I SEGNALI SINUSOIDALI

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1 I SEGNALI SINUSOIDALI I segnali sinusoidali sono i segnali più importanti nello studio dell elettronica e dell elettrotecnica. La forma d onda sinusoidale è una funzione matematica indispensabile per interpretare molti fenomeni fisici come: le oscillazioni di un pendolo, le vibrazioni di una corda, il movimento di una massa collegata ad una molla, la propagazione delle onde elettromagnetiche, ecc. I segnali sinusoidali alternati Lo strumento fondamentale per l osservazione dei segnali elettrici è l oscilloscopio. Se visualizziamo un segnale proveniente da un generatore sinusoidale, vedremo la seguente forma d onda: segnale sinusoidale v(t),5 0,5 0-0,5 - -,5 t I parametri fondamentali dei segnali sinusoidali sono: ) il valore massimo o valore di picco Y M, che è il valore più elevato tra quelli registrati dal segnale; esiste anche il valore massimo negativo - Y M ; ) il valore picco-picco Y PP, che è la differenza tra il valore massimo positivo e quello negativo, cioè: Y pp Y M (-Y M ) Y M + Y M Y M ; 3) il periodo T che corrisponde alla durata di un segnale completo (si misura in secondi); 4) la frequenza f che dà il numero di cicli che si ripetono in un secondo; esiste una relazione inversa tra periodo e frequenza, cioè: f /T (si misura in hertz Hz). Rappresentazione analitica dei segnali sinusoidali La matematica ci mette a disposizione delle funzioni teoriche che corrispondono perfettamente alla forma d onda che stiamo trattando. I nostri segnali si chiamano, infatti, sinusoidali perché prendono il nome dalle funzioni goniometriche seno e coseno. Quando vogliamo rappresentare un segnale sinusoidale elettrico scriveremo le seguenti relazioni: v(t) V M sen (ω t) V M sen (π f t) i (t) I M sen (ω t) I M sen (π f t) La grandezza ω prende il nome di pulsazione del segnale. Si ha: ω π f Se ad esempio abbiamo un segnale di tensione sinusoidale che abbia la frequenza f pari a k Hz e il valore massimo V M pari a V, possiamo scrivere la funzione sinusoidale: v(t) sen (π 000 t) sen [ (3,4) 000 t] sen (680 t). Queste espressioni di corrente e tensione sono valide in tutti quei casi in cui corrente e tensione raggiungono il valore massimo e passano dallo 0 nello stesso istante, cioè sono in fase. Questo avviene nei circuiti puramente resistivi. Se ad esempio abbiamo i seguenti due segnali:

2 segnali sfasati v(t),5 0,5 0-0,5 - -,5 - t Essi hanno lo stesso periodo T (e quindi la stessa frequenza), ma il segnale con valore di picco maggiore (V M.5 V) anticipa di un tempo t a rispetto al segnale con valore di picco minore (V M V). Possiamo dire anche che esiste uno sfasamento angolare ϕ a. Determiniamo questo valore ricordando che la pulsazione è costante, quindi possiamo scrivere la proporzione: ϕ a : t a π : T da cui: πt ϕ a a T Le espressioni matematiche delle due forme d onda saranno: v (t) sen (ω t) v (t).5 sen (ω t + ϕ a ). La rappresentazione analitica delle grandezze elettriche sinusoidali fornisce una visione completa del segnale e dei suoi parametri essenziali, ma presenta degli inconvenienti di ordine pratico quando è necessario eseguire delle somme algebriche tra diversi segnali sinusoidali. Ricordiamo che possiamo passare da una misura di angolo in gradi a una in radianti mediante la proporzione: α (gradi) : 360 α (radianti) : π Rappresentazione vettoriale dei segnali sinusoidali Le grandezze elettriche fondamentali non sono grandezze vettoriali. La rappresentazione vettoriale di cui si parla è molto particolare e i vettori introdotti sono degli artifici di calcolo. Tuttavia la rappresentazione vettoriale è certamente quella di più facile uso. Un segnale sinusoidale si può immaginare come un vettore su un piano. Il modulo del vettore è dato dal valor massimo del segnale stesso e l angolo che il vettore forma con il semiasse positivo delle ascisse è dato dalla fase. Inoltre i vettori che rappresentano segnali sinusoidali elettrici non vengono disegnati su un normale piano cartesiano, ma sul piano complesso detto piano di Gauss.

