Soluzione dei sistemi lineari in C++

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1 Soluzione dei sistemi lineari in C++ Roberto Basili University of Rome Tor Vergata, Department of Computer Science, Systems and Production, Roma (Italy), Motivazioni La seguente dispensa introduce i principi alla base della soluzione con metodi diretti per la soluzione dei sistemi lineari di n equazioni in n incognite. Inoltre essa fornisce alcune indicazioni ed esempi per la loro implementazione. Per una trattazione piu completa degli aspetti analitici di tali metodi si rimanda al testo Introduzione al Calcolo Numerico, R. Bevilacqua, O. Menchi, ETS, Pisa, Per approfondire aspetti algoritmici del problema si consiglia il testo Introduction to Algorithms, T.H. Cormen, C. E. Leiserson, R.L. Rivest, MIT Press, Sistemi di Equazioni Lineari Sia dato un sistema lineare di n equazioni in n variabili della forma Ax = b (1) con A = (a ij ) i, j = 1,..., n (detta matrice dei coefficenti), b = (b 1,..., b n ) (detto vettore dei termini noti) ed x = (x 1,..., x n ) detto vettore delle soluzioni. 1.1 Metodi Diretti: algoritmo di triangolarizzazione di Gauss Nel caso particolare in cui nella (1) A = (a ij ) assume la forma detta triangolare superiore, cioe e tale che a ij = 0 j < i una soluzione diretta alla (1) e data dal vettore x definito nel seguente modo: xn = b n a nn x i = (b i n k=i+1 a ikx k )/a ii, i = n 1, n 2,..., 2, 1 (2) La equazione (2) e detta sostituzione all indietro 1. Il metodo di Gauss consiste nel portare un generico sistema Ax = b in una forma equivalente Ux = b in cui U assume una forma triangolare superiore, che mediante la applicazione della (2) possa essere risolto direttamente. La tecnica utilizzata e qualla di generare una successione di sistemi lineari tutti tra loro equivalenti, e cioe una successione di matrici quadrate A (k), A = A (1) A (2)... A (n 1) A (n) = U ed equivalentemente vettori dei termini noti b (k), 1 Osserviamo che per ipotesi il sistema ammette soluzioni, quindi a ii 0 i. 1

2 tali che: b = b (1) b (2)... b (n 1) b (n) = b A (k) x = b (k) k = 1,..., n Generazione della successione dei Sistemi a (k+1) ij b (k+1) i = a (k) ij = b (k) i m ik a (k) kj, m ik b (k) k i = k + 1, k + 2,..., n; j = k, k + 1,..n i = k + 1, k + 2,..., n; j = k, k + 1,..n I numeri m ik (detti moltiplicatori della fase k-esima sono definiti da Casi particolari m ik = a(k) ik a (k) kk, i = k + 1, k + 2,..., n Sistemi indeterminati a causa di una dipendenza lineare tra righe Selezione dell elemento moltiplicatore, pivot. 1.2 Implementazione del Programma C Variabili del Programma e Strutture dei dati. Nella implementazione in C++ del metodo sono necessari le seguenti variabili un array bidimensionale per la rapprsentazione della matrice quadrata A due vettori unidimensionali per la rappresentazione dei termini noti e delle soluzioni, b ed x rispettivamente variabili ausiliarie per la rappresentazione di informazioni complementari, per esempio lo stato di del programma al termine della esecuzione (nei casi particolari evidenziati di sopra) o variabili di interazione con l utente La seguente rappresentazione const int MAX_DIM = 10;... main() double A[MAX_DIM][MAX_DIM], // matrice coefficenti B[MAX_DIM], // matrice termini noti X[MAX_DIM]; // vettore soluzioni int dim; // dimensione richiesta dal sistema corrente distingue: una costante MAX DIM che costituisce l ordine massimo del sistema (cioe il massimo numero di equazioni gestite dal programma la variabile dim che rappresenta la dimensione del sistema corrente ed e aggiornata su richiesta dell utente, determinando la porzione di array utilizzato durante l esecuzione di quel sistema l array di double A che rappresenta di volta in volta i coefficenti della matrice del sistema gli array X e B che contengono le soluzioni e i termini noti, rispettivamente 2

