Analisi e controllo di uno scambiatore di calore

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1 Università degli Studi di Roma Tor Vergata FACOLTÀ DI INGNEGNERIA Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria dell automazione Progetto per il corso di controllo dei processi Analisi e controllo di uno scambiatore di calore Candidato: Francesco Ferrante Matricola Relatore: Prof Riccardo Marino Anno Accademico

2 francesco ferrante A N A L I S I E C O N T R O L L O D I U N O S C A M B I ATO R E D I C A L O R E

3 Il matematico gioca un gioco in cui egli stesso inventa le regole. Il fisico gioca un gioco in cui le regole sono fornite dalla Natura. Ma, con il passare del tempo, diventa sempre più evidente che le regole che il matematico trova interessanti sono quelle che la Natura ha scelto. Paul Adrien Maurice Dirac

4 I N D I C E Notazione 12 I Analisi dello scambiatore di calore 14 1 descrizione dell impianto 15 2 modello matematico dello scambiatore di calore Modellazione degli organi di misura e di attuazione Analisi F.E.M 24 3 analisi numerica dello scambiatore di calore Caratterizzazione input-output dello scambiatore di calore Analisi del legame v ϑlu m Analisi del legame ϑ li ϑlu m Analisi del legame ϑ v ϑlu m Analisi dell impianto basata sul modello Analisi del comportamento dinamico del processo attorno al punto di lavoro nominale Analisi del comportamento dinamico del processo attorno ad alcuni punti di lavoro ammissibili 49 II Controllo dello scambiatore di calore 59 4 controllo dello scambiatore di calore Descrizione del problema di controllo Problema di regolazione asintotica Primi passi verso la soluzione del problema di regolazione e assunzioni sul problema Regolazione con azione feed-back+feed-forward Controllo Observer-Based Metodi basati sulla risposta armonica per la regolazione Controllo PID based Valutazione delle prestazioni del sistema di controllo in piccolo 73 5 sintesi dei regolatori per lo scambiatore di calore Verifica delle condizioni per la sintesi del controllore Controllo PID dello scambiatore di calore Controllo PID con rete compensatrice Controllo LQG Scelta del controllore più soddisfacente 97 6 alcuni risultati numerici Controllo PID con azione in avanti 12 4

5 indice Controllo PID con rete compensatrice con azione in avanti Controllo LQG con azione in avanti conclusioni 121 a strumenti necessari per la sintesi dei regolatori 122 bibliografia 132

6 E L E N C O D E L L E F I G U R E Figura 1 Scambiatore di calore 15 Figura 2 Tratto di condotta di lunghezza infinitesima considerato per il bilancio energetico 18 Figura 3 Profili di temperatura in condizioni nominali 21 Figura 4 Grafico della mappa della velocità all equilibrio 22 Figura 5 Piano (θ li θ v ) dei punti di equilibrio. In blu vengono indicati i punti al di fuori della regione ammissibile mentre in rosso i punti appartenenti alla regione ammissibile 23 Figura 6 Caratteristica statica delle servovalvola 23 Figura 7 Andamento dell indice J(N) 27 Figura 8 Profili di temperatura del liquido e del rame in condizioni nominali confrontati con le relative approssimazione ottenute dal modello ad elementi finiti 28 Figura 9 Risposta ad un gradino di velocità pari a,31 m s 1 a partire dalla condizione indicata in Figura 1 Sollecitazione dell impianto con un ingresso di velocità v(t) = v +.1 sin(.6 t) [m s 1 ] 32 Figura 11 Sollecitazione dell impianto con un ingresso di velocità v(t) = v +.2 sin(.6 t) [m s 1 ] 33 Figura 12 Andamento della variazione di temperatura ϑlu m (t) a fronte della variazione della velocità del fluido rispetto al valore nominale: v(t) =.23 δ 1 (t 2) [m s 1 ] 33 Figura 13 Andamento reale ed approssimato con il modello (F.O.P.D.T.) della variazione di temperatura ϑlu m (t) rispetto al valore nominale a fronte della variazione della velocità del fluido rispetto al valore nominale v(t) =.23 δ 1 (t 2) [m s 1 ] 35 Figura 14 Andamento reale ed approssimato con il modello (S.O.R.P.P.D.T.) della variazione di temperatura ϑlu m (t) rispetto al valore nominale a fronte della variazione della velocità del fluido rispetto al valore nominale v(t) =.23 δ 1 (t 2) [m s 1 ] 36 Figura 15 Andamento reale ed approssimato con i modelli (S.O.R.P.P.D.T.) e (F.O.P.D.T. della variazione di temperatura ϑlu m (t) rispetto al valore nominale a fronte della variazione della velocità del fluido rispetto al valore nominale v(t) =.23 δ 1 (t 2) [m s 1 ] 36 Figura 16 Andamento della variazione di temperatura ϑlu m (t) a fronte della variazione della temperatura del fluido in ingresso rispetto al valore nominale θ li = 5 δ 1 (t 2) [ C] 37 6

