Il Principio dei Lavori Virtuali e le sue applicazioni

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1 I T O L O 12 I rincipio dei Lavori Virtuai e e sue appicazioni di Giuiano ugusti e aoo Maria Mariano I rincipio dei Lavori Virtuai appassiona da moti secoi gi studiosi di Meccanica. Le figure sopra riportate iustrano studi pubbicati rispettivamente ne 1581, ne 1665 e ne In questo capitoo si mostra come i rincipio dei Lavori Virtuai può essere usato per risovere probemi de Ingegneria moderna.

2 478 I rincipio dei Lavori Virtuai e e sue appicazioni 12.1 INTROUZIONE In questo capitoo si presenta una metodoogia generae che permette di risovere moti probemi dea Scienza dee ostruzioni, quai per esempio trovare reazioni vincoari, spostamenti di punti di una struttura, forze e momenti interni, ecc., senza fare ricorso vota per vota a procedimenti ed espedienti particoari. Essa è basata su cosiddetto rincipio (o Teorema) dei Lavori Virtuai (detto anche, forse più appropriatamente, de Lavoro Virtuae e di seguito tavota indicato con acronimo LV). La definizione di avoro come prodotto di una forza data per o spostamento de suo punto di appicazione è nota daa Fisica eementare. I avoro L è dato da prodotto scaare de vettore forza F per i vettore spostamento u, cioè daa somma dei prodotti dee rispettive componenti in un dato sistema di riferimento: L = F u = F x u x + F y u y + F z u z (12.1) Ovviamente, se e forze appicate sono più d una, i avoro è dato daa somma di tante espressioni come a (12.1) quante sono e forze coinvote (una formua anaoga vae per i avoro di una o più coppie per e rispettive rotazioni). Se o spostamento u è queo effettivamente subito da punto di appicazione dea forza F, a avoro si può attribuire aggettivo reae. 1 iù in generae, si può pensare a forze appicate a un corpo e a un quasiasi insieme di spostamenti dei punti di appicazione compatibii con i vincoi interni ed esterni de corpo stesso: in ta caso si attribuisce aggettivo virtuae (cioè immaginario, ideae) a avoro che si indica ne seguito con L v. Nee appicazioni, si associa di soito i avoro virtuae a spostamenti piccoissimi (perché ci si imita spesso ad anaisi sviuppate ne ambito di teorie inearizzate), cioè ad atti di moto (avendo così a che fare in reatà con potenze virtuai): ne seguito tae associazione sarà sottintesa. I concetto di avoro virtuae permette di costruire a metodoogia generae di anaisi che è oggetto di questo capitoo. iù precisamente, ne aragrafo 12.2 si tratta de principio dei avori virtuai per gi atti di moto rigido; tramite esso si possono determinare e reazioni vincoari e gi sforzi (forze e momenti) interni in sezioni di travi staticamente determinate (si veda a definizione ne aragrafo 5.1). I principio viene esteso ne aragrafo 12.3 agi atti di moto deformativo; si possono così determinare (aragrafo 12.4) spostamenti e rotazioni in punti specifici di una trave eastica, nonché (aragrafi ) trovare reazioni vincoari, sforzi interni e spostamenti di travi staticamente indeterminate. er sempicità, a trattazione viene imitata a travi, cioè a corpi soidi con una dimensione prevaente (per i quai si può ragionare in termini di forze e momenti interni, caratteristiche pecuiari dee sezioni ortogonai a asse dea trave, e trattare e deformazioni come movimenti reativi tra sezioni), ma essa è facimente estendibie a corpi soidi di quasiasi forma e ae tensioni puntuai. 1 a notare che, se a forza è appicata a una struttura o corpo vincoato, in genere intensità dee forza varia durante a sua appicazione, mentre varia o spostamento a deformarsi dea struttura. In questo caso i avoro è dato da integrae de intensità istantanea dea forza per o spostamento de punto di appicazione: si giunge così a concetto di avoro (o energia) di deformazione, introdotto ne apitoo 11, aragrafo 11.2 e seguenti.

3 12.2 IL RINIIO EL LVORO VIRTULE ER TTI I MOTO RIGIO er un quasiasi corpo, un generico cambiamento di configurazione è detto rigido se non atera a distanza tra quasiasi coppia di punti de corpo stesso: esso è quindi soo un cambiamento di assetto e si compone di una trasazione e di una rotazione. Un corpo si dice rigido quando ammette soo cambiamenti rigidi di configurazione. er esempio, in ambiente bidimensionae (ove, per sempicità, vengono sviuppate tutte e anaisi presentate ne seguito), con riferimento aa trave in Figura 12.1, intesa 12.2 I rincipio de Lavoro Virtuae 479 per atti di moto rigido m y u u ϑ O x Figura 12.1 come corpo rigido, o spostamento de generico punto nea configurazione ne punto in ha componenti ux e u y date da u x = u x q ( y y ) (12.2) u y = u y + q ( x x ) (12.3) ove q è a rotazione dea trave ne piano xy, considerata positiva in verso antiorario, mentre u x e u y sono e componenti rispettivamente ungo asse x ed y deo spostamento u di un punto arbitrario dea trave di coordinate (x, y ). È ecito identificare tae punto con (qui coincidente con origine de sistema di riferimento considerato); in ta caso x e y sono e coordinate de punto e sono quindi entrambe pari a zero; e Equazioni (12.2), (12.3) vengono così uteriormente sempificate. È essenziae precisare che e Reazioni (12.2) e (12.3) vagono quando angoo q è piccoo, atrimenti espressione deo spostamento de punto è più compessa e coinvoge funzioni trigonometriche de angoo q. Sia dato un sistema di forze F 1,...F n di componenti (Fx 1, F y 1), (Fx n, F y n) appicate sua trave nei punti 1,..., n di coordinate (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ). ssegnato un generico atto di moto rigido dea trave, è possibie cacoare i avoro (12.1) di ogni singoa forza F i, i = 1,...,n, per o spostamento u i de suo punto di appicazione, spostamento indotto da atto di moto rigido arbitrario, quindi virtuae, che si induce su corpo. I avoro totae L v è dato daa somma dei avori dee singoe forze. Siccome e anaisi qui di seguito sono sviuppate per sempicità soo in ambiente bidimensionae, precisamente ne piano xy, i avoro virtuae totae de sistema di forze F 1,...F n agenti sua trave è dato da n ( L v = F i x u i x + Fi y y) ui (12.4)

