0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3, 3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,6,6,7,8,8, 11
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- Giovanna Guidi
- 7 anni fa
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1 I QUARTILI Per il calcolo della mediana e del primo e terzo quartile il procedimento da seguire è il seguente: 1. si ordinano le intensità in senso non decrescente 2. si individuano le intensità da utilizzare nel calcolo dell indice 3. si procede al calcolo dell indice. Calcolare la mediana, il primo ed il terzo quartile per il carattere Numero di stabilimenti (NSTAB) considerando: b) tutte le 50 aziende incluse nel campione (n=50) c) escludendo l ultima azienda (n=49) Disegnare inoltre i rispettivi diagrammi a scatola. Carattere NSTAB Si tratta di un carattere quantitativo discreto. La successione ordinata delle intensità è la seguente: 0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3, 3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,6,6,7,8,8, 11
2 Caso a): n=50 x n + x n + 1 x 2 2 ( 25) + x ( 25+ 1) 2+ 2 Me = = = = Per il calcolo del primo quartile consideriamo la mediana delle prime 25 osservazioni. 0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2 Q = x = x = x = 1 1 n Per il calcolo del terzo quartile consideriamo la mediana delle osservazioni che vanno dalla 26-esima alla 50-esima. 2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,6,6,7,8,8,11 Q = x = x = x = 3 n
3 Caso b): n=49 Eliminiamo l ultima intensità 0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3, 3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,6,6,7,8,8, 11 Me = x = x = x = n Per il calcolo del primo quartile consideriamo le prime 24 intensità (n=24): 0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2, 2,2,2,2 Q 1 x n + x n + 1 x 2 2 ( 12) + x ( 12+ 1) 1+ 1 = = = = Per il calcolo del terzo quartile consideriamo le intensità che vanno dalla 26-esima alla 49-esima (n=24). 2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,4,5,5,6, 6,7,8,8 x n + x n + 1 x 2 2 ( 12) + x ( 12+ 1) 4+ 4 Q3 = = = =
4 Per disegnare i diagrammi a scatola i valori caratteristici da considerare sono i seguenti: Caso a) n=50: Q 1 = 1, Me = 2, Q 3 = 4, a = Q 1, 5 Q Q = 1 4,5 = 3, 5 α = b= Q + 1, 5 Q Q = 4 + 4,5 = 8, 5 β = Caso b) n=49: Q 1 = 1, Me = 2, Q 3 = 4, a = Q 1, 5 Q Q = 1 4,5 = 3, 5 α = b= Q + 1, 5 Q Q = 4 + 4,5 = 8, 5 β = Diagrammi a scatola Boxplot Numero di stabilimenti (n=50) Boxplot Numero di stabilimenti (n=49)
5 Ripetere lo stesso esercizio per il carattere Fatturato (FATT). Carattere FATT Si tratta di un carattere quantitativo continuo. La successione ordinata delle intensità è la seguente: 103,103,104,105,107,108,109,115,122, 129,130,131,138,142,145,149,157,158, 161,163,177,181,185,189,199,228,228, 233,242,285,308,323,324,354,354,378, 386,430,443,457,467,493,521,593,604, 609,981,1.021,1.444,2.012 Caso a): n=50 x n + x n + 1 x 2 2 ( 25) + x ( 25+ 1) Me = = = = 213, Per il calcolo del primo quartile consideriamo la mediana delle prime 25 osservazioni. 103,103,104,105,107,108,109,115,122,129, 130,131,138,142,145,149,157,158,161,163, 177,181,185,189,199 Q = x = x = x = n
6 Per il calcolo del terzo quartile consideriamo la mediana delle osservazioni che vanno dalla 26-esima alla 50-esima. 228,228,233,242,285,308,323,324,354,354, 378,386,430,443,457,467,493,521,593,604, 609,981,1.021,1.444,2.012 Q = x = x = x = 3 n Caso b): n=49 Eliminiamo l ultima intensità 103,103,104,105,107,108,109,115,122,129, 130,131,138,142,145,149,157,158,161,163, 177,181,185,189,199,228,228,233,242,285, 308,323,324,354,354,378,386,430,443,457, 467,493,521,593,604,609,981,1.021,1.444, Me = x = x = x = 199 n Per il calcolo del primo quartile consideriamo le prime 24 intensità (n=24): 103,103,104,105,107,108,109,115,122, 129,130,131,138,142,145,149,157,158, 161,163,177,181,185 x n + x n + 1 x 2 2 ( 12) + x ( 12+ 1) Q1 = = = = 134,