7 Elenco delle figure 7 Figura 17 Figura 18 Figura 19 Figura 2 Figura 21 Figura 22 Figura 23 Figura 24 Figura 25 Figura 26 Figura 27 Figura 28 Figura 29 Figura 3 Figura 31 Figura 32 Figura 33 Andamento reale ed approssimato con il modello (F.O.P.D.T.) della variazione di temperatura ϑlu m (t) rispetto al valore nominale a fronte della variazione della temperatura del fluido in ingresso rispetto al valore nominale θ li (t) = 5 δ 1 (t 2) [ C] 38 Andamento della variazione di temperatura ϑlu m (t) a fronte della variazione della temperatura del fluido in ingresso rispetto al valore nominale θ v = 5 δ 1 (t 2) [ C] 39 Andamento reale ed approssimato con il modello (F.O.P.D.T.) della variazione di temperatura ϑlu m (t) rispetto al valore nominale a fronte della variazione della temperatura del fluido in ingresso rispetto al valore nominale θ v (t) = 5 δ 1 (t 2) [ C] 39 Andamento reale ed approssimato con il modello (S.O.R.P.D.T.) della variazione di temperatura ϑlu m (t) rispetto al valore nominale a fronte della variazione della temperatura del vapore rispetto al valore nominale θ v (t) = 5 δ 1 (t 2) [ C] 4 Andamento reale ed approssimato con il modello (F.O.P.D.T.) e con il modello (S.O.R.P.P.D.T.) della variazione di temperatura ϑlu m (t) rispetto al valore nominale a fronte della variazione della temperatura del vapore rispetto al valore nominale θ v (t) = 5 δ 1 (t 2) [ C] 41 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y v (s) 46 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w1 (s) 46 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w2 (s) 47 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y v (s) e della sua approssimante (3.3) 47 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w1 (s) e della sua approssimante (3.5) 48 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w2 (s) e della sua approssimante (3.7) 48 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y v (s) per il punto di lavoro θ li = 75 C θ v = 14 C 49 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w1 (s) per il punto di lavoro θ li = 75 C θ v = 14 C 5 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w2 (s) per il punto di lavoro θ li = 75 C θ v = 14 C 5 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y v (s) per il punto di lavoro θ li = 5 C θ v = 14 C 51 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w1 (s) per il punto di lavoro θ li = 5 C θ v = 14 C 52 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w2 (s) per il punto di lavoro θ li = 5 C θ v = 14 C 52

