Esercitazioni di Elettrotecnica: circuiti in regime sinusoidale
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- Concetta Bini
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1 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 sercizi introduttivi S sprimere l corrente i ( in termini di fsore nei seguenti tre csi: ) i ( = 4sin( ωt 4) ) i ( = sin( ωt π) c) i ( = 8sin( ωt π / ) isultto: ) = 4exp( j4) ; ) = ; c) = 8 j S lutre (in coordinte crtesine e polri) le impedenze viste i cpi dei morsetti: Università degli Studi di ssino sercitzioni di lettrotecnic: circuiti in regime sinusoidle ( ) ( ) = Ω = mh = 8 Ω, = 5 mh = Ω, 4 ω = rd / s = 4 mf, f = 5 Hz = 6 mh = μf, ω = 5 rd / s isultto: ) Z & = j = exp( jπ / 4) Ω ; ) Z & = 8 54 j = 4 exp( j965) Ω ; c) Z & = 8 j = 5exp( j9) Ω ; ( c) ntonio Mffucci S e seguenti coppie di fsori esprimono tensione e corrente reltive d un dto ipolo Dire, nei tre csi, se si trtt di un resistore, un condenstore o un induttore e vlutre il vlore dei prmetri corrispondenti, o ) v ( = 5cos(4t ), i ( = sin(4t ) ; ) v ( = 8cos(9t π / ), i ( = sin(9t π / ) ; c) v ( = cos(5t π / ), i ( = 5sin(5t 5π / 6) ; ver settemre 4 ) ) c) j π / ) = 5e, = e Posto = si h che: rg( Z & π ) = rg( ) rg( ) = = jω = = 5 mh ω jπ / π / π / ) jπ / 6 = 8e, = e = e Posto = si h che: j rg( Z & π ) = rg( ) rg( ) = = = = 8 mf ω ω jπ/ 5π / 6π / ) jπ / = e, = 5e = 5e Posto = si h che: rg( Z & ) = rg( ) rg( ) = = = = 4 Ω
2 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 S 4 - Si consideri il circuito in figur, determinndo tle che l prte immginri dell impedenz vist i cpi dei morsetti risulti m{ Z & } = Ω quivlenz, sovrpposizione degli effetti, potenz = μf f = khz S - on riferimento l seguente circuito, vlutre l'impedenz Z & eq vist i cpi del genertore e l potenz compless S & erogt dl genertore 'impedenz totle vist i cpi dei morsetti è j j Z & ( ω ) /( ω ) ω = = j ω / ω) ω, quindi st imporre m{} ω = = = 9 mh ω S 5 - qule di queste impedenze corrisponde l fse ϕ = π / 4? : - serie : - serie : - prllelo 4: - serie = Ω = Ω = 5 Ω = F = mh ω = rd / s = mf ω = rd / s = F ω = rd / s = H so : Z = = = = 5( j) ϕ = tg ( ) ω = rd & π = Y& / jω j 4 S 6 - Dti i seguenti fsori = exp( jπ / 6), = exp( jπ / 6), = 5exp( jπ / ) : ) rppresentre nel pino complesso i fsori,, ; ) clcolre i fsori:,,, ; c) rppresentre nel pino complesso i fsori vlutti l punto ) d) rppresentre nel tempo le tensioni corrispondenti i fsori dei punti ) e ), definito l trsformzione fsorile come segue: v( = sin( ωt α) = exp( jα) M M / s Pssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: J =, = j /( ω) = j, = jω = j, = = 'impedenz di ingresso vist dl genertore è dt d: eq = //[ // ] = 8 j4 Ω potenz compless erogt d si vlut fcilmente un volt not Z & eq : ( ( (8 j4) & J J J = eq JJ = eq J = = 4 j S - on riferimento l seguente circuito, vlutre l'impedenz Z & eq vist i cpi del genertore e le correnti i ( e i ( isultto: & = 5 j5 Ω ; i ( = 45cos(t ), i ( = sin(t Z eq j ( i ( i ( e ( = sin = Ω = H = 5 F = Ω = mf ( ) = cos( = mh 4
