q V C dipende solo dalla geometria dei piatti e ci dice quanta carica serve ad un dato condensatore per portarlo ad una DV fissata.

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "q V C dipende solo dalla geometria dei piatti e ci dice quanta carica serve ad un dato condensatore per portarlo ad una DV fissata."

Transcript

1 I codesatori codesatore è u dispositivo i grado di immagazziare eergia, sottoforma di eergia poteziale, i u campo elettrico Ogi volta che abbiamo a che fare co due coduttori di forma arbitraria detti piatti o armature, possiamo parlare di codesatore Quado le armatura hao cariche uguali e di sego opposto, e, il codesatore si dice carico, metre co carica del codesatore si itede il valore assoluto della carica presete su ciascu piatto (ifatti globalmete il codesatore è eutro). Fra le due armature cariche c è ua differeza di poteziale D (o più semplicemete ) Si defiisce capacità di u codesatore la uatità dipede solo dalla geometria dei piatti e ci dice uata carica serve ad u dato codesatore per portarlo ad ua D fissata. Se allora F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3

2 Nel SI l uità di misura della capacità è il farad (F) farad F m kg s Nella pratica si verifica che il farad è u uità troppo grade e uidi si usao i sottomultipli come il mf e il pf Il processo di carica di u codesatore cosiste essezialmete el costruire u circuito che sia i grado di portare la carica e sulle armature. Il metodo più semplice è uello di collegare ciascua armatura ai capi di ua batteria (B) che forisce ua d.d.p. D. Quado l iterruttore S viee chiuso, gli elettroi sulla piastra h fluiscoo verso il polo positivo della batteria sotto l azioe del campo elettrico mateuto dalla batteria. Aalogamete c è u flusso di elettroi dal polo egativo alla piastra l. Quado la d.d.p. tra le armature del codesatore eguaglia uella tra i poli della batteria, le correti cessao e il codesatore risulta carico F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3

3 osideriamo ora u codesatore le cui armature siao due lastre coduttrici piae e parallele di area A e a distaza d l ua dall altra, la carica del codesatore sia e lo spazio tra le armature sia iizialmete riempito d aria. Il campo elettrico tra le armature sarà uiforme fitato che ci mateiamo distati dai bordi delle armature e varrà Per la d.d.p. avremo F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3 3 σ ε d Ricordado che sa, abbiamo che la capacità vale σsε σd ε S d dipede solo dalla geometria σd ε

4 Se ora riempiamo lo spazio tra le armature co u dielettrico di costate dielettrica e e e r, abbiamo σ ε dσ ε σa ε ε dσ Si oti che essedo e > e, si ha che > ofrotado e per uo stesso codesatore si ottiee il valore di ε r del dielettrico utilizzato L uico modo per aumetare la capacità di u codesatore, ua volta fissata la sua geometria è di riempirlo co ua lastra di dielettrico A d ε r F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3

5 e così otteiamo odesatore cilidrico odesatore cilidrico di lughezza L, costituito da due cilidri coassiali di raggi a e b, co L >> b, e carica sulle armature. osideriamo ua superficie cilidrica coassiale co le armature di raggio r e di lughezza L, co a < r < b, e applichiamo il teorema di Gauss εa Ricordiamo ora che f r r r r ds ds f i i ε πrl πεrl grad e uidi a dr b L l πεl πε b r πεl a lb a F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3 5

6 odesatore sferico odesatore sferico costituito da due sfere di raggi a e b e carica sulle armature. osideriamo ua superficie sferica cocetrica co le armature di raggio r, co a < r < b, e applichiamo il teorema di Gauss ε A ε πr πεr Per la d.d.p. abbiamo dr a b πε r πε a b πε da cui ab πε b a Se b va all ifiito, abbiamo sempre u codesatore co πεa F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3 6 b a ab

7 odesatori i parallelo I codesatori i parallelo soo tutti alla stessa d.d.p. e la carica totale immagazziata i essi è la somma delle cariche su ciascu codesatore. Il sistema euivale ad u codesatore alla stessa d.d.p e co carica Abbiamo ifie,... e,..., (... ) i i F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3 7

8 F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3 8 odesatori i serie I codesatori i serie soo ad ua d.d.p. tale che la carica su ciascuo di essi è la stessa. Il sistema euivale ad u codesatore co carica e co d.d.p. pari alla somma delle d.d.p. applicate...,......,, Abbiamo Ifie i i e...

9 ergia immagazziata i u campo elettrico Abbiamo già visto che per costruire u sistema di cariche, dobbiamo fare u lavoro dall estero, il lavoro fatto euivale ad ua variazioe di eergia poteziale elettrostatica L i j πε i< j Ache uado carichiamo u codesatore abbiamo bisogo di u lavoro he permetta di togliere elettroi alla piastra positiva, uesto lavoro è Forito da ua batteria o da u geeratore. Il lavoro ifiitesimo per Portare ua carica ifiitesima d attraverso ua d.d.p. vale dl d' ' r ij ' d' L ' d' F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3 9

10 Si può pesare che uesto lavoro vega immagazziato el codesatore sottoforma di eergia elettrostatica, allora Se cosideriamo due codesatori a piatti piai e paralleli e co la stessa carica, otiamo che essi hao ache lo stesso campo elettrico, hao però diversa capacità di immagazziare eergia elettrostatica Dato che è iversamete proporzioale alla distaza d tra le armature si avrà che il codesatore co i piatti più distati può immagazziare ua maggiore uatità di eergia F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3

