Appunti di Matematica Discreta (19 novembre 2009)

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1 Appunti di Matematica Discreta (19 novembre 2009) 1 1 I numeri interi Indichiamo con Z l insieme dei numeri interi, cioè Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Se parliamo di interi positivi indichiamo l insieme {1, 2, 3,...}. indichiamo invece l insieme { 1, 2, 3,...}. Con l espressione interi negativi 1.1 Operazioni sui numeri interi Sappiamo che su Z sono definite le due operazioni di somma e moltiplicazione che soddisfano alle seguenti proprietà: s 1 ) a + b = b + a la somma è commutativa s 2 ) a + (b + c) = (a + b) + c la somma è associativa s 3 ) a + 0 = 0 + a = a 0 è l elemento neutro per la somma s 4 ) a + ( a) = ( a) + a = 0 ogni elemento ha un inverso rispetto alla somma p 1 ) ab = ba il prodotto è commutativo (1) p 2 ) a(bc) = (ab)c il prodotto è associativo p 3 ) a 1 = 1 a = a 1 è l elemento neutro per il prodotto d 1 ) a(b + c) = ab + ac il prodotto è distributivo rispetto alla somma. È importante osservare che per la somma e il prodotto non valgono le stesse proprietà. La proprietà s 4 dice che per ogni intero n possiamo trovare un altro intero y tale che n + y è uguale all elemento neutro della somma (cioè 0). La stessa proprietà per il prodotto suonerebbe così: per ogni intero z possiamo trovare un intero x tale che z x è uguale all elemento neutro del prodotto (cioè 1). Ma noi sappiamo che tra gli interi l equazione zx = 1 ha soluzione solo per z = 1 e z = 1. Quindi in Z tutti gli elementi hanno un inverso rispetto alla somma ma non tutti gli elementi hanno l inverso rispetto al prodotto. È importante a questo punto ricordare che per i numeri razionali e i numeri reali ogni numero diverso da 0 ha l inverso rispetto al prodotto. Osservazione 1 Qualcuno potrebbe osservare che esiste una terza operazione fra gli interi: la sottrazione. Per semplicità non daremo alla sottrazione la dignità di una operazione a se stante, ma la considereremo semplicemente l operazione inversa rispetto alla somma. Lavorando con i numeri interi non è possibile in generale effettuare la divisione classica in quanto 5 diviso 2 non è un numero intero. Sui numeri interi è possibile però introdurre il concetto di divisione euclidea. Dati due interi a, b con b 0, eseguire la divisione euclidea fra a e b significa calcolare due interi q, r, detti rispettivamente quoziente e resto, tali che a = bq + r, e 0 r < b. (2) Se a e b sono entrambi positivi, il calcolo di quoziente e resto è un operazione familiare (intuitivamente sottraiamo b da a fino a quando non si ottiene un valore minore di b). Nel caso in cui a o b o entrambi siano negativi è necessario prestare più attenzione e ricordarsi che deve valere (2) quindi il resto deve essere sempre positivo. Si consiglia di studiare attentamente gli esempi che seguono.

2 2 1 I NUMERI INTERI Esempio 1 14 diviso 3 quoziente = 4, resto = 2 14 diviso 3 quoziente = 4, resto = 2 14 diviso 3 quoziente = 5, resto = 1 14 diviso 3 quoziente = 5, resto = 1 5 diviso 19 quoziente = 0, resto = 5 72 diviso 9 quoziente = 8, resto = 0 72 diviso 9 quoziente = 8, resto = 0 71 diviso 9 quoziente = 7, resto = 8 71 diviso 9 quoziente = 8, resto = 1 73 diviso 9 quoziente = 9, resto = 8 Per essere rigorosi dovremmo dimostrare che il quoziente ed il resto esistono sempre e sono unici, ma per semplicità omettiamo questa dimostrazione. Definizione 1 Dati due interi a, b con b 0, si dice che b divide a se il resto della divisione fra a e b è zero. In questo caso si dice anche che a è divisibile per b, e che a è un multiplo di b. Osserviamo che tutti i numeri interi sono multipli di 1 e 1 perché la divisione per 1 o 1 dà sempre resto 0. Inoltre, per b 0 abbiamo che 0 è divisibile per b in quanto 0 = b (cioè la divisione fra 0 e b dà quoziente 0 e resto 0). Definizione 2 Un numero intero p > 1 è detto primo se i suoi soli divisori positivi sono 1 e p. Se un numero non è primo è detto composto. Sappiamo dalla scuola media che i numeri composti possono essere fattorizzati nel prodotto di numeri primi. In questo senso i numeri primi possono essere visti come i mattoni con i quali tutti gli altri numeri vengono costruiti. Richiamiamo per completezza questo risultato (noto anche come Teorema Fondamentale dell Aritmetica) omettendone la dimostrazione. Teorema 1 Ogni numero intero maggiore di 1 può essere scomposto nel prodotto di numeri primi (non necessariamente distinti). La scomposizione è unica a meno dell ordinamento dei fattori. L enunciato di questo teorema necessita di alcune spiegazioni. La precisazione che i primi non sono necessariamente distinti è dovuta al fatto che in una scomposizione un numero primo può apparire più volte. Ad esempio 180 = Dire che la scomposizione è unica a meno dell ordinamento dei fattori, vuol dire che due fattorizzazioni dello stesso numero possono differire unicamente per l ordinamento dei primi che vi compaiono. Ad esempio abbiamo 15 = 3 5 e 15 = 5 3, ma non è possibile che un intero N si fattorizzi contemporaneamente come N = 3 11 e N = 5 7. I numeri primi sono usati in molti ambiti dell informatica e sono particolarmente importanti per gli algoritmi di crittografia. Data la loro importanza è confortante sapere che di numeri primi ne esistono infiniti, come dimostrato dal seguente teorema. Teorema 2 I numeri primi sono infiniti. Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che esista un numero finito di numeri primi e indichiamoli con p 1, p 2,..., p n. Consideriamo il numero M = 1 + p 1 p 2 p n.

3 1.2 Massimo Comun Divisore e algoritmo di Euclide 3 Il numero M non è primo in quanto secondo la nostra ipotesi i numeri primi sono solamente p 1, p 2,..., p n e M è maggiore di ciascuno di essi. Ma se M non è primo, per il Teorema 1 potrà essere scomposto nel prodotto di numeri primi. Di conseguenza devono esistere almeno un numero primo p i che divide M. Ma questo è impossibile in quanto la divisione fra M e un qualsiasi p i da resto 1. Abbiamo quindi raggiunto un assurdo e di conseguenza deve essere sbagliata l ipotesi iniziale che esista solamente un numero finito di numeri primi. 1.2 Massimo Comun Divisore e algoritmo di Euclide Dati a, b con b 0 scriviamo a mod b per indicare il resto della divisione fra a e b (ad esempio scriviamo 17 mod 3 = 2). Scriviamo inoltre b a per indicare che b divide a (cioè che a mod b = 0), e b a per indicare che b non divide a (cioè che a mod b 0). Dati due interi a, b non entrambi nulli, il Massimo Comun Divisore fra a e b è il più grande intero positivo che divide sia a che b. Se d è il massimo comun divisore fra a e b scriviamo d = MCD(a, b). Esempio 2 MCD(48, 15) = 3 MCD(10, 6) = 2 MCD(15, 14) = 1 MCD(0, 24) = 24 MCD(48, 15) = 3 MCD( 48, 15) = 3 MCD( 33, 21) = 3 MCD( 15, 0) = 15. Per il calcolo di MCD(a, b) si può utilizzare il metodo che abbiamo imparato alle scuole medie: si scrivono le fattorizzazioni di a e b e si prendono tutti i fattori comuni con il minimo esponente. Sfortunatamente, quando a e b sono grandi è molto dispendioso calcolare la loro fattorizzazione e di conseguenza questa strada non è praticabile. Nella pratica quindi per il calcolo del MCD si utilizza un metodo diverso molto più efficiente noto come algoritmo di Euclide. Osserviamo che possiamo assumere che a e b siano non negativi in quanto MCD(a, b) = MCD( a, b ). Se b = 0 abbiamo MCD(a, b) = a e non c è nulla da calcolare. Se b 0 l algoritmo di Euclide consiste in una serie di divisioni e termina quando una divisione produce un resto uguale a zero. Più precisamente, l algoritmo di Euclide genera la sequenza di valori: r 0 = a, r 1 = b, r 2 = r 0 mod r 1, r 3 = r 1 mod r 2,... r i = r i 1 mod r i 2,... e così via fino a quando non si trova un valore r n = 0. Il MCD fra a e b è dato da r n 1 cioè dall ultimo resto non zero della sequenza. Esempio 3 Per calcolare il massimo comun divisore fra 388 e 123 procediamo nel seguente modo: 391 diviso 123 quoziente = 3, resto = diviso 22 quoziente = 5, resto = diviso 13 quoziente = 1, resto = 9 13 diviso 9 quoziente = 1, resto = 4 9 diviso 4 quoziente = 2, resto = 1 4 diviso 1 quoziente = 4, resto = 0 L ultimo resto non nullo è 1, che quindi è il massimo comun divisore di 391 e 123. Nell esempio appena visto diciamo che l algoritmo di Euclide ha generato la sequenza 391, 123, 22, 13, 9, 4, 1, 0 (3) dove i primi due termini sono gli interi dei quali vogliamo calcolare il MCD mentre gli altri termini sono i resti delle divisioni effettuate durante il procedimento.

