Calcolo di integrali - svolgimento degli esercizi
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- Giuliana Ferri
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1 Calcolo di inegrali - svolgimeno degli esercizi Calcoliamo una primiiva di cos(e 5. Inegriamo due vole per pari, scegliendo e 5 d come faore differenziale e cos( come faore finio. Si ha cos(e 5 d e5 5 cos(+ e 5 sin(d 5 e5 e 5 5 cos(+ 5 5 sin( ] cos(e 5 d 5 5 e5 cos(+ 5 e5 sin( 9 cos(e 5 d. 5 Si oiene quindi 5 cos(e 5 d e5 ( 5cos( + sin(, 5 da cui cos(e 5 d e5 ( 5cos( + sin( + C. Indicando con I l inegrale richieso, si ha e 5 (5cos( + sin( ] (5e 5 5 (e. Lavoriamo come nell esercizio precedene, inegrando due vole per pari. A differenza dell esercizio, consideriamo sin(d come faore differenziale e e come faore finio. Si ha sin(e d cos( e + e cos(d cos( ] e sin( + e sin(e d cos( e + e sin( sin(e d. Si oiene quindi 5 sin(e d e ( sin( cos(, da cui sin(e d e ( sin( cos( + C. Indicando con I l inegrale richieso, si ha e ( sin( cos( ] ( e8.
![5 Si oiene quindi 5 cos(e 5 d e5 ( 5cos( + sin(, 5 da cui cos(e 5 d e5 ( 5cos( + sin( + C. Indicando con I l inegrale richieso, si ha e 5 (5cos( + sin( ] (5e 5 5 (e.](/docs-images/49/20900257/images/page_1.jpg "Lavoriamo come nell esercizio precedene, inegrando due vole per pari. A differenza dell esercizio, consideriamo sin(d come faore differenziale e e come faore finio.")
2 Braides-Tauraso / Osserviamo che la funzione inegranda è pari. Indicao con I l inegrale richieso, risula arcan(d arcan d, avendo uilizzao la sosiuzione. Calcoliamo una primiiva di arcan, inegrando per pari. Scegliendo d come faore differenziale e arcan come faore finio, si ha arcan d arcan Effeuando la divisione ra i polinomi + d e +, si rova ( + + d. d. Ricordando ora che una primiiva di + è log( +, si ha arcan d arcan d + + d arcan + log( + +C. arcan + log( + ] ( + log. Di nuovo, la funzione inegranda è pari. Effeuando la sosiuzione, si ha arccos(d arccos d. Inegrando per pari, si ha ] arccos Per il calcolo dell ulimo inegrale, effeuiamo la sosiuzione sin y, da cui d cos ydy. In paricolare, i nuovi esremi di inegrazione sono y arcsin e y arcsin. Si ha sin ydy sin y( cos ydy (sin y sin y cos ydy cos y + cos y ]
![d. Ricordando ora che una primiiva di + è log( +, si ha arcan d arcan d + + d arcan + log( + +C. arcan + log( + ] ( + log. Di nuovo, la funzione inegranda è pari.](/docs-images/49/20900257/images/page_2.jpg "Effeuando la sosiuzione, si ha arccos(d arccos d. Inegrando per pari, si ha ] arccos + 9 + Per il calcolo dell ulimo inegrale, effeuiamo la sosiuzione sin y, da cui d cos ydy.")
3 inegrali ( Operando come nei due esercizi precedeni, si ha Inegrando per pari, si ha arcsin(d arcsin 9 ] d. arcsin d. d Per il calcolo dell ulimo inegrale, possiamo procedere come nell esercizio precedene o, in alernaiva, effeuare la sosiuzione y. Si oiene d y y dy y + dy y ( y ( y 5. ] ( y + y dy ] ( y ( y 9 ( 5 ( Si raa dell inegrale di una funzione razionale fraa in cui numeraore e denominaore hanno lo sesso grado. Possiamo effeuare la divisione ra i polinomi + + e + + 5oenendo , oppure, equivalenemene, decomporre nel modo seguene ( d + +5 d d d + ( + + d log( arcan( ++C.
![Si oiene d y y dy y + dy y ( y ( y 5. ] ( y + y dy ] ( y ( y 9 ( 5 ( 5 + 8.](/docs-images/49/20900257/images/page_3.jpg "Si raa dell inegrale di una funzione razionale fraa in cui numeraore e denominaore hanno lo sesso grado.")
