Dinamica del corpo rigido corpo rigido rotazione attorno all asse fisso z elemento infinitesimo di massa dm

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1 Dnamca del copo gdo Un copo gdo è un oggetto n cu la dtanza ta una coppa qualunque d uo punt non vaa. Qund tutt punt d un copo gdo muovono lungo taettoe paallele. w Condeamo un copo gdo qualunque ed emnamone l moto d otazone attono all ae o z. Condeamo nnanztutto un elemento nntemo d maa dm del copo e detemnamo l uo momento angolae petto all ae d otazone z. Abbamo v l ω e v p e l ω n dm n ω Fca Geneale A.A. 004/05

2 Volendo oa valutae l momento angolae totale, dovemmo ommae u tutt gl element dm che compongono l copo; ognuno d e avà un l con componente cotante lungo l ae d otazone z e component vaabl ul pano (xy) otogonale all ae z. D coneguenza poamo de che olo la componente d L paallela all ae d otazone z eta cotante nel moto e amo petanto autozzat a condeae olo le quanttà cala l z. π l dmω n co dmω z n Sommando u tutt gl element m del copo ottenamo L ( dm ) ( n ω dm R ) z Vedamo che L z dpende dalla veloctà angolae del copo e da un temne, caattetco del copo teo, che tene conto della dtbuzone della ua maa petto all ae d otazone. Fca Geneale A.A. 004/05 ω

3 Queto temne pende l nome d momento d neza del copo petto all ae d otazone z, è una quanttà calae e ndca con z. z dm R z R dm pe un copocontnuo Rtonando oa al momento angolae, tovamo che L z z ω La elazone geneale tovata è una elazone calae. Ea ha anche valdtà vettoale e la otazone del copo gdo avvene attono ad uno degl a pncpal d neza del copo, ovveo e l vettoe L è paallello all ae d otazone. S può dmotae che ogn copo gdo poede almeno te a pncpal d neza, qund ha almeno te pobltà d uotae mantenendo L paallelo ad w. n quet ca ottene L z ω Fca Geneale A.A. 004/05 3

4 Se L non è paallelo ad w, olo L z coneva nel tempo mente la componente d L nel pano (xy) vaa. Abbamo vto che ogn vaazone d L è dovuta alla peenza d un momento d oza etena dveo da 0, qund n queto cao avemo un t nel pano (xy). A queto punto eamnamo l pncpo d conevazone del momento angolae codando che l equazone ondamentale pe la deczone del moto otatoo d un copo gdo n temn d momento angolae è dl dt τ ext con L e t calcolat petto allo teo polo. Poamo dtnguee te dve ca Fca Geneale A.A. 004/05 4

5 . Copo gdo che uota attono ad un ae pncpale d neza con un punto o n un tema nezale dl d( ω ) L ω e τ ext dt dt τ ext Se l ae è o petto al copo gdo dω α τ dt Alloa ha 0 ω cotante, ω ono entambe ext cotant Un copo gdo che uota attono ad un ae pncpale d neza con un punto o n un tema nezale, muove con w cotante quando moment delle oze etene ono null. Fca Geneale A.A. 004/05 5

6 . Copo gdo che uota attono ad un ae che non è pncpale d neza con un punto o n un tema nezale dlz dω τ z non è pù vettoale dt dt dl τ dt La econda equazone coponde alla oza centpeta, natt τ detemna l moto del copo 3. Copo gdo che uota attono ad un ae che non è pncpale d neza e non c è un punto o n un tema nezale pe l ae d otazone dl τ ext non èpù applcable dt Bogna alloa olvee l poblema nel tema del dl τ ext dt Fca Geneale A.A. 004/05 6

