Forza centripeta e gravitazione

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1 apitolo 6 Foza centipeta e gaitazione 1. Il oto cicolae Quali sono le caatteistiche del oto cicolae? Una paticella si dice aniata di oto cicolae quando la sua taiettoia è una ciconfeenza. o studio di questo tipo di oto iene effettuato indiiduando due diezioni istantanee, cioè due ette oientate che cabiano ad ogni nuoa lettua di conoeto. Si tatta della diezione adiale, lungo la seietta che esce dal cento della ciconfeenza andando eso la posizione del punto che si sta uoendo; e della diezione tangenziale, sulla etta tangente alla ciconfeenza, oientata nel eso del oto e pependicolae alla diezione adiale. Quali sono diezione e eso della elocità nel oto cicolae? Quando una paticella descie una taiettoia cua, ed una ciconfeenza in paticolae, pe capie la diezione della elocità possiao iaginae che d ipoiso scopaiano tutte le foze in azione. a paticella si toeebbe alloa nella condizione conteplata dalla legge d inezia, la quale peede che in assenza di foze il oto segua una linea etta. Si tatta della etta tangente alla taiettoia, che pe definizione iene assunta coe diezione della elocità in quel dato istante. he cosa sappiao di sbagliato iguado al oto cicolae? Pia di iniziae l analisi del oto cicolae, è necessaio iuoee due idee eate che nei secoli si sono adicate, e che costituiscono un ostacolo alla copensione di questo fenoeno. DIEZIOE AGEZIAE ISAAEA DIEZIOE ADIAE ISAAEA 1

2 pia idea eata: un oggetto può seguie una taiettoia cicolae senza che i sia un binaio di qualche tipo che lo costinga a falo. seconda idea eata: un oggetto in oto cicolae tende ad essee scagliato eso l esteno, in diezione adiale, dall azione di una foza detta centifuga. Peché occoe un binaio pe sostenee il oto cicolae? a pia delle due concezioni eate isale agli antichi Geci, i quali iteneano il oto cicolae la taiettoia pefetta, peché pensaano fosse seguita dagli oggetti celesti. Essendo pefetta, la taiettoia cicolae doea essee una condizione natuale pe i copi, incouttibile, cioè capace di sostenesi autonoaente ed iutabile nel tepo. Da Galileo in poi sappiao che questo uolo piilegiato spetta al oto ettilineo unifoe, il solo a poseguie indefinitaente senza che debba inteenie alcuna foza, e che pe tale caatteistica iene addiittua consideato uno stato. Viceesa, uoesi lungo una taiettoia cua significa cabiae in ogni oento la diezione della elocità. utae elocità, anche se solo in diezione e non in intensità, uol die acceleae: una acchina che cui con elocità di odulo costate 0 K/h, sta acceleando in diezione, anche se il tachieto segna sepe lo stesso aloe peché non sta acceleando in intensità. Poiché il secondo pincipio peede che possa ae luogo un acceleazione unicaente in pesenza di una foza, ne deduciao che nel oto cicolae occoe una foza anche solo pe cabiae ogni istante la diezione alla elocità. oe edeo nel dettaglio, si tatta di una foza in diezione adiale, che punta sepe eso il cento della ciconfeenza: ne sono esepi la foza noale esecitata da un binaio cuo, oppue la tensione di una coda legata al cento della ciconfeenza. ella figua a lato, là doe il binaio (in un piano oizzontale) si inteope, la pallina posegue con un oto in linea etta lungo la diezione tangenziale istantanea, dato che è enuta eno la foza noale che la costingea a cuae. DIEZIOE ADIAE ISAAEA Peché non esiste una foza centifuga? oe sappiao dalla teza legge della dinaica, non esistono foze solitaie, a soltanto inteazioni fa coppie di oggetti. Ogni foza dee aee due attoi : un soggetto che la esecita (e che a sua olta subisce un azione uguale e contaia), ed uno che la subisce. Oa, è nota a tutti la sensazione (illusoia) di essee scagliati eso l esteno, in diezione adiale, quando la nosta auto pecoe un aco di cua. a si dee escludee che questa sensazione sia douta all azione di una foza, sepliceente peché non esiste alcun soggetto che esecita questa foza. hi esecita la foza centifuga? on c è isposta a questa doanda. Un passeggeo su di un auto in cua cede di essee tiato eso l esteno, a in ealtà antiene soltanto la stessa diezione di elocità, che coe abbiao detto è in ogni istante tangente alla taiettoia cicolae. Se non ci fosse l auto egli oleebbe in diezione tangenziale non appena inizia la cua. el fattepo inece, la acchina gli si uoe sotto ed intecetta continuaente la sua taiettoia ettilinea fozandolo eso il cento. oe si ede in figua, lo spostaento dell auto cea una alutazione eata, pe cui egli pensa di