8 Elenco delle figure 8 Figura 34 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y v (s) per il punto di lavoro θ li = 75 C θ v = 15 C 53 Figura 35 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w1 (s) per il punto di lavoro θ li = 75 C θ v = 15 C 54 Figura 36 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w2 (s) per il punto di lavoro θ li = 75 C θ v = 15 C 54 Figura 37 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y v (s) per il punto di lavoro θ li = 5 C θ v = 15 C 55 Figura 38 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w1 (s) per il punto di lavoro θ li = 5 C θ v = 15 C 56 Figura 39 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento F y w2 (s) per il punto di lavoro θ li = 5 C θ v = 15 C 56 Figura 4 Diagrammi di Bode della funzione di trasferimento F y v (s) per i diversi punti di lavoro. Le diverse funzioni di trasferimento nel diagramma sono indicate con F i (s) con i {, 1, 2, 3, 4} a seconda del punto di lavoro considerato, in maniera consistente alla numerazione riportata in (Tabella 1) 57 Figura 41 Diagrammi di Bode della funzione di trasferimento F y w1 (s) per i diversi punti di lavoro. Le diverse funzioni di trasferimento nel diagramma sono indicate con F i (s) con i {, 1, 2, 3, 4} a seconda del punto di lavoro considerato, in maniera consistente alla numerazione riportata in (Tabella 1) 57 Figura 42 Diagrammi di Bode della funzione di trasferimento F y w2 (s) per i diversi punti di lavoro. Le diverse funzioni di trasferimento nel diagramma sono indicate con F i (s) con i {, 1, 2, 3, 4} a seconda del punto di lavoro considerato, in maniera consistente alla numerazione riportata in (Tabella 1) 58 Figura 43 Schema di controllo adottato 65 Figura 44 Schema di controllo con azione integrale 68 Figura 45 Schema di controllo con azione avanti 68 Figura 46 Diagramma di Bode della risposta armonica del controllore PID 8 Figura 47 Diagramma di Bode della funzione d anello L(s) 8 Figura 48 Diagramma di Nyquist della funzione d anello L(s) 81 Figura 49 Diagrammi di Bode della funzione di sensitività complementare T(s) e della funzione H(s) T(s) 82 Figura 5 Diagramma di Bode del modulo della funzione di sensitività S(s) 82 Figura 51 Diagrammi di Bode delle funzioni anello ottenute per i diversi punti di lavoro. Le funzioni di trasferimento nel diagramma sono indicate con L i (s) con i {, 1, 2, 3, 4} a seconda del punto di lavoro considerato, in maniera consistente alla numerazione riportata in (Tabella 1) 83 Figura 52 Diagrammi di Bode della funzione di compensazione G(s) 85 Figura 53 Diagrammi di Bode del controllore C(s) G(s) 85

9 Elenco delle figure 9 Figura 54 Diagrammi di Bode della funzione di trasferimento P(s) a confronto con la funzione d anello L(s) = P(s) C(s) G(s) 86 Figura 55 Diagramma di Nyquist della funzione di anello L(s) nel caso nominale 86 Figura 56 Diagramma di Bode della funzione sensitività nel caso nominale 87 Figura 57 Diagramma di Bode della funzione T(s) H(s) nel caso nominale 87 Figura 58 Diagrammi di Bode delle funzioni anello ottenute per i diversi punti di lavoro. Le funzioni di trasferimento nel diagramma sono indicate con L i (s) con i {, 1, 2, 3, 4} a seconda del punto di lavoro considerato, in maniera consistente alla numerazione riportata in (Tabella 1) 88 Figura 59 Valori singolari della funzione di trasferimento del processo linearizzato attorno al punto di lavoro nominale 9 Figura 6 Diagrammi di Bode della funzione di trasferimento del processo nominale e della sua approssimazione di ordine 6 91 Figura 61 Diagrammi di Bode della funzione di trasferimento del compensatore LQG con azione integrale 92 Figura 62 Valori singolari associati ai modi naturali presenti nel legame ingresso-uscita del controllore LQG 93 Figura 63 Diagramma di Bode di C r (s) e di C(s) a confronto 93 Figura 64 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento C d (s) 94 Figura 65 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento L(s) 94 Figura 66 Diagramma di Bode del modulo della funzione di sensitività S(s) 95 Figura 67 Diagramma di Bode della funzione di trasferimento H(s) T(s) 95 Figura 68 Diagramma di Nyquist della funzione d anello L(s) 96 Figura 69 Diagrammi di Bode delle funzioni anello ottenute per i diversi punti di lavoro. Le funzioni di trasferimento nel diagramma sono indicate con L i (s) con i {, 1, 2, 3, 4} a seconda del punto di lavoro considerato, in maniera consistente alla numerazione riportata in (Tabella 1) 96 Figura 7 Diagrammi di Bode del modulo della funzione di sensitività per i tre controllori nel caso nominale 98 Figura 71 Diagrammi di Bode della funzione di trasferimento tra la variazione del riferimento di temperatura e l errore di regolazione H(s) T(s) per i tre controllori nel caso nominale 99 Figura 72 Diagrammi di Bode delle funzioni di trasferimento C(s) e C d (z) a confronto 1 Figura 73 Andamento del riferimento y (t) 11 Figura 74 Andamento delle variabili ϑ li (t) e ϑ v (t) 11 Figura 75 Andamento dell uscita controllata y(t) 12 Figura 76 Andamento del controllo u(t) 12 Figura 77 Variazione delle temperatura di riferimento da 98 a 94 13