7 Momento d neza Abbamo vto che l momento d neza d un copo gdo dpende dall ae a cu l momento è eto. Vedamo e è poble collegae un momento d neza qualunque ad un momento d neza aclmente cavable Dobbamo calcolae petto ad un ae z P z P paante pe P e al pano del oglo. Condeamo anche un econdo ae z O paante pe l del copo (O) e al pmo ae. b z O z P dm [( x a) + ( y b) ] dm ( x + y ) dm a xdm b ydm+ ( a + b ) ( x + y ) dm+ ( a + b )dm dm Nell ultmo paaggo è co alla popetà del cento d maa m x 0 Fca Geneale A.A. 004/05 7

8 nne z z + P O Mh l ultato oa ottenuto, noto come Teoema d Stene o degl a paallel, c dce che l momento d neza d un copo petto ad un ae qualunque è empe uguale alla omma del momento d neza del copo teo, calcolato petto ad un ae paallelo a quello dato e paante pe l ( zo ), e d un temne n cu compae la maa del copo e la dtanza a due a al quadato (Mh ). Come coneguenza ha che zo è empe mnoe d un qualunque alto momento d neza calcolato petto ad un ae paallelo a z O. Fca Geneale A.A. 004/05 8

9 Enega cnetca d otazone Condeamo un copo che uota attono ad un ae z con veloctà angolae w e non tala E K mv m R ω ( mr ) ω EK zω La elazone tovata c dà l enega cnetca d otazone del copo gdo; è una elazone empe valda, anche quando la otazone avvene attono ad un ae che non è pncpale d neza, n quanto v w R vale empe. Se la otazone avvene attono ad un ae pncpale d neza, ottenamo L E K Fca Geneale A.A. 004/05 9

10 Condeamo oa un copo gdo che uota e tala e utlzzamo l teoema d Köng pe l enega cnetca E E K K Mv E K + ω Ottenamo coì Mv enega cnetca d otazone petto al enega cnetca d talazone del petto al lab. E + K ω Mv Condeamo oa l enega potenzale e l enega meccanca del copo gdo. La pma oevazone che accamo è che l enega potenzale ntena del copo (E p nt ) dpende dalle dtanze elatve ta le pat del copo gdo, dtanze che, pe denzone, mangono cotant, qund Fca Geneale A.A. 004/05 0

11 E p nt cotante pe un copo gdo D coneguenza, la conevazone dell enega meccanca pe un copo gdo dpende dalla vaazone dell enega cnetca totale (d otazone e d talazone) del copo e dalla vaazone dell enega potenzale etena del copo teo. L ext E K E K ω + Mv Se le oze etene ono conevatve, abbamo ω + Mv L ext E ext p E ext p E K E K E ω + Mv + E pext cotante Fca Geneale A.A. 004/05

12 Lavoo e potenza Dalle condeazon atte conegue che d d dl dek zωdω z dω z αdt τ dt dt E qund L τ zd z d Pe la potenza tantanea abbamo dl dt τ z d dt τ z ω Relazone analoga alla (dl/dt) F v. Fca Geneale A.A. 004/05

13 l moto d puo otolamento l moto d puo otolamento è un moto n cu l punto d contatto ta la upece ed l copo che otola (a ezone ccolae) è emo tante pe tante: v P 0. Rcodamo che, gaze a teoem d Köng, poamo epaae l moto ototalatoo n otazone del copo petto al uo, e talazone del petto al laboatoo. v wr v wr + v v -wr v wr - v 0 v P -w R v P v v P v w R } P v O 0 v O v v O v v T w R v T v v T v + w R v ωr v 0 Fca Geneale A.A. 004/05 3

14 Abbamo coì tovato una elazone ta la veloctà del cento d maa del copo gdo e la ua veloctà d otazone attono al cento d maa (veloctà d otazone). Suttamo quanto appena tovato pe cavae l enega cnetca del copo gdo che muove d moto d puo otolamento u d una upece ozzontale. Dal pmo teoema d Köng abbamo K K E E + Mv Nel cao condeato, l moto d ogn punto del copo gdo petto al cento d maa è un moto ccolae con veloctà angolae w, qund EK ω Con momento d neza petto ad un ae paante pe l. Ottenamo coì E + Cm K ω Mv Fca Geneale A.A. 004/05 4