3 essee scagliato eso l esteno, ed inece non sta seguendo affatto la diezione adiale istantanea. Il eccaniso è lo stesso di quando l auto fena, ed il passeggeo posegue il oto in aanti con la edesia elocità di pia della fenata. Analogaente, quando l auto accelea, al passeggeo seba di essee tiato indieto, a sta solo poseguendo con la elocità che possedea pia, ente è l auto ad ae cabiato stato di oto. Questa tendenza a poseguie il oto in diezione tangenziale è esponsabile fa le alte cose, del igonfiaento della ciconfeenza del nosto pianeta all altezza dell equatoe, doe la elocità di otazione è assia. Analogaente è il pincipio usato dalla centifuga di una laatice pe asciugae i panni. oe si ede dal disegno peò, le goccioline di acqua non scappano in diezione adiale a tangenziale, ente il cestello continua a uotae. goccia E necessaio che agisca una foza anche lungo la diezione istantanea della elocità? Iaginiao la pallina di una oulette lanciata dal coupie. Inizialente la pallina staa fea, quindi la ano del coupie ha douto esecitae una foza pe potala fino ad aee elocità. oe sappiao dalla seconda legge della dinaica, da quel oento in poi, in assenza di qualsiasi attito, non è più necessaia una foza nella diezione istantanea di pe antenee la sua intensità costante. D alto canto non possiao neeno escludee che una tale foza ci sia: ad esepio quando un auto pecoe una cua può falo con elocità di odulo costante, a anche acceleando in intensità. Allo stesso odo, quando tentiao di podue con la ano il oto cicolae in un peso agganciato ad una coda, dobbiao pia ettelo in oto, esecitando una foza nella diezione della elocità. Successiaente copiao due azioni: antenendo fea la ano tiiao la coda in odo da costingee il peso a desciee la ciconfeenza, ed ogni tanto doeo pue dae un colpetto nella diezione della elocità pe copensae l azione degli attiti e della gaità, che tendono a fa diinuie l intensità della elocità da noi inizialente ipessa. el seguito ci occupeeo della cineatica del oto cicolae in cui l intensità della elocità iane costante, che chiaeeo oto cicolae unifoe. el oto cicolae unifoe, ad essee costante è dunque solo, ente cabia ogni istante diezione. B F A s A F? oe possiao icaae l acceleazione lungo la diezione adiale? Peso un punto in oto cicolae unifoe di aggio, consideiao un aco di ciconfeenza AB, e l inteallo di tepo t che occoe al punto pe pecoelo. In questo stesso tepo il aggio della ciconfeenza aà spazzato l angolo e la elocità aà cabiato diezione passando da A a B A O. Poiché sia B A che B sono pependicolai al aggio, se li ipotiao con un oigine coune, è iediato concludee che anche la elocità ha spazzato lo stesso angolo. Dal etodo di punta-coda pe la soa dei ettoi si B iconosce subito che il ettoe che unisce le punte di e A è il ettoe B diffeenza, cioè da cui. A B B A onsideiao oa il tiangolo delle elocità ed il tiangolo AOB: sono entabi isosceli e con un angolo uguale, petanto sono siili:

4 A B 0 90 a Diidiao pe s t abo i ebi e iodiniao: s t t Quando tende a zeo l inteallo tepoale diiene il odulo della elocità istantanea. Il appoto t, sappiao che il appoto t s t dienta inece il odulo dell acceleazione istantanea, la cui diezione si antiene sepe paallela a e così alla fine isulta pependicolae a. Infatti nel tiangolo delle elocità, quando 0 si ha 90 doendo la soa ianee uguale a 180. a chiaiao quindi acceleazione centipeta a, in quanto dietta lungo il aggio puntando eso il cento. Quindi sostituendo nella elazione pecedente t con dell acceleazione centipeta ale: a e s t con si toa che l intensità a Esepio 1 Sopa ad un piano oizzontale, una pallina di assa lanciata in una guida cicolae di aggio copleto in Kg iene 0.00 e pecoe un gio 1.45 s. Assuendo che il odulo della elocità sia iasto costante duante il gio, calcolae l acceleazione centipeta della pallina e la foza noale esecitata su di lei dalla guida. oiao innanzitutto il odulo della elocità: /s 1.45 s 1.45 a x Fissiao quindi un ifeiento sul piano con l oigine nel cento della ciconfeenza e consideiao l istante in cui la pallina taglia l asse delle ascisse coe in figua. In diezione oizzontale agisce la foza noale, ente l acceleazione ale a( / ; 0 ) : a x x x 0.00 e pe l acceleazione centipeta si ha: a.75 /s

5 osa si intende con il teine foza centipeta? Se una paticella di assa segue un oto cicolae unifoe di aggio, lungo la diezione adiale istantanea la seconda legge della dinaica si scie: F Si chiaa foza centipeta la soa delle coponenti in diezione adiale di tutte le foze che agiscono su di una paticella in oto cicolae. F on si tatta quindi di un nuoo tipo di foza, a solo del noe che sinteticaente si assegna alla isultante delle foze che poducono l acceleazione centipeta. el pecedente esepio 1 la foza centipeta è fonita dalla noale alla guida, in questo caso l unica ad agie sulla pallina in diezione adiale. iflettiao sul fatto che la foza noale è una foza passia, che è in gado di fonie sepe il aloe che occoe pe costingee l oggetto a pecoee la taiettoia cicolae di quel aggio con quella elocità. Se ad esepio il odulo della elocità addoppiasse, la guida doebbe fonie una foza centipeta ( ) 4 quatto olte più gande, e così ia finché la foza ichiesta non dienisse così intensa da piegae la guida stessa. E quanto accade ai teni che deagliano pe ae tentato di pecoee le cue a elocità supeioe al assio che il binaio potea soppotae senza defoasi. a foza centipeta può aee le oigini più diese: la tensione di una coda insiee alla gaità poducono la foza centipeta quando si fa uotae una assa ad un suo capo, l attito statico fa pneuatici ed asfalto fonisce la foza centipeta che see pe fa pecoee all auto una cua, la foza di gaità funge da foza centipeta pe tenee la una in obita attono alla ea, e così ia. Esepio Una assa Kg agganciata al capo di una fune lunga iene fatta uotae in un piano eticale, ipiendogli nel punto più in basso una elocità 5.00 /s. a taiettoia è cicolae a il odulo della elocità non iane costante in quanto la assa è allentata dalla gaità ente sale ed è acceleata ente scende. Sapendo che nel punto più in alto isulta. /s, si calcolino la foza centipeta, l acceleazione centipeta e la tensione della fune nelle posizioni di assia e inia altezza. ella posizione di inia altezza abbiao, oento coincide con la diezione adiale): a g 5.00 g ente la foza centipeta e l acceleazione centipeta algono: lungo l asse (che in quel 5