11 F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3 Risulta utile defiire la desità di eergia, ovvero l eergia elettrostatica per uità di volume d Ad Ad u ε ε Il risultato otteuto risulta valido per ogi tipo di codesatore, ifatti cosideriamo ua sfera coduttrice ( πεr) e calcoliamo la seguete uatità R dr r dr r dr r r d dr r d d r d R R R ol R ol πε πε πε π πε π πε

12 Ricordiamo che per ua sfera l eergia elettrostatica vale Quidi I geerale πεr ε ε R d tuttoil volume d La desità di eergia vale u ε F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3

13 Lavoro per iserire ua lastra di dielettrico i u codesatore a) processo a costate Iizialmete l eergia immagazziata el codesatore vale Dopo l iserimeto della lastra abbiamo Ricordado che εr > otteiamo > Il lavoro ecessario viee forito dalla batteria F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3 3

14 b) processo a costate Iizialmete l eergia immagazziata el codesatore vale Dopo l iserimeto della lastra abbiamo Ricordado che εr > otteiamo < La variazioe di eergia viee utilizzata per polarizzare la lastra ed iserirla el codesatore F. Soramel Fisica Geerale II A.A. /3

6. Corrente elettrica

6. Corrente elettrica 6. Correte elettrica 6. Cosideriamo due coduttori, uo carico e l altro scarico e colleghiamoli co u filo coduttore La carica passa attraverso il filo Dopo u tempo τ il flusso di carica si arresta Defiiamo

Dettagli

C dipende solo dalla geometria dei piatti e ci dice quanta carica serve ad un dato condensatore per portarlo ad una ΔV fissata.

C dipende solo dalla geometria dei piatti e ci dice quanta carica serve ad un dato condensatore per portarlo ad una ΔV fissata. I codesatoi U codesatoe è u dispositivo i gado di immagazziae eegia, sottofoma di eegia poteziale, i u campo elettico Ogi volta che abbiamo a che fae co due coduttoi di foma abitaia detti piatti o amatue,

Dettagli

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti

1.6 Serie di potenze - Esercizi risolti 6 Serie di poteze - Esercizi risolti Esercizio 6 Determiare il raggio di covergeza e l isieme di covergeza della serie Soluzioe calcolado x ( + ) () Per la determiazioe del raggio di covergeza utilizziamo

Dettagli

11 IL CALCOLO DEI LIMITI

11 IL CALCOLO DEI LIMITI IL CALCOLO DEI LIMITI Il calcolo di u ite spesso si ricodurrà a trattare separatamete iti più semplici, su cui poi si farao operazioi algebriche. Dato che uo o più di questi iti possoo essere ±, bisoga

Dettagli

ESERCIZI SULLE SERIE

ESERCIZI SULLE SERIE ESERCIZI SULLE SERIE. Dimostrare che la serie seguete è covergete: =0 + + A questa serie applichiamo il criterio del cofroto. Dovedo quidi dimostrare che la serie è covergete si tratterà di maggiorare

Dettagli

k=0 f k(x). Un altro tipo di convergenza per le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J I se

k=0 f k(x). Un altro tipo di convergenza per le serie è la convergenza totale e si dice che la serie (0.1) converge totalmente in J I se Serie di fuzioi Sia I R, per ogi k N, data la successioe di fuzioi (f k ) k co f k : I R, cosideriamo la serie di fuzioi (0.) f k () k=0 e defiiamo la successioe delle somme parziali s () = k=0 f k().

Dettagli

1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ;

1. Serie numeriche. Esercizio 1. Studiare il carattere delle seguenti serie: n2 n 3 n ; n n. n n. n n (n!) 2 ; (2n)! ; . Serie umeriche Esercizio. Studiare il carattere delle segueti serie: ;! ;! ;!. Soluzioe.. Serie a termii positivi; cofrotiamola co la serie +, che è covergete: + + + 0. Pertato, per il criterio del cofroto

Dettagli

PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN BASE 10

PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN BASE 10 PROPRIETÀ DELLE POTENZE IN BASE Poteze i base co espoete itero positivo Prediamo u umero qualsiasi che deotiamo co la lettera a e u umero itero positivo che deotiamo co la lettera Per defiizioe (cioè per

Dettagli

( 1) k+1 x k + R N+1 (x), k. 1 + x 10 2, 5 R N+1 ( 1 3 ) ) )

( 1) k+1 x k + R N+1 (x), k. 1 + x 10 2, 5 R N+1 ( 1 3 ) ) ) Esercizi di Aalisi - Alberto Valli - AA 05/06 - Foglio 8. Fatevi veire u idea per calcolare log48 alla secoda cifra decimale. Lo sviluppo di Taylor di log( + ) è covergete per solo per (,]. Duque bisoga

Dettagli

Fisica 2 per biotecnologie: Prova Scritta 2 Settembre 2011

Fisica 2 per biotecnologie: Prova Scritta 2 Settembre 2011 Fisica 2 per biotecologie: Prova Scritta 2 Settembre 2011 Scrivere immediatamete, ED IN EVIDENZA, sui due fogli protocollo cosegati (ed evetuali altri fogli richiesti) la seguete tabella: NOME :... Numero

Dettagli

SUCCESSIONI DI FUNZIONI

SUCCESSIONI DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI LUCIA GASTALDI 1. Defiizioi ed esempi Sia I u itervallo coteuto i R, per ogi N si cosideri ua fuzioe f : I R. Il simbolo f } =1 idica ua successioe di fuzioi, cioè l applicazioe

Dettagli

ELETTROSTATICA La legge di Coulomb e le sue caratteristiche. Confronto con la forza di gravità carica campo elettrico

ELETTROSTATICA La legge di Coulomb e le sue caratteristiche. Confronto con la forza di gravità carica campo elettrico ELETTROSTATICA La legge di Coulomb e le sue caratteristiche. Cofroto co la forza di gravità Tra le quattro iterazioi fodametali del ostro Uiverso u posto di rilievo è occupato da quella elettromagetica,

Dettagli

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli Uiversità di Treto - Corso di Laurea i Igegeria Civile e Igegeria per l Ambiete e il Territorio - 07/8 Corso di Aalisi Matematica - professore Alberto Valli 8 foglio di esercizi - 5 ovembre 07 Taylor,

Dettagli

Esercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim.

