cauchy: X = AX t + 4 e2t a A = X( =, X(t = e2t b c X = AX X( =, { X = AX + B X( =, A = A = 3, B = t 2 e 2t X(t = X(t = e2t e t sin t e t sin t e t cos t 2 e2t 4 te2t + 2 t2 e 2t + 4 t 2 4 e2t 4 te2t + 2 t2 e 2t 4 t 4 te 2t

19 Sistemi lineari d X = AX X( =, 2 A = 2 ( 2t t 2 e t X(t = 2te t ( + t 2 e t Svolgimento a L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da X(t = e At C, C R 3, dove e At è la matrice esponenziale di At Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che λ det (A λi = λ = λ λ2 (λ 2 Quindi gli autovalori di A sono λ = con molteplicità m = 2 e λ 2 = 2 con molteplicità m 2 = Determiniamo gli autovettori associati a λ e λ 2 Cominiciamo con λ perchè ha molteplicità 2 Risolviamo il sistema lineare Av = Si ha z = y + z = = v = (x,,, x R x R Sia quindi v = (,, uno di questi autovettori Poichè λ = ha molteplicità algebrica m = 2 e ha un solo autovettore lineramente indipendente, cioè ha molteplicità geometrica µ =, allora la matrice A non è diagonalizzabile Cerchiamo ora un autovettore generalizzato associato a λ Risolviamo il sistema lineare Av = v Si ha z = y + z = x R = v = (x,,, x R Sia quindi v 2 = (,, uno di questi autovettori generalizzati

20 2 Sistemi differenziali: esercizi svolti Infine, cerchiamo un autovettore associato a λ 2 = 2 Risolviamo il sistema lineare (A 2Iv = Si ha 2x + z = y + z = x R Sia quindi v 3 = (, 2, 2 uno di questi autovettori = v = (x, 2x, 2x, x R I vettori v, v 2, v 3 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: B = 2 Quindi si ha P = 2 2 t c X(t = e At C = P e Bt C = 2 c 2 = 2 e 2t c 3 c + c 2 t + c 3 e 2t = c 2 + 2c 3 e 2t, c 2 + 2c3e 2t per ogni c, c 2, c 3 R Imponendo la condizione iniziale X( = si ha c = 3 4, c 2 = 2 e c 3 = 4 Quindi la soluzione del problema di Cauchy è X(t = t + 4 e2t e2t e2t b L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da dove e At è la matrice esponenziale di At X(t = e At C, C R 3, Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che λ ( det (A λi = λ = ( λ λ 2 2λ + 2 λ

21 Sistemi lineari Quindi gli autovalori di A sono λ = e λ 2,3 = ±i tutti con molteplicità Quindi la matrice A è diagonalizzabile in C Poichè la matrice A ha autovalori non reali, conviene cercare un sistema fondamentale di soluzioni di X = AX L integrale generale è dato da una qualunque combinazione lineare degli elementi di questo sistema fondamentale di soluzioni Determiniamo gli autovettori associati a λ, λ 2, λ 3 Cominiciamo con λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = Si ha z = y = = v = (x,,, x R x R = Sia quindi v = (,, uno di questi autovettori Cerchiamo ora un autovettore associato a con λ 2 = + i Risolviamo il sistema lineare (A ( + iiv = Si ha { ix + z = iy z = = y = x z = ix x R = v = (x, x, ix, x R Sia quindi w 2 = (,, i uno di questi autovettori Essendo λ 3 = i complesso coniugato di λ 2 = + i, un autovettore associato a λ 3 è w 3 = w 2 = (,, i Un sistema fondamentale di soluzioni è dato da e t X (t = e λt v = e t =, e X 2 (t = Re (e t cos t λ2t w 2 = Re e (+it = e t cos t, i e t sin t e X 3 (t = Im (e t sin t λ2t w 2 = Re e (+it = e t sin t i e t cos t X(t = c X (t + c 2 X 2 (t + c 3 X 3 (t = (c + c 2 cos t + c 3 sin te t ( c 2 cos t c 3 sin te t, ( c 2 sin t + c 3 cos te t