6 4 D B 1 E A F g a 50.0 /s a 50.0 /s el punto di assia altezza abbiao, sepe lungo la diezione adiale : a g. g ente la foza centipeta e l acceleazione centipeta algono: F g a 10.8 /s a 10.8 /s iflettiao sul fatto che la tensione della coda non coincide con la foza centipeta, a anzi aggiusta il suo aloe facendosi inia quando è aiutata dalla gaità nel podue la foza centipeta, coe accade nel punto più alto, e facendosi inece assia quando è contastata dalla gaità nel podue la foza centipeta, coe accade nel punto più basso. Esepio Un auto segue una stada cua pocedendo a elocità di odulo costante. Si calcoli il odulo della sua acceleazione nei tatti AB, B, D, DE specificando doe è assio e doe inio. ungo i tatti AB, D, DE, che sono achi di ciconfeenza, l acceleazione è solo centipeta essendo il odulo della elocità costante. Si ha: 4 a ; a ; a AB D DE 1 4 ente nel tatto ettilineo B essendo costante il odulo della elocità si ha: a 0 B Il assio aloe di acceleazione, tutta centipeta, si ha quindi duante la cua di aggio inio DE, il inio aloe di acceleazione centipeta nella cua di aggio assio AB, ente il inio aloe di acceleazione in assoluto è il aloe nullo che si ha nel tatto ettilineo B. f s x Esepio 4 Un autoobile di assa 1500 Kg pecoe una cua cicolae di aggio 40.0 alla elocità di 15.0 /s. Si toi quanto ale la foza centipeta. Sapendo poi che il coefficiente di attito statico fa pneuatici ed asfalto è 0.950, si calcoli la assia elocità alla quale l auto può pecoee la s cua e la foza centipeta in questo secondo caso. 6

7 a foza centipeta è fonita tutta dalla foza di attito statico f, e la sua s diezione è pependicolae a quella in cui aanzano le uote. el pio caso f s non aggiunge il suo aloe assio, a sappiao peò che la sua intensità soddisfa la condizione 0 f. Indicando con x la diezione adiale s s istantanea coe in figua, si ha: f a f sx x s 40.0 Pe aee la elocità assia dobbiao calcolae inece popio la assia foza di attito statico s e quindi toae. Dall equilibio in diezione eticale si ha: 0 g 0 g che sostituito nella elazione pecedente: f a g sx ax x s s g /s. s In questo caso pe la foza centipeta isulta F Esepio 5 Un autoobile di assa 100 Kg, che iaggia alla elocità costante di 10.5 /s, passa sopa ad un dosso il cui pofilo può essee consideato una ciconfeenza di aggio Si dica, senza solgee alcun calcolo, se quando l auto aggiunge la soità, la foza noale esecitata dal teeno è aggioe, inoe od uguale al peso della ettua. Si calcolino quindi le intensità della foza centipeta e della foza noale in quel oento. Quando si toa nel punto più alto l auto sta desciendo una ciconfeenza, quindi dee agie su di lei una foza eticale che punta eso il cento. Questo significa che la soa delle foze che agiscono in eticale dee puntae in basso, cioè la foza dee aee un intensità inoe di quella del peso. E ben nota infatti la sensazione di alleggeiento che da passeggei si speienta sulla soità dei dossi: quello che si pecepisce è popio la diinuzione della foza noale, che coe sappiao, inece, quando siao in quiete esta sepe uguale al peso. a foza centipeta è il isultato delle azioni congiunte di e, che in eticale si sottaggono. Osseando la diezione dell asse eticale si ha a, da cui si icaa pe la foza centipeta: 7

8 10.5 a F g ente pe la noale: g Esepio 6 Una pallina di assa 0.00 Kg, appesa ad un filo lungo 0.750, gia a elocità di odulo costante desciendo una ciconfeenza, ente l angolo che il filo foa con la eticale iane sepe 5.0. Sapendo che la pallina copie un gio in 1.50 s si toi la tensione del filo, l intensità della foza centipeta e l intensità dell acceleazione centipeta. Foza centipeta x alcoliao innanzitutto il aggio della taiettoia cicolae: sin sin e icaiao da questo il odulo della elocità della pallina: /s 1.50 s 1.50 e l intensità dell acceleazione centipeta: 1. a 5.58 /s 0.17 Fissato un ifeiento nell istante appesentato in figua, sappiao che in diezione eticale non c è acceleazione, poiché se l angolo iane costante, la pallina non può né salie né scendee. Si ottiene: a cos 5.0 g 0 g cos a foza centipeta è data dalla coponente oizzontale della tensione, e coincide anche con la coposizione data dalla egola del paallelogaa della tensione e del peso, poiché la isultante di queste due foze, coe abbiao detto, è tutta oizzontale: F sin Esepio 7 Sopa ad un piano, fissata ad una coda, una assa Kg descie un oto cicolae unifoe di aggio con elocità.50 /s. All alto capo della coda pende iobile, da un foo icaato al cento del piano, una seconda assa. Si toi il aloe di. Fissato un ifeiento con la diezione adiale istantanea lungo l asse x, abbiao che la foza centipeta è fonita dalla tensione della coda: 8

9 .50 a x x Pe la assa appesa, la condizione di equilibio ichiede che lungo l asse eticale sia nulla l acceleazione: a g 0 g 5.6 da cui si ottiene: Kg g 9.81 x Esepio 8 Una blocco di assa, sciola senza attito lungo il pofilo di un igloo a foa di sfea aente aggio, patendo dal punto più alto con una elocità oizzontale così piccola da potesi consideae nulla. Ad un ceto aloe dell angolo il blocco si stacca dall igloo, desciendo una taiettoia paabolica di caduta libea. Spiegae peché si distacca e calcolae quanto ale la elocità in quell istante. Fintanto che il blocco segue il pofilo dell igloo sta desciendo una taiettoia cicolae, e quindi occoe che le foze agenti su di lui, noale e peso, poducano la foza centipeta necessaia. a noale coe sappiao è una foza passia, che adegua an ano la sua intensità in conseguenza della foza con la quale il blocco iene peuto conto l igloo. Se l igloo non ci fosse, il blocco seguiebbe sin dall inizio una taiettoia paabolica di caduta libea, che si toeebbe nello spazio occupato dal ghiaccio. A ano a ano che pocede la discesa, questa taiettoia ipotetica si a apendo sepe più peché auenta l intensità della elocità con cui la caduta libea aebbe inizio. ell istante in cui la paabola dienta tutta estena all igloo, il blocco non iene più peuto conto il ghiaccio e così si stacca. In quel oento, dato che cessa di essee peuto, si annulla anche la foza noale. Scegliendo un ifeiento coe in figua, osseiao che il odulo della elocità non è unifoe, a cesce duante la caduta pe l azione della gaità. Il blocco seguià il pofilo cicolae dell igloo solo fino a quando la soa delle foze adiali F iuscià a podue la necessaia foza centipeta F g cos Iponendo la condizione toata sopa, pe cui oento del distacco, si toa la elocità: g cos g cos la noale si annulla al : cos = 0 diezione adiale istantanea x 9