4 48 I rincipio dei Lavori Virtuai e e sue appicazioni È possibie mostrare che a trave, soggetta a sistema di forze F 1,...F n, è in equiibrio se L v = (12.5) per quasiasi atto di moto rigido che si attribuisca aa trave. È questo i principio dei avori virtuai per corpi rigidi. La generaizzazione dea Reazione (12.4) a caso tridimensionae è immediata: basta aggiungere i contributo dea componente dee varie forze ungo asse z per e reative componenti di spostamento. I fatto che a ondizione (12.5) debba vaere per quasiasi atto di moto rigido, una vota che i sistema di forze sia stato assegnato, è essenziae per a vautazione de equiibrio. Sostituendo infatti nea (12.4) e reazioni (12.2) e (12.3) si vede facimente che a Reazione (12.5) diventa ( n Fx i ) ( n ) u x + Fy i u y + q n ( F i x (y i y ) + F i y (xi x ) ) = (12.6) L imporre che a (12.6) sia vaida per quasiasi sceta degi spostamenti rigidi, quindi per quasiasi sceta di u x, u y e q, impica che devono verificarsi e reazioni n Fx i = (12.7) n Fy i = (12.8) n ( ( F i x y i y ) + Fy i ( x i x )) = (12.9) Ove a sceta di u x, u y e q non fosse asciata arbitraria, non sarebbe ecito dedurre e (12.7), (12.8) e (12.9) daa ondizione (12.6). La (12.7) e a (12.8) richiedono che a somma dee componenti dee forze F 1,...F n ungo asse x sia pari a zero così come a somma dee componenti ungo y. Le due Reazioni (12.7) e (12.8) equivagono quindi a equazione di equiibrio aa trasazione n F i = (12.1) che è a prima equazione dea statica (somma dee forze pari a zero). In maniera anaoga è immediato riconoscere che a (12.9) non è atro che a richiesta che a somma dei momenti M 1,...M n dee forze F 1,...F n rispetto a punto arbitrario (x, y ) sia pari a zero, cioè n M i = (12.11) che è a seconda equazione dea statica (equiibrio aa rotazione). Quando si considera un corpo vincoato, ne reativo schema di corpo ibero agiscono su corpo sia e forze esterne sia e reazioni vincoari, e quai compaiono come incognite nee equazioni (12.1) e (12.11). Si ha a che fare quindi con un sistema di Equazioni ineari: se si possono scrivere tante equazioni indipendenti quante sono e reazioni vincoari incognite e i determinante dea matrice dei coefficienti di tae sistema è diverso da zero, a struttura si definisce staticamente determinata; e reazioni incognite si possono cioè determinare escusivamente dae condizioni di equiibrio (12.1) e (12.11). Se invece i numero dee reazioni vincoari

5 (incognite) è maggiore di queo dei gradi di ibertà de sistema e i rango 2 dea matrice dei coefficienti è pari a numero di gradi di ibertà, e soe condizioni di equiibrio non sono sufficienti a determinare e incognite e a struttura si definisce staticamente indeterminata (si vedano i aragrafi 2.9 e 5.1). Infine, se i numero dee reazioni vincoari è inferiore a queo dei gradi di ibertà, a struttura ammette spostamenti rigidi (è cioè un meccanismo) e equiibrio può essere verificato soo per particoari schemi di carico. Tutti i casi in cui i rango dea matrice dei coefficienti de sistema dee equazioni di equiibrio è inferiore a numero dee incognite (cioè dee reazioni vincoari) rappresentano situazioni in cui acuni vincoi sono ma disposti in quanto ripetono e restrizioni imposte da atri. Ne caso di strutture staticamente determinate, detto n i numero dee reazioni vincoari incognite, i LV consente di scrivere n equazioni ciascuna in una soa incognita, invece di un sistema di n equazioni in n incognite. 3 ta fine basta imporre ao schema di corpo ibero dea trave un atto di moto che faccia compiere avoro a una soa reazione, diciamo R 1, e appicare a ondizione (12.5) ottenendo così un equazione agebrica nea quae appare a soa incognita R 1. er maggiore evidenza, si può immaginare di sopprimere sotanto i vincoo corrispondente aa reazione R 1 e di sostituiro con a R 1 stessa: a struttura acquista a possibiità di una casse di atti di moto virtuai rigidi nea quae compiono avoro e forze esterne (note) e a R 1 (incognita). questo punto, a ondizione (12.5) e arbitrarietà de atto di moto rigido permettono di determinare un equazione agebrica in cui a soa incognita è R 1. Ne seguito, o schema risutante daa soppressione di un vincoo e daa sua sostituzione con a reazione pertinente viene chiamato schema di corpo semiibero. La stessa ocuzione viene anche usata ove si sopprimano più vincoi ma non i si eiminino tutti I rincipio de Lavoro Virtuae 481 per atti di moto rigido m 2 Si ricorda che si definisce rango di una matrice quadrata ordine massimo dei minori diversi da zero. Se si ha per esempio una matrice 3 3 di cui a massimo e sottomatrici 2 2 hanno determinante diverso da zero, si dirà che a matrice è di rango 2; se invece a matrice stessa ha determinante diverso da zero, aora si dirà che essa è di rango 3. 3 Questo procedimento sempifica di moto a souzione manuae e può essere utiizzato per verificare i vaore di una o più incognite se si usano procedimenti di souzione automatica. ESEMIO 12.1 eterminare a reazione R de carreo ne estremo destro dea trave rappresentata ne Esempio 5.1 e verificare che a componente orizzontae R H dea reazione dea cerniera sia nua. Se si sopprime i vincoo e o si sostituisce con a reazione incognita R, si ottiene o schema di corpo semiibero rappresentato nea Figura La trave, di unghezza, ha in queste condizioni un soo grado di ibertà ne piano: a rotazione q attorno a punto, rotazione che può essere sceta in maniera arbitraria e che induce uno spostamento verticae dei punti di appicazione dee forze F ed R, quest utima di intensità R incognita. Un possibie arbitrario atto di moto rigido porta a trave nea Figura 12.2 F R

