Dispensa NOZIONI SULLA TEORIA DEGLI ERRORI DI OSSERVAZIONE

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1 Uverstà degl Stud d Palero Facoltà d Igegera Dsesa NOZIONI SULLA TEORIA DEGLI ERRORI DI OSSERVAZIONE Vcezo Fraco Mauro Lo Brutto Marzo 4

2 INTRODUZIONE 3 MISURE 3 TIPI DI ERRORI 3 POSTULATO DELLA MEDIA - CURVA DI GAUSS 4 PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI 7 ERRORE QUADRATICO MEDIO 7 FREQUENZA DEGLI ERRORI 9 LEGGE DI PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA ERRORE MEDIO DELLA MEDIA CASO DI UNA GRANDEZZA FUNZIONE QUALUNQUE DI ALTRE DIRETTAMENTE MISURABILI SISTEMI DI MISURE DI PRECISIONE DIVERSA 4 ERRORE MEDIO E PESO DELLA MEDIA PONDERATA 5 PRECISIONE CONSEGUIBILE NELLE MISURE 7 CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE 7 La resete dsesa rareseta u aggoraeto e u tegrazoe della arte relatva alla Teora degl Error delle dsese del Corso d Toografa del Prof. W. Rzzo.

3 INTRODUZIONE Se s sura ù volte la stessa gradezza s ao rsultat dvers secalete se le sure s fao co alta recsoe. Se, er eseo, s sura su ua carta la dstaza fra due ut co l doo decetro le deterazo otteute fo al. sarao sere l ua dversa dall altra. Se erò s vuole u arossazoe ore (er es. l ) le vare deterazo rsulterao cocdet. Nascoo allora quest: a. Quale valore assuere er ua gradezza della quale s soo fatte sure co rsultat o cocdet? b. Quale sarà l grado d recsoe da attrbure a tale valore? c. Il sstea d sura sarà accettable? A quest quest le rsoste le da la teora degl error d osservazoe ce trova alcazoe tutte le sceze d osservazoe, quado s effettuao uerose sure d ua gradezza. I rsultat o soo rgoros a soo tato ù accettabl quato aggore è l uero delle deterazo della gradezza esae. Gl svlu d tale teora cosetoo o d rcavare, er var t d sura, la recsoe ce c s deve attedere el deterarle e, qud, la tolleraza accettable er cascu to d oerazo. MISURE Le sure s classfcao drette e drette. Sa le ue ce le altre ossoo essere codzoate. Soo sure drette d ua gradezza quelle ce ossoo esegurs sovraoedo l utà d sura alla gradezza da surare e leggedo drettaete l valore. Per eseo le sure d ua lugezza effettuata edate l ego d u etro. Soo sure drette d ua gradezza quelle ce ossoo essere otteute attraverso relazo aaltce ce legao tra loro altre gradezze surate drettaete. Per eseo, coe s vedrà seguto, l dslvello AB tra due ut uò essere rcavato dalla relazoe AB D cotgzs- dove D rareseta la dstaza toografca tra A e B, z l agolo zetale e s e rsettvaete l altezza struetale e l altezza della ra. I questo caso, qud, la sura del dslvello vee rcavata fodaetalete dalla sura d ua dstaza, d u agolo e d due altezze. Le sure vegoo o defte codzoate, quado le gradezze ce s deterao debboo sottostare a delle codzo ote. Ad eseo se s surao gl agol ter d u olgoo d vertc, le sure effettuate dovrao soddsfare la codzoe: Σα (-)π E evdete ce tutt quest cas l'errore da cu sarà affetta la gradezza ce s rcava dederà dagl error coess el deterare valor delle gradezze drettaete surabl. TIPI DI ERRORI S defsce errore assoluto d ua qualuque delle sure effettuate la dffereza tra l valore della gradezza e l valore surato; l errore relatvo è l raorto tra l errore assoluto e la sura della gradezza. 3