Esercizi svolti. 1. Calcolare i seguenti limiti: log(1 + 3x) x 2 + 2x. x 2 + 3 sin 2x. l) lim. b) lim. x 0 sin x. 1 e x2 d) lim. c) lim. Esercizi svolti. Calcolare i segueti iti: a log + + c ± ta 5 + 5 si π e b + si si e d + f + 4 5 g + 6 4 6 h 4 + i + + + l ± + log + log 7 log 5 + 4 log m + + + o cos + si p + e q si s e ta cos e u siπ

Dettagli

Esercizi su serie numeriche - svolgimenti

Esercizi su serie numeriche - svolgimenti Esercizi su serie umeriche - svolgimeti Osserviamo che vale la doppia diseguagliaza + si, e quidi la serie è a termii positivi Duque la somma della serie esiste fiita o uguale a + Ioltre valgoo le diseguagliaze

Dettagli

Capitolo 5. Successioni numeriche

Capitolo 5. Successioni numeriche Capitolo 5 Successioi umeriche Ua successioe è ua fuzioe avete domiio N o u suo sottoisieme del tipo A = { N > 0, 0 N} e come codomiio R e che associa a ogi umero aturale u umero reale a. La legge di ua

Dettagli

Esercitazione n 3. 1 Successioni di funzioni. Esercizio 1: Studiare la convergenza in (0, 1) della successione {f n } dove f n (x) =

Esercitazione n 3. 1 Successioni di funzioni. Esercizio 1: Studiare la convergenza in (0, 1) della successione {f n } dove f n (x) = Esercitazioe 3 Successioi di fuzioi Esercizio : Studiare la covergeza i (0, ) della successioe {f } dove f (x) = metre Sol.: Si verifica facilmete che lim f (x) = 0 x (0, ) lim sup f (x) = lim = + (0,)

Dettagli

Caratteristiche I-V Qualitativamente, la caratteristica di uscita di un MOSFET è la seguente:

Caratteristiche I-V Qualitativamente, la caratteristica di uscita di un MOSFET è la seguente: l sistema MOFE l MOFE è u FE che utilizza come caale la regioe di iversioe che si crea i ua struttura MO opportuamete polarizzata. l cotatto di gate del trasistor coicide co il Metallo della struttura

Dettagli

Elementi di statistica

Elementi di statistica Elemeti di statistica La misura delle gradezze fisiche può essere effettuata direttamete o idirettamete. Se la misura viee effettuata direttamete si parla di misura diretta; se essa viee dedotta attraverso

Dettagli

Corso Propedeutico di Matematica

Corso Propedeutico di Matematica POLINOMI RICHIAMI DI TEORIA Defiizioe: u poliomio ( o fuzioe poliomiale) ella variabile x di grado a coefficieti reali ha la forma A = a0 + a1x + + a 1 x, dove a 0, a 1,..., a soo umeri reali assegati

Dettagli

E costituito da due conduttori isolati di varie forme che vengono chiamati piatti o armature del condensatore.

E costituito da due conduttori isolati di varie forme che vengono chiamati piatti o armature del condensatore. Condensatori Il condensatore elettrico (o capacitore) è un dispositivo estremamente utile in elettronica e nei circuiti elettrici, poiché consente di immagazzinare e rilasciare energia elettrica in modo

Dettagli

Lezione 4 Corso di Statistica. Francesco Lagona

Lezione 4 Corso di Statistica. Francesco Lagona Lezioe 4 Corso di Statistica Fracesco Lagoa Uiversità Roma Tre F. Lagoa (fracesco.lagoa@uiroma3.it) 1 / 23 obiettivi della lezioe familiarizzare co il calcolo e le proprietà della media aritmetica familiarizzare

Dettagli

Richiami sulle potenze

Richiami sulle potenze Richiami sulle poteze Dopo le rette, le fuzioi più semplici soo le poteze: Distiguiamo tra: - poteze co espoete itero - poteze co espoete frazioario (razioale) - poteze co espoete reale = Domiio delle

Dettagli

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n.

SERIE DI POTENZE Esercizi risolti. Esercizio 1 Determinare il raggio di convergenza e l insieme di convergenza della serie di potenze. x n. SERIE DI POTENZE Esercizi risolti Esercizio x 2 + 2)2. Esercizio 2 + x 3 + 2 3. Esercizio 3 dove a è u umero reale positivo. Esercizio 4 x a, 2x ) 3 +. Esercizio 5 x! = x + x 2 + x 6 + x 24 + x 20 +....