3 1.2.2 Calcolo delle soluzioni all indietro x[dim]=b[dim]/a[dim][dim]; // n-esima equazione for(i=dim-1; i>=0; i--) temp = b[i]; for( k=i+1; k<dim; k++) temp=temp-a[i][k]*sol[k]; x[i] = temp/a[i][i]; // for sulle righe n-1,n-2,..., 1 3

4 1.2.3 Struttura del programma principale main() double A[MAX_DIM][MAX_DIM], // matrice coefficenti B[MAX_DIM], // matrice termini noti X[MAX_DIM]; // vettore soluzioni int dim; // dimensione richiesta da sistema corrente int success; // variabile di ritorno dala procedura Gauss() // success==0 => trovate soluzioni // success==1 => non trovate soluzioni char resp = y ; do system("cls"); cout << "\n\n\n"; // leggi matrice ingresso leggi(a, dim); // Leggi vettore termini noti leggi_tn( dim, B); //stampa il sistema stampa(a,b,dim); // Gauss() per la soluzione success=gauss(a,b,x,dim); // stampa dei risultati if ( success==0 ) cout << "\n\nla Matrice Triangolare superiore e :\n"; stampa(a,b,dim); cout << "\n\nil vettore delle soluzioni e :\n"; stampa_sol(x,dim); else cout << "Il sistema e indeterminato.\n\n"; cout << "\n\n ========? Vuoi continuare (y/n)? >>> "; cin >> resp; while( resp == y resp == Y ); // main() Triangolarizzazione della matrice e calcolo delle soluzioni int gauss( double coef_mat[max_dim][max_dim], // matrice dei coefficenti double term_noti[max_dim], // vettore termini noti double sol[max_dim], // vettore delle soluzioni in uscita int dim) // dimensione del sistema int i, j, k, // indici di scansione della matrice check = 0; double piv, alfa, temp; for( j=0; j<dim-1; j++) // scegli pivot di colonna j; check = pivot(dim, j, coef_mat, term_noti); if( check == 0 ) piv=coef_mat[j][j]; else return(-1); 4

5 // combinazione lineare delle righe al di sotto della i-esima for( i=j+1;i<dim; i++) // calcolo del coefficente della combinazione lineare alfa = coef_mat[i][j]/piv; // sottrazione for( k=j; k<dim; k++) coef_mat[i][k]=coef_mat[i][k]-alfa*coef_mat[j][k]; // trattamento dei termini noti term_noti[i]=term_noti[i]-alfa*term_noti[j]; // for su righe i da j+1 a n //for sui primi n-1 elemnti della diagonale a[j][j] // Check sulla indipendenza dell ultima riga, // cioe se il determinante (prodotto degli elementi della diagonale principale, // e diverso da 0 if( coef_mat[dim-1][dim-1] == 0) cout << "Righe linearmente dipendenti. Soluzioni infinite\n\n"; return(1); //Trovo ora la soluzione sol[dim]=term_noti[dim]/coef_mat[dim][dim]; for(i=dim-1; i>=0; i--) temp = term_noti[i]; for( k=i+1; k<dim; k++) temp=temp-coef_mat[i][k]*sol[k]; sol[i] = temp/coef_mat[i][i]; // for sulle righe n-1,n-2,..., 1 return(0); // gauss() Funzione di pivoting // Funzione di pivoting parziale; // cerca il pivot per la colonna j-esima // e se diverso da a[j][j] esegue lo scambio int pivot( int dim, //dimensione int j, // indice di colonna double matr[max_dim][max_dim], // matrice coefficenti double tn[max_dim]) // termini noti int k,r; double temp; char cont; //for( k=j; matr[k,j]==0 & k<=dim; k++); system("cls"); cout << " Pivoting: passo (" << j << ")\n"; stampa(matr,tn, dim); system("pause"); 5

