Autovalori e autovettori di una matrice quadrata

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1 rgomento bis utovalori e autovettori di una matrice quadrata Trasformazioni di R n Consideriamo una matrice quadrata di ordine n a coefficienti, ad esempio, in R. Essa rappresenta una trasformazione di R n, quella che a ogni vettore colonna v associa il vettore colonna v v. Esempi associa ad ogni vettore v µ x y di R il vettore v µ x y x. y Graficamente questo significa, in particolare, che i vettori che hanno la direzione dell asse x sono moltiplicati per (mantenendo direzione e verso) e, analogamente, quelli che hanno la direzione dell asse y sono moltiplicati per. µ 4 4 x x associa ad ogni vettore v di R y il vettore v x y. y Graficamente questo significa, in particolare, che i vettori che hanno la direzione dell asse x sono moltiplicati per, mantengono la direzione, ma invertono il verso, mentre quelli che hanno la direzione dell asse y sono moltiplicati per (mantenendo direzione e verso) µ 4

2 x x associa ad ogni vettore v di R y il vettore v x+y y. y Graficamente questo significa, in particolare, che i vettori che hanno la direzione dell asse x sono moltiplicati per (mantenendo la direzione ma non il verso), mentre quelli che hanno la direzione dell asse y sono trasformati in vettori di direzione (, ) T. - µ µ Nota Con la parola trasformazione in questo contesto non intendiamo legge biunivoca, ma solo funzione del piano in se stesso (e quindi legge univoca). d esempio, vediamo come trasformazione x x la proiezione ortogonale sull asse x:. In questo caso i vettori che hanno y la direzione dell asse y sono tutti trasformati nel vettore nullo, mentre quelli che hanno la direzione dell asse x sono trasformati in se stessi. Ci chiediamo se per ogni matrice quadrata, letta come trasformazione di R n in sé, ci sono delle direzioni privilegiate (cioè tali che trasformando un vettore avente una di queste direzioni si abbia ancora un vettore con la stessa direzione o il vettore nullo) e, in caso affermativo, quante sono e come determinarle. Vedremo che la risposta, se lavoriamo con vettori di R n,nonèsempreaffermativa, mentre riconsiderando tutto il problema in C n si ha sempre almeno una soluzione. utovalori e autovettori Il problema precedente si traduce così: Data, quadrata di ordine n, esistono uno scalare λ un vettore (a n componenti) v, non nullo, tali che, scrivendo v come colonna, risulti v λv? In caso affermativo, λ viene detto autovalore di e v viene detto autovettore di relativo a λ. Osservazione Se v è un autovettore di relativo a λ, anche tv lo è, comunque si scelga lo scalare non nullo t. Per calcolare gli autovettori è necessario calcolare gli autovalori corrispondenti. Infatti

3 Teorema L equazione vettoriale v λv ha soluzione non nulla se e solo se det ( λi). L equazione (polinomiale, di grado n in λ): det ( λi) è detta equazione caratteristica di. Il teorema afferma che gli autovalori di sono tutte e sole le soluzioni dell equazione caratteristica, quindi gli autovalori sono al massimo n se l equazione caratteristica ha una soluzione λ, gli autovettori di relativi a λ, si trovano cercando le soluzioni v del sistema omogeneo ( λi) v, che - avendo matrice dei coefficienti con rango non massimo - ha sicuramente infinite soluzioni. Esempi 4 ) Cerchiamo gli autovalori e gli autovettori di. La sua equazione caratteristica è λ ; dunque ha due autovalori distinti, λ ±. Il sistema I v, µ cioè x, si riduce all unica equazione y x: dunque gli y autovettori di relativi a sono tutti e soli quelli della forma v x. Il sistema µ + I v, cioè x, si riduce all unica equazione y x: y dunque gli autovettori di relativi a sono tutti e soli quelli della forma v x. Quindi ci sono due direzioni privilegiate, quelle date dalle due rette y x e y x..5 µ µ - - µ µ µ µ Si nota che,cioè accostando i due autovettori v e v in modo da formare una matrice, V (v v ), se λ e λ sono i corrispondenti autovalori, risulta V V diag(λ, λ )oanche, visto che V è invertibile, V V diag(λ, λ ). Si suole esprimere questo fatto dicendo che è diagonalizzabile.