Dettagli

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 4

Svolgimento degli esercizi del Capitolo 4 4. Michiel Bertsch, Roberta Dal Passo, Lorezo Giacomelli Aalisi Matematica 2 a edizioe Svolgimeto degli esercizi del Capitolo 4 Il limite segue dal teorema del cofroto: e / 0 per. 4.2 0

Dettagli

Appendice 2. Norme di vettori e matrici

Appendice 2. Norme di vettori e matrici Appedice 2. Norme di vettori e matrici La ozioe esseziale per poter defiire il cocetto di distaza e lughezza i uo spazio vettoriale lieare è quello di orma. Il cocetto di orma è ua geeralizzazioe del cocetto

Dettagli

3. Calcolo letterale

3. Calcolo letterale Parte Prima. Algera 1) Moomi Espressioe algerica letterale 42 Isieme di umeri relativi, talui rappresetati da lettere, legati fra loro da segi di operazioi. Moomio Espressioe algerica che o cotiee le operazioi

Dettagli

DOMANDE ed ESERCIZI su LIMITI di SUCCESSIONI e FUNZIONI

DOMANDE ed ESERCIZI su LIMITI di SUCCESSIONI e FUNZIONI DOMANDE ed ESERCIZI su LIMITI di SUCCESSIONI e FUNZIONI I questa scheda soo proposte alcue domade teoriche sul cocetto di ite e alcui esercizi sul calcolo di iti proposti a temi d esame egli scorsi ai.

Dettagli

Prova scritta del 9/1/2003

Prova scritta del 9/1/2003 Prova scritta del 9//00 Soluzioe degli esercizi N. Le quattro serie proposte soo a termii positivi. Per studiare la covergeza delle serie a termii positivi è possibile utilizzare uo dei segueti criteri

Dettagli

Analisi Matematica 1 Matematica

Analisi Matematica 1 Matematica Aalisi Matematica 1 Matematica Secodo Compitio Luedì 30 Geaio 01 VERSIONE A Esercizio 1 (8 puti) Sia α R u parametro e si cosideri la serie di poteze complessa z. i) Calcolare il raggio di covergeza R

Dettagli

Struttura schematica di un MOSFET a canale n

Struttura schematica di un MOSFET a canale n Struttura schematica di u MOSFET a caale Source Gate Drai Ossido Metallo Ossido Semicoduttore F E T 3 Fodameti di elettroica a fuzioe del CONTATTO di GATE Variado varia (per iduzioe elettrostatica la cocetrazioe

Dettagli

2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33)

2,3, (allineamenti decimali con segno, quindi chiaramente numeri reali); 4 ( = 1,33) Defiizioe di umero reale come allieameto decimale co sego. Numeri reali positivi. Numeri razioali: defiizioe e proprietà di desità Numeri reali Defiizioe: U umero reale è u allieameto decimale co sego,

Dettagli

Prof.ssa Paola Vicard

Prof.ssa Paola Vicard Statistica Computazioale Questa ota cosiste per la maggior parte ella traduzioe (co alcue modifiche e itegrazioi) da Descriptive statistics di J. Shalliker e C. Ricketts, 000, Uiversity of Plymouth Questa

Dettagli

Problema 1 PROBLEMA 1. Sia f la funzione definita da f ( x) = 1 + x e. dove n è un intero positivo e x R

Problema 1 PROBLEMA 1. Sia f la funzione definita da f ( x) = 1 + x e. dove n è un intero positivo e x R Problema PROBLEMA Sia f la fuzioe defiita da f ( ) + + +... + e!! dove è u itero positivo e R. Si verifichi che la derivata di f è: f '( ) e!. Si dica se la fuzioe f ammette massimi e miimi (assoluti e

Dettagli

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI

SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI SERIE NUMERICHE FAUSTO FERRARI Materiale propedeutico alle lezioi di Aalisi Matematica per i corsi di Laurea i Igegeria Chimica e Igegeria per l Ambiete e il Territorio dell Uiversità di Bologa. Ao Accademico

Dettagli

[È ben noto che la serie geometrica converge se e solo se x <1 e che ha per somma la funzione S(x)= 1

[È ben noto che la serie geometrica converge se e solo se x <1 e che ha per somma la funzione S(x)= 1 Sapieza Uiversità di Roma - Corso di Laurea i Igegeria Eergetica Aalisi Matematica II - A.A. 06-07 prof. Cigliola Foglio. Serie di fuzioi Esercizio. Calcolare, se possibile, la somma delle segueti serie

Dettagli

Soluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5.

Soluzioni. 2 2n+1 3 2n. n=1. 3 2n 9. n=1. Il numero 2 può essere raccolto fuori dal segno di sommatoria: = 2. n=1 = = 8 5. 60 Roberto Tauraso - Aalisi Calcolare la somma della serie Soluzioi + 3 R La serie può essere riscritta el modo seguete: + 4 3 9 Il umero può essere raccolto fuori dal sego di sommatoria: + 4 3 9 Si tratta

Dettagli

C a p i t o l o s e t t i m o. Trasmissione del calore per radiazione

C a p i t o l o s e t t i m o. Trasmissione del calore per radiazione C a p i t o l o s e t t i m o Trasmissioe del calore per radiazioe Problema. Si cosideri u corpo ero i uo spazio o assorbete le radiazioi elettromagetiche; se il corpo viee mateuto alla temperatura di

Dettagli

TEORIA DELLE MATRICI. dove aij K. = di ordine n, gli elementi aij con i = j (cioè gli elementi a 11

TEORIA DELLE MATRICI. dove aij K. = di ordine n, gli elementi aij con i = j (cioè gli elementi a 11 1 TEORIA DELLE MATRICI Dato u campo K, defiiamo matrice ad elemeti i K di tipo (m, ) u isieme di umeri ordiati secodo m righe ed coloe i ua tabella rettagolare del tipo a11 a12... a1 a21 a22... a2 A =.........