4 4 1 I NUMERI INTERI Esempio 4 Per calcolare il massimo comun divisore fra 207 e 741 procediamo nel seguente modo: 207 diviso 741 quoziente = 0, resto = diviso 207 quoziente = 3, resto = diviso 120 quoziente = 1, resto = diviso 87 quoziente = 1, resto = diviso 33 quoziente = 2, resto = diviso 21 quoziente = 1, resto = diviso 12 quoziente = 1, resto = 9 12 diviso 9 quoziente = 1, resto = 3 9 diviso 3 quoziente = 3, resto = 0 L ultimo resto non nullo è 3, che quindi è il massimo comun divisore di 207 e 741. La sequenza generata dall algoritmo di Euclide è 207, 741, 207, 120, 87, 33, 21, 12, 9, 3, 0. Data l importanza dell algoritmo di Euclide dimostriamo ora la sua correttezza, cioè che esso restituisce effettivamente MCD(a, b). Per semplicità spezziamo la dimostrazione in due parti: un primo lemma che giustifica l utilizzo della divisione euclidea, ed un teorema principale che mostra la correttezza dell algoritmo. Lemma 1 Dati due interi a, b con b 0 sia r = a mod b. Abbiamo MCD(a, b) = MCD(b, r). Dimostrazione: Per dimostrare il Lemma, dimostreremo che ogni intero che divide sia a che b divide anche sia b che r, e viceversa, ogni intero che divide sia b che r divide anche sia a che b. Di conseguenza i divisori comuni di a e b coincidono con i divisori comuni di b e r. Avremo allora che anche il massimo dei divisori comuni dovrà essere uguale nei due casi e quindi MCD(a, b) = MCD(b, r). Sia q il quoziente della divisione tra a e b. Abbiamo quindi a = bq + r. Sia ora c un intero che divide sia a che b. Possiamo allora scrivere a = αc e b = βc. Abbiamo che r = a bq = αc βcq = c(α βq) e di conseguenza r è un multiplo di c che quindi divide sia b che r. Analogamente, se d divide sia b che r abbiamo b = dγ e r = dρ da cui a = bq + r = dγq + dρ = d(γq + ρ) e quindi d divide sia a che b. Teorema 3 L algoritmo di Euclide calcola correttamente il Massimo Comun Divisore. Dimostrazione: Per prima cosa dimostriamo che l algoritmo di Euclide fornisce sempre un risultato, cioè che termina dopo un numero finito di passi. Osserviamo che essendo r 2 il resto della divisione tra a e b abbiamo che 0 r 2 < b (b è positivo per ipotesi). Analogamente, essendo r 3 il resto della divisione tra b e r 2 abbiamo 0 r 3 < r 2. In generale abbiamo b = r 1 > r 2 > r 3 > > r n 1 > r n = 0. In altre parole, i resti generati dall algoritmo di Euclide diminuiscono ad ogni passo. Dato che la sequenza parte con il valore b e termina non appena viene raggiunto lo zero abbiamo che l algoritmo

5 1.3 L algoritmo di Euclide esteso 5 di Euclide termina in al più b passi (vedremo in seguito che il numero di passi realmente effettuato è molto minore). Mostriamo ora che il valore restituito dall algoritmo di Euclide è effettivamente il Massimo Comun Divisore tra a e b. Osserviamo che per il Lemma 1 abbiamo MCD(a, b) = MCD(b, r 2 ) = MCD(r 2, r 3 ) = MCD(r n 1, r n ). (4) Dato che r n = 0, MCD(r n 1, r n ) = r n 1. Quindi abbiamo che MCD(a, b) è uguale a r n 1 (l ultimo resto diverso da zero) che è il valore restituito dall algoritmo di Euclide. 1.3 L algoritmo di Euclide esteso Abbiamo visto nella sezione precedente, che dati due interi a, b non entrambi nulli, l algoritmo di Euclide permette di calcolare il loro massimo comun divisore. L algoritmo di Euclide consiste in una serie di divisioni e genera una sequenza di resti. Il procedimento termina quando si incontra un resto uguale a 0 e l ultimo resto non nullo è il massimo comun divisore fra a e b. Esempio 5 Per calcolare il massimo comun divisore fra 1876 e 365 l algoritmo di Euclide procede nel seguente modo: 1876 diviso 365 quoziente = 5, resto = diviso 51 quoziente = 7, resto = 8 51 diviso 8 quoziente = 6, resto = 3 8 diviso 3 quoziente = 2, resto = 2 3 diviso 2 quoziente = 1, resto = 1 2 diviso 1 quoziente = 2, resto = 0 Abbiamo quindi che l algoritmo di Euclide genera la sequenza 1876, 365, 51, 8, 3, 2, 1, 0. (5) L ultimo elemento non nullo della sequenza è 1, che quindi è il massimo comun divisore. L algoritmo di Euclide esteso permette di calcolare, oltre a d = MCD(a, b), anche due interi s, t tali che as + bt = d. Nell Esempio 5, dato che MCD(1876, 365) = 1, l algoritmo di Euclide esteso ci fornisce due interi s, t tali che 1876s + 365t = 1. Diciamo che esprimiamo il MCD come combinazione lineare di a e b. Il procedimento seguito dall algoritmo di Euclide esteso è quello di esprimere ogni termine della sequenza dei resti come combinazione lineare di a e b. Riprendendo l Esempio 5 esprimiamo ogni elemento della sequenza (5) come combinazione lineare di 1876 e 365. Per quanto riguarda i primi due termini della sequenza non ci sono difficoltà e scriviamo 1876 = = (6) Per il terzo termine della sequenza, 51, ricordiamo che esso è il resto della divisione tra 1876 e 365, divisione che ha come quoziente 5. Quindi vale: 51 = Se al posto di 1876 e 365 scriviamo le combinazioni lineari (6) otteniamo: 51 = ( ) 5( ) e svolgendo i conti: 51 = (7)

6 6 1 I NUMERI INTERI Per gli altri termini della sequenza si procede analogamente: abbiamo 8 = , quindi usando la seconda di (6) e (7) abbiamo da cui 8 = ( ) 7( ) 8 = (8) Per il successivo termine della sequenza abbiamo 3 = , quindi, usando (7) e (8) da cui e infine: 3 = ( ) 6( ) 3 = , (9) 2 = = = = Abbiamo quindi trovato che 1876s + 365t = 1 per s = 136 e t = 699. Esempio 6 Applichiamo l algoritmo di Euclide esteso per trovare il d = MCD(867, 120) e per trovare due interi s, t tali che 867s + 120t = d. Otteniamo la sequenza 867 = = diviso 120 quoziente 7, resto = diviso 27 quoziente 4, resto = diviso 12 quoziente 2, resto 3 3 = diviso 3 quoziente 4, resto 0 Abbiamo quindi che MCD(867, 120) = 3 e che = 3. Osserviamo che la terza riga è stata ottenuta sottraendo 7 volte la seconda riga dalla prima (7 è il quoziente fra 867 e 120). Analogamente, la quarta riga è stata ottenuta sottraendo 4 volte la terza riga dalla seconda (4 è il quoziente della divisione fra 120 e 27), e cosiì via fino a quando non è stato ottenuto un resto uguale a zero. L algoritmo di Euclide esteso si applica quando a e b sono entrambi non negativi. Per calcolare i coefficienti s, t nel caso in cui a, b o entrambi siano negativi, il metodo più semplice consiste nell applicare l algoritmo di Euclide esteso a a e b e nel cambiare successivamente il segno dei valori s e t trovati. Questo procedimento è descritto nel seguente esempio. Esempio 7 Vogliamo calcolare d = MCD(519, 123) e trovare due interi s, t tali che 519s 123t = d. Cominciamo applicando l algoritmo di Euclide esteso alla coppia 519, = = diviso 123 quoziente 4, resto = diviso 27 quoziente 4, resto = diviso 15 quoziente 1, resto = diviso 12 quoziente 1, resto 3 3 = diviso 3 quoziente 4, resto 0 Abbiamo quindi che 3 = MCD(519, 123) = MCD(519, 123). Inoltre 3 = = ( 123) 38, di conseguenza i valori cercati sono s = 9 e t = 38.