10 0 Esepio 9 Un autoobile di assa tenta di eseguie il gio della ote lungo una pista cicolae di aggio. Si toi la elocità inia con la quale dee a aiae nel punto più alto della pista. Pe pote eseguie il gio le uote dell auto deono antenee sepe il contatto con la pista, in paticolae nel punto più alto. Questo aiene solo se in ogni oento la elocità istantanea che la taiettoia di caduta libea che tende a fa desciee all auto ha la pate iniziale estena alla pista, coe nella cua blu in figua. In tal odo la pista dee esecitae una foza noale pe costingee l auto a deiae eso il cento, ed il contatto è assicuato. Se iceesa la elocità istantanea è così bassa da podue una taiettoia di caduta libea intena alla pista (cua gialla), il contatto iene eno. Quando la condizione di contatto è soddisfatta nel punto più alto, essa è cetaente soddisfatta anche nell inteo tagitto, dato che foza di gaità fa diinuie l intensità della elocità an ano che l auto sale. Indicando con la elocità alla soità, in quel oento isulta: a a a a g g a foza centipeta a piccola quanto inoe è a che occoe pe antenee l auto in pista è tanto più. Il aloe inio di è quello a cui basta la sola a gaità a podue a. Pe esso isulta dunque 0 a g g g a a nel punto più alto: Esepio 10 Un autoobile di assa pecoe una cua di aggio 150 alla elocità di 15.0 /s. Sapendo che la stada è inclinata ed indicato con x l angolo che essa foa con l oizzontale, si toi il aloe di che peette all auto di pecoee la cua anche in assenza di attito fa pneuatici ed asfalto. oe si icaa dalla figua la soa ettoiale della foza noale e del peso debbono fonie la necessaia foza centipeta pe desciee una cua di aggio alla elocità assegnata. Il secondo pincipio della dinaica in foa ettoiale si scie: a g a equazione sopa scitta è facilente isualizzabile in teini geoetici gazie al etodo di punta-coda. Si foa un tiangolo di ipotenusa ed i cui cateti a ed g, in base ai dati del poblea, deono essee ispettiaente oizzontale e eticale. Si diosta facilente che è pue l angolo fa ed g. isulta dunque: 10

11 a tan g g ; tan (0.15) 8.69 g Allo stesso isultato si peiene facendo il appoto delle coponenti oizzontale e eticale della foza noale: x a x x 0 g 0 g x tan g g a g g x Esepio 11 Un disco uota su di un piano oizzontale copiendo gii/in. Ad una distanza di 5.0 c dal cento iene appoggiato un blocchetto di assa. Sapendo che il coefficiente di attito statico fa blocco e disco ale si s dica se il blocchetto sciola. Il blocchetto sciola sicuaente se la assia foza di attito statico non può fonie la foza centipeta necessaia pe seguie quel paticolae oto cicolae. Pe calcolae la foza centipeta icaiao la elocità: lunghezza di 1 gio /s secondi in un inuto F Il aloe della foza centipeta non è noto in quanto è ignota la assa del blocchetto. uttaia anche l attito statico che dee podula ha un aloe assio che dipende da. Sapendo che l equilibio in diezione eticale poduce f S,ax S S g g e coe si ede isulta sepe qualunque sia la assa, cioè il blocchetto sciola in ogni caso peché l attito statico non ce la fa a fonie la necessaia foza centipeta, neppue in caso assua il suo aloe assio. : f S 5 c Esepio 1 Si deteinino elocità ed acceleazione centipeta di un punto sulla supeficie teeste che si toi alla latitudine italiana, sapendo che Il punto descie in un peiodo 4 h s una ciconfeenza di aggio: 6 6 cos /s e coe si ede la elocità toata è supeioe alla elocità del suono in aia. Pe l acceleazione isulta: 11

12 a /s Esepio 1 Un ponte sospeso foa un aco di ciconfeenza incuato eso il basso, di aggio 00. Sul catello di aetiento si legge che il ponte soppota al assio un caico di assa Quale liite di elocità dee ispettae un autoobile di 100 Kg se uole attaesae il ponte senza che questo si opa? Osseiao che il peso dell auto è infeioe al caico assio soppotabile, tuttaia questo non peette di concludee che il ponte non si ope in quanto la foza noale che esso esecita sull auto, olte ad equilibae la coponente adiale del peso dell auto ( in figua), dee anche podue la necessaia foza centipeta affinché l auto possa seguie la taiettoia cicolae iposta dalla foa del ponte. Al cescee della coponente adiale del peso, la foza noale cesce in intensità fino al suo assio, assunto nel punto più basso, doe dee equilibae l inteo peso dell auto. a elocità assia si ottiene iponendo che il aloe assio della noale (quello nel punto più basso) sia popio : g g /s 1

