CALCOLO LETTERALE. Prof. Katia Comandi Dispensa per la classe III ITI Informatico. a.s 2006/2007

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1 CLCOLO LETTERLE Prof. Kti Comndi Dispens per l clsse III ITI Informtico.s 00/007

2 Indice Il Clcolo letterle Introduzione pg. Scopo del Clcolo letterle pg. Monomi pg. Polinomi pg.. Prodotti notevoli pg. 7 Scomposizione di un polinomio in fttori pg. 8 M.C.D e m.c.m. tr polinomi pg. 7 Frzioni lgebriche pg. 8 Esercitzioni pg. 9 pprofondimenti pg.

3 Il Clcolo letterle Introduzione Quest trttzione si pone complessivmente l obiettivo di fornire tutto il mterile concettule ed esercittivo reltivo l clcolo letterle, cioè quell prte dell lgebr elementre che v dl clcolo con monomi e polinomi fino l clcolo con le frzioni lgebriche. Poiché le proprietà lgebriche di monomi, polinomi e frzioni lgebriche, sono un conseguenz delle proprietà lgebriche degli insiemi numerici (e in prticolre di Z fino l clcolo con i polinomi e di Q per il clcolo con le frzioni lgebriche), è opportuno, m non essenzile, che questo rgomento veng trttto dopo lo studio degli Insiemi numerici fondmentli, nel qule si nlizzno le proprietà di N, Z, Q, R, si revision e si pprofondisce l operzione di elevzione potenz e si nlizz, in modo generle, il significto di operzione in un insieme. In ogni cso, molte delle difficoltà che insorgono nell pprendimento del clcolo letterle dipendono dll cttiv comprensione di concetti o regole che si srebbero dovuti imprre in modo solido prim dell su introduzione. In prticolre, molte nlisi degli errori ricorrenti concordno sull persistenz dei seguenti: non rispetto dell ordine di precedenz delle operzioni, dovuto d un omologzione del clcolo lle regole di lettur (d sinistr verso destr) del linguggio non mtemtico. Errore tipico, già ritmetico e che si ripercuote nel clcolo lgebrico, è per esempio 9 ; non rispetto del ruolo delle prentesi e dell loro necessità nel cso si debb modificre l ordine nturle di esecuzione delle operzioni. Errori tipici, tle proposito, sono l indifferenz tr scritture quli ( b)( c d ) e ( b) c d oppure l dimenticnz dell distribuzione del segno b c e b c ; che f credere uguli le seguenti scritture ( ) non consolidt differenzizione delle regole che governno le operzioni tr esponenti qundo si oper con potenze. Non si pplicno così gli esponenti le operzioni di livello più bsso e si trovno errori tipici quli ; non comprensione dell sintssi del clcolo con le frzioni e, in prticolre, incertezz sul b b significto di scritture quli (in cui sono presenti tre livelli!) o, nell qule volentieri c c vengono semplificte le del numertore e del denomintore, non rilevndo il ruolo di prentesi che h il segno di frzione lungo ; tendenz ll semplificzione tutti i costi, probbilmente nturle, m sicurmente rfforzt dll educzione scolstic, così infrcit di espressioni lunghe e complicte che mgicmente si riducono pochi e fmiliri numeri od espressioni. ciò sono nche dovuti errori tipici quli b b, che si richimv nel punto precedente, oppure ( b) b ; c c confusione tr il mondo dell ddizione e il mondo dell moltipliczione, le due fondmentli strutture opertive che si incrocino ttrverso l proprietà distributiv, e loro ulteriore confusione con l pr-mtemtic dell vit quotidin. Così, è ssi frequente l omologzione di niente (come risultto mentle pr-mtemtico), zero (il niente dell ddizione ) e uno (il niente dell moltipliczione); errori tipici di questo genere sono o, più frequente, 0. Oltre ciò, v tenuto conto che nell pprendimento del clcolo letterle si v incontro due rischi opposti: ) si dimentic l origine numeric del clcolo letterle e le espressioni, nziché essere strumenti di