6 configurazione variata descritta nea Figura 12.3, ove ampiezza degi spostamenti in e è data da u = q 2 u = q (12.12) Si vogia ora cacoare a reazione orizzontae ne punto. Lo schema di corpo semiibero corrispondente è descritto nea Figura 12.4 (aa cerniera in è stato sostituito un carreo che permette a trasazione orizzontae dea trave). F R Figura I avoro dea forza esterna F, di intensità F, è quindi dato da F q (12.13) 2 i segno meno dovuto a fatto che o spostamento di avviene in verso opposto a queo dea forza F, mentre i avoro dea reazione vincoare in è pari a R q (12.14) I principio dei avori virtuai (12.5) richiede che, per equiibrio, R debba essere tae che F q 2 + R q = (12.15) quaunque sia i vaore di q che è sceto arbitrariamente ma è piccoo per quanto ricordato a commento dee reazioni (12.2) e (12.3)). i conseguenza, daa (12.15) si deduce R = F 2 un risutato già ottenuto ne Esempio 5.1. ϑ (12.16) Figura 12.4 In questo caso, un arbitrario rappresentante dea casse dei possibii moti rigidi virtuai ammissibii per o schema semiibero considerato genera una configurazione variata come quea in Figura 12.5, ove u è o spostamento de punto, di ampiezza u arbitraria. R u Figura 12.5 i conseguenza, siccome o spostamento de punto è anch esso pari a u, perché atto di moto è rigido, ed è atresì ortogonae aa forza F, i avoro di quest utima è nuo mentre i avoro dea reazione orizzontae R, di intensità R incognita, è dato da F R u (12.17) La Reazione (12.5) e arbitrarietà di u impicano aora R = (12.18) naogo procedimento si può seguire per trovare uno sforzo interno (tagio, forza assiae, momento) in una quasiasi sezione di una trave staticamente determinata. ta fine, si immagina di consentire una possibiità di moto reativo nea sezione considerata: per esempio, ove si vogia determinare i vaore de momento fettente si introduce una cerniera e si appicano due coppie eguai e contrarie tai da ristabiire equiibrio. La reazione (12.5) fornisce in ta caso i momento nea sezione considerata. Introducendo invece un vincoo che consente trasazioni reative ortogonai a asse dea trave (un cosiddetto gifo), si può ottenere a forza di tagio nea sezione. nche in questi casi si ottiene uno schema di corpo semiibero. I consentire, infatti, nea sezione considerata un moto reativo coniugato con o sforzo interno che si vuoe determinare corrisponde a ridurre i vincoo di incastro tra e due parti dea trave che s incontrano nea sezione considerata, quindi a svincoare un grado di ibertà, trasformando a trave in un meccanismo. 482

7 ESEMIO 12.2 eterminare i vaore de intensità M de momento fettente e dea forza di tagio V in una sezione dea trave discussa negi Esempi 5.1 e Si assuma che, come evidenziato nea Figura 12.6, a sezione si trova a distanza 1 3 da punto. er determinare intensità M de momento fettente in si inserisca nea sezione dea trave una cerniera. La trave si trasforma così in un meccanismo con un unico grado di ibertà ed è quindi possibie assegnare atti di moto rigido arbitrari, i generico dei quai determina a configurazione variata rappresentata nea Figura La configurazione in Figura 12.6 può essere ottenuta imponendo una rotazione arbitraria (ma piccoa per e ragioni espresse in precedenza) q in come descritto in figura. In ta caso, o spostamento verticae u de punto, ove è stata inserita a nuova cerniera utie aa determinazione di M,è pari a u = q 2 3 (12.19) Siccome a cerniera in rende soidai i due tratti di trave e, nea cerniera in si genera una rotazione q differente da q perché dfferente è a distanza de punto dae due cerniere in e. Si deve avere, infatti da cui si ottiene ϑ * q 3 = q 2 3 (12.2) q = 2q (12.21) Infine, o spostamento verticae de punto ove è appicata a forza esterna è pari a u = q 2 Una vota introdotta a cerniera in, per ristabiire equiibrio è necessario appicare ae due facce dee porzioni di trave concorrenti in due coppie eguai e contrarie d intensità pari a M. Esse corrispondono ae reazioni vincoari interne aa trave che impedivano a rotazione reativa dee due F ϑ Figura 12.6 porzioni e quando non era introdotta a cerniera e permaneva i vincoo di continuità dea trave. Le due coppie compiono avoro rispettivemente nee rotazioni q e q, cosicchè, tenendo conto dea (12.21), a Reazione (12.5) diventa ne caso specifico da cui si ottiene M 3q + F q 2 = (12.22) M = F (12.23) 6 In maniera anaoga, per determinare i tagio V, si inserisca nea sezione dea trave un gifo (cioè un vincoo che consente trasazione reativa dee due porzioni di trave concorrenti in, ortogonamente a asse dea trave). Si genera così un meccanismo (con un soo grado di ibertà), a cui si possono imporre atti di moto rigido, i generico dei quai determina a configurazione variata descritta nea Figura 12.7, ottenuta appicando a stessa rotazione q (piccoa naturamente perché vaga approssimazione ineare fin qui utiizzata per a determianazione deo spostamento) sia in sia in, di modo che i due tratti e siano paraei. i conseguenza, o spostamento verticae de estremo in de tratto è pari a 1 3 q, mentre anaogo spostamento de estremo in de tratto è pari a 2 3 q. er ristabiire e condizioni di equiibrio preesistenti a introduzione de gifo, è necessario appicare ae due facce dee porzioni di trave concorrenti in due forze uguai e contrarie, così come indicato in Figura V ϑ V F ϑ Figura 12.7 In questo caso, a reazione (12.5) si può scrivere ne modo seguente: da cui si ottiene V q 3 + V q 2 3 F q 2 = (12.24) V = F 2 (12.25) 483

8 484 I rincipio dei Lavori Virtuai e e sue appicazioni Si noti che, ripetendo e operazioni sopra descritte per più sezioni, si possono tracciare per punti i diagrammi de tagio e de momento fettente; questo procedimento risuta quindi particoarmente utie per carichi generici e vincoi mutipi, e comunque quando e funzioni anaitiche che descrivono detti diagrammi non sono sempici. Si possono inotre ritrovare tutte e proprietà dei diagrammi de tagio e de momento individuate ne apitoo 5. ESEMIO 12.3 eterminare i momento fettente M e i tagio V nea sezione dea struttura rappresentata nea Figura 5.4(b), soggetta a un carico distribuito costante su tratto H, di unghezza 2 3, come indicato nea Figura er cacoare i vaore M si inserisce in una cerniera. In ta modo a struttura diventa un meccanismo a un grado di ibertà. Un generico atto di moto rigido virtuae permette di ottenere, quindi, a configurazione variata in Figura 12.9, ottenuta imponendo una rotazione q in. Siccome a sezione è situata a metà de tratto, a rotazione in è pari a q, mentre quea in è pari a 1 2 q. Quest utimo vaore si determina come ne Esempio 12.2: a cerniera in H rende soidai H Figura 12.8 Figura 12.9 i tratti H e H, quindi o spostamento u H in H, cacoato con riferimento aa rotazione in deve essere pari a queo cacoato con riferimento aa rotazione in, rotazione che qui si indica con q, di conseguenza, siccome q si immagina essere piccoo, deve essere u H = q 2 = q (12.26) 3 3 da cui q = q (12.27) 2 er ta motivo, o spostamento di un generico punto appartenente a tratto H è pari a q 2 x (12.28) H p p ove x è cacoato a partire da ed è quindi a distanza de punto considerato da. naogamente a Esempio 12.2, per ristabiire equiibrio è necessario appicare ae due facce dee porzioni di trave concorrenti in due coppie eguai e contrarie d intensità pari a M, e ciascuna di esse compie avoro nea rotazione q. i conseguenza, a reazione (12.5) diventa 2 3 2qM + p q xdx = (12.29) 2 ove i secondo addendo è i avoro totae de carico uniformemente distribuito su tratto H. I cacoo de integrae permette di scrivere 2qM + q p2 9 = (12.3) da cui si ottiene M = p2 (12.31) 18 Si osservi che i vaore de integrae in (12.29) è pari a avoro che a risutante de carico distribuito su tratto H compie neo spostamento de suo punto di appicazione, posto a metà de tratto H, a 1 3 da. Lo spostamento verticae de punto medio de tratto H è infatti pari a 1 2 q 1 3 = 1 6 q mentre a risutante de carico uniformemente distribuito è pari a 2 3 p, di conseguenza i avoro dea forza risutante è dato da 2 3 p 1 6 q = 1 9 q p2. er determinare i tagio in V si inserisce un gifo in, dando uogo a un meccanismo con un unico grado di ibertà. Si possono quindi assegnare generici atti di moto rigido a cui tipica configurazione variata conseguente è anaoga a quea di Figura Essa è ottenuta imponendo in una rotazione q e una rotazione uguae e contraria in di modo che i tratti e, entrambi di unghezza 1 2, siano paraei. i conseguenza, a cerniera in H, posto a distanza 1 3 da, subisce uno spostamento verticae pari a 1 3 q e determina in una rotazione pari a 1 2 q (si veda a (12.27)) cosicché o spostamento di un generico punto ne tratto H, posto a distanza x da, è dato daa (12.28). In questo caso a Reazione (12.5) diventa quindi V q 2 + V q p q xdx = (12.32) 2 da cui si ottiene V = p 3 (12.33)