7 1.4 Il minimo comune multiplo Il minimo comune multiplo Dati due interi a, b non nulli, il minimo comune multiplo fra a e b è il più piccolo intero positivo che è multiplo sia di a che di b. Se m è il minimo comune multiplo di a e b scriviamo m = mcm(a, b). Esempio 8 mcm(48, 15) = 240 mcm(10, 6) = 30 mcm(15, 14) = 210 mcm(48, 15) = 240 mcm( 48, 15) = 240 mcm( 33, 21) = 231. Anche per il calcolo di mcm(a, b) si può utilizzare il metodo che abbiamo imparato alle scuole medie: si scrivono le fattorizzazioni di a e b e si prendono i fattori comuni e non comuni con il massimo esponente. Sfortunatamente, come abbiamo già osservato parlando del MCD, quando a e b sono grandi è molto dispendioso calcolare la loro fattorizzazione e di conseguenza questa strada non è praticabile. Per il calcolo del mcm utilizzeremo invece la seguente formula (che per semplicità non dimostriamo): ab mcm(a, b) = MCD(a, b). (10) Ad esempio abbiamo: mcm(273, 399) = = = MCD(273, 399) L equazione diofantea ax + by = c In questa sezione studieremo il seguente problema: dati tre interi qualsiasi a, b, c vogliamo trovare per quali coppie di numeri interi x, y vale la relazione ax + by = c. Le equazioni di questo tipo sono dette equazioni diofantee. Esempio 9 Un esempio di equazione diofantea è il seguente: trovare una coppia di interi x, y tali che 867x + 120y = 15. A prima vista questo problema può sembrare molto difficile; tutte le tecniche che sono state studiate alle superiori non si possono applicare a causa della richiesta che le soluzioni x, y siano intere. Possiamo però osservare che l Esempio 6 ci fornisce la coppia di numeri (9, 65) tali che = 3. Moltiplicando entrambi i membri di questa uguaglianza per 5 otteniamo la relazione 867 (9 5) ( 65 5) = 3 5 da cui = 15. Abbiamo quindi che l equazione 867x + 120y = 15 ammette la soluzione x = 45, y = 325. Nel esempio precedente abbiamo ottenuto la soluzione dell equazione diofantea utilizzando i valori restituiti dall algoritmo di Euclide esteso. Il seguente lemma ci mostra che questa strada si può applicare in molte situazioni. Lemma 2 Data l equazione diofantea ax + by = c, se a e b non sono entrambi nulli e MCD(a, b) divide c allora possiamo trovare una soluzione dell equazione utilizzando l algoritmo di Euclide esteso. Dimostrazione: Sia d = MCD(a, b), e siano s, t i valori restituiti dall algoritmo di Euclide esteso tali che as + bt = d. Dato che per ipotesi d c abbiamo che c/d è un numero intero. Abbiamo allora as + bt = d a(sc/d) + b(tc/d) = c. Possiamo concludere quindi che x = sc/d e y = tc/d sono due numeri interi e costituiscono una soluzione dell equazione diofantea.

8 8 1 I NUMERI INTERI Esempio 10 Cosa succede se uno o entrambi gli interi a o b sono negativi? Il procedimento non cambia: è sufficiente stare attenti ai segni. Ad esempio, per risolvere l equazione diofantea 116x + 88y = 100 applichiamo l algoritmo di Euclide esteso ai valori 116, 88 ottenendo che il loro MCD è 4 e che = 4. Abbiamo quindi che = 4 Moltiplicano entrambi i termini per 25 = 100/4 otteniamo = 100 e possiamo concludere che una soluzione del problema proposto è x = 75, y = 100. Osservazione 2 I risultati precedenti ci mostrano che quando d = MCD(a, b) divide c, siamo in grado di trovare una soluzione dell equazione diofantea ax + by = c. È immediato però osservare che partendo da una soluzione particolare x 0, y 0 possiamo calcolare una famiglia infinita di soluzioni. Ponendo infatti α = a/d, β = b/d abbiamo che se x 0, y 0 è una soluzione dell equazione diofantea lo è anche la coppia x 0 + kβ, y 0 kα (11) per ogni intero k. Abbiamo infatti ( ) ( ) a x 0 + βk + b y 0 αk = ax 0 + (ab/d)k + by 0 (ab/d)k = ax 0 + by 0 = c. Esempio 11 Dall Esempio 6 sappiamo che MCD(867, 120) = 3 e che x = 45, y = 325 è una soluzione dell equazione diofantea 867x + 120y = 15. Dato che 867/3 = 289 e 120/3 = 40, per l osservazione precedente abbiamo che anche le coppie x = k, y = k sono soluzione dell equazione per qualsiasi valore di k. Ad esempio per k = 1, 2, 3, 2 otteniamo rispettivamente le soluzioni x = 5, y = 36; x = 35, y = 253; x = 75, y = 542; x = 125, y = 903. Abbiamo quindi che l equazione (11) ci fornisce una famiglia infinita di soluzioni dell equazione diofantea ax + by = c data una qualsiasi soluzione x 0, y 0. È naturale chiedersi se ci possono essere altre soluzioni al difuori di questa famiglia. Mostriamo ora che questo non è possibile. Sia x 1, y 1 un altra soluzione dell equazione diofantea. Deve essere: ax 1 + by 1 = ax 0 + by 0 (in quanto entrambi i termini sono uguali a c). Otteniamo allora: a(x 1 x 0 ) = b(y 0 y 1 ) dividendo per d = MCD(a, b) e ricordando che α = a/d, β = b/d otteniamo α(x 1 x 0 ) = β(y 0 y 1 ). (12) Abbiamo quindi che β(y 1 y 0 ) è un multiplo di α. Ma è facile verificare che α e β non hanno fattori in comune, e di conseguenza tutti i fattori di α devono essere contenuti in (y 0 y 1 ) che quindi sarà della forma αt per un qualche intero t. Sostituendo questa relazione nella (12) otteniamo da cui x 1 x 0 = βt. Concludendo abbiamo che α(x 1 x 0 ) = βαt x 1 = x 0 + βt, y 1 = y 0 αt