3 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 S - pplicndo il teorem di hévenin, vlutre l potenz compless e l potenz istntne ssorit dll induttore i ( = sin(t 5) j ( = 4 Ω, = mf, = mh, = 5 mh S 4 - on riferimento l seguente circuito vlutre l corrente i ( j ( t ) j ( t ) i ( j ( = cos j ( = sin = Ω = mh = mf ( ( rsformimo preliminrmente l rete in un rete di impedenze: j5 J = e, Z = j, = j, = 4, = 5 j 'impedenz equivlente nel circuito di hévenin si vlut risolvendo l rete seguente: eq = //( ) = 7 j985 Ω tensione vuoto, invece, si può clcolre prtire dll corrente che circol in Z & c, su volt ottenut con un prtitore di corrente: = = J = 69 j4 Ω isolvendo l rete equivlente ottenut, si h che j76 = = 89 j57 = 577e eq ndmento dell corrente nel tempo è llor dto d: i ( = 577 sin(t 76) potenz compless ssorit d srà purmente rettiv: & = jx 67 j r = potenz istntne si può vlutre, in generle, dll conoscenz di corrente e tensione: p ( = v ( i ( Si h quindi: = j986 = 89e v ( = 89 sin(t 986) p ( = v ( i ( = 67cos(t 6) Si osservi che in questo cso prticolre (elemento dinmico) l potenz istntne può nche essere clcolt come derivt dell energi: p di ( d ( = i ( = ( ) = 67sin( 5) = 67 cos( 6) i t t t dt dt J Z & Z & Z & Z & Z & Z & Pssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: J = j, J =, = j Ω, = jω = j Ω, = = Ω, Quest rete può essere risolt con l sovrpposizione degli effetti l contriuto del solo genertore J si ottiene dll rete in cui J è stto sostituito con un circuito perto: = J =, vendo posto = = 4-j 8 Ω l contriuto del solo genertore J si ottiene dll rete in cui J è stto sostituito con un circuito perto: Si h, quindi cui corrisponde, nel tempo l corrente = J = j = = ( j) = 47exp( 78 j) i ( = 47sin(t 78) S 5 - pplicndo il teorem di Norton, vlutre l potenz compless e l potenz istntne ssorit dl prllelo - in figur e ( isultto: & = 9 7 j768 r; p( = [ 9 7 7cos(t 7)] = Ω, = 5 sin(t π / ) = mf = mh 5 6
4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 S 6 - on riferimento l seguente circuito vlutre l rettnz d inserire in prllelo l genertore in modo che l'impedenz complessiv vist dl genertore stesso ssor l stess potenz medi di prim m i un fse ϕ tle che cos ϕ = 9 (rifsmento) e ( = sin( ω ω = 4 = μf, rd/s, = 5 Ω = mh S 7 - on riferimento l seguente circuito, clcolre l potenz ttiv P e l potenz rettiv Q ssorit dll serie j ( t ) j ( t ) = 4cos j ( = cos = = Ω = = H = F ( 4 ( 4t π / ) Pssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: =, = j Ω, = j Ω, = 5 Ω 'impedenz equivlente vist dl genertore è = eq = 9 j8 Ω, quindi l potenz compless erogt dllo stesso srà ( ( & jq = = ( = ( = k j7 kr Z & eq Z & eq l fttore di potenz è pri cosϕ = cos[ tg ( Q / P)] = 6 quindi occorre inserire un'opportun Z & x tr l'impedenz Z & eq ed il genertore in modo che l'impedenz complessiv Z & verifichi tle richiest ffinché tle inserzione non lteri l tensione, Z & x deve essere post in prllelo l genertore Per lscire invrit nche l potenz medi l impedenz deve essere purmente rettiv: x = jx Per stilire il vlore di tle rettnz si può pplicre il principio di conservzione delle potenze, che impone, dopo l'inserzione di Z & Z & Z & x eq : x Pssndo l dominio dei fsori si vrà l rete di impedenze: j π / J = 4, J = e, = j / 8 Ω, = = 4 j Ω pplicndo l sovrpposizione degli effetti, vlutimo il contriuti dovuti J ed J Pertnto si h = J = j, = J = 5 j85 = = 5 j84 = 75exp( j5), quindi l potenz compless ssorit d Z & srà ( 4 j & jq = = = 75 = 6 j7 r Not: si svolg l esercizio utilizzndo l equivlente di hévenin i cpi dell serie considert S 8 - pplicndo il teorem di hévenin, vlutre l potenz compless e l potenz istntne ssorit dl condenstore P, Q = Q Qx potenz rettiv Q x si può quindi vlutre come segue: Q tgϕ tg[cos (9)] Q tg[cos x (9)] Q = 77 kr mponendo l condizione idert su ϕ si ottiene un Q x negtiv, il che signific che Z & x è un'impedenz cpcitiv icordndo l'espressione dell potenz rettiv ssorit d un condenstore i cpi del qule si not l tensione si può vlutre il vlore di cpcità necessrio: Q = ω x Qx = ω = 87 μf isultto: & = j49 r; p( = -49cos(4t )] j ( = = Ω cos(t ) = Ω = H = F 7 8