4 generlizzzione, diventno brutli esercizi fini se stessi, su cui non esercitre rgionmento, m solo, qundo v bene, esecutive cpcità di clcolo (per questo, spesso, picciono così tnto gli studenti di livello medio, perché, un volt cpite le non molte regole, non impegnno il rgionmento, così come invece problemi di vri ntur); b) non si rggiunge il livello nel qule gli oggetti del clcolo letterle i monomi, i polinomi, le frzioni lgebriche pur essendo nti d esigenze di generlizzzione del livello numerico, se ne distccno, qusi utonomizzndosi. nche se, livello di biennio, il percorso non v seguito fino tl punto, i polinomi costituiscono comunque un nello e, dunque, un utonom struttur, ormi svincolt qundo se ne studino le crtteristiche dll loro origine di strumenti per generlizzre o per risolvere problemi effettivi. Nell presentzione del mterili di studio, nell scelt degli esempi e degli esercizi, ho tenuto conto di tli dignosi e, pertnto, è continumente riproposto questo doppio livello dell comprensione del clcolo letterle (come strumento di generlizzzione e come mbiente di clcolo utonomo), così come le situzioni imbrzznti dove si nnidno gli errori tipici sono ben più frequenti di ltre situzioni più di routine. Scopo del Clcolo letterle Supponimo di dover clcolre l superficie occupt d un terreno di form rettngolre che h m di lrghezz e m di lunghezz. Si trtt di un problem piuttosto semplice, perché l superficie di un rettngolo si clcol moltiplicndo le misure dei due lti, inftti vremo: 8m questo punto sorge spontne l domnd: Ci srà un sistem per clcolre l re di un rettngolo qulsisi? Si il modo c è: indicte con b e h le misure, rispetto ll stess unità, dell bse e dell ltezz del rettngolo, l re, cioè l misur dell superficie, è dt dll seguente formul b h Quest formul è di crttere generle e si può quindi pplicre per determinre l re di un qulsisi rettngolo di cui si conoscno l bse e l ltezz. Osservzione: qundo si indic un prodotto tr due numeri rppresentti d lettere si suole omettere il punto, cioè il segno dell operzione di moltipliczione. d esempio b b n n b c bc E invece evidente che per indicre il prodotto tr due numeri, per esempio tr il numero ed il numero, non si può omettere il segno di moltipliczione, ltrimenti si leggerebbe ventitre. Cos succede se volessi clcolre il perimetro di un rettngolo? Nel cso specifico dell esempio considerto, il bordo del terreno misurerà un rettngolo qulsisi vremo l seguente formul: p b b h h b h che viene così scritt p b h. 8m, m per

5 Dll esempio proposto si è visto che, usndo lettere dell lfbeto per indicre numeri (reli), si ottiene il vntggio di poter generlizzre un determinto problem e di poter gevolmente indicre l sequenz di operzioni d eseguire per risolverlo. Si dice così che il Clcolo letterle è quell prte dell mtemtic che generlizz il clcolo lgebrico usndo nche delle lettere per indicre numeri. Vedi questo proposito gli pprofondimenti (pr. 9., 9. e 9.). Per esempio, con l scrittur b intendimo il problem che, nel linguggio comune, si enunci così: dividere l differenz tr il qudrto di un numero dto e il triplo di un ltro numero dto per il doppio del primo numero considerto. Che ftic! Il vlore che si otterrà eseguendo tli operzioni dipenderà, evidentemente, di vlori che si ttribuirnno lle due lettere e b: b ( ) ( ) ( ) oppure b ( ) ( ) 7 7 ( ) Chimeremo espressione lgebric letterle o semplicemente espressione letterle ogni scrittur che indichi operzioni d eseguire su numeri e lettere ssegnti. Le lettere che compiono in un espressione letterle si dicono indeterminte e rppresentno numeri reli. Possimo concludere che mentre un espressione lgebric numeric indic quli operzioni compiere su certi numeri per giungere un risultto numerico (vlore dell espressione), le espressioni letterli costituiscono uno schem generle di clcolo: espressione lgebric numeric espressione lgebric letterle ( ) ( ) b ( ) Monomi L più semplice espressione letterle inter è il cosiddetto monomio. Il monomio è un espressione letterle in cui figurno solo operzioni di moltipliczione. Ovvimente, per come è definito, un monomio rppresent un numero. Il grdo di un monomio è l somm degli esponenti delle sue lettere. Due o più monomi si dicono simili qundo hnno l stess prte letterle. Vedimo d vicino come è ftto un monomio: Prte numeric z Grdo del monomio Prte letterle z Per concludere possimo dire che: le lettere, in generle, rppresentno qulunque numero rele (e dunque possono rppresentre