6 // cerco il primo elemento non nullo k=j; while( k<dim && matr[k][j]==0 ) ++k; if( k<dim ) // esiste k tc matr[k,j]==0 cout << "matr[j][j] non nullo per j=" << k+1 << "\n"; else cout << "Pivot NULLO!!\n\n"; return(-1); if( k!=j ) cout << "Scambio Riga " << j << " con " << k << "\n"; // scambio righe for( r=j; r<dim; r++ ) temp = matr[j][r]; matr[j][r] = matr[k][r]; matr[k][r] = temp; temp = tn[j]; tn[j] = tn[k]; tn[k] = temp; return(0); // pivot() Esempio di esecuzione del programma Se il sistema Ax = b e dato da A = e 1 b = Il programma dovrebbe produrre il seguente risultato: Pivoting: passo (0) Matrice a(1,1)=1 a(1,2)=1 a(1,3)=1 a(1,4)=1 a(2,1)=1 a(2,2)=2 a(2,3)=1 a(2,4)=1 a(3,1)=1 a(3,2)=1 a(3,3)=3 a(3,4)=1 a(4,1)=1 a(4,2)=1 a(4,3)=1 a(4,4)=4 Pivoting: passo (1) Matrice a(1,1)=1 a(1,2)=1 a(1,3)=1 a(1,4)=1 6

7 a(2,1)=0 a(2,2)=1 a(2,3)=0 a(2,4)=0 a(3,1)=0 a(3,2)=0 a(3,3)=2 a(3,4)=0 a(4,1)=0 a(4,2)=0 a(4,3)=0 a(4,4)=3 Pivoting: passo (2) Matrice a(1,1)=1 a(1,2)=1 a(1,3)=1 a(1,4)=1 a(2,1)=0 a(2,2)=1 a(2,3)=0 a(2,4)=0 a(3,1)=0 a(3,2)=0 a(3,3)=2 a(3,4)=0 a(4,1)=0 a(4,2)=0 a(4,3)=0 a(4,4)=3 La Matrice Triangolare superiore e : Matrice a(1,1)=1 a(1,2)=1 a(1,3)=1 a(1,4)=1 a(2,1)=0 a(2,2)=1 a(2,3)=0 a(2,4)=0 a(3,1)=0 a(3,2)=0 a(3,3)=2 a(3,4)=0 a(4,1)=0 a(4,2)=0 a(4,3)=0 a(4,4)=3 Il vettore delle soluzioni e : Vettore soluzioni x(1)=-2 x(2)=1 x(3)=1 x(4)=1 7

8 A Programma completo per l applicazione del metodo di Gauss per la soluzione dei sistemi lineari #include <iostream.h> #include <math.h> #include <iomanip.h> #include <stdlib.h> const int MAX_DIM = 10; // struct matrix void leggi( double matr[max_dim][max_dim], int &dim); void leggi_tn( int dimensione, double tn[]); int pivot( int dim, int j, double matr[max_dim][max_dim], double tn[max_dim]); void stampa(double matr[max_dim][max_dim], double term_noti[max_dim], int dim); int gauss( double coef_mat[max_dim][max_dim], double term_noti[max_dim], double sol[max_dim], int dim) int i, j, k, // indici di scansione della matrice check = 0; double piv, alfa, temp; for( j=0; j<dim-1; j++) // scegli pivot; check = pivot(dim, j, coef_mat, term_noti); if( check == 0 ) piv=coef_mat[j][j]; else return(-1); // combinazione lineare for( i=j+1;i<dim; i++) // calcolo del coefficente della combinazione lineare alfa = coef_mat[i][j]/piv; // sottrazione for( k=j; k<dim; k++) coef_mat[i][k]=coef_mat[i][k]-alfa*coef_mat[j][k]; // termini noti term_noti[i]=term_noti[i]-alfa*term_noti[j]; // for su righe i da j+1 a n //for sui primi n-1 elemnti della diagonale a[j][j] // Check su determinante if( coef_mat[dim-1][dim-1] == 0) cout << "Righe linearmente dipendenti. Soluzioni infinite\n\n"; return(1); //Trovo ora la soluzione 8