5 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 S 9 - lutre l corrente che circol nel condenstore e l potenz compless d esso ssorit Sistemi trifse e ( i ( j ( = = sin(πft ), cos(πf, f = 5 Hz = Ω, = mf, = mh S - on riferimento l seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, di vlore efficce, ) vlutre l indiczione dell mperometro; ) rifsre cos ϕ = 9 ll sezione -- isultto: i ( = 5sin(πft ) ; & = -j58 r S - lutre l potenz istntne e compless ssorit d P sinϕ = = 5 Ω P = k sinϕ = 554 f = 5 Hz = sin(πf, j ( ) t j t ft f Hz j ( t ( ) = sin(π π/ 4), = 5 ) = Ω, = mf, = mh isultto: p ( = 474[ cos(4πft 8) ; & = 474 S - on riferimento ll seguente rete in regime sinusoidle, vlutre: ) il circuito equivlente di hévenin i cpi di ) l corrente circolnte in c) l potenz istntne e compless ssorit d i = sin( ωt π/), = sin( ωt π/ 4), ω = rd / s = Ω, = Ω, ) indiczione dell mperometro fornisce il vlore efficce dell corrente di line Per vlutre tle vlore si può preliminrmente vlutre l potenz compless totle ssorit ll sezione -- l crico vlle dei resistori ssore l potenz compless P = k, Q tgϕ tg[sin (554)] = 799 kr Per vlutre l potenz compless ssorit dll stell di resistori, st osservre che tle crico è posto in prllelo rispetto l precedente e che l tensione su ciscun resistore è proprio l tensione stellt dei genertori Si h, llor: P = = 9 k, Q = pplicndo l conservzione delle potenze, possimo ffermre che l potenz compless totle ssorit ll sezione -- è dt d: P P = 4 9 k, Q = Q Q = 799 kr, cioè: & j Q = ( 49 j799) icordndo l espressione dell potenz pprente: isultto: ) eq = 5 j97ω; = 9 i76 ) i( = 7sin(t 8) c) & = 8 ; p( = 8[ cos(t 5)] si h immeditmente che = Q =, P Q = 56 9
6 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 ) ll sezione -- si h un fttore di potenz pri cosϕ = cos[ tg ( / )] = 88 Q P quindi occorre inserire dei condenstori per rifsre l rifsmento porterà d vere un potenz rettiv totle idert pri Q tgϕ tg[cos (9)] = 7 kr quindi il nco di condenstori dovrà ssorire un potenz rettiv totle pri Q Q Q = 77 kr c = nserendo i condenstori stell, come in figur, l tensione che gisce su ciscuno di essi è quell stellt dei genertori, quindi: Qc = = 6πfY X Qc Y = 68 μf 6πf = Se, invece, i condenstori vengono inseriti tringolo, l tensione è l conctent, quindi: Δ Qc = 6πf = Osservimo che 56μF Y = Δ S - on riferimento l seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni: ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione --; ) rifsre cos ϕ = 9 ll sezione -- Q, cosϕ isultto: ) & 66 k j666 kr, ) = 45μF X X = Δ X = X = 8 Q = 5kr = Ω cosϕ = P sinϕ S - on riferimento l seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni (con vlore efficce dell tensione conctent pri ): ) vlutre l indiczione dell mperometro; ) vlutre le indiczioni dei wttmetri; c) rifsre cos ϕ = 9 ll sezione -- = 8 P = k Q = 7 kr = kω f = 5 Hz ) indiczione dell mperometro fornisce il vlore efficce dell corrente di line ll sezione -- Per clcolrl si può vlutre l potenz compless totle ssorit tle sezione, sommndo i contriuti di tutti i crichi resistori ssorono l potenz compless P = = 4 k, Q =, quindi ll sezione -- si h: & j Q = ( P P ) Q Q ) = 4 k j7 Kr lettur dell mperometro srà, quindi: P Q = = 99 ) Per il teorem di ON, essendo il sistem equilirto, si h: = 4 = Q = = 4 = 7 c) ll sezione -- si h un fttore di potenz pri cosϕ = cos[ tg ( Q / P )] = 8, quindi occorre inserire dei condenstori per rifsre Dopo il rifsmento si vrà Q tgϕ quindi, montndo tre condenstori tringolo: P, Q tg[cos (9)] = 55 kr Qc Q c = Q Q = 95 kr Δ = 4 μf 6πf =
