Il gioco, si sa, stimola la fantasia ma, presentato. 98. Il salto del cavallo (Un problema di teoria dei grafi) di Gabriella Zammillo

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1 matematicamete.it Numero 8 Dicembre Il salto del cavallo (U problema di teoria dei grafi) di Gabriella Zammillo SUNTO Il salto del cavallo è u problema esprimibile sia i termii di grafi euleriai sia i termii di grafi hamiltoiai. I questo articolo si preseta il problema e si esamiao le sue possibilità di soluzioe. Si comprede quidi perché si può disegare u cammio chiuso, i cui tutte le possibili mosse siao tracciate ua sola volta, el caso i cui il cavallo si muove su ua scacchiera co = 3; perché il cavallo può occupare tutte le caselle di ua scacchiera ritorado sulla casella da cui è partito solo el caso co 6 e pari; perché el caso co = 5 il cammio o è chiuso ed ioltre quati possibili cammii chiusi può descrivere il cavallo muovedosi su di ua scacchiera co pari. I questo articolo, cocepito co l iteto di sottolieare il valore del gioco ella didattica della matematica, ho cercato di presetare solo alcui aspetti del problema e le relative soluzioi, co u liguaggio accessibile ache ai o addetti ai lavori che pure abbiao qualche iteresse all argometo rimadado per gli approfodimeti alla bibliografia. È oto dalle regole del gioco degli scacchi che il cavallo salta sulla scacchiera spostadosi lugo la diagoale di u rettagolo composto da 3 caselle passado da ua casella biaca ad ua era o viceversa come mostrato i figura. Itroduzioe Il gioco, si sa, stimola la fatasia ma, presetato sotto forma di rompicapi e idovielli, risulta u utile strumeto d appredimeto della matematica. Noto è ifatti quato gli argometi di matematica ricreativa abbiao già i passato catturato l iteresse di gradi meti matematiche, da Eulero a Leibiz, da Hilbert ad Eistei e che alcue teorie matematiche abbiao avuto origie proprio dall aalisi e discussioe di rompicapi. È il caso della Teoria dei Grafi [B], [F], [O] le cui origii risalgoo al 736 quado Eulero riuscì a spiegare l impossibilità di soluzioe del problema dei sette poti di Köisberg, tormeto di o poco coto per gli abitati dell atica cittadia prussiaa. Così come, tormeto fu, il rompicapo del salto del cavallo sulla scacchiera, sicuramete meo coosciuto, pur essedo stato trattato da Eulero già el 759 e poi da Legedre, Vadermode ed altri. Figura. Il cavallo si muove sugli scacchi lugo la diagoale di u rettagolo 3, passado da ua casella biaca ad ua era e viceversa. Allora: Poiché esistoo molte mosse diverse che cosetoo al cavallo di saltare da ua casella all altra, si può disegare u cammio chiuso i cui tutte le possibili MOSSE siao tracciate ua ed ua sola volta? È possibile, per il cavallo, occupare tutte le CASELLE di ua scacchiera ciascua esattamete ua volta prima di ritorare sulla stessa casella da cui è partito? Esprimiamoci i termii di teoria dei grafi. Ituitivamete co la parola grafo itediamo ua struttura che ci permette di rappresetare gli elemeti di u isieme e ua relazioe tra tali elemeti detti rispettivamete vertici e spigoli. 5

2 I altre parole: DEFINIZIONE Diciamo grafo ua coppia ordiata (V(G), E(G)) tale che V(G) è u isieme o vuoto ed E(G) è u isieme di coppie o ordiate di elemeti di V(G). Pertato, el ostro caso specifico, i vertici soo rappresetati dai quadrati della scacchiera metre gli spigoli dalle mosse del cavallo. Ogi mossa è quidi idetificata dalla coppia (casella di parteza, casella d arrivo). Poiché ua sequeza alterata di vertici e spigoli defiisce u cammio, possiamo geeralizzare il problema el seguete modo: PROBLEMA Quati possibili cammii chiusi diversi può descrivere il cavallo muovedosi su di ua scacchiera co pari? Si capisce bee che i base alle defiizioi date di vertice e spigolo, i termii MOSSE e CASELLE cosetoo di tradurre il problema del salto del cavallo rispettivamete i termii di grafi euleriai e