SIMULAZIONE - VERIFICA DI MATEMATICA L IPERBOLE dovendo essere

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1 SIMULAZIONE - VERIFICA DI MATEMATICA L IPERBOLE Problema 1: a) y = 4 x 4 x + x = 0 y = x x 1 x 1 C. E.: 4 x 0 x y = 4 x y = 4 x x + y = 4 semiocirconferenza superiore di centro l'origine e raggio C. C.: y 0 y = x fascio impropio di rette di coefficiente angolare Le rette critiche, viste le condizioni su x, sono: ( 1; 3 ) r : retta del fascio passante per P 1; 3 P r : retta tangente alla circonferenza nel secondo quadrante t r : retta del fascio passante per A A P 3 r P : 3 = = y = x + 3 y = x ( ;0) A r A : 0 = 4 = y = x + 4 y = x x + y = 4 r t : x + 4x 8x = 0 5x 8x = 0 = = 0 y = x 4 y = x 5 + = = = ± y = x dovendo essere quadrante, l'ordinata all'origine deve essere positiva, quindi r : y = x + 5, cioè = 5 t tangente alla circonferenza nel secondo

2 Quindi: < 5 nessuna soluzione - 5 soluzioni 3 < 1 soluzione 3 > nessuna soluzione b) 4 x + x y = 0 4 x 0, se x. Quindi x + = + = = + + = 4 x x y 0 x y x 4 0 circonferenza di centro C(1;0) e raggio r x x ( x + 1) ( y 0) 4 + x + x y = 0 x y + x 4 = 0 ( x + 1) 1 ( y 0) 4 = 0 ( x + 1) ( y 0) = 5 = iperbole equilatera traslata riferita agli assi di centro C( 1;0) e semiassi a = b = 5

3 c) x > 0 primo e quarto quadrante 0 x > 4 x + x y > 0 grafico precedente con O( 0;0 ) compreso perchè 4 > 0 4 x + x y > 0 y x y < 0 x = parabola con asse di simmetria orizzontale, di vertice l'origine, passante per P( ; ), x y < 0 con Q( 1;0 ) non compreso perchè < 0 è falso

4 Le soluzioni del sistema sono i punti della parte grigia d) Riportiamo il grafico di γ ottenuto nel punto b):

5 L'asse di simmetria di γ è ovviamente l'asse x. La tangente verticale a γ nel punto di ascissa maggiore è la retta x = h, con h ascissa del punto d'intersezione di γ con l'asse x: + = y = 0 4 x x y 0 4 x x x x + x = 0 4 x + x = x + x = 0 x x x 1± ± 1+ 4 x x 4 = 0 x = = 1± 5 x + x 4 = 0 x = = 1± Quindi, per ragioni grafiche, si ha che la tangente cercata è x = 1 5 Infine, il punto di γ del primo quadrante di ascissa è il punto D ;. In definitiva, quindi, stiamo cercando la funzione omografica di asintoti y = 0, x = 1 5, e passante per D ; : a = 0 c a = 0 ax + b d c + 5c y = = 1 5 d = ( 1+ 5 ) c y = cx + d c cx + ( 1+ 5 ) c a + b = b = ( c + d ) = 4c + ( 1+ 5 ) c = c + 5c c + d + 5 (semplificando per c) γ1 : y = x 1 + 5

6 e) 1 ( ) Il centro di γ è 1 5;0. Quindi per ottenere la traslazione che porti questo punto nell'origine bisogna applicare: y ' = y y = y ', da cui le inverse. Quindi x ' = x 1+ 5 x = x ' γ1 : y = y ' = x 1+ 5 x ' γ : x ' y ' = + 5 V ( ± + 5 ; ± + 5 ); F ± ( + 5 ); ± ( + 5 ) Riferendo γ agli assi, abbiamo un'iperbole equilatera di cetro l'origine e semidistanza focale c = d O; F = = + 5, da cui essendo a = b e a c x y a = b = = + 5 = 1+ 5 = b = c si ha Problema : a) ( ) x y = ( x ) ( y ) 0 = 1 iperboli equilatere riferite agli assi traslate di centro C ( ; ), semiassi, fuochi in orizzontale x = equazione del luogo geometrico descritto dai centri disimmetria: y = x y = b) x + h + 1 y = h 1 x h c 0 iperboli equilatere riferite agli asintoti traslate (famiglia di funzioni omografiche) se, cioè ad bc 0 h 1 0 h 1 h 1 h, con centro C ; h ( h 1)( h 1) 0 + h h h 1± h 1 h 1 h x x = h = 1 hx x h h = x 1 x y equazione del luogo geometrico dei centri disimmetria : = hy y = y x 1 y y = h = h 1 y xy = xy x y + y = x +

7 c) Asintoti prima famiglia: y x y = x + = ± = + y x 3 d x ' = x ax + b c In generale y = diventa xy = con. Infatti cx + d a y ' = y + c d a x b cax ad + bc a c + a c a cax ad + bc c d c cx d + d c c x c x + d c y + = y + = y + = c xy + ac bc ad x = cax ad + bc xy = c bc ad xy = con = c ax + b Gli assi di simmetria di una funzione omografica y = sono la retta r passante per i vertici e la retta s perpendicolare a r e cx + d a a + + d a passante per il centro. Quindi, essendo i vertici V ;, = c c ± ± mv =1, quindi, 1V c c d d c c d a passando per C ; c c a d d a a d d a x + h + 1 y = x + y = x + +, e y = x y = x +. Quindi, per y =, si ha c c c c c c c c h 1 x h h h y = x y h 1 h 1 = x + h 1 h h y = x + y = x + h 1 h 1 h 1 h + h + y = x + y = x = h = 1 h 1 h 1 h h In definitiva allora = h = 3h 6 h h 1 y = x + 3 y = x + = 3( h 1) h 1 = h 1 3( h 1) d) Per =, ( x ) ( y ) = ( x ) ( y 4) = 4 C ( ; 4 ) C '( ; 4) ax + b y = cx + d con d = c d = c centro C '( ; 4) a 4cx + 0 4x = 4 a = 4c y = y = passante per l'origine c cx c x b = 0 b 0 = d