9 1.6 Esercizi su MCD ed equazioni diofantee 9 e quindi anche x 1, y 1 appartiene alla famiglia (11). Possiamo concludere che quando d = MCD(a, b) divide c, siamo in grado di descrivere tutte le infinite soluzioni dell equazione ax + by = c. Cosa succede quando d non divide c? Il procedimento che abbiamo visto non può essere applicato, potrebbe però esistere un diverso metodo di risoluzione. Il seguente lemma ci mostra che le cose non stanno così: in quanto se d c allora l equazione diofantea non ha soluzioni. Lemma 3 Se d = MCD(a, b) non divide c, l equazione diofantea ax + by = c non ha soluzioni. Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che la coppia x 0, y 0 sia una soluzione dell equazione diofantea, cioè che ax 0 + by 0 = c. Dato che d = MCD(a, b) esistono due interi α, β tali che a = dα e b = dβ. Ne segue che c = ax 0 + by 0 = dαx 0 + dβy 0 = d(αx 0 + βy 0 ) e quindi dovremmo avere che d divide c. Possiamo riassumere i risultati di questa sezione nel seguente importante teorema. Teorema 4 Data l equazione diofantea ax+by = c con a e b non entrambi nulli, l equazione ammette soluzioni se e solo se d = MCD(a, b) divide c. Se le soluzioni esistono possiamo trovare una soluzione particolare mediante l algoritmo di Euclide esteso, e tutte le altre soluzioni mediante la formula (11) dell Osservazione 2. Infine dobbiamo chiederci cosa succede quando a e b sono entrambi nulli. In questo caso non possiamo neanche calcolare il loro MCD e di conseguenza il precedente teorema non può essere applicato. Per fortuna è immediato verificare che se a e b sono entrambi nulli, l equazione diofantea non ha soluzioni se c è diverso da zero, mentre quando c è anch esso uguale a zero ogni coppia di interi x 0, y 0 è soluzione dell equazione. 1.6 Esercizi su MCD ed equazioni diofantee La maggior parte degli esercizi che seguono si risolvono applicando quanto visto nella precedente sezione e in particolare il Teorema 4. Esercizio 1 Determinare per quali punti di coordinata intere passa la retta di equazione 2x 3 + 3y = 1. Soluzione. Ricordiamo che la retta passa per un punto se e solo se le coordinate del punto soddisfano l equazione della retta. Quindi affinché il punto (x 0, y 0 ) stia sulla retta data è necessario che sia 2x y 0 = 1. In altre parole vogliamo trovare le soluzioni (x, y) intere dell equazione 2x 3 + 3y = 3. Come prima cosa rendiamo interi tutti i coefficienti moltiplicando l equazione per 3 e ottenendo l equazione equivalente 2x + 9y = 3. (13) Vogliamo quindi trovare tutte le soluzioni intere di questa equazione. Per il Teorema 4 esistono delle soluzioni intere se e soltanto se MCD(2, 9) divide 3, condizione che è verificata in quanto MCD(2, 9) = 1. Per trovare tutte le soluzioni intere (cioè tutti i punti a coordinate intere per cui passa la retta) procediamo nel seguente modo. Per prima cosa dobbiamo determinare due interi s, t tali che 2s+9t = 1. In questo caso si vede che una soluzione è s = 4, t = 1; se la soluzione non si vede ad occhio possiamo determinarla usando la versione estesa dell algoritmo di Euclide. Moltiplicando la relazione 2( 4) + 9(1) = 1 per 3 otteniamo 2(12) + 9( 3) = 3 e quindi un primo punto che appartiene alla retta è (12, 3). Per trovare tutt le soluzioni dell equazione (13) ricordiamo che data una soluzione x 0, y 0 tutte le altre soluzioni hanno la forma (x 0 + 9λ, y 0 2λ) con λ Z (vedere l Osservazione 2). Nel nostro caso quindi le soluzioni hanno la forma: (12 + 9λ, 3 2λ) con λ Z.

10 10 1 I NUMERI INTERI Esercizio 2 Determinare per quali punti di coordinata intera passa la retta di equazione 3x 2 y 6 = 1 4. Soluzione. Come per l Esercizio 1 il primo passo consiste nel trasformare l equazione data in un equazione equivalente a coefficienti interi. Moltiplicando per 12 si ottiene l equazione 18x 2y = 3 della quale vogliamo trovare tutte le soluzioni intere. Il Teorema 4 ci dice che esistono soluzioni intere se e solo se MCD(18, 2) divide 3. Tale condizione non è verificata in quanto MCD(18, 2) = 2. Di conseguenza non esistono punti di coordinate intere attraversati dalla retta data. Esercizio 3 Dire per quali valori di t l equazione 100x + 120y = t ha soluzione. Soluzione. Per il Teorema 4 l equazione ha soluzione se e soltanto se MCD(100, 120) divide t. Dato che MCD(100, 120) = 20 l equazione ha soluzione quando t è un multiplo di 20, cioè ha la forma t = 20λ con λ Z. Esercizio 4 Dire per quali valori di a l equazione 999x 99y = a + 5 ha soluzione. Soluzione. Per il Teorema 4 l equazione ha soluzione se e soltanto se MCD(999, 99) divide a + 5. Per calcolare MCD(999, 99) osserviamo che esso è uguale a MCD(999, 99) e utilizziamo l algoritmo di Euclide che genera la sequenza: 999 diviso 99 quoziente = 10, resto = 9 99 diviso 9 quoziente = 11, resto = 0 Abbiamo quindi MCD(999, 99) = 9 e l equazione ha soluzione quando a + 5 è un multiplo di 9 cioè quando a è della forma a = 9λ 5 con λ Z. Quindi abbiamo a = {..., 14, 5, 4, 13,...}. Esercizio 5 Dire per quali valori di a l equazione 3ax + 2y = 1 ha soluzione. Soluzione. Per il Teorema 4 l equazione ha soluzione se e soltanto se MCD(3a, 2) = 1. Dato che 2 e 3 non hanno fattori comuni, affinché MCD(3a, 2) = 1 basta che a non contenga il fattore 2. In altre parole l equazione ha soluzione se a è dispari, mentre se a è pari l equazione non ha soluzione. Esercizio 6 Dire se la retta di equazione 7x 6 + 2y = 2 3 passa per un punto le cui coordinate siano entrambe intere e pari. Soluzione. Come al solito trasformiamo il problema iniziale in un equazione diofantea. Moltiplicando per 6 otteniamo l equazione 7x + 12y = 4 (14) della quale vogliamo trovare le soluzioni x, y intere e pari. Usiamo il solito procedimento per determinare tutte le soluzioni, e poi verificheremo se ce ne sono con x, y entrambi pari. Abbiamo MCD(7, 12) = 1, e utilizzando eventualmente l algoritmo di Euclide esteso, troviamo due interi s, t tali che 7s + 12t = 1. Ad esempio abbiamo 7( 5) + 12(3) = 1. Una soluzione particolare dell equazione (14) è quindi x 0 = 20, y 0 = 12. Per l Osservazione 2 abbiamo che le soluzioni di (14) sono date da x = λ, y = 12 7λ con λ Z. È immediato vedere che le soluzione con coordinate entrambe pari sono quelle che si ottengono con λ pari, ad esempio: x = 20, y = 12 (λ = 0), x = 4, y = 2 (λ = 2), x = 28, y = 16 (λ = 4), etc.