di grafi hamiltoiai. Per rispodere al quesito ispiriamoci allora a quato fatto da Eulero col problema dei poti di Köisberg. matematicamete.it Numero 8 Dicembre 008 vertici di grado dispari, dove per grado si itede il umero di spigoli usceti dal vertice dato. Toriamo ora alla ostra scacchiera. È evidete che si ha ua risposta affermativa al problema prima esposto soltato se il cavallo si muove su di ua scacchiera co = 3. Ifatti è soltato i questo caso, la figura ci aiuta a compredere il motivo, che tutte le caselle occupate dal cavallo cosetoo due mosse: ua i etrata, l altra i uscita. Figura. I ua scacchiera 3 3 tutte le caselle occupate dal cavallo cosetoo ua mossa i etrata e ua i uscita. Ciò vuol dire che ogi sigolo vertice, coteuto el grafo tracciato, ha grado quidi, poiché è soddisfatta la codizioe di Eulero, il cammio disegato è proprio quello richiesto. È altresì chiaro che la codizioe di Eulero o potrà essere verificata per > 3 ifatti già i ua scacchiera 4 4 esistoo otto caselle dalle quali soo possibili 3 mosse, cioè il cavallo o potrà uscire da ua di queste caselle dopo esservi etrato la secoda volta, vedi figura 3.. U problema di cammii euleriai Il primo quesito riformulato, chiede i sostaza se è possibile costruire u cammio euleriao el grafo. Ricordiamo che u cammio è ua sequeza fiita ed alterata di vertici e spigoli; che u cammio è chiuso quado il primo e l ultimo vertice coicidoo e che u cammio è detto euleriao quado oltre ad essere u cammio chiuso, è idividuato da ua sequeza che cotiee ogi spigolo del grafo ua ed ua sola volta. Al cotrario, è detto cammio semi-euleriao quado, pur coteedo ogi spigolo del grafo ua ed ua sola volta, esso risulta o chiuso. Eulero ci ha isegato che affiché i u grafo sia possibile costruire u cammio euleriao, esso deve avere tutti i vertici di grado pari; se vogliamo costruire ivece u cammio semi-euleriao, il grafo cosiderato deve coteere al massimo due Figura 3. I ua scacchiera 4 4 esistoo otto caselle dalle quali il cavallo o potrà uscire dopo esservi etrato la secoda volta. L esisteza di u umero maggiore di di caselle di questo tipo, e quidi l esisteza di u umero maggiore di di vertici di grado dispari, cotraddice ovviamete l ipotesi del teorema di Eulero ragio per cui il problema, già a partire da ua scacchiera 4 4 per poi essere geeralizzato ad ua, o potrà mai avere soluzioe proprio perché le otto caselle di grado dispari o solo cotiuerao ad esistere, ma cotiuerao ache ad essere adiaceti alle quattro caselle di grado poste ai rispettivi quattro agoli della scacchiera, vedi figura 4. 6

3 Figura 4. I ua scacchiera ci soo sempre quattro caselle di grado e 8 caselle di grado 3. matematicamete.it Numero 8 Dicembre 008 Tuttavia osserviamo che data ua sequeza alterata di caselle biache e ere, come i figura 6, sarà possibile costruire u ciclo hamiltoiao che le cotega tutte e alterativamete, ua biaca ed ua era, solo el caso i cui il loro umero sia pari, perché se fosse altrimeti, verrebbero ad essere adiaceti due caselle dello stesso colore cotraddicedo le ipotesi.. U problema di grafi hamiltoiai Chiedere se sia possibile muovere il cavallo su ua scacchiera occupado tutte le caselle esattamete ua volta equivale a risolvere ivece u problema di cammii hamiltoiai. Questioe abbastaza delicata e tra l altro tuttora aperta, quella dei cammii hamiltoiai, ma el ostro caso ci avvaliamo del cotributo dovuto a Corad, Hidrichs, Morsy e Wegeer [C] risalete al 994 e coteete efficieti algoritmi per la costruzioe dei cammii hamiltoiai. Tradurre il problema i termii di grafi hamiltoiai sigifica chiedere se esiste el grafo cosiderato u cammio chiuso detto ciclo hamiltoiao che cotiee ogi vertice del grafo ua ed ua sola volta oppure u cammio hamiltoiao se il cammio dovesse risultare o chiuso pur coteedo sempre ciascu vertice ua ed ua sola volta. È ovvio che essuo dei due cammii potrà mai esistere el caso