9 sol[dim]=term_noti[dim]/coef_mat[dim][dim]; for(i=dim-1; i>=0; i--) temp = term_noti[i]; for( k=i+1; k<dim; k++) temp=temp-coef_mat[i][k]*sol[k]; sol[i] = temp/coef_mat[i][i]; // for sulle righe n-1,n-2,..., 1 return(0); // gauss() // Funzione di pivoting parziale; // cerca il pivot per la colonna j-esima // e se diverso da a[j][j] esegue lo scambio int pivot( int dim, int j, double matr[max_dim][max_dim], double tn[max_dim]) int k,r; double temp; char cont; //for( k=j; matr[k,j]==0 & k<=dim; k++); system("cls"); cout << " Pivoting: passo (" << j << ")\n"; stampa(matr,tn, dim); system("pause"); // cerco il primo elemento non nullo k=j; while( k<dim && matr[k][j]==0 ) ++k; if( k<dim ) // esiste k tc matr[k,j]==0 cout << "matr[j][j] non nullo per j=" << k+1 << "\n"; else cout << "Pivot NULLO!!\n\n"; return(-1); if( k!=j ) cout << "Scambio Riga " << j << " con " << k << "\n"; // scambio righe for( r=j; r<dim; r++ ) temp = matr[j][r]; matr[j][r] = matr[k][r]; matr[k][r] = temp; temp = tn[j]; tn[j] = tn[k]; tn[k] = temp; return(0); // pivot() 9

10 void leggi( double matr[max_dim][max_dim], int &dim) int i,j; cout << "Inserire la dimensione: "; cin >> dim; for( i=0; i<dim; i++) for( j=0; j<dim; j++) cout << "a(" << i+1 << "," << j+1 << ")="; cin >> matr[i][j]; void leggi_tn( int dim, double tn[max_dim]) int i; for( i=0; i<dim; i++) cout << "b(" << i+1 << ")="; cin >> tn[i]; void stampa(double matr[max_dim][max_dim], double term_noti[max_dim], int dim) int i,j; cout << "Matrice\n"; for( i=0; i<dim; i++) for( j=0; j<dim; j++) cout << "\ta(" << i+1 << "," << j+1 << ")=" << setprecision(3) << matr[i][j]; cout << "\n"; void stampa_sol(double sol[max_dim], int dim) int i; cout << "Vettore soluzioni\n"; for( i=0; i<dim; i++) cout << "\tx(" << i+1 << ")=" << setprecision(3) << sol[i]; cout << "\n"; // stampa_sol() main() double A[MAX_DIM][MAX_DIM], // matrice coefficenti B[MAX_DIM], // matrice termini noti X[MAX_DIM]; // vettore soluzioni int dim; // dimensione richiesta da sistema corrente int success; // variabile di ritorno dala procedura Gauss() // success==0 => trovate soluzioni // success==1 => non trovate soluzioni char resp = y ; 10

11 do system("cls"); cout << "\n\n\n"; // leggi matrice ingresso leggi(a, dim); // Leggi vettore termini noti leggi_tn( dim, B); //stampa il sistema stampa(a,b,dim); // Gauss() per la soluzione success=gauss(a,b,x,dim); // stampa() if ( success==0 ) cout << "\n\nla Matrice Triangolare superiore e :\n"; stampa(a,b,dim); cout << "\n\nil vettore delle soluzioni e :\n"; stampa_sol(x,dim); else cout << "Il sistema e indeterminato.\n\n"; cout << "\n\n ========? Vuoi continuare (y/n)? >>> "; cin >> resp; while( resp == y resp == Y ); // main() 11