GEOMETRIA DELLE MASSE

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1 IL BARICENTRO GENERALITA' GEOMETRIA DELLE MASSE Un corpo può essere immaginato come se fosse costituito da tante piccole particelle dotate di massa (masse puntiformi); a causa della forza di gravità queste masse sono soggette ad una forza diretta "verso il basso". La retta d'azione della risultante (per una determinata posizione del corpo) di tutte queste forze è detta retta (o asse) baricentrica. Il punto di incontro delle rette baricentriche si chiama baricentro, in tale punto possiamo immaginare di concentrare tutta la massa del corpo. Praticamente per un corpo l'individuazione del baricentro può essere effettuata in questo modo: a) si appende per un punto il corpo, quando questo cesserà di oscillare la verticale passante per quel punto determinerà un asse baricentrico; b) ruotando il corpo e appendendolo per un altro punto otteniamo un'altro asse baricentrico; c) l'intersezione di dette rette determinerà la posizione del baricentro. METODO GRAFICO Per individuare le coordinate del baricentro per via grafica si sfruttano i principi e le leggi studiate esaminando le forze e le risultanti. Soltanto che, invece di ruotare il corpo per individuare la retta baricentrica facciamo "ruotare" la terra immaginando quindi di posizionare la gravità prima in posizione verticale poi in quella orizzontale (bastano due rette baricentriche per individuare il baricentro). Di conseguenza otterremo due sistemi di forze fra di loro ortogonali, individuandone le rispettive risultanti con il poligono funicolare ricaveremo il baricentro. METODO ANALITICO

2 Se abbiamo n masse puntiformi il momento complessivo rispetto all'asse y sarà: Σm i* x i X G* Σm i ma per il Teorema di Varignon avremo che detto momento sarà uguale a X G* Σm i da cui: analogamente facendo il momento rispetto all'asse x: Ovviamente se gli assi x e y, o uno di essi, sono baricentrici il risultato relativo sarà uguale a zero. E' da notare che se il corpo à omogeneo (cioè ha densità uguale in tutti i punti) non è necessario prendere in considerazione le masse ma basta lavorare con le aree. BARICENTRO DI FIGURE GEOMETRICHE Proprietà: se la figura possiede un asse di simmetria questo è anche asse baricentrico. Dimostrazione: possiamo dividere la figura in tante aree, a questo punto è possibile calcolare la coordinata del baricentro rispetto all'asse di simmetria, ma per ogni area che apporta un contributo positivo ve ne sarà un'altra che darà un contributo negativo e quindi il: essendo il termine, quindi il baricentro è un punto dell'asse di simmetria cioè l'asse di simmetria è asse baricentrico. Ovviamente se la figura possiede due o più assi di simmetria il baricentro coinciderà con la loro intersezione.

3 BARICENTRO DI FIGURE PIANE TRIANGOLO: il baricentro è l'intersezione delle mediane in quanto esse sono assi di simmetria obliqua. Inoltre rispetto ad un lato il baricentro è distante 1/3 della sua altezza perché la mediana viene divisa dal baricentro in due parti di cui la più vicina al lato è 1/3 della lunghezza totale. RETTANGOLO: l'incontro dei due assi di simmetria definisce la posizione del baricentro. G

4 QUADRILATERO IRREGOLARE: dividiamo la figura in due triangoli ABC (di area A 1 ) e ADC (di area A 2 ) con G 1 e G 2 rispettivi baricentri, poniamo AC=b; il baricentro G complessivo giacerà lungo la congiungente tra G 1 e G 2. Allora chiamando con x la distanza tra G 1 e G 2 e facendo il momento rispetto a G avremo: Cioè la distanza tra G 2 e G è pari alla distanza tra G 1 e la base AC.

5 TRAPEZIO a) Metodo Analitico: analogamente al caso precedente avremo: b) Metodo Grafico: si riporta la base maggiore b a partire da un estremo delle base minore a e viceversa, si traccia la mediana relativa alle basi, il punto di incontro tra il segmento congiungente il prolungamento delle basi e la mediana risulta il baricentro.

6 FIGURE COMPOSTE: se abbiamo una sezione scomponibile in figure note è possibile sostituire a quest'ultime i rispettivi baricentri lavorando poi come se avessimo delle masse puntiformi; è utile, per procedere ordinatamente, impostare la sottostante tabella dove con i intendiamo la numerazione delle figure (1,2,3,ecc.), con Ai la superficie di ogni figura, con Xi e Yi le coordinate del baricentro di ogni figura rispetto ad un sistema di assi prestabilito, con A TOT a superficie della figura nel suo complesso. i A i X i Y i A i *X i A i *Y i 1 2 A TOT: ΣA i *X i = ΣA i *Y= Le coordinate del baricentro si otterranno con le seguenti formule

7 Calcolare il baricentro della sezione a L rappresentata in figura (misure espresse in centimetri). Calcolare il baricentro di una figura complessa vuol dire calcolare le coordinate del baricentro rispetto ad un sistema di riferimento scelto arbitrariamente. Si sceglie arbitrariamente il sistema di riferimento segnato in figura. Si suddivide la figura nei due rettangoli (30 x 5) e (10 x 5) e si calcolano le aree e le coordinate dei loro baricentri rispetto al sistemadi riferimento scelto. A 1 = 30 x 5 = 150 cm2 G 1 (2,5 ; 15) A 2 = 10 x 5 = 50 cm2 G 2 (10 ; 2,5) Si riportano i dati nella tabella: i A i X i Y i A i *X i A i *Y i A A A TOT: 200 ΣA i *X i =875 ΣA i *Y=2375 E si ricavano le coordinate del baricentro applicando le relative formule:

8 MOMENTO STATICO Si definisce momento statico di un' area elementare a, rispetto ad un asse, il prodotto tra a e la sua distanza dall'asse S Y =a x Si definisce momento statico di una figura, rispetto ad un asse, la somma algebrica dei momenti statici delle singole aree elementari; quindi per Varignon il risultato è pari al prodotto dell'area della figura per la distanza del baricentro dall'asse S X = Σa i y i =A TOT Y G Il momento statico può essere positivo o negativo secondo la posizione dell'area e ha come dimensione una lunghezza elevata al cubo (in genere cm 3 ). Proprietà: il momento statico rispetto ad un asse baricentrico è uguale a zero. Infatti S X = A TOT Y G ma se l'asse x è baricentrico la Y G risulta uguale a zero per cui. S X =0.

9 Le equazioni per determinare le coordinate del baricentro, introducendo il concetto di momento statico, si possono scrivere nel modo seguente: Lo stesso esercizio di prima risolto con il momento statico.