3 NUMERI COMPLESSI Numeri immaginari Abbiamo visto che nell insieme dei numeri reali ci sono alcune operazioni che non sono eseguibili, ad esempio l estrazione della radice quadrata (o comunque di indice pari) di un numero negativo. Definiamo allora l unita immaginaria i (nelle materie tecniche, e quindi in seguito in questi appunti, la indicheremo invece con la lettera ), come il risultato dell estrazione della radice quadrata di : L estrazione da radice quadrata di un qualunque numero negativo sarà quindi data da: a a a Numeri complessi Indichiamo invece un numero complesso mediante la seguente espressione: z a + b Il numero reale a è detto parte reale di z, il numero reale b è detto coefficiente dell immaginario di z, mentre b è la parte immaginaria di z. Per ogni numero complesso z a + b, si definisce il numero complesso coniugato: z' a b Questo modo di scrivere il numero complesso è detto forma algebrica. Rappresentazione cartesiana di un numero complesso Consideriamo un piano cartesiano Oxy. Possiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra i numeri complessi e i punti del piano facendo corrispondere al numero complesso za+b il punto del piano che ha per coordinate cartesiane P (a;b). In tal modo alla parte reale di z vanno a corrispondere i punti dell asse x, che prende il nome di asse reale, alla parte immaginaria di z corrispondono i punti dell asse y, che prende allora il nome di asse immaginario; il piano prende il nome di piano complesso o piano di Gauss. Un numero complesso può essere rappresentato, quindi, per mezzo del vettore OP sul piano complesso, dove P è il punto che si individua riportando in ascisse la parte reale ed in ordinate il coefficiente immaginario. Im b. P : : α : : a Re Rappresentazione polare di un numero complesso In un piano cartesiano è possibile individuare la posizione di un punto non solo tramite le sue coordinate cartesiane, ma anche tramite le coordinate polari. Le coordinate polari di un punto P (m;α), rappresentano in ordine: m la distanza del punto P dall origine O (modulo) e α l angolo

4 che il segmento OP forma con il semiasse positivo delle ascisse (argomento, che nelle materie tecniche è detto fase). Si può passare dalla rappresentazione cartesiana alla rappresentazione polare e viceversa. Se abbiamo le coordinate cartesiane, il modulo m del numero complesso si calcola applicando il teorema di Pitagora: mentre la fase si calcola: m a + b b α arctg a Se invece abbiamo le coordinate polari, possiamo facilmente passare alle coordinate cartesiane, applicando i teoremi di trigonometria per la risoluzione di un triangolo rettangolo: a m cos( α) b m sen( α) Le operazioni fra numeri complessi sono semplicissime. Per sommare algebricamente due o più numeri complessi bisogna sommare le parti reali tra loro e le parti immaginarie tra loro: (a+b) + (c+d) (a+c) + (b+d) (a+b) - (c+d) (a-c) + (b-d) Per eseguire il prodotto si possono trattare i numeri complessi come binomi, (ricordando che -) cioè: (a+b) (c+d) ac + ad + bc + bd (ac bd) + (ad + bc). Per eseguire la divisione si deve razionalizzare, cioè si deve trasformare il dividendo in un numero reale: a + b ( a + b)( c d) ( ac bd) + ( ad + bc) ac bd ad + bc + c + d ( c + d)( c d) c ( d) c + d c + d Si raccomanda di non imparare a memoria le formule, ma calcolare prodotto e rapporto eseguendo tutti i passaggi. Teoremi Per realizzare facilmente il prodotto e la divisione è meglio trasformare i numeri complessi dalla forma cartesiana alla forma polare: (a+b) -> (w, α ) (c+d) -> (w, α ) Valgono infatti i seguenti teoremi: a) Il prodotto di due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il prodotto dei moduli e per fase la somma delle due fasi. (a+b) * (c+d) -> (w * w, α + α ) b) Il quoto di due numeri complessi è un numero complesso che ha per modulo il quoto dei moduli e per fase la differenza delle due fasi. (a+b) / (c+d) -> (w / w, α - α ) c) Il reciproco di un numero complesso è un numero complesso che ha per modulo il reciproco del modulo e per fase l opposto della fase. / (a+b) -> ( / w, - α )