4 Braides-Tauraso / Si ha quindi ] log( arcan( + log +. 7 Procedendo come nell esercizio precedene, si ha ( + + d + d d + + d + ( + d + log( + + arcan( + C. Si ha quindi + ] log( + + arcan( log +. 8 Usiamo la sosiuzione sinh, da cui si oiene sesinh log( + + e d cosh d. Inolre + sinh + cosh. I nuovi esremi di inegrazione sono sesinh e sesinh log( +. Si ha quindi log(+ sinh d. Calcoliamo una primiiva di sinh inegrando per pari. sinh d sinh cosh cosh d ( sinh cosh + sinh d sinh cosh sinh d. Si oiene sinh d sinh cosh + C. sinh cosh ]log(+.
![Si ha quindi + ] log( + + arcan( log +. 8 Usiamo la sosiuzione sinh, da cui si oiene sesinh log( + + e d cosh d. Inolre + sinh + cosh.](/docs-images/49/20900257/images/page_4.jpg "I nuovi esremi di inegrazione sono sesinh e sesinh log( +. Si ha quindi log(+ sinh d. Calcoliamo una primiiva di sinh inegrando per pari.")
5 5 inegrali Per calcolare comodamene sinh e cosh in log( +, può essere uile riornare alla variabile, ricordando che sinh, cosh + e log( + +. Si ha, perciò sinh cosh ]log(+ + log( + ] + ( log( +. 9 Per la parià della funzione inegranda, si ha +d. Effeuiamo ora la sosiuzione sinh, da cui si oiene sesinh log( + + e d cosh d. Inolre + sinh + cosh. Si ha log(+ cosh d. Inegrando per pari o, in alernaiva, uilizzando la relazione cosh cosh +, si rova che una primiiva di cosh sinh cosh + è. Calcoliamo ora una primiiva di cosh uilizzando un alro meodo. Ricordando che cosh e + e, si ha ( e cosh + e d d (e + e +d 8 e 8 e + (( e e + (( ( e e e + e + sinh cosh +, avendo ricordao che sinh e e. Si oiene quindi sinh cosh + ]log(+
6 Braides-Tauraso / e, riornando alla variabile sinh cosh + ]log(+ + + log( + + ( + log( +. ] Uilizzando la sosiuzione sinh, si ha d cosh d e + sinh + cosh. Si oiene quindi log(+ cosh cosh d ]log(+ log( +. Osserviamo che la funzione inegranda è pari. Inolre, la presenza di cos al numeraore suggerisce la sosiuzione sin. Si ha subio d sesinh + ] log( + ] + log( +. Effeuiamo la sosiuzione cos, da cui si oiene d + uilizzando il cono eseguio nell esercizio precedene. + d log( +, Si raa di un inegrale che deve essere raao con un po di aenzione. Effeuiamo un raccoglimeno al denominaore. Si ha cos (an + d. A queso puno, sembra naurale usare la sosiuzione an, mediane la quale i nuovi esremi di inegrazione sono an e an. Ne risulerebbe. Il risulao è, evidenemene, falso dao che I è un inegrale di una funzione posiiva su un inervallo di ampiezza non nulla. La sosiuzione an è lecia sugli inervalli in cui la funzione an è inieiva, e ciò non si verifica nell inervallo, ]. Per poerla uilizzare, è necessario suddividere, ] in sooinervalli nei quali an sia inveribile.
![Si ha subio d sesinh + ] log( + ] + log( +. Effeuiamo la sosiuzione cos, da cui si oiene d + uilizzando il cono eseguio nell esercizio precedene.](/docs-images/49/20900257/images/page_6.jpg "+ d log( +, Si raa di un inegrale che deve essere raao con un po di aenzione. Effeuiamo un raccoglimeno al denominaore. Si ha cos (an + d.")