7 Per il calcolo del terzo quartile consideriamo le intensità che vanno dalla 26-esima alla 49-esima (n=24). 228,228,233,242,285,308,323,324,354, 354,378,386,430,443,457,467,493,521, 593,604,609,981,1.021,1.444 x n + x n + 1 x 2 2 ( 12) + x ( 12+ 1) Q3 = = = = Per disegnare i diagrammi a scatola i valori caratteristici da considerare sono i seguenti: Caso a) n=50: Q 1 = 138, Me = 213,5, Q 3 = 430, a = Q 1,5 Q Q 1 = = 300 α = b= Q + 1,5 Q Q = = 860 β = Caso b) n=49: Q 1 = 134,5, Me = 199, Q 3 = 408, a = Q 1,5 Q Q 1 = 134, 5 410,25 = 275,75 α = b= Q + 1,5 Q Q = ,25 = 818,25 β =
8 Diagrammi a scatola Boxplot Fatturato (n=50) Boxplot Fatturato (n=49) Calcolare la madiana, il primo ed il terzo quartile considerando i tre casi di suddivisione in classi del carattere Fatturato. CLASSI EQUIFREQUENTI Classi Punti medi assoluta relativa Frequenza relativa cumulata ,20 0, ,20 0, ,20 0, ,20 0,80 > ,20 1,00 Totale 50 1,00
9 0,5 F Me = x + x x = Me 1 Me 1 Me Me 1 FMe FMe 1 0,5 0, 4 = ( ) = ,5( 122) = 224 0,6 0, 4 0,25 FQ 1 1 Q1 = xq + ( x ) 1 Q x 1 Q1 1 = F F Q 1 1 Q 1 0,25 0,2 = ( ) = ,25( 34) = 137,5 0,4 0,2 0,75 FQ 3 1 Q3 = xq + ( x ) 3 Q x 3 Q3 1 = F F Q 3 3 Q 1 0,75 0,6 = ( ) = ,75( 172) = 414 0,8 0,6 CLASSI DI DIVERSA AMPIEZZA E FREQUENZA Classi Punti medi assoluta relativa Frequenza relativa cumulata 25 0,50 0, ,10 0, ,14 0, ,10 0,84 > ,16 1,00 Totale 50 1,00
10 0,5 F Me = x + x x Me 1 Me 1 Me Me 1 FMe FMe 1 0,5 0 = ( ) = 200 0,5 0 0,25 F = + = ( ) Q FQ FQ 1 1 Q xq x 1 Q x 1 Q ,25 0 = ( ) = ,5( 100) = 150 0,5 0 0,75 F = + = ( ) Q FQ FQ 1 3 Q xq x 3 Q x 3 Q ,75 0,74 = ( ) = ,1( 100) = 410 0,84 0,74 = CLASSI EQUIAMPIE Classi Punti Medi assoluta relativa Frequenza relativa cumulata 484, ,82 0,82 484, , ,10 0,92 866, , ,04 0, , , ,02 0,98 > 1360, ,02 1,00 Totale 50 1,00
11 0,5 F Me = x + x x = Me 1 Me 1 Me Me 1 FMe FMe 1 0,5 0 = ( 484,8 103) = ,61(381,8) = 335,80 0,82 0 0,25 F = + = ( ) Q FQ FQ 1 1 Q xq x 1 Q x 1 Q ,25 0 = ( 484,8 103) = ,3( 381,8 ) = 116,4 0,82 0 0,75 F = + = ( ) Q FQ FQ 1 3 Q xq x 3 Q x 3 Q ,75 0,74 = ( ) = ,91( 381,8 ) = 452,21 0,82 0,74 N.B. Nei 3 casi considerati, in corrispondenza di un diverso criterio di suddivisione in classi si ottengono valori diversi per i tre indici di posizione considerati.
12 Si ipotizzi che invece di disporre delle intensità del carattere Fatturato, si è proceduto a classificare lo stesso carattere secondo le seguenti cinque modalità: Basso, Medio/Basso, Medio, Medio/Alto, Alto La distribuzione di frequenza da considerare (che riprende quella del caso delle classi equiampie) è la seguente: Distribuzione del carattere Fatturato nelle 50 aziende considerate: Modalità assoluta relativa Frequenza relativa cumulata Basso 41 0,82 0,82 Medio/Basso 5 0,10 0,92 Medio 2 0,04 0,96 Medio/Alto 1 0,02 0,98 Alto 1 0,02 1,00 Totale 50 1,00 Domanda: E possibile calcolare la mediana, il primo ed il terzo quartile? Risposta: Trattandosi di un carattere qualitativo ordinale è possibile calcolare i tre indici considerando i valori della funzione di ripartizione empirica. In particolare: - La mediana è la modalità in corrispondenza della quale F i = 0,5; - Il primo quartile è la modalità in corrispondenza della quale F i = 0,25; - Il terzo quartile è la modalità in corrispondenza della quale F i = 0,75; Nel caso in esame i tre indici considerati coincidono e corrispondono alla modalità Basso.
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