7 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 S 4 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, e si suppong che l lettur dell mperometro si 7 ) vlutre l indiczione del voltmetro; ) vlutre le indiczioni dei wttmetri; c) rifsre cos ϕ = 9 ll sezione -- S Z & Z & Z & p sinϕ p Dti: = j Ω, = kω, X = kω, p = k,sin ϕ p = 77, f = 5Hz jx jx jx per cui l lettur del voltmetro srà: = P Q = 7 k ) Per il teorem di ON, essendo il sistem equilirto, si h: = Q = = 66 c) ll sezione -- si h un fttore di potenz pri cosϕ = cos[ tg ( Q / P )] = 66, = 7 = 8 quindi occorre inserire dei condenstori per rifsre Dopo il rifsmento si vrà Q tgϕ tg[cos (9)] = 485 kr quindi, montndo tre condenstori tringolo Qc Q c = Q Q = 66 kr Δ = 94 μf 6πf = ) Detto = 7 il vlore efficce dell corrente lett dll mperometro, l potenz compless totle ssorit dlle impedenze - srà & = ( jx ) = 47 k j94 kr tensione stellt che insiste su quest stell di impedenze e sul crico posto in prllelo srà = = 57 k potenz compless ssorit dl crico prllelo srà & = cosϕ jsin ϕ = 849 k j849 kr, p p p quindi l potenz compless totle ssorit ll sezione S indict in figur srà & = & & = 995 k j4 kr s p corrente che ttrvers tle sezione srà dt d: s = = quindi l potenz ssorit dl crico in serie Z & srà & = Z & = 6 k j kr ll sezione -- di ingresso, quindi, si h: & = & & s j Q = k j 46 Kr S 5 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, e si suppong che l lettur dell mperometro si 5 ) vlutre l tensione stellt dei genertori ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione --; jx jx jx jx jx jx isultto: ) = 56 ; ) & = 8 k j8 kr = kω X X = Ω = Ω = 9 Ω 4
8 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 S 6 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione --; ) rifsre cos ϕ = 9 ll sezione -- jx jx jx jx c Z & isultto: ) & 6 k j45 kr; ) = 94 μf Z & = Δ Z & jx c jx c P = k, cosϕ P = Ω, X = 5 Ω, = j Ω, = 8, f = 5Hz = Ω X = 77, S 7 - Si consideri il seguente sistem trifse, limentto d un tern simmetric dirett di tensioni, e si suppong che l lettur dell mperometro si ) vlutre il fttore di potenz del crico M; ) vlutre l potenz compless ssorit ll sezione --; c) vlutre il fttore di potenz ll sezione --; isultto: ) cosϕ = 8; ) & = k j8 kr; c) cosϕ = 89; M M P, cosϕp = kω = 4 k = k 4 Doppi-ipoli, genertori pilotti, regime periodico S 4 - on riferimento l seguente circuito, vlutre: ) l mtrice delle mmettenze Y & del doppio-ipolo visto i cpi dei genertori; ) l potenz compless & erogt di genertori; i ( ) i ( t e ( ) t isultto: ) Y& = 5 Ω, Y& = 5 j Ω, Y& m = 5 j Ω ; ) & er er = 75, & = 5 jr S 4 -on riferimento l seguente circuito, vlutre l potenz medi P ssorit dl resistore e verificre che è possiile sovrpporre le potenze medie j ( ) t Poiché i genertori non sono isofrequenzili, cioè ω ω, il circuito non mmette un regime sinusoidle m un regime periodico e quindi non è possiile trsformre l rete in un rete di impedenze uttvi, essendo l rete linere, si può pplicre l sovrpposizione degli effetti e ricvre l corrente che circol in come i = i i, dove i si ricv dl circuito usilirio e i dl circuito usilirio i iscun di queste due reti può essere rppresentt d un rete di impedenze: pplicndo i prtitori di corrente: i e ( ) rete : J =, = j, = j, = rete : J, = 5 j, = j, t e ( = cos( e ( = sin( = Ω j ( ) = mh = = t = Ω = mf = mf j ( = cos( j ( = sin( = mh j ( ) t 5 6