4 ) Cerchiamo gli autovalori e gli autovettori di. La sua equazione caratteristica è λ 4λ+ ; dunque ha due autovalori distinti, λ, λ. Il sistema ( I) v, x cioè, si riduce all unica equazione y x: dunque gli y autovettori di relativi a sono tutti e soli quelli della forma v ( I) v, cioè x y x. Il sistema µ, si riduce all unica equazione y x: dunque gli autovettori di relativi a sono tutti e soli quelli della forma v ci sono due direzioni privilegiate, quelle date dalle due rette y x e y x. µ x. Quindi La matrice in esame è diagonalizzabile: la matrice diagonale èdiag(, )ecomematricedi h k autovettori indipendenti si può prenderev oanchev con h e k h k non nulli. ) Cerchiamo gli autovalori e gli autovettori di. La sua equazione caratteristica è λ λ ; dunque ha due autovalori distinti, λ,λ. Ilsistemav, siriduce all unica equazione y x: dunque gli autovettori di relativi a sono tutti e soli quelli della x x forma v.ilsistema( I) v, cioè si riduce x y all unica equazione x y: dunque gli autovettori di relativi a sono tutti e soli quelli y della forma v. Quindi ci sono due direzioni privilegiate, quelle date dalle due rette y y x e x+y. La matrice in esame è diagonalizzabile: la matrice µ diagonale èdiag(, ) e come matrice di autovettori indipendenti si può prenderev. 4

5 4) Cerchiamo gli autovalori e gli autovettori di. La sua equazione caratteristica è( λ) ; dunque ha due autovalori coincidenti, λ. Ilsistema( I) v x, cioè, si riduce all unica equazione y : dunquegli y x autovettori di sono tutti e soli quelli della forma v, cioè quelli diretti come l asse x. Non esiste un altra direzione privilegiata! Questoimplicachelamatrice in esame non è diagonalizzabile (non riesco a formare con gli autovettori una matrice quadrata V ). 5) Cerchiamo gli autovalori e gli autovettori di. La sua equazione caratteristica è( λ) + ; dunque non ha autovalori reali e quindi non può avere neppure autovettori in R! Geometricamente ciò significa che non ci sono direzioni privilegiate per questa trasformazione (che in effetti corrisponde alla composizione di una rotazione di π/4 e di una dilatazione di : vedi figura). µ 6) Invece in C la matrice dell esempio precedente ha due autovalori distinti, λ ±i: quindi in C le direzioni privilegiate ci sono. ( + i) x Il sistema si riduce all unica equazione y ix: dunque ( + i) y gli autovettori di relativi a +i sono tutti e soli quelli della forma v x. i Il sistema ( i) x ( i) y si riduce all unica equazione y ix: dunque x. i gli autovettori di relativi a +i sono tutti e soli quelli della forma v Condizioni di diagonalizzabilità bbiamo verificato negli esempi 4 che, se una matrice (di tipo ) ha autovalori distinti, autovettori corrispondenti ai due autovalori sono indipendenti e quindi la matrice V (di tipo ) formata accostandoli è invertibile. In generale vale la seguente 5

6 Osservazione 5 Se una matrice (di tipo n n) ha n autovalori distinti, scegliendo un autovettore per ogni autovalore, si ha una n-upla di vettori indipendenti equindilamatricev (di tipo n n) formata accostandoli è invertibile. Dunque, se una matrice ha n autovalori distinti λ, λ,..., λ n e per ogni i risulta v i λ i v i,si ha e quindi, scrivendo V (v v... v n ), vale a dire la matrice è diagonalizzabile. (v v... v n )(v v... v n )diag(λ, λ,...,λ n ), V V diag(λ, λ,...,λ n ) Ma, è necessario che gli autovalori siano distinti per trovare autovettori indipendenti? Esempio 6 La matrice ha equazione caratteristica ( λ) (4 λ) ; dunque 4 ha due autovalori coincidenti, λ λ e un altro distinto da essi, λ 4. 4 x Il sistema ( 4I) v, cioè 4 y si riduce al sistema (di 4 4 z equazioni in incognite) x y : dunque gli autovettori di relativia4sonotuttiesoliquelli della forma v. z Il sistema ( I) v, si riduce all unica equazione x + y + z : dunque gli autovettori di x relativi a sono tutti e soli quelli della forma v y x + y. x y Quindi relativamente all autovalore si trova più di una direzione privilegiata. Due qualunque scelte tra queste sono indipendenti: ad esempio quelle (ottenute per x,y eperx,y )date dai vettori e, ma anche quelle (ottenute per x,y eperx,y ) date da e. La matrice in esame è diagonalizzabile: la matrice diagonale èdiag(,, 4)ecomematricedi autovettori indipendenti si puòprendereadesempiov. Verificare che risulta: V V diag(,, 4). 6