13 . a legge di gaitazione uniesale osa dice la legge della gaitazione uniesale? espeienza osta che qualunque coppia di copi si attae ecipocaente con una foza detta gaitazionale, la cui intensità è tanto aggioe quanto più le asse sono icine, e tanto aggioe quanto aggioe è il aloe della assa di ciascuno di essi. el caso paticolae in cui le due asse siano puntifoi questa foza attattia F è dietta lungo la etta congiungente i due copi, ed ha un intensità inesaente G popozionale al quadati della loo distanza e diettaente popozionale al podotto delle due asse: F 1 1 F G G F 1 on ed abbiao indicato le ispettie asse in kilogai, ente e 1 F sono oiaente espessi in eti e ewton. G è una costante fondaentale G della natua, che nel Sistea Intenazionale ale : 1 G Kg e le sue unità di isua sono quelle che occoono pe fa tonae ewton al pio ebo: G Kg. Osseiao che G è un fattoe di popozionalità così piccolo che pe podue foze gaitazionali dell odine di qualche ewton seono asse enoi, coe quella di un pianeta. Esepio 14 alcolae la foza gaitazionale con cui si attaggono due asse puntifoi di 100 Kg ciascuna, poste alla distanza di F G G 1.00 Una foza, coe si ede, infeioe al ilionesio di ewton. he elazione esiste fa la foza F e la foza F in figua? 1 1 Se indichiao con F la foza che agisce su ad opea di, e con F la foza che agisce su subisce ad opea di, indipendenteente dal fatto che le due 1 asse siano diffeenti od uguali, il pincipio di azione e eazione ipone che si abbia sepe F F 1 1. Infatti nella foulazione ateatica della legge di gaitazione, F appesenta indiffeenteente sia F che F. Quindi se G 1 1 lasciao cadee una pieta dall alto la foza che la ea esecita sulla pieta ha la stessa intensità della foza che la pieta esecita sulla ea. uttaia, essendo la 1

14 F 1 F assa della pieta olto più piccola, la sua acceleazione è olto aggioe ispetto a quella che subisce il pianeta e quindi è la pieta a uoesi eso il cento della ea e non iceesa 1 : F F G G a a pieta E se le asse non sono puntifoi? Questa espessione ateatica della legge della gaitazione uniesale, ale esclusiaente pe oggetti assiilabili a dei punti. Un oggetto igoosaente puntifoe è un entità solo teoica: nella patica si consideano puntifoi oggetti in cui la distanza coinolta nella legge di gaitazione sia olto gande ispetto alle loo diensioni tasesali (aleno un odine di gandezza, cioè dieci olte più gande). In questo senso anche una stella può essee consideata puntifoe se le sue diensioni sono appotate alle distanze inteplanetaie. Se peò le asse non sono puntifoi dobbiao iaginale scoposte in pozioni piccolissie ispetto alla loo estensione, e soae ettoialente gli effetti della legge di gaitazione fa tutte le possibili coppie di punti. Infatti l espeienza osta che ale il pincipio di soapposizione, pe il quale la foza con cui inteagisce ciascuna coppia è la stessa che si aebbe se tutte le alte coppie non esistesseo. E se le asse hanno foa sfeica? In caso di asse sfeiche il calcolo descitto sopa si seplifica noteolente peché la sfea può essee scoposta in coppie di punti uno a sinista ed uno a desta alla stessa distanza dall oggetto che iene attatto, e così la isultante di ciascuna coppia punta sepe eso il cento della sfea. Analogaente anche la isultante coplessia è dietta eso il cento della sfea e così possiao utilizzae la foula della gaitazione iaginando ad esepio che la assa di un pianeta sia tutta concentata nel cento. Se entabe le asse sono sfeiche, coe ad esepio la ea e la una, possiao petanto usae la foula a patto che appesenti la distanza fa i centi. pieta E gazie agli studi di ewton, pubblicati nella sua fondaentale opea Philosòphiae atualis Pincipia atheatica (1687) sappiao dunque che la ea esecita su di noi un foza, la cui natua è identica a quella che esecita sulla una. Questo nuoo odo di edee le cose appesentò da un lato la pia gande unificazione 1 In ealtà acceleano entabe eso il cento di assa del sistea che costituiscono. Va detto anche che nel oento stesso in cui assuiao che le asse siano puntifoi, e che tutte le loo popietà possano essee indiiduate da una gandezza scalae, anche solo da otii di sietia si potebbe dedue che la loo inteazione dee essee dietta lungo la congiungente, in quanto in uno spazio uoto con le sole due asse in studio, non si potebbe definie nessun alta diezione in odo unioco. 14

15 scientifica di due fenoeni appaenteente distinti (il peso sulla supeficie della ea ed il oto obitale del nosto satellite), dall alto fu un significatio balzo in aanti nella copensione del ondo, specie se confontato con il punto di ista aistotelico pe il quale il peso degli oggetti ea douto alla natuale tendenza che questi aeano a icongiungesi al luogo della loo oigine. os è una appa gaitazionale? elle egioni del pianeta doe la distibuzione della assa non è a pefetta sietia sfeica, la isultante non saà esattaente dietta eso il cento della ea, a subià piccoli scostaenti. Questo accade quando ad esepio si hanno caità sotteanee coe quelle natuali che acchiudono un giaciento petolifeo o di gas. Una isua accuata della aiazione della diezione della foza di gaità ispetto al cento della ea peette di indiiduae tali caità, e iene detta appa gaitazionale. E con questo sistea che ad esepio si è scopeta una caità ipiena di occe sedientaie leggee nelle penisola dello Yucatan in essico, pobabilente douta al catee scaato dall asteoide che 65 ilioni di anni fa potò all estinzione i dinosaui. occia petolio Esepio 15 Si toi a quale distanza d dal cento della ea, un oggetto di assa è tiato con eguale intensità tanto dalla foza di gaità teeste che da quella lunae, essendo il aggio edio dell obita lunae. Si ha che la assa è attatta ispettiaente dalla ea e dalla una con foze la cui intensità si scie: F G F G d ( d) Uguagliando e seplificando si ottiene: G d G ( d) ( d) d ell ultio passaggio si è potuta estae la adice di abo i ebi essendo positie tutte le quantità pesenti (infatti d 0 ). Osseiao in paticolae che il isultato non dipende dalla assa dell oggetto. isolendo: d oe si ede il punto in questione dista dalla ea 9 10 he elazione c è con la foza peso espessa nella foa g? della distanza ea-una. Sulla supeficie del pianeta la distanza dal cento della ea è sepe costante e pai 6 al suo aggio Pe questo si può calcolae una olta pe tutte il aloe dell acceleazione douta alla gaità sulla supeficie teeste pe tutti gli oggetti, dato che la foza di gaità dipende anch essa dalla assa e questa si d 15

