ESERCIZI SVOLTI Giuliano Bonollo - Michele Bonollo

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1 ESERCIZI SVOLTI Giuliano Bonollo - Michele Bonollo

2 1 La seguente tabella riporta le frequenze relative riguardanti gli studenti di un università e gli esiti dell esame da essi sostenuto. Qual è la percentuale degli studenti che supera l esame con una valutazione minore di 25? E maggiore di 27? VOTO Freq.rel. VOTO Freq.rel. 18 0, , , , , , , , , , , , ,076 Tot. 1 [52%;20%] Conviene trasformare la tabella, calcolando le frequenze percentuali, f le frequenze % cumulate F e le retrofrequenze % (formula iterativa su Excel). Si ottiene la seguente distribuzione: VOTO Freq.rel. Freq% Cum. % Retro % 18 0,045 4,50% 4,50% 95,50% 19 0,061 6,10% 10,60% 89,40% 20 0,076 7,60% 18,20% 81,80% 21 0,092 9,20% 27,40% 72,60% 22 0,098 9,80% 37,20% 62,80% 23 0,071 7,10% 44,30% 55,70% 24 0,076 7,60% 51,90% 48,10% 25 0,095 9,50% 61,40% 38,60% 26 0,098 9,80% 71,20% 28,80% 27 0,086 8,60% 79,80% 20,20% 28 0,098 9,80% 89,60% 10,40% 29 0,025 2,50% 92,10% 7,90% 30 0,079 7,90% 100,00% 0,00% Tot. 1 Possiamo rispondere alle domande: la % di studenti con voto inferiore a 25 è F(24) = 51,90%, la % di studenti con voto maggiore di 27 è 1 -F(27) = 20,20%.

3 2 Calcolare l indice di Pearson della seguente distribuzione: Y/X [0,163] L'indice χ 2 di Pearson è l indice più utilizzato per verificare e calcolare il grado di connessione tra due fenomeni qualitativi (o anche quantitativi). Ricordiamo la formula: χ' 2 = χ 2 / χ 2 max = Σ j,r (f* jr -f jr ) 2 /f* jr n min (k-1,h-1) dove f* jr = frequenza teorica in caso di assenza di connessione. f jr = frequenza empirica (le caselle della Tabella). Per determinare le frequenze teoriche è necessario calcolare le frequenze marginali. Dalla tabella originaria otteniamo la trasformata. Y/X f y f x Da questa tabella si ottiene la tabella teorica di equidistribuzione (assenza di connessione), calcolando ogni frequenza congiunta nel seguente modo: f* jr = f j *f r /n Dal confronto tra tabella osservata e tabella teorica si calcola il test χ 2 di Pearson. Riproduciamo la tabella teorica. Y/X fy fx =22*15/84

4 Per calcolare il test si può impostare la formula su Excel, oppure utilizzare direttamente una funzione predefinita: =TEST.CHI(matrice osservata; matrice teorica) Bisogna scrivere la funzione e poi, tra parentesi, digitare gli estremi delle due tabelle, Excel restituisce il valore della funzione, compreso tra 0 e 1: 0 in caso di assenza di connessione 1 in caso di massima connessione Nel nostro caso la risposta del test è 0,13: situazione di quasi assenza di connessione. 3 NOTA: L esercizio consente di utilizzare il comando Ricerca Obiettivo di Excel, che risolve automaticamente l equazione originaria (cfr. floppy) Uno studente, dopo aver sostenuto il decimo esame calcola la media dei voti che risulta 22; ritenendola bassa si vuole impegnare per raggiungere la media di 23. Che voti deve conseguire nelle tre prove successive? [Tali che la media sia: 26,33] Si tratta di risolvere la seguente equazione: 23 = (10 * 22 + x + y + z)/13 Le incognite rappresentano i voti dei prossimi tre esami; per poter risolvere l equazione è necessario ragionare in termini di media M dei tre voti seguenti: 23 = (10 * M)/13 Con alcuni passaggi si trova 3M = 79 M = 26,33 Una media di 26,33 nei prossimi tre esami consente di raggiungere una media complessiva pari a 23.

5 4 Data la seguente matrice determinare M x e M y, la varianza della variabile X e quella della variabile Y, le medie condizionate di X rispetto ad Y e viceversa; e dire infine se la media delle medie condizionate di X è uguale alla M x. E per la variabile Y? X/Y [3,48 ; 19,14 ; 2,94 ; 75,90; ] Svolgimento Conviene in primo luogo calcolare le frequenze marginali, utilizzando una colonna ed una riga. Si ottiene la nuova tabella: X/Y f x f y A questo punto possiamo calcolare le due medie: si svolgono i prodotti tra modalità e rispettive frequenze assolute si sommano i prodotti si divide per n, numero unità M x = ( ) / 244 = 3,48 M y = ( ) / 244 = 19,14 Ottenute le medie è possibile procedere al calcolo delle varianze delle due variabili: V x = 1/n Σ j f j (x j -M x ) 2 V y = 1/n Σ j f j (y j M y ) 2 Sostituendo i valori numerici si ottiene:

6 V x = [(1-3,48) (2-3,48) (6-3,48) 2 42] / 244 = 2,94 V y = [(5-19,14) (10-19,14) (30-19,14) 2 53] / 244 = 75,90 I calcoli si possono agevolmente svolgere utilizzando il foglio elettronico Excel (cfr. dischetto allegato). La media delle medie condizionate è sempre uguale alla media generale di una variabile, a patto di utilizzare i pesi (frequenze) nell algoritmo di calcolo. A titolo esemplificativo procediamo alla verifica per la variabile X. Si procede in primo luogo al calcolo delle medie condizionate: M x /(Y=5) = 3,62 M x /(Y=10) = 3,33 M x /(Y=15) = 3,67 M x /(Y=20) = 3,71 M x /(Y=25) = 3,66 M x /(Y=30) = 3,06 Bisogna poi pesare le medie ottenute con le frequenze delle modalità Y condizionanti. Si può impostare il calcolo mediante la seguente tabella Media Valore Frequenza di Y Prodotto M x /(Y=5) 3, ,08 M x /(Y=10) 3, ,88 M x /(Y=15) 3, ,1 M x /(Y=20) 3, ,85 M x /(Y=25) 3, ,96 M x /(Y=30) 3, , ,05 Media finale 3,48 Come si nota la media che risulta coincide con la media aritmetica generale di X. Anche in questo caso è di notevole aiuto il software Excel.

7 5 NOTA: esercizio complesso, risolvibile in tempi ragionevoli solo tramite una buona padronanza del foglio elettronico Excel (cfr. floppy). Dalla seguente matrice ricavare la retta di regressione. Determinare poi i valori delle M Y/x, costruire con i dati trovati una nuova retta di regressione, calcolare i due coefficienti di correlazione. Sovrapporre le due rette in un unico grafico e scrivere le proprie osservazioni. X/Y Svolgimento [Y =0,98X+13,65; M Y/x =0,94X+13,72 ; 0,23 ; 0,44] Calcoliamo i parametri del modello di regressione. Ricordiamo le formule generali: a = 2 S xy /S x coefficiente angolare b = M y - a M x intercetta Il calcolo di covarianza e varianza di X è abbastanza complesso, essendo i dati organizzati in una tabella di frequenza e non in forma grezza di serie. L unico modo abbastanza rapido è l utilizzo di Excel, in particolare per la covarianza. La procedura per la covarianza è la seguente: S xy = 1/n Σ j,r f jr (x j -M x )(y r -M y ) La formula può essere scomposta nei seguenti passi: calcolo degli scarti tra ogni modalità di X e la media di X calcolo degli scarti tra ogni modalità di Y e la media di Y prodotto tra ogni scarto X e ogni scarto Y, e la relativa frequenza congiunta f jr somma di tutti i prodotto ottenuti e divisione per n, numero unità Nel nostro caso si tratta di calcolare 36 prodotti (X ha 6 modalità e così pure Y). Per quanto riguarda la varianza si applica la formula S 2 x = 1/n Σ j f j (x j -M x ) 2 Le procedure di calcolo vengono implementate in Excel, con il calcolo di medie, scarti, varianza e covarianza (cfr. floppy).

8 Si ottengono i seguenti risultati: M x = 3,42 M y = 17,01 S 2 x = 3,02 S 2 y = 3,02 S xy = 2,96 Si possono ora ricavare i parametri incogniti a e b della retta di regressione: a = S xy /S x 2 = 2,96/3,02 = 0,98 b = M y - a M x = 17,01 0,98 3,42 = 13,65 Di conseguenza la retta di regressione è: Y = 0,98X + 13,65 Per quanto riguarda la seconda parte dell esercizio, calcoliamo intanto le medie condizionate M Y/x. X M Y/x 1 19, , , , , ,83 A questo punto mettiamo in relazione i valori di X con le medie condizionate M Y/x, per determinare la regressione Y = f(x). Si può utilizzare direttamente la funzione: =REGR.LIN(zonaY; zonax; costante) La funzione richiede tre informazioni: la zona con le osservazioni sulla variabile X la zona con le osservazioni sulla variabile Y il valore 1 o 0, a seconda che si voglia o meno la costante La funzione va attivata in modo particolare (se si vuole in risposta anche b): selezione di due celle digitazione della funzione al termine CTRL + SHIFT + INVIO Si ottiene: a = 0,938 b = 13,76 La regressione è dunque:

9 Y = 0,93X + 13,76 Per terminare l esercizio bisogna costruire i grafici delle due regressioni e sovrapporli, sempre tramite il supporto di Excel (cfr. floppy). 6 NOTA: l esercizio richiede una certa familiarità con i concetti di varianza, varianza residua e varianza spiegata calcoli facili. Sapendo che il coefficiente di determinazione è uguale a 0,56 e la varianza residua è pari a 2,7 calcolare la varianza spiegata e la varianza di Y. Ricordiamo la scomposizione della varianza: [3,4 ; 6,1] Var (R) + Var (Y ) = Var(Y) 2 Var (Y ) = S y = S 2 xy/s 2 x 2 Var (R) = Var(Y-Y ) = S R varianza totale varianza spiegata (dalle stime) varianza residua = S y 2 - S 2 xy/s 2 x In base ai dati noti abbiamo: 1. Coeff. Determ. = S 2 xy/(s 2 x S 2 y) = 0,56 2. Var(R) = S R 2 = Var(Y) Var(Y ) = S 2 y - S 2 xy/s 2 x = 2,7 Poniamo la seguente sostituzione: x = S 2 xy/s 2 x = varianza spiegata y = S 2 y = varianza totale Utilizzando 1. e 2. si ottiene il sistema: x/y = 0,56 y x = 2,7 Con semplici passaggi: x = 0,56y 0,44y = 2,7 y = 6,13 x = 3,43