7 In generale si dice che un autovalore λ della matrice ha molteplicità algebricam se il polinomio caratteristico det ( λi) può essere diviso per (λ λ ) m ma non per (λ λ ) m+, molteplicità geometricag se tra gli autovettori corrispondenti a λ ce ne sono esattamente g indipendenti. Se r è il rango di λ I, la molteplicità geometrica di λ è n r. Si dimostra che si ha sempre m g echelacondizione necessaria e sufficiente perché lamatrice sia diagonalizzabile è che valga l uguaglianza per tutti gli autovalori di. Ciò è proprio quanto succede nell esempio 6: l autovalore ha molteplicità algebrica e geometrica, l autovalore 4 ha molteplicità algebrica e geometrica. Invece nell esempio 4, caso 4) l autovalore ha molteplicità algebrica e geometrica : per questo tale matrice non è diagonalizzabile. In realtà, se è quadrata di ordine e ha un autovalore con molteplicità algebrica, essa è diagonalizzabile se e solo se èdiagonale. Interpretazione geometrica della diagonalizzabilità Se si usa la trasformazione rappresentata dalla matrice per trasformare i punti del piano (invece dei vettori) si trova un interpretazione geometricadeicasidimatricidiagonalizzabilidiscussi nell esempio 4. Dire che è diagonalizzabile con autovalori e ed autovettori e significa che la mattonella nera in figura è trasformata in quella colorata e quindi se adottiamo come sistema di riferimento XOY nel piano quello delle rette y x e y x, orientandole come i due autovettori, vediamo che la trasformazione lavora esattamente come una dilatazione di un fattore seguita da un cambiamento di verso (che in un sistema cartesiano ortogonale XOY interpreteremmo come ribaltamento rispetto all asse Y :vedi figura ) Figura Figura 7

8 Dire che è diagonalizzabile con autovalori e ed autovettori e può essere interpretato in modo analogo a prima, ma in questo caso il fattore di dilatazione nella direzione individuata dal vettore (, ) è : si ha quindi una proiezione nella direzione individuata dal vettore (, ) sulla retta x +y, seguita da una dilatazione nella direzione di questa retta di un fattore. Concretamente, la mattonella nera viene schiacciata nel segmento colorato. Se non si evidenziano le direzioni privilegiate (cioè le rette con cui è opportuno costruire il sistema di riferimento) è difficile intuire come agisce la trasformazione! h k Dire che è diagonalizzabile con autovalori e ed autovettori e h k può essere interpretato in modo analogo a prima, oppure si può osservare che l equazione x (x, y) c, cioèx y +xy +y c, rappresenta una curva: quale? Sappiamo che, denotata conã V la matrice! ottenuta accostando due autovettori (relativi a e ) di modulo : V,risulta V diag(, )V e quindi l equazione si riscrive! x (x, y) V diag(, )V c; d altra parte si vede che V y V T : quindi, X x X posto V, l equazione si riscrive (X, Y )diag(, ) c, cioè X Y y Y +Y c. Da ciò deduciamo che nel sistema di riferimento XOY, ottenuto rotando il sistema xoy di π in 4 verso antiorario, l equazione rappresenta un ellisse di semiassi c e p c: ovviamente la natura della curva non dipende dal sistema di riferimento e quindi anche l equazione data all inizio rappresenta un ellisse e gli autovettori danno la direzione dei suoi assi (). Ã ) llo scopo di poter fare questo tipo di considerazioni, èimportantechelamatrice coincida con la sua trasposta T e che gli autovettori scelti per costruire la matrice V abbiano modulo. 8

9 Esercizi Esercizio Determinare autovalori ed autovettori delle seguenti matrici, specificando se gli autovalori sono reali e la loro molteplicità algebrica e geometrica: ; ; µ ; 4 4 µ ; ; ; 4 Esercizio Mostrare che tutte le matrici con determinante hanno l autovalore con molteplicità algebrica almeno.. Esercizio Mostrare che una matrice e la sua trasposta hanno gli stessi autovalori. Esercizio 4 Diciamo che una matrice è simmetrica se coincide con la sua trasposta (in effetti tale matrice ha la riga i-esima ordinatamente uguale alla colonna i-esima e quindi è simmetrica rispetto alla diagonale principale). Dimostrare, almeno per n, che tali matrici hanno n autovalori reali, n autovettori a due a due ortogonali e sono diagonalizzabili. 9