6 nche numeri negtivi); tr le lettere è omesso il segno di moltipliczione; lettere uguli rppresentno necessrimente numeri uguli, mentre lettere diverse non rppresentno necessrimente numeri diversi; i numeri reli sono loro volt monomi di grdo zero e lo 0 è su volt un monomio; pplicndo tutte le regole vlide per le espressioni numeriche (proprietà delle operzioni tr numeri comprese le potenze, priorità delle operzioni e uso delle prentesi) è possibile clcolre espressioni letterli contenenti monomi. Vedimo lcuni esempi di esercizi svolti: Somm di monomi simili b c b c b c Prodotto di monomi 7 b c b c ( b c) b( bc ) ( ) ( ) b c b c Potenz di un monomio 9 9 ( bc ) ( ) b c 8 b c Quoziente di due monomi ( 8 b c ): ( b c) bc Polinomi Si chim polinomio un espressione letterle formt dll somm lgebric di più monomi detti termini del polinomio. I monomi, quindi, sono csi prticolri di polinomi formti d un solo termine. In prticolre viene detto: inomio Trinomio il polinomio formto d due monomi non simili il polinomio formto d tre monomi non simili due due Qudrinomio il polinomio formto d monomi due due non simili. Se un polinomio è formto d monomi che non sono simili due due, si dice che è ridotto form normle. Il grdo di un polinomio è il mssimo dei grdi dei termini (monomi) che lo compongono. lcune rccomndzioni: tr le prentesi si omette spesso il punto dell moltipliczione; lo zero può essere considerto come un prticolre polinomio; come per i monomi, pplicndo tutte le regole vlide per le espressioni numeriche, è possibile clcolre espressioni letterli contenenti polinomi.

7 7 Vedimo lcuni esempi di esercizi svolti: Somm lgebric di due o più polinomi ( ) ( ) ( ) ( ) 7 Prodotto tr un monomio ed un polinomio ( ) Quoziente di un polinomio per un monomio ( ) ( ) : Prodotto tr polinomi ( )( ) Prodotti notevoli Nel clcolo letterle cpit spesso di incontrre moltipliczioni tr prticolri polinomi; i reltivi sviluppi si ottengono pplicndo le regole fin qui viste, m i risultti, opportunmente semplificti, hnno un form prticolre, fcilmente memorizzbile. cus dell frequenz con l qule si incontrno tli prticolri moltipliczioni è utile tenere mente i risultti, pplicndoli subito senz pssre ttrverso l ppliczione delle regole generli. Di seguito è presentto uno schem che rissume tutti i tipi di prodotti notevoli. Il lettore potrà fcilmente verificre l loro vlidità svolgendo i pssggi intermedi. QUDRTO DEL INOMIO ( ) QUDRTO DEL TRINOMIO ( ) C C C C CUO DEL INOMIO ( ) PRODOTTO DELL SOMM DI DUE MONOMI PER L LORO DIFFERENZ (DIFFERENZ DI DUE QUDRTI) ( )( ) SOMM DI DUE CUI ( )( ) DIFFERENZ DI DUE CUI ( )( ) Gurdndo gli sviluppi del Qudrto e del Cubo di un binomio può nscere spontne l seguente domnd: Come srà lo sviluppo di ( )? E dell potenz ( ) n? Vedi questo proposito gli pprofondimenti (pr. 9.).

8 Scomposizione di un polinomio in fttori Per l scomposizione in fttori dei polinomi è necessrio spere cos vuol dire scomporre in fttori primi un numero intero. Per i polinomi l cos è oggettivmente più complict, si perché non esistono lgoritmi generli si perché non è possibile riconoscere l irriducibilità di un qulunque polinomio (concetto equivlente quello dell primlità di un numero intero). Inftti è fcile riconoscere se un dto numero intero positivo è o no un numero primo (è primo se è divisibile solo per e per se stesso, es.,,,,7,, ), meno fcile è riconoscere se un dto polinomio è scomponibile in polinomi di grdo inferiore l suo. In ogni cso, deve essere chiro qundo un polinomio è scomposto in fttori oppure no (non qundo si scomponibile), qundo cioè l operzione fondmentle in un scrittur polinomile è costituit d un o più moltipliczioni, cui sono subordinte (tr prentesi) le ddizioni. Esempio: polinomio scomposto in fttori ( )( ) polinomio non scomposto in fttori ( ) Come nel cso dei numeri interi l scomposizione in fttori nell insieme dei numeri nturli è indispensbile per clcolre l somm di frzioni o per l loro semplificzione, così succede nell insieme dei polinomi. Sper scomporre in fttori è inftti requisito indispensbile per poter introdurre le operzioni con le frzioni lgebriche. L operzione di scomposizione di un polinomio in fttori primi non è fcile e non sempre i polinomi sono riducibili cioè scomponibili. Esmineremo lcune tecniche di scomposizione poi costruiremo uno schem generle che ci poss iutre d ffrontre i csi più comuni. Rccoglimento fttor comune totle L più semplice operzione di scomposizione di un polinomio in fttori consiste nel mettere in evidenz il fttore comune tutti i termini del polinomio (si prende il fttore comune più grnde tr i fttori comuni, cioè il Mssimo Comun Divisore dei termini del polinomio): ( ) MCD (,) poi si clcolno i quozienti / e / Rccoglimento fttor comune przile Se con c è lcun fttore comune tutti i termini di un polinomio (MCD) non è possibile il rccoglimento totle. Nel cso in cui però gruppi di termini hnno fttori in comune si pplic il rccoglimento przile: ( b) ( b) b b ttenzione! il polinomio non è stto ncor scomposto mettendo or in evidenz il fttore ( b) ( b) ( b)( ) b, vremo desso il polinomio di prtenz è scomposto. 8