7 7 inegrali Grazie alla periodicià (di periodo di f( sin + cos d sin, valgono le segueni uguaglianze + cos sin + cos d sin + cos d + cos (an + d. sin + cos d Nell inervallo (,, la sosiuzione an è lecia. Effeuandola, si oiene + + d + + d, grazie alla parià della funzione inegranda. Calcoliamo l inegrale improprio mediane la definizione, ricordando che una primiiva di ( ( è arcan. Si ha + lim b + ( ] b arcan. + Operando come nell esercizio precedene, si ha sin + cos d + lim b + sin + cos d sin + cos d + cos ( an d + + d + arcan ( ] b sin + cos d + + d ( + d. 5 Effeuiamo qualche passaggio che ci permee di eliminare il valore assoluo. Si ha arcan + d arcan +d arcan d,
![Calcoliamo l inegrale improprio mediane la definizione, ricordando che una primiiva di ( ( è arcan. Si ha + lim b + ( ] b arcan.](/docs-images/49/20900257/images/page_7.jpg "+ Operando come nell esercizio precedene, si ha sin + cos d + lim b + sin + cos d sin + cos d + cos ( an d + + d + arcan ( ] b sin + cos d + + d ( + d.")
8 Braides-Tauraso / 8 avendo usao la sosiuzione +. Calcoliamo una primiiva di arcan inegrando per pari. arcan d arcan arcan + d ( + arcan + arcan + C. d ( + arcan ] 5 +. Eliminiamo il valore assoluo con gli sessi passaggi dell esercizio precedene. Si ha arcsin ( d + arcsin d, avendo usao la sosiuzione +. Inegriamo per pari e oeniamo arcsin ( d arcsin ( ] ( ] arcsin + d + d + ] +, ( d avendo osservao che una primiiva di è. 7 Uilizziamo la sosiuzione +, da cui si ha d d. Si oiene sin d. Calcoliamo una primiiva di sin inegrando due vole per pari. sin d cos + cos d ( cos + sin sin d ( cos + sin + C. ( cos + sin ] (.
![Inegriamo per pari e oeniamo arcsin ( d arcsin ( ] ( ] arcsin + d + d + ] +, ( d avendo osservao che una primiiva di è.](/docs-images/49/20900257/images/page_8.jpg "7 Uilizziamo la sosiuzione +, da cui si ha d d. Si oiene sin d. Calcoliamo una primiiva di sin inegrando due vole per pari.")
9 9 inegrali 8 È dello sesso ipo dell inegrale dell esercizio precedene. Effeuando gli sessi passaggi, si ha sin d ( cos + sin ] 9. 9 Lavoriamo sul denominaore. Si ha 8+ + ( ( + d 8 + d, avendo usao la sosiuzione. Proseguiamo ora uilizzando la sosiuzione + y, da cui si ha d ydy e y. Si oiene Perciò d + d y y(y dy y dy log 8 log. ( y y y + ] y + dy log. Ripercorriamo i passaggi dell esercizio precedene operando in modo leggermene differene. Si ha 8+ ( ( + d y dy, + avendo usao la sosiuzione ( + y, da cui si ha quano calcolao nell esercizio precedene, si rova ( d ydy. Uilizzando log log.
![Proseguiamo ora uilizzando la sosiuzione + y, da cui si ha d ydy e y. Si oiene Perciò 8 8 + d + d y y(y dy y dy log 8 log. ( y y y + ] y + dy log.](/docs-images/49/20900257/images/page_9.jpg "Ripercorriamo i passaggi dell esercizio precedene operando in modo leggermene differene.")
10 Braides-Tauraso / Decomponiamo opporunamene la funzione inegranda. Si ha +5 ( + 5( + ( + ( + ( + e +5 ( + d 5arcan + + ( + d. Calcoliamo ora una primiiva di ( + inegrando per pari. Consideriamo come faore finio e ( + d come faore differenziale, osservando che una primiiva di ( + ( + è daa da. Si ha +, una primiiva di +5 ( + è daa da ( + d ( + d ( d ( + + arcan + C. 5arcan arcan arcan e l inegrale richieso vale ] + arcan Ripeendo i passaggi effeuai nel calcolo dell inegrale precedene, si rova +. Lavorando sul denominaore, si oiene d avendo usao la sosiuzione., si rova arcsin ]. d,
11 inegrali In alernaiva, l esercizio può essere svolo nel modo seguene. d ( d arcsin( ]. Ques ulimo procedimeno è uilizzao anche per il calcolo dell inegrale successivo. Si ha d ( arcsin( ]. 5 Si ha d. Uilizzando la sosiuzione sin si rova d cos d e sin cos cos, osservando che, nell inervallo di inegrazione, cos è posiivo. Perciò si oiene sin d sin cos ] 8. Ricordiamo che una primiiva di sin si può rovare inegrando per pari, analogamene a quano fao nell esercizio 8. Per il calcolo di queso inegrale, uilizziamo un meodo alernaivo a quello proposo nell esercizio precedene. Decomponiamo in queso modo d d + 9 ] + 9 d 9 d 9 8 ( +. 8 Per il calcolo dell ulimo inegrale, abbiamo uilizzao il risulao oenuo nell esercizio. 7 Decomponiamo la funzione inegranda nel seguene modo sin sin ( cos.