Dettagli

Esercizi sulle Serie numeriche

Esercizi sulle Serie numeriche AM0 - A.A. 03/4 ALFONSO SORRENTINO Esercizi sulle Serie umeriche Esercizio svolto. Discutere il comportameto delle segueti serie umeriche: a +! b [ ] log c log+ d log + e arcta f g h i l log log! 3! 4

Dettagli

Lezione 4 Corso di Statistica. Domenico Cucina

Lezione 4 Corso di Statistica. Domenico Cucina Lezioe 4 Corso di Statistica Domeico Cucia Uiversità Roma Tre D. Cucia (domeico.cucia@uiroma3.it) 1 / 22 obiettivi della lezioe familiarizzare co il calcolo e le proprietà della media aritmetica familiarizzare

Dettagli

SOLUZIONI COMPITO del 04/02/2016 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU MECCANICA TEMA A

SOLUZIONI COMPITO del 04/02/2016 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU MECCANICA TEMA A SOLUZIONI COMPITO del 0/0/06 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU MECCANICA TEMA A Esercizio Osserviamo, iazitutto, che la serie proposta è ua serie a termii o egativi. Applicado il criterio della radice, dopo

Dettagli

Siamo interessati a studiare la convergenza della serie e porremo come al solito:

Siamo interessati a studiare la convergenza della serie e porremo come al solito: SERIE DI POTENZE Soo particolari serie di fuzioi, i cui termii soo moomi, evetualmete traslati: f (x) co f (x) =a (x x 0 ), a R, x 0 R, ossia dove a (x x 0 ) = a 0 + a 1 (x x 0 )+a 2 (x x 0 ) 2 +... x

Dettagli

Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 02/07/2011

Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 02/07/2011 Prova d esame di Calcolo delle Probabilità 0/07/0 N. MATRICOLA... COGNOME e NOME... Esercizio Cosideriamo due ure ed ua moeta truccata. La prima ura (ura A) cotiee pallie rosse e 4 biache, la secoda ura

Dettagli

2.5 Convergenza assoluta e non

2.5 Convergenza assoluta e non .5 Covergeza assoluta e o Per le serie a termii complessi, o a termii reali di sego o costate, i criteri di covergeza si qui visti o soo applicabili. L uico criterio geerale, rozzo ma efficace, è quello

Dettagli

Entropia ed informazione

Entropia ed informazione Etropia ed iformazioe Primi elemeti sulla teoria della misura dell iformazioe Per trasmettere l iformazioe è ecessaria ua rete di comuicazioe, che, secodo l approccio teorico di Claude E. Shao e Warre

Dettagli

1. Converge. La serie è a segno alterno. Non possiamo usare il criterio di assoluta convergenza, perché

1. Converge. La serie è a segno alterno. Non possiamo usare il criterio di assoluta convergenza, perché Soluzioi.. Coverge. La serie è a sego altero. No possiamo usare il criterio di assoluta covergeza, perché log log a = > + e il fatto che la serie i valore assoluto diverge o permette di trarre coclusioi

Dettagli

1 Esercizi tutorato 27/5

1 Esercizi tutorato 27/5 Esercizi tutorato 7/5 Esercizi tutorato 7/5 Esercizio.. Si cosideri u compoete elettroico costituito da compoeti collegate i serie. Ogi compoete ha u tempo di vita T i Expλ), i =,..., idipedete. Sia X

Dettagli

DIAGRAMMA A BANDE DI UNA GIUNZIONE PN

DIAGRAMMA A BANDE DI UNA GIUNZIONE PN DIAGRAMMA A BAD DI UA GIUZIO P Per come e stato defiito, il diagramma a bade di u semicoduttore rappreseta l isieme di eergie permesse agli elettroi all itero del semicoduttore i fuzioe della posizioe.

Dettagli

Diottro sferico. Capitolo 2

Diottro sferico. Capitolo 2 Capitolo 2 Diottro sferico Si idica co il termie diottro sferico ua calotta sferica che separa due mezzi co idice di rifrazioe diverso. La cogiugete il cetro di curvatura C della calotta co il vertice

Dettagli

1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge.

1. a n = n 1 a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2, a 4 = 3,... Questa successione cresce sempre piú al crescere di n e vedremo che {a n } diverge. Le successioi A parole ua successioe é u isieme ifiito di umeri disposti i u particolare ordie. Piú rigorosamete, ua successioe é ua legge che associa ad ogi umero aturale u altro umero (ache o aturale):

Dettagli

4 - Le serie. a k = a k. S = k=1

4 - Le serie. a k = a k. S = k=1 4 - Le serie E veiamo ad uo degli argometi più ostici (ma ache più iteressati) dell aalisi: le serie. Ricordiamo brevemete cos è ua serie e cosa vuol dire covergeza per ua serie. Defiizioe 1. Data ua successioe

Dettagli

IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe 5A Tecnico Agrario. Lezione di martedì 10 novembre 2015 (4 e 5 ora) Disciplina: MATEMATICA

IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe 5A Tecnico Agrario. Lezione di martedì 10 novembre 2015 (4 e 5 ora) Disciplina: MATEMATICA IPSAA U. Patrizi Città di Castello (PG) Classe A Tecico Agrario Lezioe di martedì 0 ovembre 0 (4 e ora) Disciplia: MATEMATICA La derivata della fuzioe composta Fuzioe composta Df(g())f (g())g () Questa

Dettagli

(A + B) ij = A ij + B ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n.