8 e) 4x f ( x) < 3 9 x < 3 9 x x 4x 4x y = funzione omografica di centro ( ; 4 ), con > 0 per 0 < x < x x y = x x = y 3 y 0 y x ( y 3) = + + = + ( ) = + = 9 9 x 9 x 9 6y y x y 6y 0 x y semiellisse inferiore di centro (0;3) semiasse trasverso verticale 3,semiasse non trasverso orizzontale 3 3 Sol : < x <

9 Quesito 1 xy P x = 0; x0 0 retta tangente: y y = m x x 0 0 y = m( x x0 ) x y = m x x intersezione retta iperbole: x0 xy = x mx mx0 + = x0 x mx mx0x + = 0 x 0 0 mx x + mx x x = = 0 mx + m x + 4mx = 0 m x + mx + = 0 mx + = 0 m = x0 retta tangente t: y = x + + y = x + A 0; B x 0;0 x0 x0 x0 x0 x0 x0 1 AreaAOB = x0 = = costante x 0 Quesito ax + b y = cx + d d 1 1 = d = c c 3 x a 3 3 3x 4 = a = c y = y = c 1 x + 1 x a + b c b = c c b b c 4 1 = = + = c + d c + c

10 Quesito 3 x iperbole riferita agli assi di centro C 0;0, fuochi sull'asse x, asintoto y = -x con y 0 a = b = x y = y = x 4 4 x y < x < ellisse di centro C ( 0;0 ), fuochi sull'asse y, a =, b = 4, y < 0 + = x + y = 16 y = 16 4x y = 4 x b = 4 b = 4 a b = 8 a / 1 x parabola di vertice V ( 4; ) e passante per P( ;0) 16a + 4b + c = 16a + c = 4a = a = 4a + b + c = 0 1a + c = 0 c = 1a c = 6 1 y = x + 4x 6 x 4 se x y = x se < x < 1 x + 4x 6 se x 4

11 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) fascio proprio di rette di centro ( ;0) y = x y = x C ( ) retta r passante per P 0; 4 4 = 1 4 = + = 1 asse x = 1 retta s = < 1 soluzioni = 1 1 soluzione > 1 soluzioni Quesito 4 c 10 = 10 b 3 a + b = b 1 x y 9 a = b / = a b b 16b = b = 1 7b 144a = 9a b = 1 9a b a b a = 1 y x = 1 b = 9 9 Quesito 5 x y x y = a x x 4x = a = 1 3x 16x 16 a = a a x + y = 4 y = 4 x 8 ± a 8 ± 16 3a x = = a a a a A ;4 ; B ; AB a a = 9 + = 80 1a a + 56 = x y a = a = =

12 Quesito 6 x se x x x 3 y = = x 3 x + se x < x 3 ( ;0) = ( ) P y m x y = mx m x x mx m = mx 3mx mx + 6m = x mx ( 5m + 1) x + 6m + = 0 y = x 3 x 3 0 5m 10m 1 4m 8m 0 m m 1 0 m 1 t1 : y x = + + = + + = = = + y = mx m x + x + mx m = mx mx mx + m = x + mx ( m ) x + m y = x 3 x = 0 = + + = + = = = 0 5m 10m 1 4m 8m 0 m m 1 0 m 1 t : y x

13 Centro circoferenza sull'asse x b = 0 y = x + t t x + x x + + ax + c = x + ( + a) x + + c = x + y + ax + c = 0 tangenza con 1 / = a 8a 3 8c = 0 a a b a a a r d E r c c a c a = ; + = = + + = 4 4 a a c = 8a 8c 16 = a 8a + 4a = 0 a + 16a + 56 = 0 a = 8 ± = 8 ± c = 3a 9 a Dovendo essere xe < 3, cioè < 3, cioè a > 6 a = 8 + a = 8 + b = 0 x + y + ( 8) x = 0 c = Quesito 7 ( x p) ( y q) a = 1, con centro punto medio tra i fuochi, cioè C 1; 4 p = 1 q = 4. a Inoltre c = 3 a = 3 a = 3 ( x + 1) ( y + 4) = + = x y x 8y 4 0

14 Quesito 8 x x x x x x + 3 > > 3 y 0 = x y x = 0 ( x 1) y = 1 C ( 1;0 ), a = b = 1 y x x Essendo r parallelo all'asintoto dell'iperbole, le soluzioni sono x 0 x Quesito 9 x y + = > 0 < 1+ > 0 > 1 4 = 1+ = 1 4 > 1+ <

15 < 1 iperbole riferita agli assi di centro C(0;0), con i fuochi sull'asse x, semiasse trasverso a = 4, non trasverso b = 1 1 < < 1 ellisse centro C(0;0), fuochi sull'asse x, semiasse trasverso a = 4, non trasverso b = 1+ = 1 circonferenza centro C(0;0), raggio 1 < < ellisse centro C(0;0), fuochi sull'asse y, semiasse non trasverso a = 4, trasverso b = 1+ > iperbole riferita agli assi di centro C(0;0), con i fuochi sull'asse y, semiasse non trasverso a = 4 +, trasverso b = 1+ Quesito 10 xy =, V ; = = 8 xy = 8 x + x = = y = x < 8 > 8 retta secante = ± 8 retta tangente 8 < < 8 retta esterna

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