11 11 2 Congruenze In questo capitolo si introducono i concetti di modulo, congruenza e classe di resto. Si tratta di concetti semplici che costituiscono la base dei risultati che saranno illustrati nei capitoli successivi. Ricordiamo che dati due interi a, b con b 0 scriviamo a mod b (si legge a modulo b) per indicare il resto della divisione fra a e b. Ad esempio abbiamo: 17 mod 6 = 5, 24 mod 4 = 0, 15 mod 4 = 3, 15 mod 4 = 1. Introduciamo ora un altra definizione collegata al concetto di modulo. Definizione 3 Fissato un intero positivo n > 0, diciamo che a è congruo a b modulo n, e scriviamo a n b [oppure a b (mod n)], se a b è un multiplo di n. Ad esempio abbiamo in quanto 12 2 = 10 è un multiplo di 5. Abbiamo in quanto 1 8 = 9 che è multiplo di 3. Se a = b non è un multiplo di n scriviamo a n b oppure a b (mod n). Ad esempio e Notiamo che in entrambe le scritture 17 mod 3 = 2 e 21 6 (mod 5) il termine modulo si riferisce alla quantità per cui si divide (3 nel primo esempio, 5 nel secondo). In matematica e informatica capita spesso si usa l espressione lavoriamo modulo n per indicare che ogni operazione è fatta modulo n cioè considerando di ogni quatità, non il valore esatto, ma solamente il resto della divisione per n. Ad esempio, se lavoriamo modulo 10 vuol dire che di ogni grandezza intera consideriamo solamente il resto della divisione per 10 (in pratica quindi consideriamo solo la cifra delle unità). Data l importanza di questo concetto, nella prossima sezione introduciamo formalmente gli insiemi nei quali tutte le operazioni vengono effettuate modulo un fissato intero positivo n. 2.1 Gli insiemi Z n Introduciamo gli insiemi Z n considerando inizialmente il caso particolare n = 5. Osserviamo che Z può essere suddiviso in 5 sottoinsiemi [0] 5, [1] 5, [2] 5, [3] 5, [4] 5 così definiti: 1. [0] 5 contiene gli interi k tali che k 5 0; quindi [0] 5 = {..., 5, 0, 5, 10,...}; 2. [1] 5 contiene gli interi k tali che k 5 1; quindi [1] 5 = {..., 4, 1, 6, 11,...}; 3. [2] 5 contiene gli interi k tali che k 5 2; quindi [2] 5 = {..., 3, 2, 7, 12,...}; 4. [3] 5 contiene gli interi k tali che k 5 3; quindi [3] 5 = {..., 2, 3, 8, 13,...}; 5. [4] 5 contiene gli interi k tali che k 5 4; quindi [4] 5 = {..., 1, 4, 9, 14,...}; Osserviamo che questi sottoinsiemi sono disgiunti e che ogni intero appartiene ad uno di questi sottoinsiemi. In termini matematici si dice che questi sottoinsiemi formano una partizione di Z. Osserviamo anche che ogni intero t appartiene al sottoinsieme [r] 5 dove r è il resto della divisione fra t e 5 (cioè r = t mod 5). Ad esempio per sapere in quale sottoinsieme appartiene osserviamo che mod 5 = 1 quindi [1] 5. Analogamente [2] 5, 100 [0] 5 e così via. A causa di questa proprietà questi cinque sottoinsiemi sono chiamati classi di resto modulo 5. Indichiamo nel seguito con Z 5 l insieme delle classi di resto Z 5 = {[0] 5, [1] 5, [2] 5, [3] 5, [4] 5 }. L insieme Z 5 ha quindi esattamente 5 elementi Il motivo fondamentale per cui introduciamo le classi di resto è che date due classi di resto siamo in grado di sommarle e moltiplicarle in maniera simile a quanto facciamo per i numeri interi, razionali, reali, etc. Le regole fondamentali per eseguire la somma e le moltiplicazioni in Z 5 sono le seguenti: [a] 5 + [b] 5 = [(a + b) mod 5] 5, e [a] 5 [b] 5 = [ab mod 5] 5. (15) Informalmente queste regole si possono riassumere nel seguente modo: eseguiamo la somma e il prodotto tradizionale e poi prendiamo il resto della divisione per 5. Ad esempio abbiamo: [2] 5 + [1] 5 = [3] 5, [3] 5 + [4] 5 = [2] 5, [4] 5 + [1] 5 = [0] 5, [0] 5 + [2] 5 = [2] 5, [2] 5 [1] 5 = [2] 5, [3] 5 [3] 5 = [4] 5, [4] 5 [2] 5 = [3] 5, [0] 5 [2] 5 = [0] 5.

12 12 2 CONGRUENZE Tutto ciò che abbiamo appena visto nel caso n = 5, può essere ripetuto per un qualsiasi n > 0. Fissato n possiamo definire le classi di resto [0] n, [1] n,..., [n 1] n. La classe [i] n contiene tutti gli interi k tali che k n i cioè i numeri della forma i + λn con λ Z. Equivalentemente possiamo dire che [i] n contiene tutti gli interi che divisi per n danno resto i. Ad esempio abbiamo: [3] 13 = {..., 10, 3, 16, 29,...}. Indichiamo con Z n l insieme Z n = {[0] n, [1] n,..., [n 1] n }, che quindi ha esattamente n elementi. Dati due elementi di Z n li possiamo sommare e moltiplicare con le stesse regole viste nel caso n = 5: Ad esempio abbiamo: [a] n + [b] n = [(a + b) mod n] n, e [a] n [b] n = [ab mod n] n. (16) [3] 9 + [4] 9 = [7] 9, [3] 7 + [4] 7 = [0] 7, [10] 13 + [9] 13 = [6] 13, [1] 2 + [1] 2 = [0] 2, [3] 6 [2] 6 = [0] 6, [6] 9 [5] 9 = [3] 9, [9] 11 [8] 11 = [1] 11, [6] 12 [6] 12 = [0] 12. È immediato verificare che le operazioni di somma e prodotto in Z n soddisfano alle stesse proprietà che abbiamo visto per gli interi (vedi Sezione 1): s 1 ) [a] n + [b] n = [b] n + [a] n la somma è commutativa s 2 ) [a] n + ([b] n + [c] n ) = ([a] n + [b] n ) + [c] n la somma è associativa s 3 ) [a] n + [0] n = [0] n + [a] n = [a] n [0] n è l elemento neutro per la somma s 4 ) [a] n + [n a] n = [n a] n + [a] n = [0] n ogni elemento ha un inverso rispetto alla somma p 1 ) [a] n [b] n = [b] n [a] n il prodotto è commutativo (17) p 2 ) [a] n ([b] n [c] n ) = ([a] n [b] n )[c] n il prodotto è associativo p 3 ) [a] n [1] n = [1] n [a] n = [a] n [1] n è l elemento neutro per il prodotto d 1 ) [a] n ([b] n + [c] n ) = [a] n [b] n + [a] n [c] n il prodotto è distributivo rispetto alla somma. L unica proprietà non banale è la s 4 che dice che ogni elemento di Z n ha un inverso rispetto alla somma: in particolare, l inverso dell elemento [a] n è [n a] n. Ad esempio, in Z 13 l inverso di [5] 13 è [13 5] 13 = [8] 13, come possiamo verificare osservando che [5] 13 + [8] 13 = [0] 13. L esistenza dell inverso rispetto alla moltiplicazione sarà l argomento della prossima sezione. Osservazione 3 Su Z n è possibile definire l operazione di sottrazione secondo la regola [a] n [b] n = [a b mod n] n. Ad esempio: [4] 13 [8] 13 = [ 4 mod 13] = [9] 13. Per semplicità nel seguito trasformeremo spesso le sottrazioni in somme usando la formula [a] n [b] n = [a] n + [n b] n. 2.2 L equazione [a] n [x] n = [1] n In questa sezione vogliamo stabilire quali sono gli elementi di Z n che hanno un inverso rispetto al prodotto. In altre parole, vogliamo sapere per quali elementi [a] n Z n esiste una classe di resto [b] n tale che [a] n [b] n = [1] n. In altre parole ancora, vogliamo determinare per quali [a] n l equazione [a] n [x] n = [1] n (18) ammette soluzioni. Prima di procedere ricordiamo quello che già sappiamo sugli altri insiemi numerici: in Z l equazione ax = 1 ha soluzione solo per a = 1 e a = 1. In Q e in R, l equazione ax = 1 ha

13 2.2 L equazione [a] n [x] n = [1] n 13 soluzione per ogni a 0. Sorprendentemente, vedremo che la situazione in Z n è più simile a quella di Q e R che non a quella di Z. Osserviamo che l equazione [a] n [x] n = [1] n equivale a [ax] n = [1] n. Ci chiediamo quindi per quali a esiste x tale che ax mod n = 1, cioè il resto della divisione tra ax e n è esattamente uguale a 1. Se indichiamo con q il quoziente della divisione, si vuole che ax = nq + 1. In altre parole, l equazione (18) ha soluzione se e solo se esistono due interi x e q tali che ax nq = 1 (19) Quest ultima equazione è una nostra vecchia conoscenza e noi sappiamo che ammette soluzione se e solo se MCD(a, n) = MCD(a, n) = 1. Inoltre se MCD(a, n) = 1 sappiamo che mediante l algoritmo di Euclide esteso possiamo trovare x e q che soddisfano la (19). Il valore x mod n ci fornisce la classe di resto soluzione dell equazione (18). Esempio 12 Vogliamo risolvere l equazione [5] 22 [x] 22 = [1] 22. Per quanto detto sopra deve essere 5x mod 22 = 1. Abbiamo quindi l equazione diofantea: 5x 22t = 1 che è risolubile in quanto MCD(5, 22) = 1. Per tentativi, o utilizzando l algoritmo di Euclide esteso, troviamo che una soluzione è x = 13, t = 3. La soluzione dell equazione di partenza è quindi [ 13 mod 22] 22 = [9] 22. Osserviamo che la soluzione è corretta in quanto [5] 22 [9] 22 = [1] 22. Il risultato che abbiamo appena visto è sufficientemente importante da enunciarlo in un teorema. Teorema 5 L equazione [a] n [x] n = [1] n ha soluzione se e solo se MCD(a, n) = 1. Se la soluzione esiste possiamo trovarla mediante l algoritmo di Euclide esteso. Dato che [a] n ha un inverso moltiplicativo se e solo se l equazione [a] n [x] n = [1] n ha soluzione, usando il Teorema 5 siamo in grado di dare una risposta al problema di stabilire quali classi di resto di Z n hanno un inverso moltiplicativo. Corollario 1 La classe di resto [a] n Z n ha un inverso moltiplicativo se e solo se MCD(a, n) = 1. Se l inverso esiste lo possiamo trovare mediante l algoritmo di Euclide esteso. Esempio 13 Per trovare l inverso moltiplicativo della classe [10] 23, dobbiamo trovare x tale che 10x mod 23 = 1. Quindi dobbiamo risolvere l equazione 10x 23t = 1. Una soluzione è data da x = 7, t = 3 per cui l inversa della classe [10] 23 è la classe [7] 23. Osservazione 4 In analogia con i numeri razionali e reali, quando esiste l inverso moltiplicativo dell elemento [a] n si indica con [a] 1 n. Nell esempio precedente abbiamo quindi [10] 1 23 = [7] 23. Notiamo che, per definizione, per ogni elemento [a] n invertibile vale la relazione [a] n [a] 1 n = [1] n. Consideriamo ora il caso particolare in cui il modulo (cioè n) sia un numero primo. In questo caso abbiamo che per i = 1,..., n 1 MCD(i, n) = 1 (n è primo quindi non ha divisori più piccoli di lui diversi da 1). Di conseguenza, tutte le classi di resto, esclusa [0] n sono invertibili. Siamo quindi nella stessa situazione dei numeri razionali e dei numeri reali in cui tutti gli elementi diversi da zero hanno inverso moltiplicativo!