4 Crca la atura degl error da cu soo affette le sure, dreo ce tal error s suddvdoo tre categore: grossola, ssteatc e accdetal. Soo error grossola (outler) quell dovut a qualce svsta ell'esegure le sure coe, ad eseo, l cotare u uero d utà d sura dverso da quello reale, se er eseo s esegue ua deterazoe dretta d lugezza; el leggere ad ua graduazoe u valore errato, se s sura u agolo, ecc. Tal error o soo tebl quado s effettuo ù sure d ua gradezza ercé allora s ota subto se fra le sure cocordat ce è qualcua ce s dscosta otevolete dalle altre. Covee erò cercare d reders coto della causa d tale scostaeto. Gl error ssteatc (bas) soo quell dovut all'ego d uo strueto o u etodo d sura ce facca sbaglare sere ello stesso seso. Tal error ao duque sego costate e ossoo flure ace graveete sulle sure; geere oerado co accuratezza ossoo essere dvduat e valutat. S ossoo qud correggere le sure o s ossoo usare gl struet co etod ce cosetao d elare tal error. Ad eseo, vedreo ce ella sura degl agol orzzotal alcu error dovut a dfett struetal s ossoo elare effettuado due letture oortue oszo dello strueto e facedoe la eda (letture cougate). Gl error accdetal o casual, soo error dovut a cause dverse, dedet fra d loro, ce ossoo agre sa u seso ce el seso oosto. Soo geeralete dovut all osservatore, agl effett dell abete, agl struet, all ora d osservazoe, ecc. e ossoo coteers lt rstrett se s oera co attezoe e co le ecessare cautele. Tal error s resetao qud elle sure a volte co u sego, a volte col sego oosto, e quas sere co valor uttosto ccol. Gl error accdetal soo evtabl elle sure, tuttava s uò rdurre l loro effetto retedo ù volte la sura d ua gradezza e cosderado l errore accdetale coe ua varable casuale (aleatora) La teora degl error s occua esclusvaete degl error accdetal e forsce crter er elaborare rsultat d ù sure della stessa gradezza allo scoo d: - deterare lt etro qual devoo essere coteut gl error er oter essere cosderat casual; - calcolare l valore ù robable della gradezza; - defre u gudzo sulla recsoe delle sure esegute. POSTULATO DELLA MEDIA - CURVA DI GAUSS Osservao ce geere o a seso arlare d valore vero d ua gradezza, e s uò ù coveeteete arlare d valore stataeo e deterate codzo, quato le gradezze fsce varao el teo er dverse cause, fra le qual la teeratura, la ressoe e l'udtà relatva dello abete. Solo alcu cas s uò defre l valore vero d ua gradezza coe, ad eseo, quado s tratt della soa de tre agol d u tragolo ao (ce dev essere eguale a 8 ) o della soa degl agol gro d'orzzote attoro ad ua stazoe (ce dev'essere u agolo gro). I acaza del valore vero, e cofortat dal fatto ce, se ure le gradezze fsce soo varabl, le loro varazo soo geeralete olto ccole e sesso feror all'arossazoe de ostr ezz d sura, s defsce u valore "ù coveete o ù attedble della gradezza, rcavato dal sstea d sure effettuate, secodo u crtero restablto e geeralete accettato. Il crtero ce s accetta er deterazo oogeee (coè esegute dallo stesso osservatore, co gl stess ezz struetal, resso a oco ello stesso teo, elle stesse codzo abetal, 4

5 co la stesse accuratezza) é quello d redere coe valore ù coveete della gradezza la eda artetca delle deterazo esegute (Postulato della eda). Sao (,,.., ) valor otteut ell effettuare sure d ua stessa gradezza. S assue coe valore ù coveete della gradezza, l uero dato dalla relazoe: o S caao error aaret o scart (v ) le dffereze fra rsultat delle deterazo esegute ed l valore ù coveete: v - o, v - o,.,v - o S caao error ver (x ) le aaloge dffereze el caso cu della gradezza oggetto d sura s coosce l valore vero: x -, x -,...,x - Se s effettuao uerose sure d ua gradezza ota (soa degl agol ter d u tragolo ad es.) e s calcolao, coe ora detto, gl error ver, s trova seretalete ce tal error soddsfao le seguet cosderazo: - gl error ostv s resetao co uguale frequeza d quell egatv; - gl error ccol soo ù frequet d quell grad (gl error s addesao toro allo zero, coè se s cosderao due tervall d eguale aezza uo rosso allo zero e l'altro ù dscosto, el ro cade u uero aggore d error); - gl error soo sere cores etro due deterat lt. Se s dstrbuscoo gl error su u asse delle ascsse, s dvde l'tervallo totale cu ess cadoo tat tervall ugual x e s calcolala la frequeza f / (uero degl error ce cadoo ell tervallo dvso er l uero totale degl error) dell errore cascu tervallo s troverao uer decrescet a ao ce c s allotaa dall orge. Rortao su og tervallo x u rettagolo co ordata y tale ce sa: y x / coè tale ce l'area del rettagolo rsult eguale alla frequeza dell'errore quel l'tervallo, ua scala refssata; s otterrà u dagraa del to d quello dsegato. L area d tale dagraa é uguale a quato s a: 5