16 seplifica nella seconda legge della dinaica applicata in diezione adiale. Ad un oggetto in caduta libea. Sapendo che Kg isulta: 4 F G a F a G G a /s 6 ( ) ed è quindi da questo calcolo che si ottiene il noto aloe g 9.81 /s. Questo calcolo peette di capie peché tutti gli oggetti, di aggioe o inoe assa, acceleano con la stessa intensità eso il basso. Infatti, poiché F G è popozionale ad, i copi più assii subiscono una foza aggioe ispetto a quelli eno assii. uttaia i copi di assa aggioe hanno anche bisogno di una foza aggioe pe acceleae, dato che è popozionale ad pue la loo inezia, cioè la tendenza a esistee all azione di una foza (è il secondo ebo della legge di ewton F a ). In alte paole ci uole più foza pe acceleae di /s 9.81 un oggetto assiccio che uno di piccola assa. he succede all acceleazione di gaità salendo di quota? Il denoinatoe iene inceentato del aloe della quota, il che fa diinuie l acceleazione di gaità. Ad esepio in cia all Eeest si ha: g Eeest /s 6 ( ) ente su di una stazione spaziale obitante ad un altezza di 00 K : g /s 00 K 6 6 ( ) oe si ede la diinuzione dell acceleazione di gaità in un obita bassa quale quella a 00 K è dell odine del dieci pe cento. a condizione di assenza di peso degli astonauti non è quindi iputabile a questo, (infatti la gaità è ben pesente a quell altezza e fonisce la necessaia foza centipeta!), a al fatto che il loo oto è assiilabile ad un oto di caduta libea, e non pecepiscono il peso peché non c è una supeficie sulla quale si appoggiano ad esecitae una foza noale su di loo. he succede all acceleazione di gaità se cabia la assa del pianeta? Genealizzando i calcoli pecedenti, si ha che l acceleazione di gaità supeficie di un pianeta di assa e aggio è data da: P P gp sulla 16

17 g P G P P Una adicale diinuzione della assa in un pianeta di diensioni confontabili con la ea copota petanto una diinuzione del aloe dell acceleazione douta alla gaità sulla supeficie, ad esepio: g ate /s 6 (.9 10 ) g una /s 6 ( ) Quindi sulla una un uoo di assa 100 Kg è attatto con una foza di 16, cioè quella con cui la ea attia una assa di di ate è attatto con una foza di una assa di 8 Kg Kg. o stesso uoo sulla supeficie 7, ale a die quella con cui la ea attia uttaia non a dienticato che la foza gaitazionale decesce con l ineso del quadato della distanza dal cento, petanto sulla supeficie di un pianta coe Satuno, che ha una assa quasi cento olte quella teeste a un aggio equatoiale dieci olte più esteso, si ottiene una acceleazione di gaità paagonabile alla nosta: Esepio 16 g Satuno /s 6 ( ) Sulla supeficie di ate un oggetto lanciato eticalente con elocità iniziale 100 /s aggiunge un altezza h 140. Sapendo che il aggio di ate o 6 isua.9 10 si calcoli la assa di ate. F G oe sappiao la assia altezza h aggiungibile da un oggetto lanciato eticalente con elocità iniziale è data dalla elazione: 0 g h 0 g, doe è l acceleazione di gaità sulla supeficie del pianeta, in questo caso ate. alcoliao g inetendo la foula: g.7 /s h 140 Inetendo la elazione che peette di toae l acceleazione di gaità sulla supeficie di un pianeta si ottiene la assa del pianeta: g G G g Kg 17

18 . Il oto obitale cicolae F G o he cosa ipedisce alla una di cadee sulla ea? a sopendente isposta è che la una in effetti cade sulla ea, i cade continuaente, così coe i cadono tutti i satelliti atificiali in obita attono al pianeta. Un oggetto in obita tende a cadee in ogni istante eso il cento della ea, tuttaia il teeno, pe così die, gli scappa ia da sotto esattaente con lo stesso passo, quindi non iesce ai ad aicinasi alla supeficie. a figua a lato, tatta dai Pincipia di ewton (1687) illusta in che senso un oto obitale possa essee isto coe situazione liite di un lancio oizzontale. Fissata la quota, al cescee della elocità iniziale auenta la gittata e con essa si allaga la cuatua della taiettoia. Quando la cuatua aia a seguie quella della ea, il poiettile enta in obita. on quale elocità può essee pecosa un obita cicolae? E iediato endesi conto che non è possibile pecoee un obita alla elocità che si desidea, a che piuttosto questa isulta stabilita dall altezza alla quale si uole fissae l obita. ungo la diezione adiale istantanea si ha infatti che la foza di gaità fonisce la foza centipeta necessaia. Poiché la gaità diinuisce con l altezza, diinuià anche la foza centipeta che essa può fonie e quindi con l altezza decesce pue la elocità obitale o. In un ifeiento con l asse adiale uscente dal cento della ea si ha: G o G Questa elazione fonisce la elocità obitale (o kepleiana) o o con la quale l obita dee essee pecosa se si uole che ianga stabile, cioè che l intensità della foza di gaità fonisca popio il aloe della foza centipeta necessaia a pecoee quella ciconfeenza. Osseiao che: oe si ede dalla pesenza di al denoinatoe, la elocità obitale decesce con l altezza da tea: le obite più sono estene più sono lente. Osseiao inolte che la elocità obitale non dipende dalla assa, e pe questo otio ad esepio una stazione spaziale e gli astonauti al suo inteno, possono seguie la stessa obita pue se di asse olto diffeenti. oe si calcola il peiodo di un obita cicolae? Si chiaa peiodo il tepo che occoe a desciee un obita copleta: 18