9 12.3 IL RINIIO EI LVORI VIRTULI ER TTI I MOTO EFORMTIVO Ne vautare gi sforzi interni, momento M, tagio V e sforzo normae N nee sezioni di una generica trave si sono sfruttate e caratteristiche geometriche dea trave stessa. Si è cioè tenuto conto che a trave è un soido prismatico con una dimensione moto più grande dee atre. i conseguenza si può immaginare di assegnare in ciascun punto de asse dea trave informazioni su ciò che accade nea sezione ortogonae a asse stesso ne punto considerato. Questo punto di vista ha portato a introduzione degi sforzi interni (momento, tagio e sforzo normae) come misure gobai deo stato tensionae dea sezione. Lo stesso punto di vista può essere adottato ove si vogia vautare o stato deformativo di una trave: si possono cioè considerare gi spostamenti dei punti de asse dea trave e associare a ogni punto x informazioni su spostamenti, rotazioni e deformazioni dea sezione in x e de suo intorno. In questa trattazione si introduce ipotesi che ne atto di moto deformativo ogni sezione dea trave rimanga piana, ipotesi detta dee sezioni piane. Sia data per esempio una trave che nea configurazione di riferimento sia ad asse rettiineo, di unghezza, coincidente con intervao [, ] de asse x ne piano xy. Su [, ] si possono quindi definire tre funzioni continue e derivabii i cui vaori ne generico x sono indicati rispettivamente da u x (x), u y (x) e q(x) e rappresentano, i primi due, e componenti ungo gi assi x ed y, rispettivamente, deo spostamento de punto x mentre, i terzo, a rotazione dea sezione. L anaisi di una trave deformabie è quindi ridotta a uno schema meccanico monodimensionae: e funzioni u x, u y e q che individuano a configurazione deformata dea trave sono infatti soo funzioni di x. Si consideri ora una sezione in x e una, a essa paraea nea configurazione rettiinea di riferimento, in x + dx. Le due sezioni possono (a) aontanarsi una rispetto a atra, pur rimanendo paraee, (b) scorrere reciprocamente, pur rimanendo paraee, (c) ruotare una reativamente a atra. Si indichi quindi con ɛ(x)dx aontanamento tra e due sezioni in direzione x, con g(x)dx o scorrimento tra e due sezioni in direzione y e con x(x)dx a rotazione reativa tra e due sezioni (ɛ = ɛ x è a deformazione ineare unitaria definita a aragrafo 2.2; g = g xy è a deformazione angoare di scorrimento definita ne aragrafo 2.14; x = 1 è a curvatura fessionae dea trave, introdotta ne aragrafo 4.4). r Si dice che a terna {u x, u y, q} genera una deformazione congruente se ɛ (x) = u x (x), g (x) = u y (x) q (x), x (x) = q (x) (12.34) ove apice indica derivata rispetto ad x. deformarsi dea trave, gi sforzi interni compiono avoro nee deformazioni pertinenti, punto per punto, cosicché i avoro totae, detto interno perché dovuto a sforzi interni aa trave, e indicato con L i v, è dato da L i v = ( ) Nɛ + V g + Mx dx (12.35) Esso è virtuae perché ɛ, g e x non sono necessariamente e misure dea deformazione reae ma sono, più in generae, misure di una deformazione arbitraria, compatibie con i vincoo interno di continuità dea trave. Si consideri ora a trave caricata da un carico trasversae distribuito p(x), un carico ongitudinae q(x) e una distribuzione continua di momento fettente m(x); inotre si abbiano forze e coppie appicate in, in I rincipio dei Lavori Virtuai 485 per atti di moto deformativo m

10 486 I rincipio dei Lavori Virtuai e e sue appicazioni dicate con Fx, F y ed M rispettivamente, e in ove sono indicate con Fx, F y ed M (per sempicità e reazioni di eventuai vincoi in e sono incuse tra e forze F e e coppie M). Non si considerano vincoi di sorta, per sempicità. I avoro virtuae dee forze esterne, indicato con L e v,è quindi pari a L e v = (qu x + pu y + mq)dx + Fx u x() + Fy u y() + M q()+ + F x u x () + F y u y () + M q () (12.36) Una dee possibii formuazioni de principio dei avori virtuai per travi deformabii è enunciato presentato ne seguito. 1. ato un sistema di forze esterne e sforzi interni (reai), se per quasiasi deformazione congruente {u x, u y, q} (virtuae) L e v Li v = (12.37) 1. aora a trave è in equiibrio. er dimostrare a vaidità de enunciato precedente, si osservi innanzitutto che se un arbitraria deformazione virtuae è congruente, aora, grazie aa (12.34), espressione de avoro virtuae interno (12.35) diventa L i v = ( Nu x + V ( u y q) Mq ) dx (12.38) d atra parte, però, Nu x = (Nu x) N u x (12.39) e anaoghe reazioni vagono per Vu y ed Mq, inotre (Nu x ) dx = N () u x () N () u x () (12.4) perché è sempicemente integrae dea derivata dea funzione Nu x. Reazioni simii vagono per (Vu y ) e (Mq). i conseguenza, i avoro interno può essere scritto ne modo seguente: L i v = N () u x () N () u x () + V () u y () V () u y () M () q () + M () q () ( N u x + V u y V q M q ) dx (12.41) Tenendo conto dee reazioni (12.36) e (12.41), a (12.37) diventa (( q + N ) u x + ( p + V ) u y + ( m + V M ) q ) dx+ + ( F x N ()) u x () + ( F y V ()) u y () + + ( M + M () ) q () + ( F x + N ()) u x () + (12.42) + ( F y + V ()) u y () + ( M M () ) q () = Infine, siccome a (12.42) deve essere vaida per quasiasi deformazione congruente, cioè per quasiasi sceta di u x, u y e q congruenti, visto che a (12.42) è ineare in u x, u y e q, devono annuarsi i fattori che motipicano