10 Figura 78 Figura 79 Figura 8 Figura 81 Figura 82 Figura 83 Figura 84 Figura 85 Figura 86 Figura 87 Figura 88 Figura 89 Figura 9 Figura 91 Figura 92 Figura 93 Figura 94 Variazione delle temperatura di riferimento da 94 a Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (65, 12 ) a (75, 14 ) 15 Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (75, 14 ) a (5, 14 ) 16 Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (5, 14 ) a (75, 15 ) 17 Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (75, 15 ) a (5, 15 ) 18 Variazione delle temperatura di riferimento da 98 a Variazione delle temperatura di riferimento da 94 a Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (65, 12 ) a (75, 14 ) 111 Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (75, 14 ) a (5, 14 ) 112 Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (5, 14 ) a (75, 15 ) 113 Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (75, 15 ) a (5, 15 ) 114 Variazione delle temperatura di riferimento da 98 a Variazione delle temperatura di riferimento da 94 a Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (65, 12 ) a (75, 14 ) 117 Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (75, 14 ) a (5, 14 ) 118 Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (5, 14 ) a (75, 15 ) 119 Variazione della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore da (75, 15 ) a (5, 15 ) 12 E L E N C O D E L L E TA B E L L E Tabella 1 Tabella 2 Valore della temperatura del liquido in ingresso e del vapore per i punti di lavoro scelti. Il punto di lavoro nominale viene indicato con il numero. 44 Valore dei margini di guadagno e di fase ottenuti per i punti di lavoro scelti con il controllo PID. Il punto di lavoro nominale viene indicato con il numero. 83 1

11 Elenco delle tabelle 11 Tabella 3 Tabella 4 Tabella 5 Valore dei margini di guadagno e di fase ottenuti per i punti di lavoro scelti con il controllo PID+ Rete compensatrice. Il punto di lavoro nominale viene indicato con il numero. 88 Valore dei margini di guadagno e di fase ottenuti per i punti di lavoro scelti con il controllo LQG. Il punto di lavoro nominale viene indicato con il numero. 92 Valore dei margini di guadagno e di fase ottenuti per i punti di lavoro scelti con il controllo LQG. Il punto di lavoro nominale viene indicato con il numero. 98

12 N OTA Z I O N E δ 1 (t t ) := { 1 t t t < t Funzione gradino C C + R R + R n R n m I n Insieme dei numeri complessi Insieme dei numeri complessi con parte reale non negativa Insieme dei numeri reali Insieme dei numeri reali non negativi Vettori reali di dimensione n Matrici reali di dimensione n m Matrice identità di dimensione n u u T u Norma euclidea s Variabile complessa del dominio di Laplace T.H.D.% Distorsione armonica percentuale (Total Harmonic Distortion) x T, (A T ) Vettore x trasposto (matrice A trasposta) C k (D) Insieme delle funzioni continue e con le prime k derivate continue nell insieme D L Insieme delle funzioni reali limitate 12