(A + B) ij = A ij + B ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n. Algebra lieare Matematica CI) 263 Somma di matrici Siao m ed due iteri positivi fissati Date due matrici A, B di tipo m, sommado a ciascu elemeto di A il corrispodete elemeto di B, si ottiee ua uova matrice

Dettagli

TEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER

TEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER TEOREMA DELLA PROIEZIONE, DISUGUAGLIANZA DI BESSEL E COMPLEMENTI SULLE SERIE DI FOURIER I uo spazio euclideo di dimesioe fiita, ad esempio R 3, cosideriamo u sottospazio, ad esempio u piao passate per

Dettagli

Induzione Elettromagnetica

Induzione Elettromagnetica Iduzioe Elettromagetica U campo elettrico che iduce quidi ua correte elettrica produce u campo magetico. U campo magetico è i grado di produrre u campo elettrico? Quado o c e moto relativo fra il magete

Dettagli

le dimensioni dell aiuola, con le limitazioni 0 x λ λ

le dimensioni dell aiuola, con le limitazioni 0 x λ λ PROBLEMA a) idicate co e co che e esprime l area è: le dimesioi dell aiuola, co le limitazioi 0 A( )., la fuzioe Per la ricerca del massimo si studia il sego della derivata prima Si ha: 0 / / A' ( ). Si

Dettagli

Esercizi di Analisi II

Esercizi di Analisi II Esercizi di Aalisi II Ao Accademico 008-009 Successioi e serie di fuzioi. Serie di poteze. Studiare la covergeza della successioe di fuzioi (f ) N, dove f : [, ] R è defiita poedo f (x) := x +.. Studiare

Dettagli

ESERCIZI - FASCICOLO 1

ESERCIZI - FASCICOLO 1 ESERCIZI - FASCICOLO 1 Esercizio 1 Sia (Ω, A) uo spazio misurabile. Se (A ) 1 è ua successioe di eveti (= elemeti di A), defiiamo lim sup A := A k lim if A = A k. Mostrare che =1 k= (lim sup A ) c = lim

Dettagli

DENSITA. La densità di un oggetto è la sua massa per unità di volume. massa volume

DENSITA. La densità di un oggetto è la sua massa per unità di volume. massa volume DENSITA La desità di u oggetto è la sua massa per uità di volume d massa volume m V Nel SI (sistema iterazioale) l'uità base per la massa è il chilogrammo (Kg). Spesso i chimica si usao dei sottomultipli

Dettagli

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 42-57

Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 42-57 Tracce di soluzioi di alcui esercizi di matematica - gruppo 42-57 4. Limiti di successioi Soluzioe dell Esercizio 42.. Osserviamo che a = a +6 e duque la successioe prede valori i {a,..., a 6 } e ciascu

Dettagli

SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 2015/16, FOGLIO 2. se x [n, 3n]

SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 2015/16, FOGLIO 2. se x [n, 3n] SOLUZIONE DI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA IV ANNO 05/6, FOGLIO Sia f : R R defiita da f x { se x [, 3] 0 altrimeti Studiare la covergeza putuale, uiforme e uiforme sui compatti della successioe f e della

Dettagli

****** FUNZIONI MISURABILI E INTEGRAZIONE ******

****** FUNZIONI MISURABILI E INTEGRAZIONE ****** ****** FUNZIONI MISURABILI E INTEGRAZIONE ****** 1 2 1. Fuzioi misurabili. I questo umero estediamo la ozioe di misurabilità alle fuzioi. Defiizioe 1. Siao u isieme o vuoto, Y uo spazio topologico e µ

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2005 CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria Tema di MATEMATICA - 23 giugno 2005

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 2005 CORSO DI ORDINAMENTO Sessione ordinaria Tema di MATEMATICA - 23 giugno 2005 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO 005 CORSO DI ORDINAMENTO Sessioe ordiaria Tema di MATEMATICA - 3 giugo 005 Svolgimeto a cura del prof. Luigi Tomasi (luigi.tomasi@libero.it) RISPOSTE AI QUESITI DEL

Dettagli

RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI

RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI RISOLUZIONE MODERNA DI PROBLEMI ANTICHI L itelletto, duque, che o è la verità, o comprede mai la verità i modo così preciso da o poterla compredere (poi acora) più precisamete, all ifiito, perché sta alla

Dettagli

STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI

STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Leoardo Latella STUDIO DEL LANCIO DI 3 DADI Il calcolo delle probabilità studia gli eveti casuali probabili, cioè quegli eveti che possoo o o possoo verificarsi e che dipedoo uicamete dal caso. Tale studio

Dettagli

NUOVI CRITERI DI DIVISIBILITÀ

NUOVI CRITERI DI DIVISIBILITÀ NUOVI CRITERI DI DIVISIBILITÀ BRUNO BIZZARRI, FRANCO EUGENI, DANIELA TONDINI 1 1. Su tutti i testi scolastici di Scuola Media, oostate siao riportati i criteri di divisibilità per i umeri, 3, 4, 5, 6,

Dettagli

0.1 Esercitazioni V, del 18/11/2008

0.1 Esercitazioni V, del 18/11/2008 1 0.1 Esercitazioi V, del 18/11/2008 Esercizio 0.1.1. Risolvere usado Cramer il seguete sistema lieare x + y + z = 1 kx + y z = 0 x kz = 1 Soluzioe: Il determiate della matrice dei coefficieti è (k 2)(k

Dettagli

Esercizi settimana 10

Esercizi settimana 10 y = = 0 0,5 0,5,5 x Esercizi settimaa 0 Esercizi applicati Esercizio. Siao X ) i.i.d. tali per cui X U0, ), si dimostri che X 0. Soluzioe. Per calcolare la covergeza i legge dobbiamo usare la fuzioe di

Dettagli

QUESITO 1. Indicata con x la distanza della base superiore del cilindro dal vertice del cono si ha:

QUESITO 1. Indicata con x la distanza della base superiore del cilindro dal vertice del cono si ha: www.matefilia.it Scuole italiae all estero (Caledario australe) 005 QUESITO Prova che fra tutti i cilidri iscritti i u coo circolare retto ha volume massimo quello la cui altezza è la terza parte di quella