9 Riconoscimento di Prodotti notevoli I prodotti notevoli che bbimo visto in precedenz possono essere utili per l scomposizione dei polinomi in fttori. Leggendo in senso inverso le uguglinze che bbimo dedotto studindo i prodotti notevoli è possibile scomporre in fttori certi tipi di polinomi: QUDRTO DEL INOMIO ( ) QUDRTO DEL TRINOMIO ( ) C C C C CUO DEL INOMIO ( ) PRODOTTO DELL SOMM DI DUE MONOMI PER L LORO DIFFERENZ (DIFFERENZ DI DUE QUDRTI) ( )( ) SOMM DI DUE CUI ( )( ) DIFFERENZ DI DUE CUI ( )( ) V notto che l scomposizione di polinomi, per motivi di segno, non è esttmente unic: per esempio b ( b)( b) ( b)( b) Considerimo il seguente prodotto: Trinomio prticolre di secondo grdo l contrrio considerimo or un qulunque trinomio s simo in grdo di scomporlo in fttori se riuscimo scriverlo nell form p ( b) b cioè se simo in grdo di individure due numeri, b, tli che loro somm si il coefficiente del termine di primo grdo, cioè il loro prodotto il termine noto, cioè Possimo cioè scrivere b p b s L regol vle qundo i numeri, b sono numeri reli. Non sempre però tle regol è di fcile ppliczione per cui ci limiteremo d pplicrl nei csi semplici qundo sono due numeri interi. 9

10 Esempio Regol di Ruffini Si dto un polinomio P ( ), ed un binomio divisore dell form, con un numero rele qulsisi. Si Q ( ) il quoziente. Dll relzione fondmentle dell divisione possimo dedurre : Il resto R dell divisione è un polinomio di grdo 0, quindi un numero. Clcolimo P ( ) : P ( ) Q( ) ( ) R R Qundo R 0 si dice che il polinomio ( ) P è divisibile per e l relzione scritt sopr ci fornisce un su scomposizione in fttori. Il problem divent llor quello di trovre i binomi del tipo. Si può procedere nel seguente modo:. Si determinno i divisori del termine noto p i. Si determinno i divisori del coefficiente del termine di grdo mssimo q i. Si trovno tutte le possibili frzioni. Si trov il resto R dell divisione clcolndo P ( ) resto p i.tr questi vlori ci sono gli cercti q i. Si pplic in quest fse il Teorem del. Si prende, se c è il vlore che rende P ( ) nullo. In tl cso il binomio è divisore del polinomio P ( ) e quindi questo è scomponibile. Dopo ver trovto un divisore si esegue l divisione utilizzndo l regol di Ruffini. Esempio Si vuole scomporre in fttori il polinomio Seguimo lo schem. i divisori del termine noto sono:,,,. i divisori del coefficiente del termine di grdo mssimo sono:,. le possibili frzioni sono quindi,,,, /, /, di conseguenz i possibili divisori sono. pplichimo il Teorem del resto: 0

11 quindi non è divisore quindi è divisore. rende nullo il polinomio, llor il polinomio P() è divisibile per. Non è necessrio questo punto controllre se ci sono ltri divisori, m ndimo d eseguire l divisione utilizzndo l Regol di Ruffini: Coefficienti del polinomio P ( ) Quoziente dell divisione Resto dell divisione Ottenimo così l scomposizione seguente Per procedere nell scomposizione in fttori, occorre or operre sul trinomio 7 Poiché nessuno dei procedimenti usuli per i trinomi è pplicbile, si ripete su di esso il procedimento di Ruffini prtire dl punto. I possibili divisori sono gli stessi del pssggio precedente, con esclusione di che vev già dto esito negtivo. pplichimo il Teorem del resto: Trovto un divisore ripetimo llor l divisione ottenendo l seguente scomposizione Quindi complessivmente vremo desso il polinomio P ( ) è completmente scomposto in fttori primi.