11 u x, u y e q, quindi, in ciascun punto de asse dea trave devono essere verificate e reazioni N + q = (12.43) 12.4 I LV nea ricerca di spostamenti 487 in travi eastiche caricate trasversamente V + p = (12.44) M V m = (12.45) mentre sue facce terminai in x = e x = devono essere verificate e condizioni a contorno F x = N () (12.46) F y = V () (12.47) M = M () (12.48) F x F y = N () (12.49) = V () (12.5) M = M () (12.51) che sono e condizioni di equiibrio dea trave deformabie considerata. In particoare a (12.43) rappresenta equiibrio puntuae aa trasazione orizzontae, a (12.44) equiibrio aa trasazione verticae e a (12.45) equiibrio aa rotazione. Le (12.46)-(12.51) sono e condizioni a contorno. Una formuazione aternativa de LV è enunciato qui di seguito. 2. ato un campo di spostamenti e rotazioni (reai) ungo a trave, se per ogni sistema di forze esterne e sforzi interni (virtuai) tra oro equiibrati a reazione (12.37) è verificata, aora i campo di spostamenti e rotazioni assegnato è congruente. onseguenza degi enunciati 1. e 2. è enunciato aternativo. 3. er ogni campo di spostamenti e rotazioni congruente e per ogni sistema di forze esterne e sforzi interni equiibrati, a reazione (12.37) è verificata. ome si vedrà nei paragrafi che seguono, ove si vogia vautare equiibrio di un dato sistema di carichi esterni e sforzi interni, utiizzo de LV consiste neo scegiere opportunamente campi virtuai congruenti di spostamenti e rotazioni e appicare a (12.37); viceversa, ove si vogia vautare a congruenza di un sistema di spostamenti, si scegono sistemi di forze, sforzi e momenti equiibrati e si appica a essi a (12.37) IL LV NELL RIER I SOSTMENTI IN TRVI ELSTIHE RITE TRSVERSLMENTE er sempicità, a trattazione di questo paragrafo viene imitata ae travi rettiinee caricate da forze trasversai (cioè ortogonai a asse dea trave) e ae deformazioni eastiche dovute a momento fettente. Nei aragrafi si è visto come si scrive equazione dea inea eastica, cioè equazione differenziae che fornisce, data a funzione momento fettente M(x), a deformata y(x), ovvero o spostamento trasversae u y (x) de asse dea trave. In mote circostanze, però, non è necessario deter-

12 488 I rincipio dei Lavori Virtuai e e sue appicazioni minare intera deformata dea trave, bensì conoscere soo i vaore deo spostamento in acuni punti, spostamento provocato da appicazione di un dato carico reae. uopo i LV si dimostra particoarmente efficiente. In queste appicazioni si scegie come campo di spostamenti e deformazioni queo effettivo (reae) congruente e un sistema (arbitrario) fittizio (virtuae) di forze equiibrate sceto in modo che a (12.37) contenga a grandezza che si vuoe determinare. er esempio, se si desidera cacoare o spostamento verticae in una sezione, indicato con u y ( x), ove x è a posizione dea sezione in esame, si introduce un sistema equiibrato fittizio costituito da una singoa forza F* (spesso chiamata carico esporatore) avente a direzione deo spostamento incognito e intensità di vaore arbitrario assegnato, dae corrispondenti reazioni vincoari (irrievanti nei cacoi se i vincoi sono rigidi) e dagi sforzi interni N*, V* ed M*. osì facendo a Reazione (12.37) diventa F u y ( x) = ( N ɛ + V g + M x ) dx (12.52) I sistema di carico qui considerato ( unica forza F*) non determina sforzo normae, inotre, quae approssimazione verificata di frequente nee appicazioni pratiche, si ipotizza qui di seguito che a deformabiità a scorrimento dea trave sia trascurabie, sia quindi trascurabie i termine V g punto per punto. i conseguenza a (12.52) si riduce a F u y ( x) = M xdx (12.53) Siccome i sistema di carico è a soa forza F*, i vaore de momento M* in quasiasi sezione dipende inearmente da moduo F* dea forza virtuae considerata. i conseguenza, si può scegiere F = 1. La (53) si riduce quindi a u y ( x) = M xdx (12.54) ove M* è ora i momento generato daa forza fittizia di moduo unitario. I primo membro dea (12.54) è a grandezza incognita. Le quantità sotto i segno di integrae a secondo membro sono note: infatti è possibie determinare a distribuzione de momento fettente reae M(x) indotto dai carichi esterni. atra parte x(x) è a curvatura fessionae reae dea trave, quea prodotta da carico reae appicato aa trave stessa, quindi se i comportamento dea trave è puramente eastico ineare è possibie far uso dea (4.21) che ega i momento reae aa curvatura x (indicata nea (4.21) con 1/r), cioè dea reazione costitutiva x = M EI (12.55) La Reazione (12.54) diventa quindi u y ( x) = M M dx (12.56) EI che è a reazione che permette di determinare i vaore u y ( x) cercato: in essa, naturamente, i primo termine è da intendersi come 1 u y ( x), rappresentando 1 i vaore unitario dea forza.