14 14 2 CONGRUENZE 2.3 Esercizi sulle congruenze Esercizio 7 Risolvere in Z 48 l equazione [11] 48 [x] 48 = [6] 48. Soluzione. Possiamo risolvere l esercizio in due modi. Il primo consiste nel trovare l inverso moltiplicativo di [11] 48, cioè trovare [y] 48 tale che [11] 48 [y] 48 = [1] 48 ([y] 48 esiste in quanto MCD(11, 48) = 1). Passando dall equazione diofantea 11x 48q = 1 otteniamo [y] 48 = [35] 48. A questo punto moltiplichiamo entrambi i termini dell equazione di partenza per [35] 48 ottenendo da cui [35] 48 [11] 48 [x] 48 = [35] 48 [6] 48 [1] 48 [x] 48 = [18] 48 e la soluzione è quindi [x] 48 = [18] 48. Il secondo metodo di risoluzione consiste nell osservare che x deve essere tale che il resto della divisione fra 11x e 48 sia 6. Quindi dobbiamo avere: 11x = 48q + 6. Con calcoli analoghi al caso precedente si ottiene ancora [x] 48 = [18] 48. Esercizio 8 Risolvere in Z 36 l equazione [15] 36 [x] 36 = [6] 36. Soluzione. Osserviamo che l esercizio è simile all Esercizio 7 per il quale avevamo visto due possibile metodi di risoluzione. In questo caso però, MCD(15, 36) 1, quindi [15] 36 non ha l inverso moltiplicativo in Z 36. Di conseguenza, il primo metodo di risoluzione usato nell Esercizio 7 non è applicabile. Utilizziamo allora il secondo metodo che consiste nel risolvere l equazione diofantea: 15x 36q = 6. Dato che MCD(15, 36) divide 6, l equazione è risolubile. Si vede immediatamente che una soluzione è x = 2, q = 1. L insieme di tutte le soluzione è dato allora da x = λ e q = 1 + 5λ con λ Z. Osserviamo che al variare di λ i valori assunti da x sono {..., 2, 10, 22, 34, 46,...}. Di conseguenza, le classi di resto soluzione dell equazione [15] 36 [x] 36 = [6] 36 sono [x] 36 = [10] 36, [x] 36 = [22] 36, [x] 36 = [34] 36 (provare per credere!). Esercizio 9 Risolvere in Z 36 l equazione [12] 36 [x] 36 = [6] 36. Soluzione. Procedendo come nell esercizio precedente abbiamo che x deve essere una soluzione dell equazione diofantea 12x 36q = 6. In questo caso però MCD(12, 36) non divide 6, quindi l equazione diofantea e la nostra equazione di partenza non hanno soluzioni. Osservazione 5 Combinando quanto abbiamo visto negli Esercizi 7, 8, e 9 possiamo concludere che l equazione di primo grado [a] n [x] n = [b] n in Z n ha una e una sola soluzione quando MCD(a, n) = 1. Se MCD(a, n) > 1 e MCD(a, n) non divide b l equazione non ha soluzioni, se infine MCD(a, n) > 1 e MCD(a, n) divide b allora l equazione ha più di una soluzione. È possibile dimostrare che in quest ultimo caso il numero di soluzioni coincide esattamente con MCD(a, n). Esercizio 10 Risolvere in Z 13 l equazione [3] 13 [x] 13 + [5] 13 = [6] 13 + [9] 13 [x] 13. Soluzione. Si procede come nelle equazioni di primo grado sui reali portando a sinistra dell uguale i termini con la [x] 13 e a destra gli altri termini. Otteniamo quindi da cui (essendo [3] 13 [9] 13 = [3] 13 + [4] 13 ) [3] 13 [x] 13 [9] 13 [x] 13 = [6] 13 [5] 13, [7] 13 [x] 13 = [1] 13. Risolvendo l equazione diofantea 7x 13q = 1 (o calcolando l inverso moltiplicativo di [7] 13, [7] 1 13 = [2] 13 ) otteniamo [x] 13 = [2] 13.

15 2.3 Esercizi sulle congruenze 15 Esercizio 11 Risolvere l equazione [13] 80 [x] 80 + [20] 80 = [68] 80 [13] 80 [x] 80. Soluzione. Riordinando i termini si ottiene l equazione equivalente: [26] 80 [x] 80 = [48] 80 Dato che MCD(26, 80) = 2 divide 48 l equazione ha due soluzioni (vedi Osservazione 5). Risolvendo l equazione diofantea 26x 80q = 48 si trovano le soluzioni [x] 80 = [8] 80 e [x] 80 = [48] 80. Esercizio 12 Dire per quali valori di [a] 12 l equazione [a] 12 [x] 12 = [1] 12 + [9] 12 [x] 12 ha soluzione. Soluzione. Portiamo [9] 12 [x] 12 a sinistra dell uguale ottenendo da cui ([a] 12 [9] 12 )[x] 12 = [1] 12 [a + 3] 12 [x] 12 = [1] 12. I valori ammessi di [a] 12 sono quindi quelli per cui [a + 3] 12 ha l inverso moltiplicativo. Dato che gli elementi di Z 12 con inverso moltiplicativo sono [1] 12, [5] 12, [7] 12, [11] 12 i valori ammessi di [a] 12 sono [10] 12, [2] 12, [4] 12, [8] 12.

