Operazioni sulle Matrici

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1 Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici F. Cliò Addizione e Sottrzione Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin

2 Addizione Dte due mtrici A(m n), B(m n) si definisce ddizione delle due mtrici l'operzione che gener l mtrice somm S(m n) SAB, di elementi s ij ij ij i,..,m; j,,n L'ddizione è possiile solo fr mtrici simili (delle stesse dimensioni) Vlgono tutte le proprietà dell'ddizione fr numeri reli: commuttiv: ABBA, ssocitiv: A(BC) (AB)C l'elemento neutro è l mtrice null l'elemento inverso è l mtrice d elementi opposti. Dte: Esempio - somm di due mtrici 4 A 5 4 B determinre l mtrice somm AB AB Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin

3 Moltipliczione 5 Moltipliczione Dte due mtrici A(m n), B(n p) si definisce moltipliczione delle due mtrici l'operzione che gener l mtrice prodotto P(m p) PA B (oppure PAB), di elementi p ik r i k i,..,m; k,,n r i è il vettore formto dgli elementi dell i-esim rig di A k è il vettore "k-esim colonn" di B (prodotto sclre "righe per colonne") 6 Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin

4 Proprietà dell Moltipliczione A B L rig di A e l colonn di B devono vere lo stesso numero n di elementi (mtrici comptiili) Il prodotto di mtrici qudrte dello stesso ordine è sempre definito ed è un mtrice qudrt Non vle l proprietà commuttiv, quindi: AB BA 7 Esempio - Prodotto di due mtrici qudrte Dte le due mtrici A 4 B 4 5 determinre l mtrice prodotto P 8 Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin 4

5 Esempio - Prodotto di due mtrici (continuz.) A 4 B 4 5 P AB P ( ) P AB p 4 4 (-) 9 Esempio - Prodotto di due mtrici (continuz.) A 4 B 4 5 AB - p - 5 p Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin 5

6 Esempio - Prodotto di due mtrici (continuz.) P p p p - Esempio - Prodotto di due mtrici (continuz.) P P Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin 6

7 Esempio - Prodotto di due mtrici non qudrte A B 5 4 P AB A( ) B( ) P ( ) P AB p 7 Altro Esempio - Prodotto di mtrici A 4 B 6 A( ) B( ) AB ( ) AB 4 p 6 4 p 4 6 Il prodotto dell mtrice per il vettore è ncor un vettore 4 Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin 7

8 Mtrice ortogonle Un mtrice qudrt A si dice ortogonle se A T A I Esempio: A è ortogonle Inftti: A T A 5 Proprietà dei determinnti det(a B) deta detb "il determinnte del prodotto è il prodotto dei determinnti" deta deta T "il determinnte di un mtrice è ugule l determinnte dell su trspost" Se A è tringolre deta nn "il determinnte è il prodotto degli elementi digonli" Quindi det I Se A è ortogonle deta ± (deta T detadet I ) 6 Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin 8

9 Trsformzioni Affini e Sistemi lineri 7 Trsformzione ffine Dti: un mtrice qudrt A(nn) ed un vettore v d n componenti; Determinimo W A v w Il prodotto w è un vettore d n componenti, che chimimo vettore trsformto Se deta si dice che A trsform v in w ttrverso un trsformzione ffine. 8 Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin 9

10 Trsformzione ffine - Esempio Dt l mtrice A trsformre ttrverso l mtrice A il vettore 8 A v 8 w 8 9 Sistem linere Dti: un mtrice qudrt A(nn) ed un vettore d n componenti; Cerchimo di determinre A Quest relzione è un'equzione vettorile. Un vettore che l soddisf è un soluzione dell'equzione. Se deta esiste un e un sol soluzione (ossi un solo vettore che soddisf quest relzione). Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin

11 Sistem linere (continuz.) Riscrivimo l'equzione vettorile A come segue: n n n n nn n n Quest'unic equzione vettorile è equivlente n equzioni sclri Sistem linere (continuz.) n n n n nn n n n n Questo insieme è un sistem di equzioni di grdo nelle n incognite,,, n (le componenti del vettore incognito ), si chim sistem linere di ordine n, ed è equivlente ll'equzione vettorile di prtenz. Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin

12 Sistem linere - cso n A L soluzione del sistem è (Regol di Crmer): ( - )/deta; ( - )/deta. Questo sistem equivle determinre l'intersezione nel pino (, ) delle due rette: / - / ; / - / Sistem di ordine : interpretzione geometric / - / ( equzione) / - / ( equzione) Se deta llor / /, ossi i coefficienti ngolri delle rette sono diversi. Esiste un e un sol soluzione. 4 Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin

13 Sistem linere - cso n A Un generico sistem linere, soprttutto se di ordine elevto (n ), viene risolto preferiilmente con il metodo di sostituzione tringolrizzndo l mtrice, come nell'esempio: 5 Sistem linere di ordine - esempio Alcune (nche tutte) delle equzioni vengono sostituite d ltre equzioni, rispettndo i principi di equivlenz. Si ottiene così un sistem equivlente quello dto (h le stesse soluzioni) m l cui mtrice è tringolre. 6 Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin

14 Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin 4 7 Sistem di ordine - principi di equivlenz sostituisco l equzione con l somm : 8 Sistem di ordine - principi di equivlenz moltiplico l equzione per l costnte -/:

15 Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin 5 9 Sistem di ordine - principi di equivlenz sostituisco l equzione con l somm : Sistem di ordine - principi di equivlenz moltiplico l equzione per /6 e sostituisco l con l somm : 6 5 SISTEMA TRIANGOLARE

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