13 Infine, se vi sono aggiuntive variazioni di curvatura indotte da variazioni termiche T, distribuite a farfaa ungo ogni generica sezione di atezza h, o da distorsioni fessionai aneastiche x a assegnate a priori, ne ambito dee imitazioni dea teoria inearizzata che qui si discute, esse debbono essere aggiunte aa curvatura eastica e si ha 12.4 I LV nea ricerca di spostamenti 489 in travi eastiche caricate trasversamente ove x = x e + x t + x a (12.57) x e = M EI, xt = a T h (12.58) con α i coefficiente di diatazione termica. Ove in uogo di u y ( x) si vogia cacoare a rotazione q( x) neo stesso punto basta appicare, per e stesse ragioni che hanno portato aa (12.56), una coppia unitaria M in x cosicché a (12.56) diventa q ( x) = M M dx (12.59) EI ove M* è questa vota i momento indotto sua trave da M e i primo termine de Equazione (12.59) è da intendersi come 1 q( x). In tutti gi esempi successivi si immagina che ogni trave sia omogenea e a sezione costante: i prodotto EI è quindi considerato costante. ESEMIO 12.4 Si determini o spostamento verticae e a rotazione ne punto dea trave discussa ne Esempio 9.1. Si ricorda che a trave è ad asse rettiineo, di unghezza, incastrata in e caricata da una forza trasversae F, di intensità F, appicata in (ne Esempio 8.1 a forza è indicata con, ettera che è stata già utiizzata in questo capitoo per indicare un generico punto de corpo e che quindi viene sostituita con F). La struttura è staticamente determinata; a distribuzione reae di momento fettente è data daa (9.7), cioè da M = Fx (12.6) F L Figura 9.9 (ripetuta) ove origine de asse x è coocata in e asse stesso coincide con queo dea trave. Si considera poi una forza verticae F* di intensità unitaria, orientata verso ato, ne verso che si è sceto positivo nea Figura 9.11, in queo stesso senso in cui i avoro neo spostamento u y sarebbe positivo se o spostamento stesso risutasse verso ato. er essa i momento fittizio è dato da M = 1 x = x (12.61) quindi i vaore deo spostamento verticae si può determinare tramite (12.56) e si ha F u y () = EI x 2 dx = F 3 (12.62) 3EI vaore cacoato tramite a inea eastica ne Esempio 9.1. er cacoare a rotazione in si appica una coppia M unitaria agente in senso antiorario in, o stesso senso che permette di affermare che i avoro 1 q( x) è positivo quando a rotazione si sviuppa ne senso antiorario. I momento fittizio indotto da M è pari a M = 1 (12.63) di conseguenza a reazione (12.59) permette di scrivere F F 2 q () = xdx = (12.64) EI 2EI

14 ESEMIO 12.5 eterminare o spostamento in mezzeria dea trave discussa ne Esempio 9.2 (cioè ne punto indicato con nea Figura 9.15, punto posto a distanza 1 2 da ). La trave ha unghezza, è incernierata in e appoggiata su di un carreo in ; un carico uniforme trasversae è appicato da a e ha intensità unitaria p (si veda a Figura 9.12 e si tenga conto di come a unghezza dea trave e i carico trasversae siano indicati qui con ettere differenti). I momento reae ungo asse dea trave è dato daa Formua (9.12) che qui si riscrive con e notazioni tipiche di questo capitoo: M = 1 2 px 1 2 px2 (12.65) Si appichi ora in una forza F* verticae, di intensità unitaria, diretta verso ato, o stesso verso che (nee convenzioni adottate in precedenza sui versi positivi) renderebbe positivo i termine sinistro dea (12.53) e quindi dea (12.56) se o spostamento in avvenisse verso ato. I momento virtuae (fittizio) M* è dato quindi da M = { 1 x 2 = x 2 per x 2, 1 ( 2 x) = ( 2 x) per 2 < x (12.66) di conseguenza daa (12.56) si ottiene u y ( ) = M M EI dx = = 2 ( 2 1 EI 2 px 1 ) x 2 px2 2 dx = ) = 5 p4 = 2 p4 EI ( (12.67) Lo spostamento è quindi verso i basso ed è inotre i massimo spostamento dea trave stessa a causa dea simmetria dea struttura. È inotre a simmetria di (12.66) che permette di scrivere a seconda eguagianza nea (12.67), come si può facimente osservare se si svogono pedissequamente tutti i cacoi che si sviuppano sostituendo e Reazioni (12.65) e (12.66) in (12.56) IL LV NELL NLISI I STRUTTURE ELSTIHE STTIMENTE INETERMINTE I principio dei avori virtuai è atresì uno strumento essenziae per a determinazione dee reazioni sovrabbondanti nee strutture staticamente indeterminate. Nea procedura descritta ne seguito, detta metodo dee forze, si considera come campo di spostamenti e deformazioni queo reae (ne quae si fanno comparire come incognite iperstatiche e reazioni vincoari sovrabbondanti) e tanti sistemi fittizi equiibrati quante sono e incognite iperstatiche. I passi dea procedura sono descritti ne seguito. La procedura è basata sua formuazione 1. de LV ed è esempificata ne seguito. (a) Si sopprime un numero di vincoi (esterni o interni) pari a numero dei vincoi sovrabbondanti dea struttura, sostituendo a essi e reazioni vincoari incognite. È essenziae che a sceta dei vincoi da sopprimere sia tae che, una vota toti, a struttura risutante sia staticamente determinata (isostatica). È anche essenziae verificare che i vincoi rimanenti siano ben posti e che nessuna parte dea struttura si riduca a meccanismo. La struttura resa così isostatica viene detta struttura principae. La struttura reae è de tutto equivaente aa struttura principae caricata dae forze esterne e dae incognite iperstatiche, ove siano soddisfatte e condizioni imposte dai vincoi soppressi: imponendo queste utime, che sono condizioni di congruenza, si ottengono tante equazioni (che con e ipotesi introdotte sono ineari) quante sono e incognite e si ha quindi un sistema che savo casi degeneri ammette una e una soa souzione.

15 (b) La struttura principae, caricata dae soe forze esterne, viene detta schema ; per esso si determinano e distribuzioni di momento M, tagio V e sforzo normae N, ove apice indica che sono gi sforzi interni deo schema. In genere i contributo de tagio viene trascurato e tae ipotesi sarà adottata ne seguito. (c) er sempicità di trattazione si fa iniziamente riferimento a caso in cui a struttura di partenza abbia un soo vincoo sovrabbondante, e quindi si abbia una soa incognita iperstatica X; sua struttura principae una forza esterna (o una coppia) con a direzione e i verso de incognita iperstatica X, ma intensità unitaria. Si chiama schema 1 a struttura in queste condizioni; per essa si determinano e distribuzioni equiibrate di momento M 1, tagio V 1 e sforzo normae N 1, ove apice 1 indica che sono gi sforzi interni deo schema pertinente. (d) I momento fettente nea struttura reae è dato da M r = M + XM 1 (12.68) (d) Si è già osservato infatti, ne dedurre a (12.54) daa (12.53), che, ne caso in cui una forza concentrata (o una coppia) sia appicata a una trave, punto per punto i vaore de momento è proporzionae a intensità dea forza stessa, quindi i momento determinato daa reazione vincoare incognita di intensità X è proporzionae ad M 1 tramite X, che è incognita da determinare. È inotre possibie esprimere i momento totae M r come somma di queo dovuto ai carichi esterni M e de momento XM 1 indotto da X perché si può appicare i principio di sovrapposizione degi effetti. (e) er ottenere equazione di congruenza che fornisce incognita X si appica i LV a campo congruente di spostamenti e deformazioni reai e a sistema fittizio equiibrato, costituito dao schema 1. Se i vincoo sopresso è rigido, i avoro virtuae esterno compiuto daa forza X = 1 è nuo mentre ne avoro interno compaiono M 1 e N 1 che compiono avoro nea deformazione reae dea trave. ertanto, ipotizzando, come già fatto ne aragrafo 12.4, che unica deformazione significativa sia quea fessionae, a (12.37) diventa M 1 Mr dx = (12.69) EI (e) L incognita iperstatica compare espicitamente nea (12.69) se per M r si introduce espressione (12.68). Ne caso in cui vi sia nea struttura reae un cedimento de vincoo, cedimento che può essere eastico o aneastico, i avoro esterno dea forza X = 1 è diverso da zero e a (12.37) fornisce a reazione L e v M 1 Mr dx = (12.7) EI (e) che estende a (12.69) a caso in cui i vincoo soppresso non sia rigido. (f) Laddove i vincoi sovrabbondanti siano più d uno e e incognite iperstatiche siano per esempio s, i momento reae sua struttura è pari a s M r = M + X i M i (12.71) 12.5 I LV ne anaisi di strutture 491 eastiche staticamente indeterminate