12 Braides-Tauraso / Si oiene (sin sin cos d ] cos + cos 5. 8 Decomponiamo la funzione inegranda nel seguene modo an an ( + an ( + an an an. Ricordando che una primiiva di ( + an an è an ] + log cos an, si ha log. 9 Poniamo e inegriamo per pari. Si ha log( d log d log ] ( log 5 log 5. Inegrando per pari si ha log d log ] ( 7 log 8 log 9. Scrivendo opporunamene la quanià soo radice, si ha ( + d sesinh log ( d + log( log ( ] ( + + ( log( +.
![Ricordando che una primiiva di ( + an an è an ] + log cos an, si ha log. 9 Poniamo e inegriamo per pari.](/docs-images/49/20900257/images/page_12.jpg "Si ha log( d log d log ] ( log 5 log 5. Inegrando per pari si ha log d log ] ( 7 log 8 log 9.")
13 inegrali Lavorando come nell esercizio precedene, si ha ( + d sesinh ( d + ( ] (sesinh sesinh ( (sesinh + sesinh log( +. Moliplichiamo numeraore e denominaore per cos. Uilizziamo, inolre, la formula di duplicazione cos cos sin sin e la relazione fondamenale cos sin. Oeniamo ( sin cos ( sin + ( sin d. Effeuando la sosiuzione sin, si oiene l inegrale di una funzione razionale fraa. ( ( + ( d. ( Cerchiamo una primiiva di ( + ( usando il meodo di decomposizione per frai semplici. ( ( + ( ( + A + + B + C + ( A +B C +(5B C + A +B +C, ( + ( ( + da cui si rova 7 5 A 5,B,C. + d + d + d 7 5 log + + log log + 5 log log log 7 5 log ( 5 + ( 7 log 5 + log 5 9 log log. ]
14 Braides-Tauraso / Ripercorrendo i passaggi svoli nell esercizio precedene, si rova 7 log + log log. 5 Usiamo la sosiuzione log mediane la quale l inegrale proposo si riconduce a un inegrale di una funzione razionale fraa. Si ha log d. Uilizziamo il meodo di decomposizione per frai semplici e oeniamo A + B (A B +(A + B +, da cui si ricava A e B. log ( d log ] log + ( log( log log log log( log. Osserviamo che l inegrale proposo può essere calcolao più rapidamene osservando che una primiiva di è log, oppure usando la sosiuzione log,come illusrao nell esercizio successivo. Poniamo log.si oiene log log d d e d log ]log log log( log. 7 Per il calcolo dell inegrale richieso, uilizziamo la decomposizione sin sin ( cos e la sosiuzione cos.si oiene ( log( + d ( log( + d.
![Uilizziamo il meodo di decomposizione per frai semplici e oeniamo A + B (A B +(A + B +, da cui si ricava A e B. log ( d log ] log + ( log( log log log log( log.](/docs-images/49/20900257/images/page_14.jpg "Osserviamo che l inegrale proposo può essere calcolao più rapidamene osservando che una primiiva di è log, oppure usando la sosiuzione log,come illusrao nell esercizio successivo. Poniamo log.")
15 5 inegrali Calcoliamo una primiiva di ( log( + inegrando per pari, considerando ( d come faore differenziale e log( + come faore finio. ( ( log( + d log( + + d ( log( d. Per calcolare l ulimo inegrale, effeuiamo la divisione ra i polinomi e +. Si oiene Perciò e l inegrale richieso vale d + arcan + C ( log( + + ( + 8 ] arcan log Usiamo la decomposizione cos cos ( sin e la sosiuzione sin.si oiene ( log( + d. Ripercorrendo i passaggi svoli nell esercizio precedene, si rova ( log( + + ( + ( ] arcan ( log Esaminiamo il segno della quanià log.si ha log > < log < e <<e. Si rova, quindi, che nell inervallo di inegrazione risula log > e log log. Si ha (9 log d. Uilizzando la sosiuzione log,si oiene log 9 d log ( + + d log + ] log + log log log.