6 Se s assa al lte er x tedete a zero, ella otes ce le osservazo sao ftaete uerose e s dstrbuscao co cotutà sull asse, l dagraa dveta ua curva (curva d frequeza teorca d Gauss, stessa fgura) ce esre la legge teorca d dstrbuzoe della frequeza degl error er u sstea d sure ce soddsf le codzo sora eucate. Se s accetta l ostulato della eda, s trova ce gl error aaret (v ), er sste co uerose osservazo, soddsfao le legg trovate seretalete er gl error ver, coè s dstrbuscoo co olta arossazoe secodo la legge d Gauss. L equazoe della curva d Gauss é: y e π x dove è ua costate ce a u valore corrsodeza a cascu sstea d sure e dalla quale dede la fora della curva. Precsaete, se cosderao le due curve y x e π x y e π co > avreo ce ell orge ao rsettvaete ordate ar a: π π L ordata ell orge è duque aggore er la ra curva e, dato ce l area coresa fra cascua curva e l asse delle x deve essere uguale ad l adaeto de due dagra sarà quello dcato fgura. Cò dca ce l sstea d osservazo ce aette coe curva d frequeza degl error quella avete costate aggore é glore dell altro. I esso gl error ccol valore assoluto s resetoo co aggore frequeza ce ell altro. Percò l araetro s caa Precsoe del sstea d sure. 6

7 PRINCIPIO DEI MINIMI QUADRATI Il valore ù coveete d ua gradezza s uò rcavare dagl valor rsultat dalle sure base ad altr crter ce s rtegao accettabl. S uò, ad eseo, rocedere coe segue: aesso ce sa l valore ù coveete della gradezza, gl error coess elle sure effettuate soo:,,, Tal error ossoo rsultare arte ostv ed arte egatv, ed al varare d varao. S uò accettare d sceglere fra tutt valor ce ossoo dars a coe ù coveete, quello er l quale la soa de quadrat degl error rsulta a (Prco de quadrat). v Per tale valore, essedo a la soa de quadrat degl error, gl error stess dovrao rsultare valore assoluto ccol cofroto a quell corrsodet agl altr valor ossbl d. Cosderao tale soa: f( ) ( ) ( ) ( ) ce é fuzoe d e cercao l valore ce la rede a. Basterà uguaglare a zero la dervata della fuzoe scrtta rsetto a e rsolvere rsetto a. ( - ) ( - ). ( - ) Rsolvedo s ottee: o Questo valore o uò essere u asso, er la fuzoe f(), quato ua soa d quadrat é sere crescete al crescere ( valore assoluto) delle bas; qud è l valore ce rede a la soa de quadrat degl error. Il Prco de quadrat orta a sceglere coe valore ù coveete d ua gradezza la eda artetca delle deterazo fatte della gradezza stessa. Questo rco equvale al ostulato della eda e lo rafforza. S a coè: ERRORE QUADRATICO MEDIO S vsto ce la recsoe caratterzza sste d osservazo, el seso ce glore é u sstea aggore é l araetro ce gl corrsode; ratca, erò, s refersce usare, er 7