16 492 I rincipio dei Lavori Virtuai e e sue appicazioni (g) e si scrivono s equazioni (12.69), a i-esima di esse data da ( ) M i 1 s M + X i M i dx = (12.72) EI (g) Si ottiene così un sistema di equazioni agebriche che permette di determinare e X i. Ne caso in cui uno o più vincoi soppressi non siano rigidi, è necessario modificare a (12.72) introducendo, come nea (12.7), i avoro esterno L e v (X i ) che a forza (o a coppia) unitaria X i = 1 compie neo spostamento reae de suo punto di appicazione. (g) Ove vi sia contributo dea deformabiità assiae, è necessario considerare integrae (N 1 N r ) Mr + M1 dx (12.73) E EI in uogo de membro destro dea (12.69). In questo caso N r è o sforzo normae reae ed è dato da N r = N + XN 1 (12.74) per e stesse ragioni che portano a scrivere a (68). Nea (12.74) N 1 è o sforzo normae dea forza unitaria inserita neo schema fittizio a posto de incognita iperstatica di intensità incognita X. Ne caso in cui siano presenti s incognite iperstatiche si ha s N r = N + X i J N i (12.75) e ovviamente, anche in questo caso, si scrivono s equazioni (12.69), a i-esima di esse data da ( ) ( ) N i s s N + X i N i + Mi M + X i M i dx = (12.76) E EI ove i vincoi soppressi siano tutti rigidi. Ne caso in cui uno o più vincoi soppressi non siano rigidi, a (12.76) deve essere modificata ne senso dea (12.7). Ne caso in cui a deformabiità dovuta ao scorrimento non sia trascurabie, a generaizzazione dee reazioni precedenti è immediata: si debbono aggiungere termini de tipo V 1 V r /(G), con V r o sforzo di tagio reae dato da V r = V + XV 1. ESEMIO 12.6 Si consideri a struttura rappresentata nea Figura 9.24(a) in cui una trave di unghezza è incastrata in e appoggiata in su di un carreo. La struttura è staticamente indeterminata: vi sono quattro vincoi sempici (3 è infatti a motepicità de incastro, a cui si aggiunge i carreo in che è un vincoo sempice) mentre a trave ha soo tre gradi di ibertà ne piano. er determinare tutte e quattro e reazioni vincoari si utiizza a procedura riassunta in precedenza. () Figura 9.24a (ripetuta) p

17 I primo passo è a sceta dea struttura principae, sceta che non è unica e che deve essere guidata escusivamente da motivi di sempicità: differenti schemi possono richiedere un onere di cacoo anche significativamente differente. Ne caso qui anaizzato si può (1) eiminare i carreo in oppure (2) ridurre i vincoo di incastro in inserendo una cerniera oppure un gifo verticae (un gifo orizzontae permetterebbe spostamenti orizzontai arbitrari di tutta a trave e non è da considerarsi). Le opzioni nei punti (1) e (2) sono tutte possibii, esse però coinvogono differenti oneri di cacoo. È facie verificare che a souzione meno onerosa è a (1), per a quae i sistema principae è sempicemente una mensoa che sopporta un carico trasversae uniformemente distribuito ungo a trave a cui intensità è qui indicata con p. In questo caso, rispetto a un sistema di riferimento per cui asse x ha origine in ed è orientato verso, e asse y è orientato verso ato, a distribuzione de momento fettente M ungo asse (Figura 12.1) è data da M = px2 (12.77) 2 p 2 2 M Figura 12.1 p Lo schema fittizio è costituito daa mensoa di cui sopra caricata da un unica forza verticae, appicata in, con verso nea direzione positiva de asse y, di intensità unitaria. Tae forza ha a stessa direzione e o stesso verso che si presume debba avere a reazione vincoare di intensità incognita X che si presuppone debba avere i carreo che è stato soppresso in (Figura 12.1). i conseguenza M 1 è dato da quindi M 1 = 1 x = x (12.78) M r = M + XM 1 = px2 + Xx (12.79) 2 I avoro esterno è i avoro dea forza fittizia unitaria introdotta a posto dea reazione vincoare X per o spostamento reae de suo punto di appicazione, cioè de punto. ata a presenza de carreo in nea struttura originaria di Figura 9.24(a), o spostamento reae di è nuo, quindi I avoro interno è dato da L i v = M 1 M r EI dx = = 1 EI L e v = (12.8) x (Xx px2 2 = X 3 3EI p4 8EI i conseguenza, a (12.37) fornisce ) dx = (12.81) X = 3 8 p (12.82) I fatto che i vaore de incognita X sia positivo impica che a sceta originaria de verso per a reazione vincoare è stata corretta, se i vaore di X fosse stato negativo, i verso reae dea reazione sarebbe stato opposto a queo sceto a priori. ESEMIO 12.7 Si consideri a struttura di Figura La trave orizzontae di unghezza è incastrata in mentre ne estremo vi è una cerniera che a coega con un asta verticae, anch essa di unghezza, incernierata ne estremo. Non vi sono forze esterne appicate. L asta è soggetta a una diatazione termica a T >, uniforme ungo asse. La struttura è evidentemente una vota iperstatica. er ottenere un adeguato schema principae si potrebbe scegiere di sostituire incastro con una cerniera (a struttura si ridurrebbe in questo caso a una versione de cosiddetto arco a tre cerniere. Si può però ridurre onere di cacoo tenendo conto dee pecuiarità dea struttura considerata. La trave è incernierata ai suoi estremi e non è soggetta a carichi trasversai, quindi, nee condizioni dea struttura rappresentata nea Figura 12.11, essa subisce soo sforzo normae e può essere considerata un pendoo, cioè ha di per se stessa a natura di un vincoo sempice e può essere trattata come tae. Figura T > 493

