Accelerazione tangenziale e centripeta

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1 Accelerzioe tgezile e cetripet Voglimo esmre l relzioe fr le f direzioi dei ettori elocità ed ccelerzioe istte, el cso del moto di u puto mterile che si solge su di u Triettori pio. Chimimo triettori il luogo geometrico delle posizioi occupte dl puto durte il moto. Cosiderimo due istti di tempo m / successii t e t f, ei quli l elocità istte del puto mterile le rispettimete e f f : etrmbe soo figur tgeti ll triettori per defizioe, come figur. Si defisce ccelerzioe medi ell terllo di tempo t = tf t il ettore: f m = = = t t t che, come si ede, risult prllel l etttore differez delle elocità = f, essedo otteuto semplicemete moltiplicdo per lo sclre t. Co il metodo di put cod, prtedo dll test di, e fcedo modo che risulti + = f, simo grdo di trccire fcilmete il ettore differez = f. D questo diiduimo il ettore ccelerzioe medi, d esso prllelo. E immedito redersi coto che il ettore ccelerzioe medi può ssumere u umero fito di orietzioi differeti, e che geerle o Triettori f risult é tgete ll triettori é ormle, cioè perpedicolre ll direzioe tgete ll triettori. Il ettore ccelerzioe istte si ottiee come posizioe limite, cioè fcedo icre sempre più l / f cofigurzioe fle quell izile. Co riferimeto ll figur 2: = lim t 0 t figur 2 ed bse l rgiometo ftto sopr, che rf r I quto = lim, qudi otteut moltiplicdo per lo sclre t 0 t r = r r, che su olt è tgete ll triettori f t il ettore spostmeto

2 l ccelerzioe istte è prllel ll rizioe istte di elocità. Il ettore ccelerzioe istte misur l rpidità co l qule st cmbido il ettore elocità istte. Le rizioi di possoo essere clssificte due tipologie: ) st rido tesità. Ad esempio il modulo dell elocità può pssre d = 3m/s = 7m/s, e poi = 8m/s e così i. b) st rido direzioe e erso. Ad esempio l goloα che diidu il ettore elocità può pssre d α = 30 d α = 57, e poi d α = 20 e così i. Alizzimo or seprtmete i due csi estremi, quello cui si h solo l rizioe di tipo ) e quello cui si h solo l rizioe di tipo b). ) Direzioe costte, erso ed tesità ribili el tempo Cosiderimo il cso estremo cui l elocità istte si mteg sempre costte direzioe, m ri tesità e erso. Si trtt dell eetulità già studit co il ome di moto rettileo ccelerto: l triettori è sempre u rett, e doedo l elocità istte essere tgete ll triettori, risulterà prllel d ess. / f ( ) i: f ed ho ersi opposti, e cioè ed ho segi discord prim dimuisce e poi umet / / f ed ho lo stessoerso, e cioè ed ho segi cocord umet ( ) i: f / figur 3 L rizioe di elocità srà ch ess prllel ll triettori, e così risulterà pure per l ccelerzioe istte, doedo essere prllel secodo l relzioe = lim. I figur 3 soo richimte le differeti possibilità per i ersi t 0 t dell ccelerzioe e dell elocità izile di u puto mterile che si muoe lugo u rett orizzotle. b) Itesità costte m direzioe e erso ribili el tempo Cosiderimo or il cso estremo opposto, quello cui l elocità istte mteg sempre sempre costte, durte il moto, il lore del suo modulo, e cmbi l 2

3 su direzioe ed il suo erso. U situzioe ell qule si erific quest eetulità è quell rppresett figur 4, doe u puto mterile si st spostdo lugo u circoferez co elocità di modulo costte el tempo. Il moto questioe iee detto moto circolre uiforme, e l uiformità ll qule ci si st riferedo è quell del modulo di. Si osseri ftti come, ece, l direzioe di, sempre tgete ll triettori circolre, o è per ull uiforme m, zi, cmbi ogi istte. L prim m / delle tre situzioi α β f f figur 4 cosider due istti di tempo successii t e t f, ei quli l elocità istte del puto mterile le α m / e β f f f rispetimete. A fico soo riportti i rppresetti dei α 0 β 90 ettori elocità co le code su di u orige f f comue. Si eidezi bee come, el tempo compreso fr i due figur 4 istti cosiderti, l direzioe di si rit di u golo α. Co il metodo di put cod, prtedo dll test di, e fcedo modo che risulti + = f, simo grdo di trccire fcilmete il ettore differez = f. D questo diiduimo il ettore ccelerzioe medi, d esso prllelo, di tesità m =. Osserimo or il trigolo t formto di due ettori elocità e f e d : esso risult isoscele dto che per ipotesi = f. Cosiderimo qudi u situzioe come quell el secodo pello dell figur, doe i due istti di tempo soo molto più ici rispetto l cso precedete. Nell logo trigolo isoscele di lti, f e l golo l ertice α si è ridotto, metre i due goli ll bse, β, soo umetti. Poiché l somm complessi degli goli dee coture lere 80, remo che l effetto dell riduzioe di α fo tedere zero, come ccde el terzo pello dell figur, comport u cotemporeo icrsi di β 90. L direzioe dell ccelerzioe istte, u moto circolre uiforme, srà llor quell che si ottiee el cso limite del terzo pello figur. Qui i due istti di tempo soo icissimi, cioè t 0, ed il ettore, e co lui il ettore ccelerzioe istte, risulto perpedicolri ll direzioe dell elocità istte. U 3