12 Schem generle e riepilogo dei vri csi di scomposizione di un polinomio in fttori Molte volte si riesce ottenere l scomposizione di un polinomio in un prodotto di fttori, pplicndo, opportunmente e successivmente, i procedimenti che bbimo indicto nei csi precedenti. Non esistono regole fisse secondo le quli procedere; può però essere utile ricordre qunto segue: per prim cos si cerc di mettere in evidenz un possibile fttore comune tutti i termini (Rccoglimento fttor comune totle); si può tentre un Rccoglimento przile; si può tentre di riconoscere nel polinomio lo sviluppo di uno dei Prodotti notevoli; se il polinomio è di secondo grdo si può cercre di esprimerlo nell form del Trinomio prticolre di grdo; si può infine usre l Regol di Ruffini. In conclusione per scomporre in fttori un polinomio è bene innnzitutto controllre se è possibile effetture un Rccoglimento fttor comune. Tle rccoglimento h l precedenz su qulunque ltr tecnic. Successivmente si contno i termini (monomi) del polinomio. I csi più comuni che si possono ottenere sono: Polinomio Può essere Rccoglimento fttor comune totle inomio Differenz di potenze (in prticolre Differenz di qudrti) Rccoglimento fttor comune totle Qudrto di un binomio Trinomio Trinomio prticolre di secondo grdo Regol di Ruffini Cubo di un binomio Rccoglimento fttor comune przile Qudrinomio Regol di Ruffini Combinzione dei metodi precedenti rtifici vri che si imprno con l prtic ltri metodi, rtifici e trucchi vri si imprno poi, se necessrio, con l esperienz. Come ppliczione dell Regol di Ruffini si h: L differenz di due potenze di ugule esponente è sempre divisibile per l differenz delle bsi. L differenz di due potenze di ugul esponente è divisibile per l somm delle bsi solo se l'esponente è pri. L somm di due potenze di ugul esponente è divisibile per l somm delle bsi solo se l'esponente è dispri. L somm di due potenze di ugul esponente non è mi divisibile per l differenz delle bsi.

13 Osserv l seguente tbell: Differenz di potenze Somm di potenze non è scomponibile non è scomponibile M.C.D. e m.c.m. tr polinomi Come in ritmetic, così nel clcolo letterle l scomposizione in fttori viene utilizzt per determinre il minimo comune multiplo (m.c.m.) e il Mssimo Comune Divisore (M.C.D.) di polinomi: operzione indispensbile qundo si oper con le frzioni lgebriche. M.C.D. tr numeri Il M.C.D. tr due o più numeri è il prodotto tr i fttori primi comuni i numeri dti, e presi ciscuno un sol volt con il minore esponente con cui figurno nell scomposizione. M.C.D. tr polinomi Scomposti i polinomi dti in fttori irriducibili, il M.C.D. tr due o più polinomi è il prodotto di tutti e soli i fttori comuni i polinomi dti, e presi ciscuno un sol volt e con il minore esponente con cui figurno nell scomposizione. Regol di clcolo m.c.m. tr numeri Il m.c.m. tr due o più numeri è il prodotto dei loro fttori primi comuni o non comuni, presi ciscuno un sol volt con il mggiore esponente con cui figurno nell scomposizione. m.c.m. tr polinomi Scomposti i polinomi dti in fttori irriducibili, il m.c.m. tr due o più polinomi è il prodotto di tutti i fttori comuni e non comuni i polinomi dti, presi ciscuno un sol volt e con il mggiore esponente con cui figurno nell scomposizione. Osservzione Prim di costruire il M.C.D. ed il m.c.m. fr polinomi è indispensbile che ognuno di essi veng scomposto in fttori primi fcendo riferimento i procedimenti visti nel prgrfo precedente. Esempio Sino dti i polinomi: scomponendo i polinomi in fttori, si h ( ) ( )( ) 9( ) 9( ) quindi vremo ( ) M. C. D. ( ) m. c. m. 8 ( ) ( )