16 16 3 APPLICAZIONI DELLE CONGRUENZE 3 Applicazioni delle congruenze Nella sezione precedente abbiamo introdotto il concetto di congruenza; in questa sezione vediamo alcune applicazioni. Per molte di queste applicazioni la proprietà fondamentale da ricordare è la seguente: se abbiamo un espressione contenente solo somme e prodotti e siamo interessati a sapere quanto vale modulo n (cioè a sapere il resto del risultato dell espressione modulo n), allora tutti i conti e tutti i risultati intermedi li posso fare modulo n (cioè prendendo il resto della divisione per n ad ogni passaggio). Ad esempio, per calcolare mod 7 possiamo scrivere: [ ] 7 = [9999] 3 7 = [3] 3 7 = [27] 7 = [6] 7. In seguito vedremo altri esempi simili di utilizzo di questa proprietà. 3.1 Criteri di divisibilità in base 10 Il nostro modo usuale di rappresentare i numeri è detto in base 10 in quanto utilizza 10 cifre. Sappiamo inoltre che le cifre in base dieci di un numero rappresentano, da destra a sinistra le unità, decine, centinaia, migliaia, etc. Ad esempio abbiamo: 7241 = Nel seguito scriveremo (d k 1 d k 2 d 0 ) 10 per indicare un intero positivo di k cifre decimali (si assume quindi 0 d i 9, e d k 1 0); tale numero rappresenta il valore: d k 1 10 k 1 + d k 2 10 k d d 0. (20) Teorema 6 Il numero (d k 1 d k 2 d 0 ) 10 è divisibile per 3 se e solo se la somma delle cifre è divisibile per 3, cioè se abbiamo d k 1 + d k d 0 mod 3 = 0. Dimostrazione: Osserviamo che per ogni i > 0 abbiamo [10 i ] 3 = ([10] 3 ) i = ([1] 3 ) i = [1] 3 ; in altre parole 10 i diviso 3 da sempre resto 1. Di conseguenza abbiamo: [d k 1 10 k d d 0 ] 3 = [d k 1 ] 3 [10 k 1 ] [d 1 ] 3 [10] 3 + [d 0 ] 3 = [d k 1 ] 3 [1] [d 1 ] 3 [1] 3 + [d 0 ] 3 = [d k 1 ] [d 1 ] 3 + [d 0 ] 3 = [d k d 1 + d 0 ] 3 Osservazione 6 Notiamo che la dimostrazione dice qualcosa di più del teorema. Infatti la dimostrazione ci dice che [d k d 1 + d 0 ] 3 è uguale al resto della divisione fra (d k 1 d k 2 d 0 ) 10 e 3. Ad esempio, se dividiamo 1234 per 3 otteniamo come resto mod 3 = 1. Questa osservazione si applica a tutti i criteri di divisibilità descritti in questa sezione. Teorema 7 Il numero (d k 1 d k 2 d 0 ) 10 è divisibile per 9 se e solo se la somma delle cifre è divisibile per 9, cioè se abbiamo d k 1 + d k d 0 mod 9 = 0. Dimostrazione: La dimostrazione è identica a quella del teorema precedente in quanto abbiamo [10 i ] 9 = ([10] 9 ) i = ([1] 9 ) i = [1] 9. Teorema 8 Il numero (d k 1 d k 2 d 0 ) 10 è divisibile per 2 se e solo se l ultima cifra è pari, cioè d 0 mod 2 = 0.

17 3.1 Criteri di divisibilità in base Dimostrazione: Dato che per i > 0 si ha [10 i ] 2 = ([10] 2 ) i = ([0] 2 ) i = [0] 2, abbiamo [d k 1 10 k d d 0 ] 2 = [d k 1 ] 2 [10 k 1 ] [d 1 ] 2 [10] 2 + [d 0 ] 2 = [d k 1 ] 2 [0] 2 + [d k 2 ] 2 [0] [d 1 ] 2 [0] 2 + [d 0 ] 2 = [d 0 ] 2 Teorema 9 Il numero (d k 1 d k 2 d 0 ) 10 è divisibile per 4 se e solo se il numero formato dalle ultime due cifre è divisibile per 4, cioè (d 1 d 0 ) 10 mod 4 = 0. Dimostrazione: Abbiamo che per i > 1 si ha [10 i ] 4 = ([10] 4 ) i = ([0] 4 ) i = [0] 4. possiamo scrivere: di conseguenza [d k 1 10 k d d 0 ] 4 = [d k 1 ] 4 [10 k 1 ] [d 1 ] 4 [10] 4 + [d 0 ] 4 = [d k 1 ] 4 [0] 4 + [d k 2 ] 4 [0] [d 1 ] 4 [10] 4 + [d 0 ] 4 = [d d 0 ] 4 Osservazione 7 Il Teorema 9 può essere generalizzato. Abbiamo infatti che per i j, 10 i è multiplo di 2 j cioè [10 i ] 2 j = [0] 2 j. Di conseguenza abbiamo che (d k 1 d k 2 d 0 ) 10 è divisibile per 2 j se il numero formato dalle sue ultime j cifre lo è. In altre parole (d k 1 d k 2 d 0 ) 10 è divisibile per 2 j se (d j 1 d j 2 d 0 ) 10 lo è. Ad esempio è divisibile per 16 in quanto 0160 (cioè 160) è divisibile per 16. Teorema 10 Il numero (d k 1 d k 2 d 0 ) 10 è divisibile per 5 se e solo se l ultima cifra è 0 o 5. Dimostrazione: Dato che per i > 0 si ha [10 i ] 5 = ([10] 5 ) i = ([0] 5 ) i = [0] 5, abbiamo [d k 1 10 k d d 0 ] 5 = [d k 1 ] 5 [10 k 1 ] [d 1 ] 5 [10] 5 + [d 0 ] 5 = [d k 1 ] 5 [0] 5 + [d k 2 ] 5 [0] [d 1 ] 5 [0] 5 + [d 0 ] 5 = [d 0 ] 5 Teorema 11 Il numero (d k 1 d k 2 d 0 ) 10 è divisibile per 11 se e solo se d 0 d 1 + d 2 d 3 + ( 1) k 1 d k 1 è divisibile per 11. Dimostrazione: Osserviamo che , quindi [10] i 11 = [ 1]i 11. [10] i 11 = [1] 11, mentre per i dispari [10] i 11 = [ 1] 11. Abbiamo quindi: Di conseguenza per i pari [(d k 1 d k 2 d 0 ) 10 ] 11 = [d 0 ] 11 + [d 1 ] 11 [10] 11 + [d 2 ] 11 [10 2 ] [d k 1 ] 11 [10 k 1 ] 11 = [d 0 ] 11 + [d 1 ] 11 [ 1] 11 + [d 2 ] 11 [1] [d k 1 ] 11 [( 1) k 1 ] 11 = [d 0 ] 11 + [ d 1 ] 11 + [d 2 ] [( 1) k 1 d k 1 ] 11 = [d 0 d 1 + d ( 1) k 1 d k 1 ] 11 Ad esempio abbiamo che 231 è divisibile per 11 in quanto = 0. Analogamente 5390 è multiplo di 11 in quanto = 11. Concludiamo questa sezione osservando che è possibile ottenere altri criteri di divisibilità componendo quelli che abbiamo appena visto. Ad esempio, utilizzando i Teoremi 6 e 8 otteniamo che un numero è divisibile per 6 se e solo se la somma delle sue cifre è multipla di 3 e l ultima cifra è pari. Analogamente abbiamo che un numero è divisibile per 45 se e solo se la somma delle sue cifre è multipla di 9 e l ultima cifra è 0 o 5.

18 = [d k d 1 + d 0 ] APPLICAZIONI DELLE CONGRUENZE Esercizio 13 Dimostrare che per un qualsiasi numero di 2 cifre (d 1 d 0 ) 10 si ha che (d 1 d 0 ) 10 (d 0 d 1 ) 10 è un multiplo di 9. Ad esempio = 18, = 45, etc. Soluzione. Abbiamo (d 1 d 0 ) 10 (d 0 d 1 ) 10 = d d 0 d d 1 = 9(d 1 d 0 ). 3.2 Rappresentazione di un numero in base b 10 È possibile rappresentare gli interi utilizzando una qualsiasi base b > 1. Lavorare in base b vuol dire rappresentare i numeri utilizzando b cifre che compongono i numeri con uno schema analogo alla formula (20). Ad esempio, se lavoriamo in base 3, abbiamo a disposizione le cifre 0, 1, 2, ed il numero in base 3 (20010) 3 rappresenta il valore: (21011) 3 = = = 104. Gli interi 1,..., 10 scritti in base 3 risultano quindi: 1 = (1) 3, 2 = (2) 3, 3 = (10) 3, 4 = (11) 3, 5 = (12) 3, 6 = (20) 3, 7 = (21) 3, 8 = (22) 3, 9 = (100) 3, 10 = (101) 3. In generale, se lavoriamo in base b abbiamo b cifre i cui valori sono 0, 1, 2,..., b 1. Un generico numero in base b di k cifre lo scriviamo nella forma (d k 1 d k 2 d 0 ) b e rappresenta il valore (21) d k 1 b k 1 + d k 2 b k d 1 b + d 0. (22) Se b 10, per rappresentare le cifre di valore maggiore di 9 si usano solitamente le lettere dell alfabeto. Ad esempio in informatica si usa a volte la base 16 e si usano le lettere A, B,..., F per rappresentare le cifre di valore da 10 a 15. Il numero in base 16 (2A3E) 16 denota quindi il valore (2A3E) 16 = = Un altra base che gli informatici devono conoscere è naturalmente la base 2 che è quella utilizzata internamente dagli elaboratori elettronici. Lavorando in base 2 abbiamo a disposizione solo le due cifre 0 e 1. Il numero in base 2 ( ) 2 rappresenta quindi il valore ( ) 2 = = Osserviamo che per rappresentare sono necessarie 4 cifre se lavoriamo in base 16, e 14 cifre se lavoriamo in base 2. Questo è vero in generale: maggiore è la base, minore il numero di cifre necessarie per rappresentare un dato numero. È importante sottolineare che i criteri di divisibilità che abbiamo visto nella Sezione 3.1 per i numeri rappresentati in base 10 non sono validi se lavoriamo in una base diversa. Ad esempio, le formule (21) mostrano che lavorando in base 3 non è vero che un numero è pari se e solo se la sua ultima cifra è pari. È possibile però stabilire dei criteri di divisibilità anche per numeri in base diversa da 10 come mostrato dai seguenti esercizi. Esercizio 14 Dimostrare che il numero (d k 1 d k 2 d 0 ) 3 è divisibile per due se e solo se la somma delle cifre è pari, cioè se abbiamo d k 1 + d k d 0 mod 2 = 0. Soluzione. Osserviamo che per ogni i > 0 abbiamo [3 i ] 2 = ([1] 2 ) i = [1] 2 ; in altre parole 3 i diviso 2 da sempre resto 1. Di conseguenza abbiamo: [d k 1 3 k d d 0 ] 2 = [d k 1 ] 2 [3 k 1 ] [d 1 ] 2 [3] 2 + [d 0 ] 2 = [d k 1 ] 2 [1] [d 1 ] 2 [1] 2 + [d 0 ] 2