4 ccelerzioe che, come questo cso, si perpedicolre ll triettori iee dett ccelerzioe cetripet. 2 E eidete ftti che, essedo l elocità tgete ll triettori circolre, il ettore ccelerzioe d ess perpedicolre, dorà ere ogi istte direzioe llet co il rggio dell circoferez e pertto putre erso il cetro, dode il ome di cetripet. c) Cso geerle Nell situzioe più geerle possibile, doremo cosiderre l eetulità che l elocità istte poss cmbire direzioe, erso ed tesità ogi istte. Per poter lizzre l situzioe sfrutteremo l proprietà di decomposizioe di u ettore, che qui breemete richimimo. L tecic di decomposizioe cosiste ell pplicre l regol del prllelogrmm l cotrrio. Dti due ettori e 2, il loro ettore somm + 2 h per rppresette il segmeto orietto lugo l digole del prllelogrm di lti cosecutii e 2, come figur 5 sistr. r + 2 s 2 r s figur 5 Cmbido prospetti llor, dto u quluque ettore ed u coppi di rette cideti r ed s, srà sempre possibile decomporre u compoete lugo r, r ed u compoete lugo s, s. Bsterà ftti disegre il rppresette di pplicto el puto di tersezioe di r ed s e trccire le prllele lle due rette prtire dll test del ettore. Come si ede dll figur 5 destr, l somm delle due compoeti così diidute restituisce sempre il ettore origrio, cioè = r +. s figur 6 Poimo qudi di ere u puto mterile che si muoe seguedo u triettori curile due dimesioi. Il ettore elocità istte è, per defizioe, sempre 2 Altri omi equileti soo ccelerzioe ormle oppure ccelerzioe trsersle. 4

5 tgete ll triettori e qudi, ogi istte, cmbi direzioe. Nel cso geerle di figur 6, che il modulo dell elocità cmbi ogi istte. Possimo edere tle situzioe come u combzioe dei csi elemetri cosiderti precedez: l rizioe del modulo dell elocità dout ll presez di u compoete tgezile ell ccelerzioe, l rizioe dell direzioe dell elocità t t t t figur 7 dout ll presez di u compoete ormle ell ccelerzioe. Si trtt qudi di decomporre il ettore ccelerzioe istte elle sue compoeti lugo le due rette tgete e ormle ll triettori, compoeti dicte figur 7 co t ed rispettimete. L compoete ormle è resposbile del cmbimeto di direzioe dell elocità istte. Possimo pesre d ess come ll ccelerzioe cetripet che rebbe l ostr prticell se si stesse moedo, ziché lugo l triettori rele, lugo quell circoferez che meglio i combci toro l puto doe stimo osserdo il moto. U tle circoferez, dett circoferez oscultrice 3, si diidu sez mbiguità per ciscu puto P dell triettori, cosiderto che, presi P e P 2 prossimità di esso, P P t P P P 2 P = P = P2 t P 2 figur 8 figur 9 come figur 8, per i tre puti o lleti P, P ep 2 pss u sol circoferez. L circoferez oscultrice el puto P si ottiee come posizioe limite, fcedo icre sempre più P ep 2 P. Il suo rggio iee detto rggio di curtur dell triettori quel puto. Come si tuisce, l circoferez oscultrice srà sempre bbrccit dll triettori co l qule dee combcire, cioè si troerà sempre ell 3 Dl lto osculo, bcire. L circoferez, cioè, che meglio combci co l triettori quel puto. 5

6 regioe di pio doe l cur riolge l su cocità. Pertto è sempre erso tle regioe che put l compoete ormle dell ccelerzioe e di coseguez che l ccelerzioe complessi, come iee schemticmete illustrto figur 9. s = 0 L compoete tgezile dell ccelerzioe, ece, è resposbile dell rizioe del modulo dell elocità, ed h figur 0 lo stesso sigificto che h l ccelerzioe istte el moto rettileo, purchè si sostituisc l coordt rettile co u sciss curile lugo l triettori (figur 0). st () Esempio I figur è rppresett l triettori di u puto mterile. Si dic se è possibile che i ettori ccelerzioe e elocità istte bbio i ersi riportti. Esempio 2 Qui sotto è grficto l dmeto fuzioe del tempo dell elocità di u puto mterile. Sull bse di quest formzioe e sull dmeto dell triettori seguit dl puto si stbilisc se l golo fr l ccelerzioe e l elocità è cuto oppure ottuso. golo cuto goloottuso t Risposte. L situzioe propost o è possibile, perché il ettore elocità dee essere sempre tgete ll triettori ed il ettore ccelerzioe sempre orietto erso l prte del pio doe l triettori riolge l su cocità. 2. L golo è cuto perché il modulo dell elocità st umetdo, e pertto l compoete tgezile dell ccelerzioe dee essere oriett cocordemete l erso di percorrez dell triettori. Di coseguez il ettore ccelerzioe dee essere orietto preletemete el erso di percorrez, cos che ccde el cso dell golo cuto. 6