Dettagli

1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n

1 + 1 ) n ] n. < e nα 1 n Esercizi preparati e i parte svolti martedì 0.. Calcolare al variare di α > 0 Soluzioe: + ) α Per α il ite è e; se α osserviamo che da + /) < e segue che α + ) α [ + ) ] α < e α Per α > le successioi e

Dettagli

(x log x) n2. (14) n + log n

(x log x) n2. (14) n + log n Facoltà di Scieze Matematiche Fisiche e Naturali- Aalisi Matematica A (c.l.t. i Fisica) Prova parziale del 8 Novembre 20 Svolgere gli esercizi segueti. Studiare il domiio ed il comportameto della serie

Dettagli

Esercizi svolti su successioni e serie di funzioni

Esercizi svolti su successioni e serie di funzioni Esercizi svolti su successioi e serie di fuzioi Esercizio. Calcolare il limite putuale di f ) = 2 +, [0, + ). Dimostrare che o si ha covergeza uiforme su 0, + ), metre si ha covergeza uiforme su [a, +

Dettagli

a n (x x 0 ) n. (1.1) n=0

a n (x x 0 ) n. (1.1) n=0 Serie di poteze. Defiizioi Assegati ua successioe {a } di umeri reali e u puto x dell asse reale si dice serie di poteze u espressioe del tipo a (x x ). (.) Il puto x viee detto cetro della serie e i umeri

Dettagli

Matematica con elementi di Informatica

Matematica con elementi di Informatica La distribuzioe delle statistiche campioarie Matematica co elemeti di Iformatica Tiziao Vargiolu Dipartimeto di Matematica vargiolu@math.uipd.it Corso di Laurea Magistrale i Chimica e Tecologie Farmaceutiche

Dettagli

Lezioni di Matematica 1 - I modulo

Lezioni di Matematica 1 - I modulo Lezioi di Matematica 1 - I modulo Luciao Battaia 4 dicembre 2008 L. Battaia - http://www.batmath.it Mat. 1 - I mod. Lez. del 04/12/2008 1 / 28 -2 Sottosuccessioi Grafici Ricorreza Proprietà defiitive Limiti

Dettagli

n 1 = n b) {( 1) n } = c) {n!} In questo caso la successione è definita per ricorrenza: a 0 = 1, a n = n a n 1 per ogni n 1.

n 1 = n b) {( 1) n } = c) {n!} In questo caso la successione è definita per ricorrenza: a 0 = 1, a n = n a n 1 per ogni n 1. Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 0: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale - Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Successioi umeriche:

Dettagli

CONDUTTORI V T T O R I E DIELETTRICI g. bonomi fisica sperimentale (mecc., elettrom.) Introduzione

CONDUTTORI V T T O R I E DIELETTRICI g. bonomi fisica sperimentale (mecc., elettrom.) Introduzione Introduzione La fibrillazione è una contrazione disordinata del muscolo cardiaco. Un forte shock elettrico può ripristinare la normale contrazione. Per questo è necessario applicare al muscolo una corrente

Dettagli

Precorso di Matematica, aa , (IV)

Precorso di Matematica, aa , (IV) Precorso di Matematica, aa 01-01, (IV) Poteze, Espoeziali e Logaritmi 1. Nel campo R dei umeri reali, il umero 1 e caratterizzato dalla proprieta che 1a = a, per ogi a R; per ogi umero a 0, l equazioe

Dettagli

Esponenziale complesso

Esponenziale complesso Espoeziale complesso P.Rubbioi 1 Serie el campo complesso Per forire il cocetto di serie el campo complesso abbiamo bisogo di itrodurre la defiizioe di limite per successioi di umeri complessi. Defiizioe

Dettagli

3.1 Rappresentazione dello stato tensionale nel piano di Mohr: circoli di Mohr.

3.1 Rappresentazione dello stato tensionale nel piano di Mohr: circoli di Mohr. DIDATTICA DI PROGETTAZIONE DELLE COSTRUZIONI PROF. CARMELO MAJORANA MODULO TRE I CONCETTI FONDAMENTALI NELL ANALISI DELLA TENSIONE PARTE B) MODULO PER LO SPECIALIZZANDO Modulo. Rappresetazioe dello stato

Dettagli

Limiti di successioni

Limiti di successioni Limiti di successioi Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Uiversità degli Studi di Padova Dipartimeto di Matematica 20 ottobre 2015 Aalisa Cesaroi, Paola Maucci e Alvise Sommariva Itroduzioe

Dettagli

Analisi Matematica Soluzioni prova scritta parziale n. 1

Analisi Matematica Soluzioni prova scritta parziale n. 1 Aalisi Matematica Soluzioi prova scritta parziale. 1 Corso di laurea i Fisica, 018-019 3 dicembre 018 1. Dire per quali valori dei parametri α R, β R, α > 0, β > 0 coverge la serie + (!) α β. ( )! =1 Soluzioe.

Dettagli

Teorema delle progressioni di numeri primi consecutivi con distanza sei costante

Teorema delle progressioni di numeri primi consecutivi con distanza sei costante Teorema delle progressioi di umeri primi cosecutivi co distaza sei costate A cura del Gruppo Eratostee - http://www.gruppoeratostee.com/) Co la collaborazioe di Eugeio Amitrao ( http://www.atuttoportale.it/)

Dettagli

Pompa di calore a celle di Peltier. ( 3 ) Analisi dei dati

Pompa di calore a celle di Peltier. ( 3 ) Analisi dei dati Pompa di calore a celle di Peltier ( 3 ) Aalisi dei dati Scuola estiva di Geova 2 6 settembre 2008 1 Primo esperimeto : riscaldameto per effetto Joule Come descritto ella guida, misuriamo tesioe di alimetazioe

Dettagli

Il discriminante Maurizio Cornalba 23/3/2013

Il discriminante Maurizio Cornalba 23/3/2013 Il discrimiate Maurizio Coralba 3/3/013 Siao X 1,..., X idetermiate. Cosideriamo i poliomi V (X 1,..., X ) = i>j(x i X j ) (X 1,..., X ) = V (X 1,..., X ) Il poliomio V (X 1,..., X ) è chiaramete atisimmetrico.