9 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 j = J = e i ( = cos(t ) m = J j = e i ( = sin(t ) Quindi l corrente che circol in srà i ( = i ( i ( = cos(t ) sin(t ) Not l corrente si può clcolre l potenz istntne ssorit d e quindi l potenz medi: P = p t dt = i t dt = i t dt i t dt i t i π π ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( dt = mx, ω ω primi due contriuti rppresentno le potenze medie dissipte nei circuiti e, quindi sono: 6 i ( dt 5, = = i t dt ( ) = = 5 'ultimo contriuto è nullo perché per ω ω si h: cos( ωt α) sin( ωt β) dt = α, β n definitiv se ω ω è possiile sovrpporre le potenze medie: P 5 S 4 -on riferimento l seguente circuito, vlutre l corrente i( corrente i ( si può clcolre con l sovrpposizione degli effetti nel dominio del tempo: i ( = i i ( l contriuto i è dovuto l solo genertore di tensione e si ottiene tenendo conto che, in regime stzionrio, l'induttore si riduce d un corto-circuito ed il condenstore d un circuito perto: i = / = / l contriuto i ( è dovuto l solo genertore e si ottiene risolvendo l rete in regime sinusoidle: J =, Z & =, = j, = j Posto Z & = //, l corrente si ottiene con un semplice prtitore di corrente: 6 jπ / = J j j = e i ( = sin( ω i ( J = J m =, = m cosωt ω = rd / s = Ω, = mh, = mf 6 7 S 44 -on riferimento l seguente circuito, vlutre l potenz medi P ssorit dl resistore e verificre che è possiile sovrpporre le potenze medie e ( isultto: P = 4 k S 45 -lutre l'equivlente di hévenin i cpi dei morsetti -' i( ri ( Pssndo ll rete di impedenze si vrà: jπ / 6 = e, = j, = 4 j, = Per clcolre st pplicre l K ll mgli di sinistr dell rete = r = = 68 j57 r pplicndo un prtitore di tensione si h, quindi: j 6 = r = 7 j64 = 7e Per clcolre Z & eq occorre spegnere tutti (e soli) i genertori indipendenti, cioè pplicndo ncor l l K ll mgli di sinistr dell rete: = r = quindi nell rete per il clcolo di Z & eq risult spento nche il genertore controllto, visto che l su vriile di controllo è null, per cui in definitiv: eq = = 4( j) Ω j ( = 4 = cos( = Ω = H = Ω = mf = sin( ωt π / 6) = Ω r = Ω X = 4 Ω X = Ω 8
10 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 Mffucci: ircuiti in regime sinusoidle ver - 4 S 46 - l circuito seguente riproduce lo schem equivlente di un mplifictore trnsistor per lt frequenz Determinre l tensione i cpi del resistore U ( v S S v in i o ( gv in isultto: v U ( = 959cos( ωt 6) k U v U v ( = cos( ω 8 ω = rd / s S S = o = ph g = Ω = Ω, = nf = 5 Ω i rsformto il circuito in un rete di impedenze, nell qule si è introdotto il fsore l'impedenz equivlente vist dl genertore è: d cui & Z eq jω = jω = j Ω jω 5 5 jπ / 4 = = ( j) = e i ( = 5sin(t π / 4) eq e ( i ( ) t =, S 47 - on riferimento l seguente circuito vlutre l corrente i ( t ) nel circuito primrio i ( ) e ( t = = Ω = mh M = mh sin( = Ω = mh S 48 - on riferimento l seguente circuito vlutre l potenz compless ssorit dl condenstore j ( = = = 5 Ω = mh, M = mh, cos( = 4 mh = 5 mf Poiché M l'ccoppimento non è perfetto Posto =, possimo scegliere in modo che l'liquot verifichi le condizioni di ccoppimento perfetto = : M / = = M = M mh questo punto il circuito equivlente srà il seguente isultto: & = j5 r i ( ) t e ( = = M Per l formul del trsporto dell'impedenz in un trsformtore idele, il circuito è nche equivlente l seguente: 9
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