i cui la scacchiera sia di tipo 3 3 oppure di tipo 4 4, perché il umero ridotto di caselle impedisce al cavallo di occuparle tutte co ua ulteriore mossa. Com è facile otare i figura 5, soo state tracciate tutte le possibili mosse del cavallo sulle scacchiere 3 3 e 4 4 ma, su essua delle due scacchiere è stato possibile descrivere il cammio richiesto. Figura 6. Affiché sia possibile u cammio hamiltoiao il umero di caselle deve essere pari. È proprio sulla base di questa osservazioe che si foda il criterio del colore formulato da Corad e gli altri per poter ammettere l esisteza di u cammio hamiltoiao, criterio secodo il quale u cammio hamiltoiao, da ua casella cotrassegata s ad ua casella cotrassegata t e distita da s, esiste per 6 se e soltato se è pari ed s e t hao colore differete, oppure è dispari, ma s e t hao colore biaco (supposto che agli agoli della scacchiera ci siao caselle biache). Dato quidi il grafo G come la coppia G = (V, E ) defiita i precedeza, rappresetiamo la scacchiera, per la quale si cosidera il grafo G, attraverso u sistema di riferimeto come mostrato i figura 6, i cui le coppie (i, j) co i, j idividuao le caselle. 3 i B N N B 3 j (i,j) Figura 6. Il grafo G i u sistema di riferimeto Figura 5. Su essua delle due scacchiere è stato possibile stracciare u cammio hamiltoiao. Idichiamo co c la fuzioe colore tale che: c : i, j c i, j = biaco se i+j è pari ( ) ( ) c :( i, j) c( i, j) = ero se i+j è dispari Posto allora c(s) = c(i s, j s ), c(t) = c(i t, j t ) Corad 7

4 defiisce il criterio del colore per ua geerica scacchiera co: c( s) c( t) se è pari c( s) = c( t) = biaco se è dispari e prova il seguete teorema: i) Se 6. U s t cammio hamiltoiao esiste se e solo se il criterio del colore è soddisfatto per s e per t. ii) Se =5. U s - t cammio hamiltoiao esiste se e solo se il criterio del colore è soddisfatto per s e per t ed almeo uo dei vertici, s o t, è uo dei vertici-agolo della scacchiera idividuati dalle coppie (,), (,5), (5,) oppure (5,5). matematicamete.it Numero 8 Dicembre 008 la casella (,3) alla casella (,) defiisce il ciclo hamiltoiao richiesto. I virtù di quato detto fiora possiamo euciare il seguete teorema: Il cavallo, saltado su ua scacchiera, può occupare tutte le caselle ciascua esattamete ua volta descrivedo u cammio hamiltoiao se e solo se 5. Di seguito soo date le soluzioi per le scacchiere 5 5, 6 6, i figura 7 e figura 8. Alla soluzioe ci si arriva attraverso u efficiete algoritmo detto backtrackig algorithm applicato ad u umero fiito di casi speciali tra cui ache a problemi su scacchiere rettagolari e o-rettagolari. Solo successivamete si ricorre alla strategia defiita del dividere e sormotare ostacoli. La scacchiera viee cioè suddivisa i sottoscacchiere più piccole così che il problema su ua siffatta sottoscacchiera può essere risolto co più rapidità ed i maiera tale che le soluzioi di questi piccoli problemi possao poi essere combiate tra loro e costituire la soluzioe per il problema più geerale. Al teorema segue u corollario. Figura 7. Soluzioe del problema del salto del cavallo per la scacchiera 5 5 e 6 6 COROLLARIO G cotiee u ciclo hamiltoiao se e solo se 6 co pari. DIMOSTRAZIONE È ovvio che per 4 il grafo o coterrà mai u ciclo hamiltoiao perché l esisteza di u siffatto cammio proverebbe l esisteza di u cammio hamiltoiao coteuto i esso e ciò sappiamo essere assurdo. Il ciclo hamiltoiao o sarà coteuto el grafo eache per dispari perché, se u siffatto ciclo esistesse, i vertici iiziale e fiale avrebbero colore differete cotro la defiizioe di ciclo. Il corollario è provato solo per 6 e pari ifatti, tracciato u cammio hamiltoiao dalla casella cotrassegata (,) alla casella cotrassegata (,3), tale cammio assieme alla mossa dal- Figura 8. Soluzioe del problema del salto del cavallo per la scacchiera. Forse potrebbe apparire provocatorio chiedere di determiare il umero dei possibili cicli hamiltoiai descritti da u cavallo mosso su di ua scacchiera co pari, ma se simili provocazioi soo utili a stimolare la creatività e la fatasia, se servoo ad alimetare la sfida attraverso cui misurare le proprie capacità, allora be vegao e vediamo a quali risultati hao portato Kyek, Parberry e Wegeer [K] el 997. Il umero richiesto è ovviamete uguale a 0 per = ed = 4, pari ivece a 986 per = 6. Per 8