14 7 Frzioni lgebriche Le frzioni lgebriche sono denotte con il simbolo essendo e dei monomi o dei polinomi. L frzione lgebric indic quindi il quoziente tr e. I termini dell frzione sono numertore e denomintore (che deve essere 0 essendo il divisore di un divisione). d esempio, sono frzioni lgebriche le espressioni b b b Un frzione lgebric h significto per tutti i vlori delle lettere che vi compiono eccetto per gli eventuli vlori che rendono il denomintore ugule zero. Quindi qundo si oper con frzioni lgebriche è necessrio escludere i vlori delle lettere che rendono nullo il denomintore. d esempio l frzione non h significto per e per, perché per tli vlori di il denomintore ssume il vlore zero. Nel clcolo con frzioni lgebriche l fse in cui si escludono i vlori delle lettere che nnullno il denomintore prende il nome di studio delle condizioni di esistenz dell frzione stess, e nelle ppliczioni, riferendoci ll esempio precedente, possimo scrivere nel seguente modo: C.E., oppure in sintesi: C.E. ±. Per le frzioni lgebriche vlgono le stesse proprietà note per le frzione numeriche. Si può cioè pplicre l stess procedur per semplificre un frzione oppure ridurre llo stesso denomintore due o più frzioni. Si possono inoltre eseguire le vrie operzioni: ddizione, sottrzione, moltipliczione, divisione e potenz con gli stessi criteri. Per ffrontre bene il clcolo sulle frzioni lgebriche sono richiesti i seguenti prerequisiti: Tecniche di clcolo per operre con monomi e polinomi. Metodi di scomposizione in fttori di polinomi. Clcolo del M.C.D. per l semplificzione di un frzione. Clcolo del m.c.m. per ridurre più frzioni llo stesso denomintore e quindi eseguire l somm lgebric di due o più frzioni lgebriche. Vedimo lcuni esempi di esercizi svolti: Semplificzione di un frzione lgebric ( ) ( )( ) frzione ridott i minimi termini scomposizione semplificzione

15 Riduzione llo stesso denomintore ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) Somm lgebric di due o più frzioni lgebriche ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) scomposizione riduzione i minimi termini m.c.m.(denomintori) è ( )( ) Scomposizioni Riduzioni i minimi termini m.c.m. ( ) Sviluppo dei clcoli l numertore Scomposizione del numertore Eventule semplificzione dell frzione

16 8 Esercitzioni Vengono di seguito presentti Test scelt multipl (nei quli per ciscun quesito c è un sol rispost giust) su Monomi, Polinomi, Scomposizioni in fttori e Frzioni lgebriche ed un Verific finle. Il lettore che volesse esercitrsi su tli test deve considerrli come strumenti per un utovlutzione e come spunti di riflessione per eventuli discussioni con il docente. Unità Monomi. Qule delle seguenti espressioni trduce l frse il triplo prodotto del qudrto di un termine per l ltro? b ( b) C b D nessun delle precedenti. Se, b, c, llor il monomio b c vle: 7 7 C D nessuno dei vlori precedenti. Solo uno dei seguenti monomi non è mi negtivo, qulunque si il vlore ttribuito lle lettere. Qule? C D. Solo uno dei seguenti è un monomio di grdo. Qule? bc bc C b D bc. Solo uno, tr i seguenti monomi, non è simile gli ltri. Qule? z z C z D z. L ddizione dà: C D nessuno dei precedenti risultti 7. Semplificndo l espressione b b b b si ottiene: 7 b b b C 0 7 b D nessuno dei precedenti risultti 0 8. L moltipliczione (b ) (7 b c) dà: b 7 c b c C b D nessuno dei precedenti risultti 9. L divisione z dà: : z z 8 C 8 D nessuno dei precedenti risultti 8 0. Solo un di queste divisioni non dà come risultto un monomio. Qule? ( ):( ) (8 ): ( ) C ( ):( ) D ( z ):(7). L potenz (b c ) è:

17 8 b c 8 b 8 c C 8 b 8 c D nessuno dei precedenti risultti. Il risultto dell espressione () ( ) ( ) è C D nessuno dei precedenti. Il risultto dell espressione z z ( ) è z8 0 z 0 z C z z D nessuno dei precedenti. Il mssimo comune divisore tr i monomi 8 b c, b cd, 0 b d è 90 b c d 90 b C b D nessuno dei precedenti. Il minimo comune multiplo tr i monomi 8 b c, b cd, 0 b d è 90 b c d 90 b C b D nessuno dei precedenti Unità Polinomi. Qul è, riscritt in simboli, l equivlente dell frse: il triplo prodotto del cubo di un primo termine per il secondo più il doppio prodotto del primo termine per il qudrto del secondo? bb ( b) (b ) C bb D nessun delle precedenti. Qule dei seguenti polinomi non è mi negtivo qulunque sino i vlori numerici che si sostituiscono lle lettere? b b C b D nessuno dei precedenti. Qule dei seguenti è un trinomio omogeneo di qurto grdo? C D nessuno dei precedenti. Qule tr i seguenti è l opposto del polinomio b bb? b bb b bb C b bb D nessuno dei precedenti. Il binomio 8 è il risultto di qule delle seguenti moltipliczioni? ( ) C ( ) D nessun delle precedenti. Qul è il risultto dell moltipliczione ( b b ) (b)? 7 b b b9 b b b C b D nessuno dei precedenti 7. In qule cso il prodotto di due polinomi è ugule 0? qundo sono mbedue uguli 0 qundo lmeno uno dei due è ugule 0 C qundo i due polinomi sono l uno l opposto dell ltro D in nessun cso 8. Un sol delle seguenti uguglinze è ver per ogni vlore delle lettere. Qule? () () (b)b C () () D () 7

18 9. Qul è il risultto di ( )( )? C D nessuno dei precedenti 0. Qule dei seguenti è un prodotto del tipo somm per differenz? (b)(b) (b)(b) C (b)(b) D nessuno dei precedenti. Qul è il risultto di b? b b C b D nessuno dei precedenti. Il qudrto del trinomio ( ) è ugule C 0 0 D nessuno dei precedenti. Il polinomio 8 è il risultto di () () C () D nessuno dei precedenti. Semplificndo l espressione ( ) si ottiene: C D nessuno dei precedenti. Effettundo l divisione ( ):( ) si ottiene come resto: 0 C D nessuno dei precedenti Unità Scomposizione. Uno solo tr i seguenti polinomi è scomposto in fttori. Qule? ()() (b) (b)(b) C (-b) D (b)(). Il MCD dei termini del polinomio b c 8 b c d b c è b c b c C b c d D nessuno dei precedenti. Mettendo in evidenz un fttore comune, il polinomio si scompone in ( ) ( ) C () D nessuno dei precedenti. Mettendo in evidenz per prti, il polinomio si scompone in ()() ()() C ()() D nessuno dei precedenti. Il polinomio 0 9 si scompone in ( )( ) ( ) C ( ) D nessuno dei precedenti. Il polinomio 0 00 si scompone in 8

19 (8000) ()() C () D nessuno dei precedenti 7. Qule delle seguenti espressioni occorre ggiungere b b per ottenere il qudrto di un binomio? b b C b D nessun delle precedenti 8. Uno solo dei seguenti è il qudrto di un binomio. Qule? C D 9. Un sol delle seguenti ffermzioni è necessrimente ver. Qule? il polinomio che esprime il qudrto di un binomio h lmeno due monomi con segno positivo il polinomio che esprime il qudrto di un binomio h lmeno tre monomi con segno positivo C il polinomio che esprime l differenz di due qudrti h lmeno due monomi con segno positivo D il polinomio che esprime il cubo di un binomio h lmeno due monomi con segno positivo 0. Uno solo dei seguenti è uno zero per il polinomio p(). Qule? C 0 D. Se dividendo un polinomio p() per il polinomio () 0, si ottiene come quoziente q() e come resto r(), llor p() q() r() q() ()r() C q() () r() D nessuno dei precedenti. Scomponendo in fttori il polinomio 89 si ottiene ()(9) ()(9) C ()(9) D nessuno dei precedenti. Scomponendo in fttori il polinomio si ottiene () () () C ()()( ) D nessuno dei precedenti. Uno solo dei seguenti polinomi non è ulteriormente scomponibile. Qule? C D. Per qule vlore rele di k l espressione b 8 bk è il qudrto di un binomio per qulunque vlore di e b? 0 C 8 D nessuno dei precedenti Unità Frzioni lgebriche. Un sol di queste frsi definisce il mssimo comune divisore tr più polinomi in un sol vribile. Qule? è il polinomio di grdo mggiore tr quelli che dividono i polinomi dti è il polinomio mggiore tr quelli che dividono i polinomi dti C è il polinomio di grdo mggiore tr quelli divisibili per i polinomi dti 9