8 caratterzzare sste, u altro araetro, ce deotereo co, detto errore quadratco edo (e.q..). Questo araetro uò essere defto coe: S dostra ce: x e x dx π ± L errore quadratco edo é versaete roorzoale alla recsoe, e u sstea é tato glore quato ù ccolo é l suo. Nella ratca faccao u uero fto d deterazo e qud gl error soo uero fto. Se s esa d dvdere l tervallo cu cadoo tat tervall d aezza x, all tegrale s uò sostture ua soa d u uero fto d ter. Rcordado ce y x π e x x x e y x π co x tato ccolo ce og tervallo o cada ù d errore ( ) x x... x x ± x x... x S é così trovato coe calcolare l'errore quadratco edo d u sstea d sure: esso è la radce quadrata della eda de quadrat degl error. L esressoe otteuta è erò fuzoe degl error ver ce, coe s è detto, o s cooscoo. Se l uero delle deterazo è abbastaza grade, ratca s usa u altra esressoe, fuzoe degl scart v (error aaret): ± v v... v o devazoe stadard (stadar devato); ella test terazoal vee covezoalete dcata co l sbolo σ (sga) 8

9 Alcado quest ulta forula otteao quello ce ù correttaete uò essere defto scarto quadratco edo (s.q..); tale valore sarà aggore d quello dato dalla forula er l errore quadratco edo. Gl error aaret soo fatt otteut coe dffereze fra rsultat delle sure e l valore ù coveete, ce é da cosderare u ò dfferete dal valore vero. Per abbastaza grade, le due forule ratcaete s equvalgoo. FREQUENZA DEGLI ERRORI Se d u sstea: d osservazo effettuate s coosce la recsoe, s uò traccare l dagraa della fuzoe y e π x relatvo a quel sstea; questo forsce la curva d frequeza teorca relatva al sstea. D altro cato, calcolat l valore ù coveete e gl error aaret, s uò costrure l dagraa. effettvo relatvo al sstea d osservazo esae. Per cofroto de dagra sì uò vedere quato l sstea stesso s avvc a quello teorco: s uò, coè, vedere er va grafca quale sura l sstea d osservazo effettuato segue la legge d Gauss. Lo stesso rsultato uò essere coseguto ace er va aaltca, coè cofrotare la frequeza effettva d u sstea d sure co quella teorca. Se eseguao l tegrale della fuzoe d Gauss tra lt e otteao la robabltà ce uo scarto qualsas, otteuto dall esereza, sa coreso etro dett lt. Tale robabltà, dedete da, è sere uguale a,683, cò sgfca ce, qualsas sa la sere d osservazo (caratterzzata dal araetro ), la robabltà ce uo scarto qualsas, reso ad arbtro tra quell calcolat, cada ell tervallo detto è sere del 68,3%. Per eglo carre: al varare della sere d osservazo l tervallo ± varerà, auetado er sere eo recse e duedo er quelle ù recse, etre l araetro durà er sere eo recse ed aueterà er sere ù recse: s otterrao coè curve a caaa ù o eo scaccate sull asse delle ascsse, a l area sottesa dalla curva e l asse delle ascsse etro lt ± sarà sere uguale a,683 L ortaza ratca dello scarto quadratco edo rsede ace el fatto ce è stato assuto coe rfereto er la deterazoe del lte asso del valore degl error accdetal assbl u see d sure della stessa gradezza. S dostra, co svlu d calcolo delle robabltà avallat da esereze ratce, ce se s effettuao sure oogeee della stessa gradezza de error accdetal s ottee la seguete dstrbuzoe: soo feror a soo feror a soo feror a 3 Queste esereze c erettoo d defre coe tolleraza (errore teble) l valore: 3 t 3 ± 9

