Materiale di approfondimento: numeri interi relativi in complemento a uno

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1 Materiale di approfondimento: numeri interi relativi in complemento a uno Federico Cerutti AA. 2011/2012 Modulo di Elementi di Informatica e Programmazione Federico Cerutti

2 numeri positivi 2 n (2 n-1-1) numeri negativi Elementi di Informatica e Programmazione, A.A. 2011/12 Federico Cerutti 2

3 Definizione Nella codifica in complemento a uno, i numeri positivi si codificano normalmente secondo la codifica binaria naturale, i numeri negativi come il complemento a uno del positivo corrispondente. Avendo a disposizione n bit per la rappresentazione dei numeri interi relativi, il complemento a uno di un numero binario N è definito come 2 n 1 N Esempio Con un codice a 8 bit il numero (+21) 10 è rappresentato da ( ) 2, il numero ( 21) 10 da ( ) 2. Il bit più significativo di un numero positivo è 0, quello di un numero negativo è 1. Il valore 0 ha due rappresentazioni distinte corrispondenti a +0 e 0, ovvero con un codice a 8 bit e Con un codice a n bit, i valori rappresentabili vanno da (2 n 1 1) a +(2 n 1 1). Elementi di Informatica e Programmazione, A.A. 2011/12 Federico Cerutti 3

4 Esempio Sia N = Il complemento a uno di C 1 di N è: C 1 = = REGOLA PRATICA EQUIVALENTE Si complementano (invertono) i valori di tutti i bit. N.B. Anche nel caso del complemento a uno valgono simmetria del complemento a uno e la regola sull estensione del segno. Elementi di Informatica e Programmazione, A.A. 2011/12 Federico Cerutti 4

5 Aritmetica in complemento a uno Addizione: l addizione di due numeri rappresentati in complemento a 1 dà il risultato corretto sommando al risultato ottenuto il riporto (a patto che il risultato sia entro il range dei numeri rappresentabili) Si ha overflow se i riporti generati nelle due posizioni più significative (tenendo conto anche di quelli generati nella somma del riporto!) sono diversi. In modo equivalente, si possono controllare i segni come nel caso del complemento a due. Sottrazione: per sottrarre un numero basta sommare il suo complemento a uno. Elementi di Informatica e Programmazione, A.A. 2011/12 Federico Cerutti 5

6 Aritmetica in complemento a uno: esempi Esempio Calcolare ( 99) 10 + ( 44) 10 con i numeri codificati in binario con complemento a uno con 8 bit (N.B. i numeri codificabili in complemento a uno con 8 bit appartengono all intervallo [ 127, 127]). (99) 10 ( ) 2 ; ( 99) 10 ( ) 2. (44) 10 ( ) 2 ; ( 44) 10 ( ) = (1) ( 99) 10 + ( 44) = ( ) 2 = ( ) 2 ( 127) 10. Elementi di Informatica e Programmazione, A.A. 2011/12 Federico Cerutti 6

7 Aritmetica in complemento a uno: esempi Esempio Calcolare ( 99) 10 + ( 54) 10 con i numeri codificati in binario con complemento a uno con 8 bit. (99) 10 ( ) 2 ; ( 99) 10 ( ) 2. (54) 10 ( ) 2 ; ( 54) 10 ( ) = (1) ( 99) 10 + ( 54) = ( ) 2 (102) 10??? Elementi di Informatica e Programmazione, A.A. 2011/12 Federico Cerutti 7

8 Esercizio da appello Rappresentare i numeri 27 e 9 in complemento a uno con 8 bit e con 6 bit. Eseguire la somma in entrambe le rappresentazioni e commentare i rispettivi risultati. Soluzione A 6 bit (27) 10 (011011) 2 ; ( 27) 10 (100100) 2. (9) 10 (001001) 2 ; ( 9) 10 (110110) 2. ( 27) 10 + ( 9) = (1) = Ho overflow perché i riporti sono diversi (oppure: perché sommando due negativi ottengo un positivo). Elementi di Informatica e Programmazione, A.A. 2011/12 Federico Cerutti 8

9 Esercizio da appello Rappresentare i numeri 27 e 9 in complemento a uno con 8 bit e con 6 bit. Eseguire la somma in entrambe le rappresentazioni e commentare i rispettivi risultati. Soluzione A 8 bit I corrispettivi numeri a 8 bit li ottengo estendendo il segno: ( 27) 10 ( ) 2 ; ( 9) 10 ( ) = (1) ( 27) 10 + ( 9) = Non c è overflow perché i due riporti sono uguali. Elementi di Informatica e Programmazione, A.A. 2011/12 Federico Cerutti 9

10 Esercizio da appello Rappresentare i numeri decimali 65 e 18 in notazione binaria in complemento a uno con 8 bit. Eseguire la somma algebrica dei numeri così ottenuti e commentare il risultato. Soluzione (65) 10 = ( ) 2 ; ( 65) 10 ( ) 2. (18) 10 ( ) = (0) ( 65) 10 + (18) = Non ho overflow perché i riporti sono uguali (non c è riporto in alcuna delle posizioni n e n 1). Infatti nella rappresentazione a complemento (sia esso complemento a uno o complemento a due) non è possibile ottenere l overflow sommando un numero positivo ed un numero negativo. Elementi di Informatica e Programmazione, A.A. 2011/12 Federico Cerutti 10

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