19 4 o o che sostituita nella elazione pe la elocità obitale poduce: G 4 G costante G 4 ultia foa di questa elazione iene detta teza legge di Kepleo pe il oto obitale. Quanto dee essee alta coe iino un obita? Se non i fosse l atosfea, e la ea fosse una sfea dalla supeficie liscia, saebbe possibile un obita anche al liello del ae. uttaia il fatto di doe spostae l aia pe uoesi iplica, pe la teza legge di ewton, che l aia eseciti una foza uguale e contaia, allentando così il oto, ed ipedendo la stabilità dato che la elocità obitale dee estae costante. Petanto l obita più bassa possibile si ha alla quota in cui l aia è sufficienteente aefatta da non ostacolae il oto: sono cica 150 K. Gli Shuttle pecoono obite con 50 K alla elocità di cica 8 K/s e 1h 0 in, i satelliti GPS obite con 0000 K e 1h. E inolte possibile che un obita sia geosincona, cioè tale che il suo peiodo dui esattaente un giono. Sostituendo 4 h s si ottiene: 1 G h K 4 A quell altezza la elocità obitale è cica 100 /s. Se poi l obita geosincona aiene nel piano che contiene l equatoe, e nello stesso eso di otazione della ea, si dice geostazionaia. Un satellite pe telecounicazioni segue tale obita, in odo da antenesi sepe sopa ad uno stesso punto sulla supeficie dell equatoe teeste. Sono efficaci i satelliti spia? I satelliti spia debbono pecoee obite basse pe aee isoluzione sufficiente a distinguee oggetti icini. eleata elocità che le obite basse ichiedono, fa si che il tepo di tansito sopa all obiettio sia esteaente bee. on ifeiento alla figua, si ha d h sin 45 h, e se l altezza è la tipica dei satelliti spia, h 00 K, il tepo di peanenza sopa all obiettio in un passaggio con d h K/s saà s cioè dell odine del inuto. Pe di più la successia o 8 obita non ipasseà esattaente sopa all obiettio peché la ea sotto ha uotato Il che peette facilente di indiiduae il sud in una gande città euopea, sepliceente osseando la diezione eso la quale puntano le antenne paaboliche teleisie pe iceee il segnale satellitae. 19

20 e con elocità diffeente dal satellite e si doanno attendee nueose obite pe un nuoo tansito. B oe funziona il sistea GPS? Il sistea di posizionaento globale (Global Positioning Sste) si aale di un iceitoe ed una ete di 4 satelliti posti a quota 0000, con un peiodo obitale di 1 h. Il nosto appaecchio è solo iceitoe, non inia alcun segnale ai satelliti, che A 1 quindi neppue sanno della nosta esistenza. Essi iniano il segnale della loo posizione in ogni istante: bastano te di questi segnali pe pote indiiduae con cetezza la nosta posizione sul pianeta. Pe capie ifeiaoci ad un piano e supponiao di iceee la posizione del satellite A insiee al tepo in cui il segnale è stato iniato. Dalla elocità della luce, alla quale iaggiano le onde adio, icaiao la nosta distanza da A. Questo peette di concludee che ci toiao su di una ciconfeenza (nello spazio una sfea) centata in A, di aggio pai alla distanza icaata. ontepoaneaente iceiao il segnale dal satellite B, e quindi doeo stae pue lungo una ciconfeenza di cento B e aggio toato con lo stesso sistea. Questo iduce la nosta possibile posizione solo ai punti 1 e in figua. a icezione di un tezo segnale peette infine di stabilie che la nosta posizione è la 1, peché dobbiao appatenee pue ad una teza ciconfeenza con cento in. Esepio 17 obita del pianeta ettuno può appossiatiaente essee consideata una ciconfeenza. Sapendo che ettuno dista dal Sole cica 0 olte quanto dista la ea, si calcoli quanti anni gli occoono pe copletae una ioluzione. Possiao ispondee utilizzando la teza legge di Kepleo pe il oto obitale: costante e infoazioni del testo possono essee espesse sciendo che 0. Sostituendo: ed essendo 1anno si ha 164 anni. Esepio 18 e osseazioni ostano che la una ipiega 7g 7h 4 in pe una ioluzione copleta attono alla ea (ioluzione sideale). Assuendo che l obita sia cicolae e che Kg calcolae la distanza edia della ea dal nosto satellite e l acceleazione centipeta della una. asfoiao il peiodo in secondi: s sappiao che ale la elazione: 0

21 o 4 G G sostituendo i aloi dati: G K Pe l acceleazione centipeta occoe conoscee la elocità obitale: o che inseita fonisce: o ( ) a /s Esepio Un satellite descie un obita cicolae attono alla ea ad una distanza di 500 K dalla sua supeficie, ipiegando 94.6 in. oae la fequenza di otazione del satellite (nueo di gii ogni secondo), la sua elocità obitale e l acceleazione centipeta. ostae quindi che l acceleazione centipeta è uguale all acceleazione douta alla gaità teeste. Pe pia cosa calcoliao il aggio dell obita, h, ed il peiodo in secondi: K ( ) s s Il nueo di gii in un secondo si toa diidendo 1 s pe la duata di un gio in secondi, cioè pendendo il ecipoco del peiodo: 1 1 f s s 1 4 questo nueo si dice fequenza e la sua unità di isua, s 1 è detta Hetz Hz. alcoliao la elocità obitale e poi l acceleazione centipeta: /s o o ( ) a /s c acceleazione douta alla gaità teeste si toa facendo il appoto fa la foza gaitazionale e la assa del satellite: F G G ( ) Hz /s 1

22 /s 6.88 Esepio astonae Entepise si posiziona in obita (geo)stazionaia attono al pianeta 4 Klingon, ad una distanza di K dalla supeficie, copiendo una ioluzione in due gioni teesti. Il capitano Picad chiede al tenente coandante Data quale sia la assa di Klingon, a una tepesta agnetica ha cancellato pazialente i dati e isulta disponibile solo il aggio K. Aiutate Data a calcolae la assa del pianeta. K Dalla teza legge di Kepleo applicata al pianeta Klingon si icaa un espessione pe la assa G K 4 K del pianeta: K 4 G alcoliao il aggio dell obita ed il peiodo in secondi: h K K K s s Sostituendo: K G Kg Kg 1 Esepio 1 Si dice punto lagangiano 1 una posizione fa la ea e la una che abbia lo stesso peiodo della una. Se consideassio solo la gaità teeste, un punto più icino della una non potebbe ai soddisfae questo equisito, peché doebbe seguie la sua obita più eloceente della una. uttaia la gaità lunae equiliba pate della gaità teeste endendo il fenoeno possibile. Si iposti l equazione che peette di toae il aggio dell obita del punto 1 on ifeiento alla figua, sulla assa posta in 1 si ha: o G G ( ) Il peiodo obitale dee essee lo stesso della una, dal che si icaa la elocità: G o G G G G ( ) 1 G ( )