5 REGIME SINUSOIDALE Un circuito elettrico si dice in regime sinusoidale quando ai capi di ogni suo elemento è presente una differenza di potenziale sinusoidale e ogni ramo del circuito è percorso da corrente sinusoidale. Esaminiamo il comportamento di componenti resistivi, induttivi e capacitivi, definendo le grandezze caratteristiche associate ad ognuno di essi. Bipoli resistivi Una resistenza di valore R a cui venga applicata una tensione sinusoidale di valore istantaneo: v(t) V M sen (ωt + ϕ) sarà percorsa da una corrente anch essa sinusoidale, il cui valore massimo è ricavabile tramite la legge di Ohm: I M V M / R La relazione tra tensione e corrente è di semplice proporzionalità, cioè la presenza della resistenza non introduce variazioni di fase nell andamento della corrente rispetto alla tensione. Pertanto si avrà: i(t) I M sen (ωt + ϕ) In termini vettoriali scriveremo: V R I e la sua inversa I V/R. La rappresentazione delle onde sinusoidali sarà: bipolo resistivo,5 0,5 0 3 v,i ,5 - -,5 t La rappresentazione vettoriale sarà invece: Im I V ϕ Re

6 Bipoli capacitivi La legge fisica di un condensatore di capacità C dice che la carica richiamata su un armatura del condensatore è proporzionale alla tensione cui è sottoposto: Q C V Poiché la corrente è definita come la variazione di carica nell unità di tempo, possiamo scrivere: dv i ( t) C dt In termini vettoriali l operatore derivata (dv/dt) si trasforma nel fattore ω; scriveremo quindi: I ω C V e la sua inversa: V (/ ωc) I - (/ ωc) I Possiamo dire che: - la capacità provoca un ritardo della tensione rispetto alla corrente di 90 ; - il valore della corrente a parità di tensione applicata aumenta al crescere della frequenza. L opposizione della capacità al passaggio della corrente prende il nome di reattanza capacitiva e si indica con il simbolo X C : X C -/(ωc) -/(πfc) La reattanza capacitiva si misura in ohm. La rappresentazione delle onde sinusoidali sarà: bipolo capacitivo,5 0,5 0 3 v,i ,5 - -,5 t La rappresentazione vettoriale sarà invece: Im I V Re

7 Rappresentazione vettoriale delle resistenze e delle reattanze Come per i segnali elettrici, è possibile fornire una rappresentazione vettoriale delle resistenze e delle reattanze in regime sinusoidale. Questa rappresentazione risulta molto comoda e semplice per schematizzare lo stato di un circuito elettrico. Convenzionalmente le resistenze vengono rappresentate da vettori giacenti sull asse reale del piano complesso, mentre le reattanze vengono riportate sull asse immaginario. Im R Re X C Impedenza In un circuito in cui si trovano collegati insieme componenti diversi, l opposizione al passaggio della corrente ha un valore che, a differenza dei circuiti puramente resistivi, dipende fortemente dalla frequenza del segnale applicato. La grandezza che rappresenta l opposizione complessiva di un circuito al passaggio della corrente è detta impedenza. Definiamo impedenza di un circuito sottoposto a regime sinusoidale la grandezza vettoriale: V / I Nel caso di bipolo resistivo l impedenza è puramente reale: R Nel caso di bipolo capacitivo l impedenza è puramente immaginaria negativa: - (/ωc) In genere l impedenza di un bipolo avrà entrambe le componenti, cioè: R + X la parte reale è indicata con R ed è detta parte resistiva la parte immaginaria è indicata con X ed è detta parte reattiva. L inverso dell impedenza è detto ammettenza Y. Legge di Ohm La legge di Ohm, come ogni altra relazione fra grandezze elettriche in regime sinusoidale deve essere sempre scritta in forma vettoriale: V I

8 Criteri generali per la risoluzione di un circuito L impedenza di un bipolo costituito da un certo numero di bipoli connessi in qualsiasi modo, può essere calcolato utilizzando le stesse regole valide per il calcolo delle resistenze. Impedenza serie: eq n Impedenza parallelo: eq n Nel caso di due sole impedenze si avrà: Impedenza serie: eq + Impedenza parallelo: +, eq eq +