![8 Usiamo la decomposizione cos cos ( sin e la sosiuzione sin.si oiene ( log( + d. Ripercorrendo i passaggi svoli nell esercizio precedene, si rova ( log( + + ( + ( ] arcan ( log + 7.](/docs-images/49/20900257/images/page_15.jpg "9 Esaminiamo il segno della quanià log.si ha log > < log < e <<e. Si rova, quindi, che nell inervallo di inegrazione risula log > e log log. Si ha (9 log d.")
16 Braides-Tauraso / Osserviamo che log è posiivo nell inervallo di inegrazione. Procedendo come nell esercizio precedene, si rova + log log 8 log. Uilizzando la seguene decomposizione sin sin( + sin cos + cos sin si oiene sin d + cos sin d. cos Il primo inegrale è immediao e vale, il secondo si può risolvere uilizzando la sosiuzione cos. Si ha cos sin d cos ( cos sin d cos ( d d ( log ] + log. + log ( + log. Uilizzando la seguene decomposizione cos cos( + cos cos sin sin si oiene Ora, si ha cos cos d sin sin d. sin d.
17 7 inegrali Il primo inegrale si può risolvere uilizzando la sosiuzione sin.si ha cos cos d sin ( sin cos d sin ( d ( d log ] log. log. Uilizzando la sosiuzione,si ha e d. Ora, una primiiva di e può essere facilmene oenua inegrando per pari, considerando come faore finio e e d come faore differenziale. e d e e e ( + C. Si ha quindi e ( ]. Procedendo come nell esercizio precedene, si oiene. 5 Dalla disparià della funzione f( arcan, segue Usando poi la semplice sosiuzione,si ha arcan( arcan(. arcan ( + d.
18 Braides-Tauraso / 8 Cerchiamo una primiiva di finio e d come faore differenziale. ( + Ricordando che una primiiva di Decomponiamo ora oenendo A C arcan ( + inegrando per pari, considerando arcan come faore, si ha + ( + è arcan arcan d ( + ( + ( + ( + A + + B + C + e B. Si ha ( + ( + d ( + ( + d. (A + B +(B + C + A + C ( + ( + + d + d + + d log + log( + + arcan + C. Si oiene quindi ( + arcan log + + ] log( + ( log + log log. 8 Procedendo come nell esercizio precedene, si rova log. 7 Per calcolare queso inegrale, uilizziamo la sosiuzione cos( da cui si oiene sin(d d, cioè 8 sin cos d d. Si ha quindi ( + d. Calcoliamo una primiiva di ( + uilizzando quano oenuo nell esercizio. Si ha ( + d + ( + d ( + d arcan + ( + arcan ( arcan + ( + + C.
![B. Si ha ( + ( + d ( + ( + d. (A + B +(B + C + A + C ( + ( + + d + d + + d log + log( + + arcan + C. Si oiene quindi ( + arcan log + + ] log( + ( log + log log.](/docs-images/49/20900257/images/page_18.jpg "8 Procedendo come nell esercizio precedene, si rova log. 7 Per calcolare queso inegrale, uilizziamo la sosiuzione cos( da cui si oiene sin(d d, cioè 8 sin cos d d. Si ha quindi ( + d.")
19 9 inegrali, si oiene ] arcan + ( Uilizziamo la formula di duplicazione sin( sin cos e la sosiuzione cos da cui si oiene sin d d., si ha sin cos cos d ( d ] / 5/ ( ( / / d 9 Uilizzando la formula di bisezione si ha ( sin cos, ( cos d ( cos d ] cos d. Calcoliamo ques ulimo inegrale inegrando per pari. Si oiene cos d sin + cos + C. sin + cos ] +.
![sin d d., si ha sin cos cos d ( d ] / 5/ 5 5 7.](/docs-images/49/20900257/images/page_19.jpg "( ( / / d 9 Uilizzando la formula di bisezione si ha ( sin cos, ( cos d ( cos d ] cos d.")
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