15 La elazone appena tovata ha valdtà geneale, ovveo può eee applcata ad ogn copo gdo che uota e tala, enza che l moto a d puo otolamento. Nel cao patcolae d puo otolamento ha E K ω + Mv R + M v Petanto, nota la geometa dell oggetto e la ua v, ne conocamo l enega cnetca totale, mente nel cao d una geneca ototalazone abbamo bogno d conocee anche la veloctà angolae. S può nolte oevae che, dalla elazone ta v e w, pe devazone, cava a αr Fca Geneale A.A. 004/05 5

16 Dal punto d vta dnamco c poamo oa chedee qual ano le oze n goco nel moto d puo otolamento. Olte alla oza d nteazone gavtazonale e alla eazone vncolae N, c è bogno d una oza che pemetta al copo gdo d entae n otazone e, nel contempo, d mantenee emo l punto d contatto con l uolo P, tante pe tante. Queta oza è la oza d attto tatco. Dal punto d vta enegetco l tema ulta conevatvo, dato che la oza d attto tatco non compe ma lavoo non eendo aocata ad uno potamento. Eamnamo oa l moto d puo otolamento d un copo a ezone ccolae lungo un pano nclnato d un angolo q. Analzzamo l poblema pma dal punto d vta enegetco e po dal punto d vta dnamco. Fca Geneale A.A. 004/05 6

17 Sa m l coecente d attto tatco R M ta l pano e l copo gdo e upponamo che l copo a emo quando nza l moto e tov ad h un altezza h dal uolo. Sa nolte q l momento d neza del copo petto ad un ae paante pe l e al oglo. All tante t 0 l copo vene lacato lbeo d muove e cende lungo l pano nclnato con veloctà angolae w ; l moto è n dall nzo d puo otolamento. E m E Mgh m Mv + ω Fca Geneale A.A. 004/05 7

18 Rcodando la condzone d puo otolamento, v w R, ha Mgh v Mv + Mgh M + R v R Rcodamo oa che l appoto ta ed R è popozonale ad M, l coecente d popozonaltà a dpendendo dalla geometa del copo MR anello v gh MR clndo v 4 3 gh 3 MR ea cava v 6 5 gh Fca Geneale A.A. 004/05 8

19 ultat coì ottenut vanno conontat con quell cavat nel cao n cu l copo gdo cende enza otolae dalla tea altezza lungo un pano lco con lo teo angolo d nclnazone q, appamo gà che ottenamo pe ogn copo lo teo ultato, v gh. La deenza ta le veloctà ottenute ne due ca (entamb conevatv dal punto d vta enegetco e con la medema E m nzale) è dovuta al atto che, nel cao del puo otolamento, l copo deve mpegae pate della ua enega potenzale gavtazonale pe entae n otazone, cò a dcapto della talazone. Come coneguenza, nel cao del puo otolamento, abbamo veloctà nal del pù pccole. Eamnamo oa l poblema dal punto d vta dnamco. Scvamo le due equazon cadnal della dnamca pe l copo gdo (otazone attono ad un ae pncpale d neza enza punto o n un tema nezale) τ F Fca Geneale A.A. 004/05 9 ext ext α Ma

20 Fca Geneale A.A. 004/ co n α α Mg N Ma Mg R a R a Ma N Mg R

21 Fca Geneale A.A. 004/05 nne nteacceleato motounomeme cotante n n e n n e n MR MR g a g MR g R MR M g R M g a Pe va cop µ n tcamento co n 5 3 ea cava n 5 n 3 clndo n 3 n anello n g a Mg g a Mg g a Mg g a Mg MAX

22 n concluone bogna ottolneae che la oza d attto tatco neceaa pe l puo otolamento non è neceaamente la mama oza d attto tatco. nolte la ua dezone non è contata, natt può avee veo concode con l moto nel cao n cu c ano alte oze agent ul copo paallelamente al pano nclnato. Fca Geneale A.A. 004/05

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