ARROTONDANDO FIGURE CON TRIANGOLI EQUILATERI

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1 ARROTONDANDO Cosa succede ad accostare figure identiche una all altra? Le figure ottenute che proprietà presentano? Posso trovare un qualche tipo di legge generale? Per rispondere a questa ed altre domande ci si occupa del caso di tessere a forma di triangolo equilatero e si cerca per ogni configurazione quella che presenta perimetro minimo. FIGURE CON TRIANGOLI EQUILATERI Problema: trovare la figura che presenta il minor perimetro utilizzando di volta in volta un numero crescente di tessere a forma di triangolo equilatero. Si costruiscano varie figure utilizzando di volta in volta un numero di tessere crescente. Si conti il perimetro delle figure così ottenute. In questa ricostruzione per ogni numero di tessere sono presentati solo alcuni esempi. 1 tessera Con una tessera la configurazione è obbligatorio a ha un perimetro minimo pari a 3. tessere Con due tessere vi è ancora un unica configurazione che ovviamente presenta il perimetro minimo pari a 4. 3 tessere Ancora con tre tessere vi è un unica configurazione con perimetro pari a 5. 4 tessere Quando si hanno a disposizione le configurazioni possibili sono molteplici, tuttavia tutte hanno un perimetro pari a 6.

2 5 tessere Con cinque tessere si ritrova le stesse considerazioni fatte nel caso precedente. In questa situazione però il perimetro è sempre pari a 7. 6 tessere Nel caso di sei tessere le caratteristiche iniziano a mutare. Ora si possono trovare configurazioni che presentano un perimetro pari a otto e una configurazione di minimo con perimetro pari a 6. tale configurazione è l esagono regolare. 7 tessere Qui vengono proposti alcuni esempi. Anche in questo caso si scopre che vi è una configurazione di minimo con perimetro pari a 7. Tutte le altre configurazioni hanno un perimetro pari ad un numero dispari. 8 tessere Con otto tessere vi sono molte configurazioni che presentano tutte un perimetro pari. Tuttavia a differenza degli altri casi, vi sono ben quattro configurazioni di minimo perimetro pari a 8. 9 tessere Questo caso è simile al precedente. Vi sono moltissime configurazioni che presentano perimetro dispari e vi sono più configurazioni che minimizzano il perimetro che in questo caso è pari a 9.

3 10 tessere Con dieci tessere si hanno molte configurazioni che presentano un perimetro pari, ma a differenza dei due casi visti in precedenza qui vi è un unica configurazione di minimo pari ad 8. Ora si potrebbe continuare aumentano di volta in volta il numero di tessere, ma già con questi dieci casi si possono fare utili considerazioni. Innanzitutto si osservi che con un numero dispari di triangoli si ottiene sempre un perimetro di valore dispari, mentre con un numero pari di tessere tale perimetro è pari. Altra considerazione importante che viene evidenziata dal quarto caso in poi è come la configurazione di minimo perimetro sia riconducibile alla figura dell esagono regolare. Infatti tutte le configurazioni di minimo o devono completare un esagono regolare o presentano tessere che lo circondano sul suo perimetro esterno. Questo è facilmente osservabile nel caso a dieci tessere dove la configurazione di minimo sono due esagoni regolari sovrapposti. Inoltre si osservi come non tutte le configurazioni di minimo perimetro siano simmetriche. Nonostante sia difficile identificare una regola che vada bene per un numero qualsiasi di tessere, si intuisce che conviene raggruppare le tessere a formare esagoni regolari e cercare il più possibile le simmetrie sistema. Ultima annotazione è il fatto che il problema poteva essere espresso in un altra forma e cioè trovare tra tutte le figure formate da triangoli equilateri e di medesima area quella di perimetro minimo.

4 Ora però ci si può interrogare in un altra maniera. Avendo provato varie configurazioni con celle elementari di varia forma, ci si potrebbe chiedere quale è la figura piana che presenta il minor perimetro a parità di area? Tuttavia appare chiaro che una dimostrazione per esempi è alquanto difficoltosa e laboriosa. Si può però osservare come considerando solo una categoria di figure la risposta sia alquanto semplice da dimostrare. Ad esempio tra tutti i triangoli di stessa area quello equilatero possiede il perimetro minimo. Tra i quadrilateri è il quadrato, tra i pentagoni è quello regolare. In generale tra tutti i poligoni con fissato numero di lati e area assegnata, quello regolare ha perimetro minore. Ma allora, tra tutti i poligoni regolari qual è quello con perimetro minimo? PERIMETRO DI UN POLIGONO REGOLARE Problema: trovare il perimetro di un poligono regolare conoscendo il numero di lati e l area totale. Si consideri un poligono regolare qualsiasi, dove si ha: n = numero di lati ( n, n 3) p = lunghezza perimetro l = lunghezza lato. È immediata la relazione tra le tre grandezze p = n l Si evidenzi il centro del poligono regolare e lo si unisca con i vertici del poligono. Con questa operazione si costruiscono tanti triangoli isosceli quanti sono i lati del poligono in α questione. Si osserva che l angolo al vertice α di ognuno di questi triangoli così ottenuti è pari a α = π n