13 I N T R O D U Z I O N E I n questa trattazione si vuole affrontare il problema della analisi e del controllo di uno scambiatore di calore. La trattazione verrà affrontata dividendo il testo in due parti: La prima relativa all analisi del processo considerato mentre la seconda dedicata alla sintesi del sistema di controllo. In particolare nella prima parte verrà derivato un modello matematico del processo basato sulle equazioni che governano il fenomeno fisico portante, successivamente su tale modello verrano condotte delle analisi atte a caratterizzare la dinamica del processo fisico e il comportamento ingresso uscita del medesimo. Nella seconda parte invece verrà formalizzato il problema di controllo dello scambiatore di calore e verranno presentati dei risultati che condurranno alla soluzione del problema. Infine si mostreranno i risultati ottenuti dal controllo dello scambiatore di calore. 13

14 Parte I. Analisi dello scambiatore di calore 14

15 1 D E S C R I Z I O N E D E L L I M P I A N TO I n termotecnica con il termine scambiatore di calore si fa riferimento ad un componente atto a realizzare uno scambio di energia termica tra due fluidi a temperature diverse. In generale gli scambiatori sono sistemi aperti che operano senza scambio di lavoro, ovvero presentano un flusso costante di fluido e una distribuzione di temperatura a regime costante. Nella realtà industriale esistono molteplici metodologie per effettuare lo scambio termico tra due fluidi ossia esistono diverse tecnologie per realizzare uno scambiatore di calore. Nella trattazione che ci appresta a presentare verrà presa in considerazione una particolare tipologia di scambiatore di calore detto Scambiatore a superficie. In questo tipo di scambiatore le correnti assorbono il calore dalle superfici con le quali sono separati, inoltre in tali dispositivi si riconoscono sempre due lati contenenti i fluidi. In particolare la struttura che verrà presa in considerazione in questo ambito è mostrata in (Figura 1). In questa struttura il fluido ad Figura 1.: Scambiatore di calore un temperatura ϑli m, acqua nel caso in esame, scorre con velocità v all interno di una serpentina in rame la quale è immersa in una camera contenente del vapore saturo a temperatura ϑ v ed infine il fluido sbocca dalla serpentina con una temperatura ϑ lu. In particolare nell impianto in esame la velocità del fluido v può essere variata, agendo sulla apertura di una servovalvola calettata sulla serpentina stessa, mentre la temperatura del fluido in uscita ϑ lu può essere misurata attraverso una termocoppia installata allo sbocco della condotta dello scambiatore di calore. E evidente che a seconda del valore delle variabili appena menzionate l impianto si troverà in una condizione operativa piuttosto che in un altra. Ebbene tra tutte le possibili condizioni operative in cui l impianto può trovarsi si può prendere in considerazione il punto di lavoro riferito ai 15

16 descrizione dell impianto 16 valori nominali delle variabili in gioco, ossia: ϑ lu = 98 C ϑ v = 12 C ϑ li = 65 C tale punto viene denominato punto di lavoro nominale e verrà considerato come il punto di lavoro di riferimento per condurre la maggior parte delle analisi sullo scambiatore di calore.