5 = 8 il miglior limite iferiore trovato (risultato dovuto a Kraitschik el 953) è pari a 805. I realtà sembra impossibile poter determiare il umero richiesto per i geerale. Grazie alle ricerche codotte da Kyek, Parberry e Wegeer possiamo cooscere u limite superiore trovato per il particolare caso = 8 che viee stimato i possibilità. Studiado il comportameto asitotico di questi valori, segue che il umero F dei cicli hamiltoiai che il cavallo può descrivere su ua scacchiera (per pari) è limitato superiormete da 4 (per =8 abbiamo u valore pari a ). Questo risultato si basa sul seguete lemma. LEMMA Sia G u grafo co vertici ed m spigoli. Sia scelto k N tale che ( )[m/( )] + k = m. Allora il umero di cammii hamiltoiai che hao iizio da u qualsiasi vertice v è limitato superiormete da [m/(-)] k [m/(-) +] k. Si osserva che il umero dei cicli hamiltoiai è al più la metà del umero dei cammii hamiltoiai che hao iizio da u qualsiasi vertice. Il grafo descritto dal cavallo su ua scacchiera 8 8 ha 68 spigoli per cui il limite superiore otteuto per il umero di cicli hamiltoiai su ua 4 6 siffatta scacchiera è Tale limite superiore (per il particolare caso =8) è stato tuttavia otevolmete migliorato ifatti, attraverso l uso di u calcolatore, studiado i differeti casi a cui le possibili mosse dao luogo ed esamiado i cammii di diversa lughezza di cosegueza costruiti, si ottiee il seguete risultato: Il umero di cicli hamiltoiai tracciati da u cavallo mosso su di ua scacchiera 8 8 è al più pari a F = Ricorredo alla tecica del dividere e sormotare ostacoli, sappiamo che è possibile costruire differeti cicli hamiltoiai su di ua scacchiera suddividedo questa i sottoscacchiere. Suppoiamo che dalla suddivisioe si ricavio sottoscacchiere di dimesioe 6 6, 6 8, 8 6 ed 8 8. Scelto α [0,/6] si ottegoo pertato α matematicamete.it Numero 8 Dicembre bordi di dimesioe 6 6, α( 6α) bordi 8 di dimesioe 6 8 ed 8 6 metre bordi di dimesioe ( α) Poiché a oi iteressa stimare il umero dei differeti cammii hamiltoiai all itero di tali sottoscacchiere, utilizzado i risultati raggiuti da Kyek e gli altri co l aiuto di u calcolatore, osserviamo che relativamete al caso di ua sottoscacchiera 8 8 esistoo almeo M 8,8 = cammii hamiltoiai, per ua 6 6 abbiamo M 6,6 =44670 metre per ua 6 8 ed 8 6 il umero è pari a M 6,8 =M 8,6 = Il limite iferiore per il umero di cicli hamiltoiai è così pari a: α ( 8 6 α) 49 α 6α α 6α α 4 64 L M M M 66, 68, 88, Tale limite assume il suo valore massimo per a = /6. Poiché la partizioe i bordi da 6 6 cosete di otteere il miglior limite iferiore i quato M 6,6 rappreseta il valore stimato co più precisioe rispetto agli altri, risulta che il limite iferiore per a = /6 è uguale a L M. 66, e segue che: Il umero di cicli hamiltoiai descritti su di ua scacchiera è pari a F =Ω(.3535 ). Bibliografia [B] J.A. Body - U.S.R. Murty: Graph theory with applicatio, The Mac Milla Press LTD, Hog Kog 976 [C] A. Corad T.Hidrichs H. Morsy I. Wegeer: Solutio of the k ight s hamiltoia path problem o a chessboard, Discrete Appl. Math. 50 (994) 5-34 [F] L.R. Foulds, Graph theory applicatio, Spriger-Verlag, New York 99 [K] O. Kyek I. Parberry I. Wegeer: Bouds o the umer of k ight s tours, Discrete Appl. Math. 74 (997) 7-8 [O] O.Ore: Theory of graph, Amer. Math. Soc. Providece, Rhode Islad 96 [Z] G.C. Zammillo: La passeggiata di Eulero sui sette poti e i viaggi di Hamilto su u dodecaedro, Tesi di Laurea Uiversità degli studi di Lecce, Dip. di Mat. E. De Giorgi, Lecce 000. ( ) ( )