10 La robabltà ce uo scarto qualsas, otteuto dall esereza, sa tero all tervallo ±t è ar a.997 (99.7%). Pratcaete la robabltà d otteere error ester all tervallo ±t è quas ulla, s da attrbure a cause robablete o accdetal la evetuale reseza d scart sueror alla tolleraza. I tale eveeze è buoa ora elare tale valore e calcolare d uovo la eda. U sstea d sure ertato s gudca accettable quado gl error soo or, valore assoluto, d 3, buoo quado tutt gl error soo coteut fra e (robabltà ar al 95.5%). LEGGE DI PROPAGAZIONE DELLA VARIANZA Ltadoc a cosderare l caso d sure drette, o codzoate e oogeee, dreo ce er queste vale la seguete legge d roagazoe degl error (o della varaza) ce trova frequet alcazo. Se ua gradezza è cobazoe leare d ù altre gradezza,,., ce seguoo la legge d Gauss: a a a ace la gradezza segue la legge d Gauss e l quadrato del suo errore quadratco edo x (varaza) è cobazoe leare de quadrat degl error quadratc ed,,.., delle gradezze,,.., fatta co quadrat de coeffcet: a a... a Dao ua gustfcazoe o rgorosa della legge. Procedereo er duzoe. Sa ua gradezza cobazoe leare a coeffcet costat d due sole gradezze,, α α E suoao d avere effettuato r sure della gradezza, s sure della gradezza e d avere deterato gl error aaret rsettv v (,.., r); v k ( k,,..., s ). Per s avrao rs deterazo e alla geerca: coeterà l'errore: k α α k v k α v α v k L errore quadratco edo della gradezza sarà allora: ( av avk ) a v aa v vk rs rs rs a rs v k Ma l secodo tere del secodo ebro uò cosderars ullo ercé, er le legg d dstrbuzoe degl error, er og errore v o v k v sarà ace l errore v e -v k. Assocado allora quest quattro error tutt od, s ottegoo valor: v v k, (-v )(-v k ), v (-v k ), (-v ) v k la cu soa é zero.

11 Quato al ro tere, sccoe er og dce vao dat a k tutt valor da ad s, cascua v sarà retuta s volte; aalogo ragoaeto va fatto er l terzo tere, ercò: a s( v v... vr ) ar( v v... vs ) a rs rs a Duque, la legge d roagazoe vale se la gradezza é cobazoe leare d due gradezze. Suosto allora, ce la legge sa valda er ua gradezza cobazoe leare d - altre, s rcava faclete ce lo é er ua gradezza cobazoe d altre. ERRORE MEDIO DELLA MEDIA Ad eseo, s vogla calcolare l errore edo della ede d deterazo,,., d ua gradezza. Tale eda e data dalla forula: o coé: Sa l errore edo del sstea d deterazo,,.,. Esso s uò cosderare coe errore edo d cascua delle deterazo, ed allora, alcado la legge d roagazoe degl error, s a, er l errore edo M della eda: M se cosderao.. s a M coè M ± Vale a dre: etre cascua delle deterazo s uò cosderare errata, ù od eo, d, la eda artetca s uò cosderare errata d M. S scrve allora ce l valore della gradezza surata é

12 ± M tededo ce l valore ù coveete otteuto dalle sure é e s uò rteere ce s scost dal valore vero, ù o eo, al asso d M. Da otare ce l'alcazoe fatta della teora al calcolo dell errore edo della eda o è erfetta, e cò ercé s è cosderato l errore edo d cascua delle deterazo,,., ce é stata effettuata ua sola volta. L alcazoe otrebbe cosderars gusta se le sure,,., fossero cascua la eda d deterazo, e tutt sste fossero esegut co la stessa recsoe ed avessero uguale errore edo. La forula è erò accettata ella ratca e fa otare ce o c è coveeza ad esegure u uero olto grade d osservazo, ercé l vataggo ce se e otterrebbe dara cresce uttosto radaete, o aueta olto letaete, al crescere del uero delle deterazo. Ioltre é oortuo regolare l uero delle osservazo odo ce l errore edo della eda o sceda al d sotto dell orde d arossazoe col quale s legge allo strueto. Iegado uo strueto toografco oralete sao grado d cooscere a ror l e.q.. d ua sura (errore struetale). La forula dell errore edo della eda cosete d deterare l uero delle sure ce s devoo effettuare affcé l errore edo della eda assua u valore refssato. M No s uò esare d oter auetare eccessvaete l uero delle sure er otteere ua gradssa recsoe. Oltre a cosderazo sulle codzo oeratve, la forula dell errore edo della eda evdeza ce l aueto del uero delle sure a sere eo flueza sulla rduzoe dell errore edo della eda. Tale cosderazoe è evdete guardado l adaeto del grafco della forula dell errore edo della eda calcolato er ; da tale grafco è ossble rcavare l valore d M fuzoe del uero delle sure (o vceversa). CASO DI UNA GRANDEZZA FUNZIONE QUALUNQUE DI ALTRE DIRETTAMENTE MISURABILI Nel caso cu la gradezza da surare sa fuzoe qualuque, azcé cobazoe leare a coeffcet costat, d altre gradezze,,., drettaete surabl f(,,., )