20 D è il polinomio mggiore tr quelli divisibili per i polinomi dti. Il mssimo comune divisore tr i polinomi b bb b bb b è: b b C b(b) (b) D nessuno dei precedenti. Il minimo comune multiplo tr i polinomi b bb b bb b è: b b C b(b) (b) D nessuno dei precedenti. Il mssimo comune divisore tr i polinomi b 8 b b8b 8 b b è: b (b) () (b) C (b) D nessuno dei precedenti. Il minimo comune tr i polinomi è: C () () D nessuno dei precedenti. Un sol delle seguenti ffermzioni è ver. Qule? Se il minimo comune multiplo di due polinomi è ugule, llor il loro mssimo comune divisore è ugule l loro prodotto Se il minimo comune multiplo di due polinomi è ugule l loro prodotto, llor il loro mssimo comune divisore è ugule C Se il mssimo comune divisore di due polinomi è ugule l loro rpporto, llor il loro minimo comune è ultimo D Se il mssimo comune divisore di due polinomi è ugule l loro rpporto, llor il loro minimo comune non esiste 7. Di due polinomi si conoscono il MCD e il mcm. Si può llor sicurmente dedurre: quli sono i due polinomi qul è il polinomio di grdo mggiore C qul è il polinomio di grdo minore D nessun delle precedenti 8. Soltnto un delle seguenti frzioni lgebriche non è equivlente lle ltre. Qule? 0

21 z C z z D z 9. In un sol delle seguenti divisioni si ottiene un frzione lgebric. In qule? ( b ):(b ) 0:( ) C ( b ):(b ) D (7 8 ):( 8 ) 0. L frzione b non h significto per b C e b D b. Uno solo dei seguenti clcoli è diverso dgli ltri. Qule? C D. Semplificndo l frzione si ottiene: C D nessun delle precedenti. Sviluppndo l espressione b b si ottiene: b b b b C b b b b D nessun delle precedenti. Semplificndo l espressione si ottiene: C D nessun delle precedenti. Semplificndo l espressione : si ottiene: C 0 D nessun delle precedenti

22 Compito in clsse di verific finle Esercizio Inserendo delle opportune prentesi, effettu le sostituzioni b nell espressione ( b( )) b( ) e quindi clcol il risultto. Esercizio Scrivi un formul che utilizzi le prime lettere dell lfbeto e corrispond ll seguente frse: Il cubo dell somm di due numeri qulunque è diverso dl qudrto del primo più il triplo prodotto del primo per il qudrto del secondo Esercizio Scomponi in fttori i seguenti polinomi: ) b) bb c c8 c) d) b0bc c e) Esercizio Clcol il MCD e il mcm dei seguenti polinomi: cbcdbd bb b b b Esercizio Nel polinomio di secondo grdo p() si effettu l sostituzione t. Scrivi il polinomio nell vribile t che così si ottiene e scomponilo in fttori. Tenendo conto che t, deduci dll scomposizione in fttori del polinomio nell vribile t l scomposizione in fttori di p(). Esercizio Scrivi un frzione lgebric che bbi le seguenti crtteristiche: ) come numertore h un polinomio di primo grdo nell sol vribile b) come denomintore h un polinomio di secondo grdo nell sol vribile c) è ugule 0 per d) non h significto per o per Esercizio 7 Clcol: b : b Esercizio 8 Clcol: : b b b b ( ) : ( )

23 9 pprofondimenti 9. Dimostrzione lgebric Uso del clcolo letterle in un dimostrzione: Penste un numero e sommteci, poi fte il qudrto di quello che vete ottenuto, poi sottrete, quindi dividete per il numero pensto e sottrete per il numero pensto. Cos ottenete? Soluzione: [( ) ] : 9. Problem del prllelepipedo Dividendo un foglio in prti uguli formimo un prllelepipedo. Ottenimo lo stesso volume dividendo in lunghezz e in lrghezz? Soluzione: b b V V b b 9. Problem risolto con il clcolo letterle umentndo le circonferenze, l prte estern lle circonferenze ument? circonferenz l cm r cm q cm c πcm Pe π circonferenze l cm r cm q cm c 9πcm Pe ( 9π )

24 Soluzione: n circonferenze (n per lto) l cm r cm n q cm c πcm n Pe n π n 9. Il Tringolo di Trtgli Il tringolo di Trtgli è uno schem form tringolre nel qule compiono numeri interi positivi legti tr loro d delle relzioni. Ogni termine, trnne quelli posti sui lti obliqui che sono pri d, è ugule ll differenz tr il termine posto nell rig inferiore ll su sinistr e quello ll su sinistr sull stess rig, es. 0 ; inoltre ogni termine, trnne quelli posti sui lti obliqui, è ugule ll somm dei termini posti subito sopr di esso; es. ). 0 0 I coefficienti degli sviluppi delle potenze di un binomio sono dti proprio di termini del Tringolo di Trtgli: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

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