23 4. Acceleazione tangenziale e centipeta oe possiao decopoe un ettoe? ella situazione più geneale possibile, doeo consideae l eentualità che la elocità possa cabiae diezione, eso ed intensità in ogni istante. Pe pote analizzae la situazione dal punto di ista dell acceleazione, sfutteeo la popietà di decoposizione di un ettoe, che qui beeente ichiaiao. a tecnica di decoposizione consiste nell applicae la egola del paallelogaa al contaio. Dati due ettoi e, il loo ettoe soa ha pe 1 1 appesentante il segento oientato lungo la diagonale del paallelogaa di lati consecutii e, coe in figua. abiando pospettia alloa, dato un 1 qualunque ettoe ed una coppia di ette incidenti ed s, saà sepe possibile decopoe in una coponente lungo, ed una coponente lungo s,. s Basteà infatti disegnae il appesentante di applicato nel punto di intesezione di ed s e tacciae le paallele alle due ette a patie dalla testa del ettoe. oe si ede dalla figua, la soa delle due coponenti così indiiduate estituisce sepe il ettoe oiginaio, cioè. s 1 s 1 s Qual è la diezione dell acceleazione nel caso più geneale? Poniao quindi di aee un punto ateiale che si uoe seguendo una taiettoia cuilinea in due diensioni. Il ettoe elocità è, pe definizione, sepe tangente alla taiettoia e quindi, in ogni istante, cabia diezione. el caso geneale anche il odulo della elocità cabia in ogni istante. a a a a x Pocediao decoponendo il ettoe acceleazione nelle sue coponenti lungo le due ette tangente e noale alla taiettoia, coponenti indicate in figua con a t ed a n ispettiaente. a n a a t a n a a t a n a a a t a n x a t figua 7

24 Possiao edee tale situazione coe una cobinazione dei casi eleentai che conosciao. Poiché la elocità è sepe tangenziale, la aiazione del odulo della elocità può essee douta solo ad un ettoe anch esso nella diezione tangenziale. Quindi alla pesenza di una coponente tangenziale nell acceleazione ci dice di quanto dee essee allungato od accociato il ettoe elocità ogni secondo. a aiazione della diezione della elocità è inece iconducibile alla pesenza di una coponente noale nell acceleazione, popio coe accade nel oto cicolae unifoe. oe si è isto in quel caso infatti, un acceleazione pependicolae alla elocità non ne odifica ai il odulo, a la fa solo uotae. Possiao appossiae la taiettoia in ogni punto con una ciconfeenza? a coponente noale è dunque esponsabile del cabiaento di diezione della elocità istantanea. Possiao pensae ad essa coe all acceleazione centipeta che aebbe la nosta paticella se si stesse oendo, anziché lungo la taiettoia eale, lungo quella ciconfeenza che eglio i cobacia intono al punto doe stiao osseando il oto. Una tale ciconfeenza, detta ciconfeenza osculatice 4, si indiidua senza abiguità pe ciascun punto P della taiettoia, consideato che, pesi P e P in possiità di esso, coe in figua, pe i te punti non allineati P, 1 P ep 1 passa una sola ciconfeenza. a ciconfeenza osculatice nel punto P si ottiene coe posizione liite, facendo aicinae sepe più P ep 1 a P. Il suo aggio iene detto aggio di cuatua della taiettoia in quel punto. P 1 P P 1 P P a n P P P 1 a a t P a n a s( t) a t oe si intuisce, la ciconfeenza osculatice saà sepe abbacciata dalla taiettoia con la quale dee cobaciae, cioè si toeà sepe nella egione di piano doe la cua iolge la sua concaità. Petanto è sepe eso tale egione che punta la coponente noale dell acceleazione e di conseguenza anche l acceleazione coplessia, coe iene scheaticaente illustato in figua. he elazione c è con l acceleazione nel oto ettilineo? a coponente tangenziale dell acceleazione, inece, è esponsabile della aiazione del odulo della elocità, ed ha lo stesso significato che ha l acceleazione istantanea nel oto ettilineo, puché si sostituisca la coodinata ettilinea con un ascissa cuilinea lungo la taiettoia. s 0 4 Dal latino osculo, baciae. a ciconfeenza, cioè, che eglio cobacia con la taiettoia in quel punto. 4

25 a Esepio In figua è appesentata la taiettoia di un punto ateiale. Si dica se è possibile che i ettoi acceleazione e elocità istantanea abbiano i esi ipotati. a situazione poposta non è possibile, peché il ettoe elocità dee essee sepe tangente alla taiettoia ed il ettoe acceleazione sepe oientato eso la pate del piano doe la taiettoia iolge la sua concaità. x t Esepio Qui a lato è ipotato l andaento in funzione del tepo della elocità di un punto ateiale. Sulla base di questa infoazione e sull andaento della taiettoia seguita dal punto si stabilisca se l angolo fa l acceleazione e la elocità è acuto oppue ottuso. angolo è acuto peché il odulo della elocità sta auentando, e petanto la coponente tangenziale dell acceleazione dee essee oientata concodeente al eso di pecoenza della taiettoia. Di conseguenza il ettoe acceleazione dee essee oientato pealenteente nel eso di pecoenza, cosa che accade nel caso dell angolo acuto. angolo acuto a angoloottuso x a x 5

26 Pate enegetica: anoe obitali ellittiche si ha la paabola se la elocità eguaglia quella di fuga, ipebole se la supeo, ellisse se è infeioe. a populsione a azzi è assai inefficace, coe ole solleasi da tea col inculo di un fucile E difficile cadee nel sole peché deo annullae i 0 K/s della elocità obitale. E più facile lasciae il sistea solae: bastano 1 K/s. Fionda planetaia Altezza dell obita Peiodo dell obita Velocità obitale lassificazione dell obita 150 K EO Satelliti Spia 50 K EO Shuttle 0000 K 1 oe EO GPS 5800 K 1 giono GEO Satelliti V o eteo 6