13 la legge d roagazoe degl error s uò alcare ella fora sora vsta sotto le otes ce la fuzoe f aetta dervate secode cotue e ce gl error v da cu soo affette le sure delle gradezze s ossao rteere ccol del ro orde, coè s ossao trascurare ter dell orde de loro quadrat e de loro rodott due a due. Basterà svluare la fuzoe f co la forula d Taylor, scegledo coe uto zale ua delle deterazo,,., delle gradezze,,., e coe creet gl error v, v,., v da cu soo affette,,., ercé, rsultado trascurabl tutt ter da quell del secodo orde o er la secoda delle otes recedet, s sa rcodott al caso della fuzoe leare. Ifatt, co le otazo adottate, sarao v - gl error delle sgole, deterazo e v - f(,,., )- f(,,., ) l errore sulla deterazoe. S a allora, svluado co la forula d Taylor: v - f(,,., )- f( -v, -v,., -v ) dove s soo trascurat ter da quell del secodo orde o elle v e è la dervata arzale della fuzoe f rsetto alla varable calcolata el uto zale, coè ua costate. C s é duque rortat al caso recedete, e s uò scrvere er l errore edo da cu è affetta la gradezza : v Questa esressoe della legge d roagazoe degl error vee frequeteete alcata quado s ottee er va dretta la sura d ua gradezza fuzoe delle sure d altre gradezze er studare le flueze ce gl error coess ella sura d cascua delle gradezze ao sulla sura della gradezza. S ota, fatt, ce l errore v coesso ella sura della gradezza a flusce ella valutazoe dell errore v, quado coesste co gl altr error co l tere v v coè oltlcato er l coeffcete v 3

14 Ma se s suoe ce tutt gl error sao ull, trae v, e s rete l ragoaeto fatto ella otes ce fossero reset tutt gl error, s guge alla coclusoe ce: v sere ella arossazoe stablta. Coè, l flueza dell errore coesso ella sura d ua delle gradezze sulle sura della gradezza é dedete dalla coessteza co gl altr error (legge d dedeza delle ccole cause d errore). S otrà allora esaare, volta er volta, l tere e valutare coe cascu errore flusce sulla sura effettuata, traedoe de crter crca l arossazoe co la quale va codotta cascua delle sure drette affcé l errore ella sura della gradezza sa coteuto lt refssat. v SISTEMI DI MISURE DI PRECISIONE DIVERSA S abba u sstea. d deterazo x, x,., x d recsoe e oltlcao rsettv error aaret v, v,., v er la recsoe del sstea. S otterrao uer v, v,., v ce s caao error rdott. Aettedo ce essta u sstea d sure cu coetoo quest error, valutao la recsoe d questo sstea fttzo. L errore quadratco edo é, er esso: v v... v ± * qud la recsoe: Gl error rdott s ossoo esare relatv ad u sstea d sure d recsoe. Per trattare sste d sure d ua stessa gradezza avet recsoe dversa, s utlzza questo rsultato cosderado gl error rdott d cascuo de sste dat, error ce ossoo rteers tutt aarteet a sste d recsoe, avet coè la stessa recsoe, e s stablsce d redere coe valore ù coveete della sura della gradezza quel valore ce rede a la soa de quadrat degl error rdott. Se,,.., soo deterazo d recsoe dversa, ed,, le rsettve recso, l valore ù coveete s otterrà rededo a la fuzoe: * * f ( ) ( ) ( ) ( )... S avrà, successvaete: [ ( ) ( )... ( ) ] 4