22 22 Sistemi differenziali: esercizi svolti per ogni c, c 2, c 3 R Imponendo la condizione iniziale X( = c = c 2 = e c 3 = Quindi la soluzione del problema di Cauchy è e t sin t X(t = e t sin t e t cos t si ha c L integrale generale del sistema lineare X = AX + B è dato da ( X(t = e At e At B(t dt, dove e At e e At sono rispettivamente le matrici esponenziali di At e At Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che λ det (A λi = 3 λ = (2 2 λ λ3 Quindi gli autovalori di A sono λ = 2 con molteplicità m = 3 Determiniamo gli autovettori associati a λ Risolviamo il sistema lineare (A 2Iv = Si ha x + y + z = = v = (y + z, y, z, y, z R Siano quindi v = (,, e v 2 = (,, due di questi autovettori Poichè λ ha molteplicità algebrica m = 3 e ha solo due autovettori linearmente indipendenti, cioè ha molteplicitè geometrica µ = 2, allora la matrice A non è diagonalizzabile Cerchiamo ora un autovettore generalizzato associato a λ Risolviamo il sistema lineare (A 2Iv = v Si ha x + y + z = = v = (y + z, y, z, y, z R Sia quindi v 3 = (,, uno di questi autovettori generalizzati I vettori v, v 3, v 2 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: 2 B = 2 2 Quindi si ha P =, P =

23 Sistemi lineari Allora la matrice esponenziale e At è e 2t te 2t e At = P e Bt P = e 2t = e 2t ( te 2t te 2t te 2t = te 2t (t + e 2t te 2t e 2t e la matrice esponenziale e At è (t + e 2t te 2t te 2t e At = e A( t = te 2t ( te 2t te 2t e 2t Si ha che Allora (t + e 2t te 2t te 2t e At B(t = te 2t ( te 2t te 2t t = e 2t e 2t (t + t 2 e 2t t = (2t t 2 e 2t t e At B(t dt = = (t + t 2 e 2t t (2t t 2 e 2t t dt = 2 (t2 e 2t 2 t2 + c, 4 (2t2 2t e 2t 2 t2 + c 2 t + c 3 per ogni c, c 2, c 3 R ( X(t = e At e At B(t dt = ( te 2t te 2t te 2t 2 (t2 e 2t 2 t2 + c = te 2t (t + e 2t te 2t e 2t 4 (2t2 2t e 2t 2 t2 + c 2 = t + c 3 c e 2t + ( c + c 2 + c 3 te 2t + 2 t2 e 2t + 4 t 2 = c 2 e 2t + ( c + c 2 + c 3 te 2t + 2 t2 e 2t + 4 t 4, c, c 2, c 3 R c 3 e 2t + te 2t Imponendo la condizione iniziale X( = si ha c = 2, c 2 = 4 e c 3 = Quindi la soluzione del problema di Cauchy è X(t = 2 e2t 4 e2t + 2 t2 e 2t + 4 t 2 4 e2t 4 te2t + 2 t2 e 2t + 4 t 4 te 2t

24 24 Sistemi differenziali: esercizi svolti d L integrale generale del sistema lineare X = AX è dato da dove e At è la matrice esponenziale di At X(t = e At C, C R 3, Determiniamo gli autovalori di A Si ha quindi che λ 2 det (A λi = 2 λ = ( λ λ3 Quindi gli autovalori di A sono λ = con molteplicità algebrica m = 3 Determiniamo gli autovettori associati a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = Si ha x + 2y + z = z = x x + y + z = = y = = v = (x,, x, x R y = x R Sia quindi v = (,, uno di questi autovettori Poichè λ ha molteplicità algebrica m = 3 e ha un solo un autovettore linearmente indipendente, cioè ha molteplicità geometrica µ =, allora la matrice A non è diagonalizzabile Cerchiamo ora due autovettori generalizzati associati a λ Risolviamo il sistema lineare (A Iv = v Si ha x + 2y + z = z = x x + y + z = = y = = v = (x,, x, x R y = x R Sia quindi v 2 = (,, uno di questi autovettori generalizzati Risolviamo ora il sistema lineare (A Iv = v 2 Si ha x + 2y + z = z = x + x + y + z = = y = = v = (x,, +, x R y = x R Sia quindi v 3 = (,, uno di questi autovettori generalizzati I vettori v, v 2, v 3 formano, nell ordine, le colonne della matrice di passaggio P tale che A = P BP, dove B è la matrice simile ad A siffatta: B =

25 Sistemi lineari Quindi si ha P = e t te t X(t = e At C = P e Bt 2 t2 e t c C = e t te t c 2 = e t c 3 [c + c 2 + (c 2 + c 3 t + 2 c 3t 2 ]e t = (c 2 + c 3 te t, (c + c 3 + c 2 t + 2 c 3t 2 e t per ogni c, c 2, c 3 R Imponendo la condizione iniziale X( = si ha c =, c 2 = e c 3 = 2 Quindi la soluzione del problema di Cauchy è X(t = ( 2t t 2 e t 2te t ( + t 2 e t