17 2 M O D E L L O M AT E M AT I C O D E L L O S C A M B I ATO R E D I C A L O R E A l fine di poter effettuare un analisi numerica dello scambiatore di calore è necessario derivare per tale sistema un modello matematico sufficientemente affidabile. Prima di passare alla scrittura del modello matematico del processo in esame è bene fare alcune assunzioni semplificative [3]. La temperatura del vapore saturo è uguale in ogni punto della camera Il fluido è assunto essere incompressibile Il fluido è assunto essere in regime laminare La serpentina è considerata come un tubo rettilineo Si noti che l aver assunto il fluido in regime laminare impone un vincolo sulla velocità v dello stesso, la quale ovviamente non può assumere valori qualunque. In particolare tale assunzione implica che: v [.1,.7] m s 1 Inoltre si supporrà nel seguito della trattazione che: ϑ li 8 C (2.1) ϑ li 1 C (2.2) A fronte delle ipotesi semplificative appena esposte, al fine di formulare un modello matematico del processo in esame, si può effettuare un bilancio delle energie scambiate da una sezione di lunghezza infinitesima della serpentina in un intervallo temporale infinitesimo. A tal scopo è conveniente dapprima fissare una ascissa di riferimento, che indicheremo con ξ, in modo da poter individuare in maniera univoca ogni punto della serpentina. Detto ciò si indichino ora con ϑ l (ξ, t) e con ϑ r (ξ, t) rispettivamente, la temperatura del generico punto del liquido e del rame nell istante di tempo t e con ϑ v (t) la temperatura del vapore nella camera nell istante di tempo t, dunque il bilancio energetico può essere effettuato considerando dapprima i flussi di energia entranti ed uscenti, dalla porzione di liquido contenuta nel tratto di condotta di lunghezza infinitesima in esame e successivamente prendendo in considerazione i medesimi flussi relativamente alle pareti della condotta (Figura 2). In particolare relativamente ai flussi di energia riguardanti il liquido, si possono mettere in evidenza principalmente tre forme di scambio termico: Energia che il liquido scambia al suo interno Energia scambiata con la parete della serpentina Energia che il liquido trasporta a causa del suo moto nella serpentina 17

18 modello matematico dello scambiatore di calore 18 Figura 2.: Tratto di condotta di lunghezza infinitesima considerato per il bilancio energetico Ebbene indicando con: α lm coefficiente di adduzione acqua-rame [J m 2 s 1 C 1 ] c l calore specifico dell acqua [J Kg 1 C 1 ] D l diametro interno della condotta [m] µ l densità lineare dell acqua [Kg m 1 ] v velocità del fluido nella condotta [m s 1 ] gli scambi termici sopra elencati in maniera qualitativa possono essere espressi in modo quantitativo come segue: Energia che il liquido scambia al suo interno c l µ l dξ (ϑ l (ξ, t + dt) ϑ l (ξ, t)) Energia scambiata con la parete della serpentina α lm dξ (ϑ r (ξ, t) ϑ l (ξ, t))π D l dξ dt Energia che il liquido trasporta a causa del suo moto nella serpentina µ l v dt c l (ϑ l (t, ξ) ϑ l (t, ξ + dξ)) Viceversa relativamente ai flussi di energia riguardanti le pareti della condotta si possono mettere in evidenza, anche in questo caso, tre forme di scambio termico: Energia che la parete scambia con se stessa Energia che la parete scambia con il liquido Energia che la parete scambia con il vapore In questo caso indicando con:

19 modello matematico dello scambiatore di calore 19 α v coefficiente di adduzione vapore-rame [J m 2 s 1 C 1 ] c r calore specifico del rame [J Kg 1 C 1 ] D v diametro interno della condotta [m] µ r densità lineare del rame [Kg m 1 ] tali termini possono essere quantificati come segue: Energia che la parete scambia con se stessa µ r dξ c r (ϑ r (ξ, t + dt) ϑ r (ξ, t)) Energia che la parete scambia con il liquido α lm π D l dξ dt (ϑ r (ξ, t) ϑ l (ξ, t)) Energia che la parete scambia con il vapore α v π D v ξ dt (ϑ r (ξ, t) ϑ v (t)) A questo punto imponendo la conservazione dell energia si ottengono due bilanci energetici uno per il liquido ed uno per il rame della condotta. Bilancio energetico del liquido: c l µ l dξ (ϑ l (ξ, t + dt) ϑ l (ξ, t)) + α lm dξ (ϑ r (ξ, t) ϑ l (ξ, t))π D l dξ dt+ + µ l v dt c 1 (ϑ l (t, ξ) ϑ l (t, ξ + dξ)) = (2.3) Bilancio energetico del rame: µ r dξ c r (ϑ r (ξ, t + dt) ϑ r (ξ, t)) + α lm π D l dξ dt (ϑ r (ξ, t) ϑ l (ξ, t))+ + α v π D v ξ dt (ϑ r (ξ, t) ϑ v (t)) = (2.4) Pertanto al fine di ottenere delle equazioni di validità locale si può effettuare un passaggio al limite e confondere gli incrementi parziali delle varie temperature con le relative derivate prime. In tal modo si ottiene il seguente sistema di equazioni alle derivate parziali (E.D.P.): α v (ϑ v (t) ϑ r (ξ, t)) π D v α lm π D l (ϑ r (ξ, t) ϑ l (ξ, t)) µ r c r ϑ r (ξ, t) dt = c l µ l (ϑ l (ξ, t)) dt + α lm π D l (ϑ r (ξ, t) ϑ l (ξ, t)) + µ l v c 1 ϑ l (ξ, t) dξ = ϑ l (, t) = ϑ li (t) t ϑ r (ξ, ) = ϑ r (x) ξ [, L] ϑ l (ξ, ) = ϑ l (x) ξ (, L]