Dettagli

Solidi e volumi Percorso: Il problema della misura

Solidi e volumi Percorso: Il problema della misura Solidi e volumi Percorso: Il problema della misura Abilità Coosceze Nuclei Collegameti esteri Calcolare perimetri e aree Equivaleza el piao ed Spazio e figure Fisica di poligoi. equiscompoibilità tra Disego

Dettagli

Soluzione del Problema di Natale.

Soluzione del Problema di Natale. Soluzioe del Problema di Natale. Idicheremo, per comodità, ua particella Mxyzptl co M(d, = (m + ; m 1,..., m, dove m+ è il puto di che rappreseta il suo ucleo mxyzptl +, e gli m i rappresetao le sue subparticelle

Dettagli

Probabilità 1, laurea triennale in Matematica II prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09

Probabilità 1, laurea triennale in Matematica II prova scritta sessione estiva a.a. 2008/09 Probabilità, laurea trieale i Matematica II prova scritta sessioe estiva a.a. 8/9. U ura cotiee dadi di cui la metà soo equilibrati, metre gli altri soo stati maipolati i modo che, per ciascuo di essi,

Dettagli

Esercizi di Calcolo delle Probabilità Foglio 7

Esercizi di Calcolo delle Probabilità Foglio 7 Esercizi di Calcolo delle Probabilità Foglio 7 David Barbato Esercizio. Siao Y e X } N variabili aleatorie idipedeti e co distribuzioe espoeziale di parametro λ =. Siao ioltre: W := maxy, X } N T := miw

Dettagli

Esercitazione N. 7 W = KU

Esercitazione N. 7 W = KU . BBONI ONDMNTI DI OSPZIL 1 sercitazioe N. 7 1) Il comportameto elastico del peumatico del carrello di u velivolo è cosiderato equivalete ad u sistema costituito da ua molla, a comportameto elastico lieare,

Dettagli

Stima di somme: esercizio

Stima di somme: esercizio Stima di somme: esercizio Valutare l'ordie di gradezza della somma k l (1 + 3 k ) Quado x

Dettagli

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di calcolo combinatorio. anno acc. 2009/2010

MATEMATICA DEL DISCRETO elementi di calcolo combinatorio. anno acc. 2009/2010 elemeti di calcolo combiatorio ao acc. 2009/2010 Cosideriamo u isieme fiito X. Chiamiamo permutazioe su X u applicazioe biuivoca di X i sè. Ad esempio, se X = {a, b, c}, le permutazioi distite soo 6 e

Dettagli

ELETTRICITÀ CORRENTE CONTINUA LEZIONE N. 29d (Circuiti elettrici Condensatori) Corso di Fisica 2 prof. Giuseppe Ciancio

ELETTRICITÀ CORRENTE CONTINUA LEZIONE N. 29d (Circuiti elettrici Condensatori) Corso di Fisica 2 prof. Giuseppe Ciancio ELETTRIITÀ ORRENTE ONTINUA LEZIONE N. 9d (ircuiti elettrici ondensatori) orso di Fisica prof. Giuseppe iancio ELETTRIITÀ ORRENTE ONTINUA (ircuiti elettrici ondensatori) Un condensatore è costituito in

Dettagli

4: Strato fisico: i segnali nel tempo e nella frequenza

4: Strato fisico: i segnali nel tempo e nella frequenza 1 1 4: Strato fisico: i segali el tempo e ella frequeza Lo strato fisico Le pricipali fuzioi dello strato fisico soo defiizioe delle iterfacce meccaiche (specifiche dei coettori) tra il mezzo trasmissivo

Dettagli

Somma E possibile sommare due matrici A e B ottenendo una matrice C se e solo se le due matrici hanno lo stesso numero di righe e di colonne.

Somma E possibile sommare due matrici A e B ottenendo una matrice C se e solo se le due matrici hanno lo stesso numero di righe e di colonne. Matrici Geeralità sulle matrici I matematica, ua matrice è uo schierameto rettagolare di oggetti; le matrici di maggiore iteresse soo costituite da umeri come, per esempio, la seguete: 1 s 6 4 4 2 v t

Dettagli

4 - Le serie Soluzioni. n + 3. n + 3. n + 2

4 - Le serie Soluzioni. n + 3. n + 3. n + 2 4 - Le serie Soluzioi Esercizio. Studiare la covergeza delle serie: + + 2 + cos!) 2 cosπ). Per la prima serie si ha 0 + + 2 + = 2. Dal mometo che la serie di termie geerico 2 è covergete serie armoica

Dettagli

Radicali. Esistenza delle radici n-esime: Se n è pari: ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R.

Radicali. Esistenza delle radici n-esime: Se n è pari: ogni numero reale non negativo (cioè positivo o nullo) ha esattamente una radice n-esima in R. Radicali Radici quadrate Si dice radice quadrata di u umero reale a, e si idica co a, il umero reale positivo o ullo (se esiste) che, elevato al quadrato, dà come risultato a. Esisteza delle radici quadrate:

Dettagli