15 5 dove ρ é ua costate arbtrara. Poao: Rsulterà, sosttuedo: Il uero s dce eso del sstea d osservazoe e l valore eda oderata de valor,,., affett da es,,. Covee otare ce, base alla defzoe d eso, fluscoo aggorete sul valore della eda oderata sste ce ao eso aggore, coè errore quadratco edo ore. Quato alla costate arbtrara ρ, s scegle geere u valore tale ce es rsulto tutt uer ter; oure l quadrato dell errore edo d uo de sste d sura, e allora questo caso l sstea assue eso. Osservao ace ce la relazoe s uò scrvere, a eo d u fattore d roorzoaltà: e l rco de quadrat uò eucars, er questo caso: l valore ù coveete d ua gradezza della quale s abbao ù sure d recsoe dversa, è quello ce rede a la soa de rodott de quadrat de sgol error er rsettv es. ERRORE MEDIO E PESO DELLA MEDIA PONDERATA Possao valutare l errore quadratco edo della eda oderata aalogaete a quato fatto er l errore edo della eda artetca. Avreo, fatt: ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ ( ) ( ) ( )... ) ( f ( ) ( ) ( )... ) ( f ( ) ( ) ( ) ( ) ρ

16 ossa: (... ) ρ ella quale ρ è lo stesso ce é stato scelto er la valutazoe de es. Possao osservare ce, osto ρ s a: ρ coè: Questa relazoe ostra, er cofroto co ± M ± ce forsce l errore edo della eda d deterazo, ce l geerco sstea, d deterazo, avete eso ed errore edo, uò cosderars costtuto da ù deterazo fttze avet tutte lo stesso errore edo. I cosegueza, gl sste d osservazo ossoo cosderars costtut da deterazo avet tutte lo stesso errore edo e uero colessvo d. Il artcolare scelto s caa errore quadratco edo della utà d eso. Per esso, artedo dalla osservazoe ce gl error ce s cosderao soo quell aaret e o quell ver, s uò otteere ce da cu s ottee la forula ± ± v v ( ) la quale cosete d valutare l errore edo della eda oderata d sste d deterazo quado s cooscao es de sgol sste e gl error aaret v. Il eso della eda oderata sarà qud la soa de es delle sgole deterazo: ρ 6

17 PRECISIONE CONSEGUIBILE NELLE MISURE Vedao ora coe s ossa revetvaete valutare la recsoe co la quale è da atteders d effettuare ua surazoe adoerado u deterato strueto. S debba effettuare la surazoe d ua gradezza e s cosdero le oerazo eleetar alle qual tale surazoe uò rcodurs. Il valore ce s detera er la gradezza dede da quell otteut tal oerazo e se ossao deterare co osservazo relar, effettuate laboratoro, gl error ed delle sgole oerazo eleetar, s otrà valutare l'errore da cu uò essere affetta la sura d alcado la legge d roagazoe. Cosderao l caso, selce e abbastaza frequete, cu la gradezza da deterare sa soa algebrca d ù altre drettaete surabl:.. Alcado la legge d roagazoe della varaza... coè:... e quado ossoo cosderars ugual gl error ed delle gradezze surate drettaete: x Nel caso artcolare d le forule recedet dvetao: x x S ot ce cascua d queste relazo basta oter calcolare tutt gl error ed ce v coaoo eo uo, ercé la forula facca rcavare quello cogto. CONSIDERAZIONI CONCLUSIVE Le cocluso cu sao fora erveut ossoo così rassuers: ) Coe valore ù coveete d ua gradezza della quale s sao esegute deterazo oogeee s scegle la eda artetca; 7

18 ) L errore da cu uò cosderars affetto l valore ù coveete (coè l arossazoe ce s è coseguta) è l errore edo della ed; 3) Il sstea d sure è da cosderars accettable se le sure soo uerose e gl error aaret rsultao tutt or della tolleraza (< 3); 4) Se le sure esegute soo d recsoe dversa l valore da assuere coe ù coveete è la eda oderata de valor otteut; 5) Se la sura dretta d ua gradezza s ottee coe fuzoe d ù gradezze drettaete surabl, s uò valutare l errore edo da cu è affetta la deterazoe della gradezza fuzoe degl error ed delle gradezze surate drettaete (legge d roagazoe della varaza) 6) Calcolato l errore edo da cu è affetta la deterazoe d ua gradezza (eseguta co u certo strueto e co u certo etodo) la tolleraza è 3, coè quado s eseguoo sure d quella gradezza le sure soo accettabl se la loro dffereza o suera 3 7) La legge d roagazoe degl error uò cosetre d far deterare la recsoe co cu vao esegute le sure delle gradezze drettaete surabl er otteere la gradezza ce s sura drettaete co ua recsoe refssata. 8