20 modello matematico dello scambiatore di calore 2 (2.5) Il significato delle boundary-conditions alle quali è soggetto il sistema di (E.D.P.) è presto detto: La temperatura del liquido in ingresso deve poter essere specificata istante per istante mentre i profili spaziali delle temperature del rame e del liquido nell istante iniziale devono essere specificate al fine di ottenere un problema ben posto. Fatte le necessarie precisazioni si può riscrivere il sistema di (E.D.P.) (2.5) in maniera più compatta come segue: (ϑ v (t) ϑ r (ξ, t)) β (ϑ r (ξ, t) ϑ l (ξ, t)) τ 2 ϑ r (ξ, t) dt = τ 1 (ϑ l (ξ, t)) dt ϑ l (, t) = ϑ li (t) t + (ϑ r (ξ, t) ϑ l (ξ, t)) + v τ 1 ϑ l (ξ, t) dξ = (2.6) ϑ r (ξ, ) = ϑ r (x) ξ [, L] ϑ l (ξ, ) = ϑ l (x) ξ (, L] Dove le variabili τ 1, τ 2, β sono espresse come segue: β := D l α lm D v α v (2.7) τ 1 := τ 2 := (2.8) c l µ l π D l α lm [s] (2.9) (2.1) c r µ r π D v α v [s] (2.11) Ottenuta una scrittura più snella per il sistema (E.D.P.) (2.5) si può passare ora ad ottenere una soluzione analitica di tipo stazionario di tale sistema al fine di poter valutare il profilo di temperatura che si stabilisce lungo la condotta a transitorio esaurito a fronte di una una temperatura costante per il liquido in ingresso ϑ li (t) ϑ li Ebbene indicando con (ϑ r (ξ), ϑ l (ξ) la soluzione cercata, allora essa certamente deve soddisfare il seguente sistema di equazioni misto Algebrico-E.D.O:

21 modello matematico dello scambiatore di calore 21 (ϑ v (t) ϑ r (ξ)) β (ϑ r (ξ) ϑ l (ξ)) = (ϑ r (ξ) ϑ l (ξ)) + v τ 1 ϑ l (ξ) dξ = (2.12) ϑ l (, t) = ϑli t A fronte di opportune manipolazione e di una successiva integrazione rispetto alla variabile spaziale ξ si ottengono le seguenti espressioni per la soluzione cercata: ϑ l (ξ) = e x τ 1 v (β+1) (ϑli ϑ v) + ϑ v ( ) (2.13) ϑ r (ξ) = β e x τ 1 v (β+1) (ϑli β + 1 ϑ v) + ϑ v +ϑ v Attraverso l uso delle relazioni ottenute è possibile graficare i profili di temperatura del liquido e del rame che ci stabiliscono in condizioni stazionarie, mostrati in (Figura 3) θ(ξ) C θr(ξ) θl(ξ) ξ[m] Figura 3.: Profili di temperatura in condizioni nominali In particolare essendo la temperatura del fluido in uscita la grandezza di maggior interesse è conveniente disporre di un espressione di tale valore dipendente dagli altri parametri di processo, tale espressione può essere ottenuta a partire dalla (2.13) valutando ϑ l (ξ) nel punto ξ = L, l espressione che si ottiene è la seguente: ϑ(l) = ϑ lu = e τ 1 v (β+1) (ϑli ϑ v) + ϑ v L