5 Si tracci l altezza relativa al lato (la base del triangolo) e la indico con h. Sapendo che la base del triangolo è pari al lato e misura l, utilizzando semplici formule trigonometriche posso ricavare la relazione tra l ed h: l α = h tan Con semplici passaggi si ricava: l h = tan L area del triangolo A TRI ottenuto è: A TRI l h l = = 4tan L area del poligono regolare A è n volte quella del singolo triangolo: nl A= n ATRI = 4tan p Ma so che l = e dunque: n Da cui ottengo p A = 4n tan p= n Atan Si consideri di aumentare il numero di lati all infinito ( n ). In questa situazione il poligono regolare si confonde col cerchio. Ricordando che lim n n tan = π si ottiene p = π A Si dimostra facilmente la precedente formula, ricordando che p = π r e A = π r dove r rappresenta il raggio del cerchio: π π π r = p= A = r = π r

6 = Si osservi che la funzione p( n) n Atan è decrescente e convergente al valore π A, come già osservato. Per dimostrare questa proprietà è possibile disegnare la funzione e osservare il suo comportamento. 4,6 4,5 4,4 4,3 4, perimetro 4,1 4 3,9 3,8 3,7 3,6 3, numero lati

7 Avendo intuito che i poligoni regolari sono speciali rispetto agli altri, tra di essi ne esistono alcuni che presentano delle caratteristiche uniche che non sono proprie di tutti? Ci si potrebbe chiedere qual è o quali sono i poligoni regolari che permettono di ricoprire perfettamente un pavimento facendo in modo che tra una tessera e l altra non vi siano buchi? PAVIMENTAZIONI REGOLARI Problema: trovare con quali poligoni regolari è possibile formare pavimentazioni regolari. Considero poligoni regolari di n lati ( n, n 3). Attorno ad ogni vertice si raggruppano m poligoni regolari α α α ( m, m 3). Valuto ora il valore dell angolo alla circonferenza α. Si evidenzi il centro del poligono regolare e lo si unisca con i vertici del poligono. Con questa operazione si costruiscono tanti triangoli isosceli quanti sono i lati del poligono in questione. La somma degli angoli di ogni triangolo è pari a π. La somma degli angoli interni di un poligono regolare è pari a quella dei triangoli di cui è composto meno l angolo giro formato dagli angoli al vertice di ogni triangolo. In formule: n α = n π π, da cui si ottiene: n α = π n In ogni vertice si raggruppano m di questi angoli e si ottiene un angolo giro: m α = π p m π = π p Da cui m 1 = 1 1 m = 1 n = n m

8 Quella precedente è la relazione (*) che deve essere verificata per avere pavimentazioni regolari. Si verifichi ora quali sono i poligoni, dunque i valori di n (e di m) per i quali essa è verificata. Per fare ciò si utilizzi inizialmente una dimostrazione numerica. Si osservi che la relazione è simmetrica. Se n = 3 da (*) si ottiene m = 6. Poiché si ottiene un numero naturale il triangolo equilatero è soluzione del problema. Avendo osservato che la relazione (*) è simmetrica si ha come soluzione anche con n = 6 e m = 3, che rappresenta un esagono regolare. Se n = 4 da (*) si ottiene m = 4. Poiché si ottiene come prima un numero naturale il quadrato è soluzione del problema. Se n = 5 da (*) si ottiene m = Poiché non si ottiene un numero naturale il pentagono regolare non è soluzione del problema. Se n = 7 da (*) si ottiene m = Poiché come prima non si ottiene un numero naturale l ettagono regolare non è soluzione del problema. Si potrebbe continuare tale dimostrazione sempre nel seguente modo affrontando un numero infinito di casi. Si utilizzi ora una dimostrazione alternativa per minimo di n per il quale vale la seguente relazione > + n 3 n > 7. Voglio trovare il valore Si è posto m = 3 in quanto il suo inverso è il valore maggiore che si può ottenere al variare di m. Si osservi che per n = 8 si ha > + = Dato che si ha 1 > 1 si dimostra che per n > 7 non vi sono soluzioni. n n + 1 Riassumendo: gli unici poligoni regolari che permettono di ottenere una pavimentazione regolare sono il triangolo equilatero, il quadrato e l esagono regolare.

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