18 La struttura principae più vantaggiosa da punto di vista dei cacoi è quindi costituita daa soa trave incastata in. L incognita iperstatica X è a reazione che i pendoo esercita in e che coincide inotre con o sforzo normae in. Lo schema è dato daa soa mensoa priva di quasiasi carico esterno, quindi M = (12.83) Lo schema 1 è rappresentato in Figura La distribuzione de momento M 1, rispetto a un sistema di riferimento in cui origine de asse x coincide con, è data da M 1 = 1 x = x (12.84) Figura i conseguenza, e i avoro interno è dato da L i v = M r = XM 1 (12.85) X EI x 2 dx = X 3 3EI (12.86) Lo spostamento de punto dea struttura reae non è nuo perché, contrariamente ai casi discussi in precedenza, i vincoo non è rigido, ma si sposta per a deformazione de pendoo, e precisamente subisce (a) uno spostamento eastico dovuto aa compressione esercitata da X e dato da X /( E) (cioè da integrae da a dea deformazione assiae X/( E)) e (b) uno spostamento dovuto aa diatazione termica e pari a a T (anche qui si tratta de integrae dea deformazione termica costante a T, con α i coefficiente di diatazione termica, ungo a trave). er i principio di sovrapposizione degi effetti, o spostamento totae de punto è quindi pari a u y () = a T X (12.87) E I segno meno è dovuto a fatto che su pendoo agisce a forza uguae e opposta a incognita iperstatica (per assicurare e condizioni di equiibrio) e quindi essa comprime i pendoo dando uogo a un accorciamento. La variazione positiva di temperatura provoca invece una diatazione de pendoo. I avoro esterno dea forza X = 1 agente in è quindi pari a ( 1 a T X ) (12.88) E Infine a (12.37) fornisce a T X = 1 E + 2 3EI (12.89) IL LV NELL RIER I SOSTMENTI IN STRUTTURE ELSTIHE STTIMENTE INETERMINTE er trovare spostamenti o rotazioni di sezioni di strutture iperstatiche si può procedere in maniera de tutto anaoga a quanto descritto ne aragrafo È necessario trovare innanzitutto e incognite iperstatiche e quindi gi sforzi interni dati dae (12.71), (12.75); si appica poi i carico esporatore corrispondente aa grandezza che si vuoe determinare e si impone a (12.52) o a (12.54). a notare che per a vaidità de LV i campo di sforzi interni deve essere sotanto equiibrato: si può quindi utiizzare uno quasiasi tra gi infiniti campi equiibrati dea struttura iperstatica. er economia di cacoi, spesso si scegie i campo ottenuto imponendo i carico esporatore sua struttura principae, che è stato già utiizzato nea ricerca dee incognite iperstatiche attraverso i sistema (12.72) o queo dato da (12.76), oppure e oro modifiche necessarie in presenza di vincoi non rigidi.

19 RIEILOGO EL ITOLO 12 Riepiogo de apitoo In questo breve capitoo si è introdotto un principio generae dea Meccanica, i rincipio dei Lavori Virtuai (LV), e si è mostrato come esso può essere usato per risovere vari probemi. er sempicità, si è imitata a trattazione a soidi con una dimensione prevaente (travi) e a probemi piani, ma gi esercizi proposti ne consentono estensione a probemi neo spazio. Ne aragrafo 12.2 si è enunciato i rincipio per atti di moto rigido ed è stato mostrato come esso può essere utiizzato per trovare e reazioni vincoari e gi sforzi interni in strutture isostatiche. I LV è stato esteso ad atti di moto che comprendono deformazioni ne aragrafo 12.3, e ne aragrafo 12.4 si è quindi mostrato come in questa forma esso può essere usato per trovare spostamenti e rotazioni in punti di travi eastiche. Infine, nei aragrafi 12.5 e 12.6 si sono trattate travi staticamente indeterminate (o iperstatiche) e si è mostrato come esse possono essere affrontate mediante i LV. LV per atti di moto rigido LV per atti di moto deformativo I LV e e strutture iperstatiche

20 496 Esercizi ESERIZI ESERIZI RELTIVI I RGRFI Moti degi esercizi dei apitoi 1, 2, 3, 5, 9, 11 possono essere affrontati e risoti mediante i rincipio dei Lavori Virtuai (LV), tavota con un notevoe risparmio di tempo. Ne seguito se ne indicano sotanto acuni; per e eventuai souzioni fare riferimento ai singoi capitoi. 12.1, 12.2, 12.3, 12.4 e 12.5 Risovere utiizzando i LV gi Esercizi 1.4, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9 (Suggerimento: sopprimere un coegamento e proiettare a corrispondente reazione incognita sua direzione deo spostamento de suo punto di appicazione.) 12.6, 12.7, 12.8, 12.9, 12.1, 12.11, 12.12, 12.13, e Utiizzando ripetutamente i LV, disegnare per punti i diagrammi de tagio e de momento fettente nee travi degi Esercizi 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5, 5.6, 5.13, 5.14, 5.15, Utiizzando i LV, determinare a coppia torcente (a) ne incastro de Esercizio 3.16 e (b) ne incastro de Esercizio 3.18 (Suggerimento: sopprimere i vincoo aa rotazione ne incastro e sostituiro con a coppia incognita.) ESERIZI RELTIVI I RGRFI , 12.18, 12.19, 12.2, 12.21, e Utiizzando i LV, rispondere ae domande (b) e (c) degi Esercizi 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.6, , 12.25, e Risovere, utiizzando i LV, gi Esercizi 8.1, 8.11, 8.13, , e 12.3 Risovere, utiizzando i LV, gi Esercizi 2.19, 2.35, 2.36 (Suggerimento: tener conto de avoro interno dovuto a aungamento degi eementi interessati.) Risovere, utiizzando i LV, Esercizio Scrivere espressione de avoro interno in un abero omogeneo di sezione costante, soggetto a momento torcente T, con moduo di rigidità G e sezione (a) circoare piena di raggio c, (b) circoare cava con raggio interno c 1 ed esterno c 2, (c) quadrata b b, (d) rettangoare b 2b, (e) rettangoare b 1b Risovere, utiizzando i LV, Esercizio (Suggerimento: tener conto de avoro interno connesso con a deformazione torsionae.)

21 ESERIZI RELTIVI I RGRFI Esercizi , 12.35, 12.36, 12.37, e Risovere, utiizzando i LV, gi Esercizi 9.14, 9.15, 9.16, 9.17, 9.4, Utiizzando i LV, rispondere aa domanda (a) degi Esercizi 3.51 e 3.52 (Suggerimento: eiminare i vincoo aa rotazione in uno dei due supporti, e tener conto de avoro interno connesso con a deformazione torsionae.) ESERIZI I RIEILOGO e er a trave prismatica mostrata, determinare o spostamento de punto. w L/2 L/2 Figura E12.41 L/2 L/2 Figura E e er a trave prismatica mostrata, determinare o spostamento de punto. w E E L/2 L/2 L/2 L/2 Figura E12.43 Figura E12.44 L/2 a er trave e carico mostrati, determinare o spostamento de punto. Usare E 2 Ga. 8 kn 18 kn/m W M 1 m 1.5 m 2.5 m L/2 L/2 Figura E12.45 Figura E er a trave prismatica mostrata in figura, determinare a rotazione ne punto.