Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 15: Metodi non parametrici

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1 Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 15: Metodi non parametrici 1

2 Metodi non parametrici Statistica classica La misurazione avviene con scale di intervalli/rapporti I test verificano i parametri specificati (ipotizzati) Le ipotesi su cui si basano i test sono forti (normalità,casualità,indipendenz a) Statistica non parametrica I test non dipendono dalla forma della distribuzione Non testano parametri della popolazione Dati a disposizione insufficienti per garantire le assunzioni necessarie ai metodi parametrici 2

3 Metodi non parametrici Vantaggi Usabili su qualsiasi tipo di dato Efficacia quasi uguale ai classici Facili da usare su piccoli campioni Richiedono ipotesi meno stringenti Più economici e veloci Estesamente applicabili con conclusioni generali difficilmente confutabili Vantaggi Permettono analisi non possibili con i metodi classici, poiché non esistono test parametrici equivalenti Svantaggi 1. Difficili da usare su campioni numerosi 2. È difficile valutare la significatività delle ipotesi perché non sempre è disponibile una raccolta di valori critici tabulati 3. Sfruttano in modo meno completo l informazione contenuta nei dati 3

4 Test non parametrici I test non-parametrici consentono la verifica di ipotesi relative a: Variabili non-numeriche (nominali, ordinali) Distribuzioni diverse da quella normale oppure ignote I test non-parametrici consentono la verifica di ipotesi relative alla distribuzione di una variabile qualitativa Es. Numero ministri donna vs. numero ministri uomo 4

5 Test Z per la differenza tra due proporzioni Tipologie di problemi confronto tra proporzioni di due gruppi verifica di indipendenza tra due variabili categoriali Per il problema del confronto tra proporzioni esistono due approcci: Test Z per la differenza tra due proporzioni Test χ 2 per la differenza tra due proporzioni 5

6 Test Z per la differenza tra due proporzioni Il test Z si basa sulla differenza tra le proporzioni campionarie (p s1 -p s2 ). Tale differenza segue una distribuzione che, all aumentare della ampiezza campionaria, tende ad avvicinarsi a una normale. 6

7 Il test χ 2 per la differenza tra due proporzioni Un metodo equivalente al test Z per la differenza tra due proporzioni è basato su una statistica χ 2. Il metodo si basa su una tabella a doppia entrata in cui le colonne rappresentano i gruppi e le righe le modalità della variabile di interesse (successo e insuccesso). I dati: distribuzione di frequenza di una variabile categorica (ad es. sesso dei soggetti in un campione) H 0 : distribuzione attesa (assenza di preferenza e differenze rispetto a una popolazione nota) H 1 : distribuzione diversa da quella attesa 7

8 Test χ 2 per la differenza tra due proporzioni Per calcolare le frequenze attese o teoriche bisogna calcolare la proporzione media di successi la quale, nell ipotesi di uguaglianza tra le proporzioni p 1 e p 2, rappresenta una stima della proporzione comune p 1 = p 2 = p. 8

9 Test χ 2 per la differenza tra due proporzioni Per calcolare le frequenze attese f e basta moltiplicare la corrispondente ampiezza campionaria (totale per colonna) per p e se siamo nella prima riga, per 1-p se siamo nella seconda riga. Gradi di libertà = (r-1) (c-1) = (2-1) (2-1) = 1 Essendo r = numero di righe della tabella, c = numero di colonne della tabella 9

10 Il test χ 2 Calcolo della distribuzione attesa Laureati Diploma di scuola Altro superiore Italia (età <45 anni) 5,0% 50,0% 45,0% Distribuzione popolazione nota Numero di soggetti in campione (n=120) Distribuzione attesa (H 0 ) Laureati Diploma di scuola Altro superiore Figli di genitori laureati

11 Il test χ 2 Confronto fra distribuzione osservata e distribuzione attesa Distribuzione osservata Laureati Diploma di scuola Altro superiore Figli di genitori laureati Distribuzione attesa Laureati Diploma di scuola Altro superiore Figli di genitori laureati

12 Definizione della statistica χ 2 2 ( fo fe ) χ = f e 2 Quando i valori osservati sono lontani da quelli attesi il valore di χ2 è elevato. Quando i valori osservati sono vicini a quelli attesi il valore è basso. La tabella della distribuzione χ2 consente di identificare la zona critica per qualsiasi valore dei gradi di libertà (= n. categorie 1) e per qualsiasi alfa 12

13 Test χ 2 per la differenza tra due proporzioni Differenze con il test Z I due test portano a risultati uguali Il test Z consente verifiche di ipotesi direzionali Il test X 2 può essere applicato al caso di c campioni (tabella 2 x c) 13

14 Il χ 2 come test di indipendenza Il test di indipendenza è utilizzato per verificare la presenza di una relazione fra due variabili Assenza di relazione: le due variabili sono indipendenti Due variabili sono indipendenti quando la distribuzione della prima variabile è priva di rapporto con la distribuzione per la seconda variabile La distribuzione di frequenza per la prima variabile è la stessa per tutte le categorie della seconda variabile 14

15 Il χ 2 come test di indipendenza Sistema di ipotesi H 0 : le due variabili sono indipendenti H 1 : le due variabili sono dipendenti La statistica test è la stessa per il test sulla differenza tra proporzioni: La statistica test e la regola decisionale sono le stesse per il test sulla differenza tra proporzioni. 15

16 Il χ 2 come test di indipendenza La differenza fondamentale tra i due test riguarda lo schema di campionamento: Nel confronto tra proporzioni siamo di fronte a campioni estratti da popolazioni indipendenti Nel test di indipendenza abbiamo un solo campione su cui rileviamo due fattori o variabili che possono assumere r e c modalità distinte 16

17 Condizioni di validità del test χ 2 Campioni casuali Osservazioni indipendenti Per ogni cella il valore di f e deve essere superiore a 5 17

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