19 3.3 Algoritmo veloce per l elevamento a potenza 19 Osservazione 8 Questo esercizio può essere generalizzato nel seguente modo: se c divide b 1 il numero in base b (d k 1 d k 2 d 0 ) b è divisibile per c se e solo se d k 1 + d k d 0 mod c = 0. (Provare per esercizio a dimostrare questa affermazione). Ad esempio, il numero in base sedici (d k 1 d k 2 d 0 ) 16 è divisibile per 5 se e solo se d k 1 + d k d 0 mod 5 = 0. Quindi abbiamo che (3B1) 16 è divisibile per 5 in quanto = 15 (infatti (3B1) 16 = (780) 10 ). Esercizio 15 Dimostrare che numero (d k 1 d k 2 d 0 ) 6 è divisibile per 7 se e solo se d 0 d 1 + d 2 d 3 + ( 1) k 1 d k 1 è divisibile per 7. Soluzione. Si osserva che [6 i ] 7 = [ 1] i 7 e si procede come nella dimostrazione del Teorema 11. Esercizio 16 Dimostrare che numero (d k 1 d k 2 d 0 ) 12 è divisibile per 9 se e solo se d d 0 è divisibile per 9. Ad esempio (316) 12 è divisibile per 9 in quanto = 18. Soluzione. Si osserva che per i 2 si ha [12 i ] 9 = [0] 9 e si procede come nella dimostrazione del Teorema Algoritmo veloce per l elevamento a potenza Supponiamo di voler calcolare [3] Invece di eseguire 63 moltiplicazioni [3] 11 [3] 11 [3] 11, osservando che 64 = 2 6 possiamo cavarcela con solo 6 moltiplicazioni. Abbiamo infatti: [3] 2 11 = [9] 11, [3] 4 11 = [9]2 11 = [4] 11, [3] 8 11 = [4]2 11 = [5] 11, [3] = [5]2 11 = [3] 11, [3] = [3]2 11 = [9] 11, [3] = [9]2 11 = [4] 11. Il risparmio è notevole: vale quindi la pena di cercare di generalizzare questo metodo anche nei casi in cui l esponente non è una potenza di 2. Supponiamo ad esempio di voler calcolare [7] Come primo passo scriviamo l esponente 41 in forma binaria (vedere Sezione 3.2), abbiamo: 41 = (101001) 2. Questo vuol dire che: 41 = Per le proprietà delle potenze abbiamo: Di conseguenza, per calcolare [7] [7] = [7] = [7] [7] [7] dobbiamo semplicemente calcolare [7]25 11, [7]23 11, e [7]20 11 e moltiplicare questi tre valori tra loro. Ma noi abbiamo appena visto che mediante elevamenti al quadrato successivi possiamo calcolare velocemente [7] 11 elevato ad una potenza di 2. Abbiamo infatti: [7] 2 11 = [5] 11, [7] = [5] 2 11 = [3] 11, [7] = [3] 2 11 = [9] 11, [7] = [9] 2 11 = [4] 11, [7] = [4] 2 11 = [5] 11, e possiamo quindi concludere che [7] = [7] [7] [7] = [5] 11 [9] 11 [7] 11 = [7] 11. Esempio 14 Supponiamo di dover calcolare [5] Abbiamo quindi Calcoliamo [5] 2i 19 per i = 1, 2,..., 10: 1234 = ( ) 2 = , [5] = [5] [5] [5] [5] [5] [5] 2 19 = [6] 19, [5] = [ 2] 19, [5] = [4] 19, [5] = [ 3] 19, [5] = [9] 19 [5] = [5] 19, [5] = [6] 19 [5] = [ 2] 19, [5] = [4] 19, [5] = [ 3] 19

20 20 3 APPLICAZIONI DELLE CONGRUENZE Abbiamo allora [5] = [5] [5] [5] [5] [5] = [ 3] 19 [6] 19 [5] 19 [ 3] 19 [6] 19 = [5] 19. Riassumendo: per calcolare la potenza [t] m n scriviamo m in binario m = (d k 1 d 1 d 0 ) 2, calcoliamo le potenze [t] 2 n, [t] 22 n, [t] 23 n,... [t] 2k 1 n, e moltiplichiamo tra loro tutte le potenze [t] 2i n corrispondenti alle cifre d i uguali a 1 (ricordiamo che ogni d i può essere solamente 0 o 1). Osserviamo che calcolare [t] m n utilizzando questo algoritmo eseguiamo k 1 moltiplicazioni per calcolare le potenze [t] 2i n per i = 1,..., k 1 e al più altre k 1 moltiplicazioni per calcolare [t] m n. Si può dimostrare che k 1 = log 2 m, quindi diciamo che il numero moltiplicazioni effettuate con questo algoritmo è al più 2 log 2 m. Esempio 15 Per calcolare [3] in Z 1000 scriviamo 99 in binario 99 = ( ) 2 = Calcoliamo poi (mediante elevamenti al quadrato successivi) Abbiamo quindi [3] = [9] 1000, [3] = [81] 1000, [3] = [561] 1000, [3] = [721] 1000, [3] = [841] 1000, [3] = [281] [3] = [3] [3] [3] [3] 1000 = [281] 1000 [841] 1000 [9] 1000 [3] 1000 = [667] Il teorema cinese del resto Dati quattro interi a, b, x, y con a e b positivi, supponiamo di voler trovare tutti gli interi n tali che n x è un multiplo di a e n y è un multiplo di b. Ricordando la Definizione 3, abbiamo che questo problema è equivalente a trovare tutti gli interi n che soddisfano al sistema { n a x (23) n b y. Ad esempio, risolvere il sistema { n 5 1 n 3 2 vuol dire trovare tutti gli interi n tali che n 1 è multiplo di 5 e, contemporaneamente, n 2 è multiplo di 3. Una soluzione del sistema è il valore n = 11 in quanto 11 1 = 5 2 e n 2 = 3 3. Un sistema del tipo (23) è detto sistema di congruenze e, come vedremo, ha un ruolo importante in matematica discreta. Enunciamo ora il teorema cinese del resto che fornisce un meccanismo standard per risolvere un sistema di congruenze del tipo (23). Il primo passo verso la soluzione consiste nel trasformare il sistema (23) nella forma { n = at + x n = bs + y e osservare che le due nuove equazioni implicano che deve essere at + x = bs + y. Il sistema (23) è quindi risolubile se e solo se l equazione diofantea at bs = y x (nelle incognite s, t) ammette soluzione. Di conseguenza, il sistema è risolubile se e solo se d = MCD(a, b) divide y x. Se tale condizione è verificata calcoliamo, utilizzando l algoritmo di Euclide esteso, una coppia di valori t 0, s 0 tali che at 0 bs 0 = y x. La soluzione generale dell equazione diofantea è data allora da t = t 0 + λ(b/d), s = s 0 + λ(a/d).

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