22 modello matematico dello scambiatore di calore 22 Dal legame appena mostrato è possibile derivare il valore della velocità del fluido necessario ad ottenere una data temperatura per il liquido in uscita dalla condotta, in particolare la relazione suddetta è la seguente: v = L τ 1 (β + 1) ln( ϑ li ϑ v ϑ lu ϑ v ) (2.14) il legame appena pervenuto è di fondamentale importanza in quanto permette di stabilire, a partire dalle condizioni operative del processo, se sia possibile o meno condurre l impianto in un equilibrio assegnato, ossia permette di stabilire se il valore di velocità da imporre al fluido in una data condizione operativa dell impianto si ammissibile o meno. A titolo di esempio si consideri il caso in cui si voglia mantenere la temperatura del fluido in uscita al suo valore nominale ossia 98 C, anche a fronte di variazioni della temperatura del fluido in ingresso e della temperatura del vapore, ebbene è evidente che esisteranno delle condizioni operative per le quali il valore della velocità richiesto non rientra nei vincoli imposti dalla assunzione di regime laminare. Per ragioni che saranno chiare più avanti è conveniente definire l insieme ammissibile dei punti di equilibrio ammissibili in maniera precisa. Definizione 2.1: Si definisce insieme ammissibile delle condizioni operative Θ ϑlu l insieme definito come segue: { } Θ ϑlu : (ϑ li, ϑ v ) R 2 L :.1 τ 1 (β + 1) ln( ϑ li ϑ v ϑ lu ϑ v ).7 A supporto di quanto appena illustrato, in (Figura 4), viene riportato il grafico della relazione (2.14) ottenuto facendo variare ϑ v e ϑ li in un intervallo opportuno e fissando ϑ lu al suo valore nominale ossia 98 [ C] Inoltre per rendersi con v [m s 1 ] θ li [ C] θ v [ C] Figura 4.: Grafico della mappa della velocità all equilibrio to di quale sia regione ammissibile, nel caso di temperatura del fluido di uscita nominale, in (Figura 5) vengono discriminati, tramite un diversa colorazione, i punti appartenenti alla regione ammissibile Θ 98 dai restanti. Prima di concludere questa sezione, si osservi che la relazione appena discussa può essere utilizzata per derivare il valore della velocità del fluido in condizioni nominali v (velocità nominale del fluido), il quale a priori risulta non noto,

23 2.1 modellazione degli organi di misura e di attuazione θv [ C ] θl i [ C ] Figura 5.: Piano (θ li θ v ) dei punti di equilibrio. In blu vengono indicati i punti al di fuori della regione ammissibile mentre in rosso i punti appartenenti alla regione ammissibile ebbene a riguardo la ( 2.14 nella pagina precedente) porge il seguente valore per la velocità nominale: v,31 m s modellazione degli organi di misura e di attuazione Come già indicato espressamente nella situazione in esame sono presenti degli organi di misura e degli organi di attuazione, in particolare sono presenti una termocoppia per la misura della temperatura del fluido in uscita e una servovalvola per la regolazione della velocità del fluido nella serpentina. Tali dispositivi debbono essere modellati oculatamente al fine di ottenere un modello accurato del processo sotto controllo. In particolare per quanto riguarda il dispositivo di attuazione della valvola è possibile, data la sua elevata rapidità, trascurare la sua presenza e tenere in conto solamente dell intervallo delle velocità ammissibili per il fluido modellando la servovalvola come un dispositivo non lineare statico descritto dalla caratteristica in (Figura 6). Relativamente alla termocop- Figura 6.: Caratteristica statica delle servovalvola pia, è possibile modellare tale dispositivo come un sistema a singola costante di tempo. Con ciò indicando con ϑlu m la misura della temperatura del liquido

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