EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE

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1 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Prerequisiti Saper risolvere le equazioni algebriche. Conoscere le definizioni delle funzioni goniometriche. Conoscere i valori delle funzioni goniometriche per gli angoli notevoli e gli angoli associati. Conoscere le relazioni fondamentali della goniometria. Conoscere le formule goniometriche (addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione). Obiettivi Saper risolvere equazioni goniometriche dei tipi più ricorrenti (elementari, riducibili ad equazioni elementari, lineari, omogenee ). Saper risolvere disequazioni goniometriche dei tipi più ricorrenti (elementari, riducibili ad elementari, omogenee di grado). Definizione Per equazione (disequazione) goniometrica si intende un equazione (disequazione) in cui l incognita compare come argomento della funzione goniometrica. Risolvere un equazione (disequazione) goniometrica significa determinare gli angoli ( gli intervalli di angoli ) che sostituiti nell espressione data restituiscono un identità ( verificano la disequazione). Esempio: una soluzione dell equazione sen ( x) = sarà x = 5 perché sen ( 5 ) = sen0 =. Verificare le soluzioni assegnate : 4 sen x + π = π x = perché.. 4 cos ( x + 0 ) = x = 0 perché.. tg x = x = 0 perché.. ( )

2 EQUAZIONI ELEMENTARI. ) senx = p con p Si traccia la circonferenza goniometrica e la retta parallela all asse x (di equazione individuano due angoli aventi il seno dato ( segmento indicato in rosso ) : α e 80 - α (N.B. sono angoli supplementari) y = p). Si Osservazione : gli angoli sopra indicati si trovano per ogni giro completo, quindi: al primo giro si avranno α e 80 -α k=0 al secondo giro si avranno α +*60 e 80 -α+*60 k= al terzo giro si avranno α +*60 e 80 -α+*60 k= ecc in generale per tutti i giri le soluzioni saranno α+k*60 e 80 -α+k*60 kε Z, k>0 giri in senso antiorario e k<0 in senso orario. Osservazione: se il valore di p non è tra quelli di seni di angoli notevoli ( 0, 45, 60 ) per indicare l angolo α si ricorre all indicazione arcsen che sulle calcolatrici viene solitamente indicata con sen : per senx = si avrà x = α = arcsen e x = 80 α = 80 arcsen Ecco un riepilogo delle possibilità che si possono incontrare: se p < p > non ci sono soluzioni se p = una sola soluzione per giro x = π + kπ se p = una sola soluzione per giro x kπ + se < p < due soluzioni per giro come sopra indicato π α+k*60 e 80 -α+k*60

3 Risolvere le seguenti equazioni facendo il grafico come sopra : senx = ; sen x = ; senx = ; sen x = ; senx = ; senx = Passo successivo : per risolvere l equazione sen x = sen(45 + x) si ripetono le considerazioni già fatte. C è l identità se gli angoli sono uguali x = (45 + x) + k60 oppure supplementari x = 80 (45 + x) + k60. π senx = sen x sen x senx 4 π = ) cos x = q con q. Si tracciano la circonferenza goniometrica e la retta parallela all asse y di equazione x = q. Si individuano due angoli aventi il coseno dato ( segmento indicato in rosso ) : α e -α (N.B. sono angoli opposti) Le osservazioni fatte precedentemente si ripetono con la precisazione che la funzione inversa è arccos, sulla calcolatrice cos. Ecco un riepilogo delle possibilità che si possono incontrare: se q < q > non ci sono soluzioni se q = una sola soluzione per giro x = π + kπ = (k + ) π se q = una sola soluzione per giro x = kπ se < q < due soluzioni per giro come sopra indicato α+k*60 e -α+k*60

4 cos x = ; cos x = ; cos x = ; 7 cos x = ; cos x = Passo successivo : per risolvere l equazione cos x = cos( x 45 ) si ripetono le considerazioni già fatte. C è l identità se gli angoli sono uguali x = (45 + x) + k60 oppure se sono opposti x = (45 + x) + k60. π π cos ( x + 80 ) = cos x cos x = cos x Passo successivo : nel caso compaiano entrambe le funzioni seno e coseno, per esempio cos ( x +80 ) = senx, si può trasformare seno in coseno o viceversa sostituendo all angolo il suo complementare (90 - angolo). cos x + 80 = cos(90 x oppure sen ( 90 (x + 80 )) = senx Quindi si avrà ( ) ) π Risolvere l equazione sen x = cos x. 6 ) tgx = r con r R. Si tracciano la circonferenza goniometrica e la retta parallela all asse y passante per A(,0) di equazione x =. Si individuano due angoli aventi la tangente data ( segmento indicato in rosso ): α e 80 +α (N.B. un angolo ogni mezzo giro) Le osservazioni fatte precedentemente si ripetono con la precisazione che la funzione inversa è arctg, sulla calcolatrice tg, e che le soluzioni si ripetono ( periodiche) ogni mezzo giro cioè ogni k*80.

5 tgx = ; tgx = ; tgx = ; tgx = π Passo successivo : per risolvere l equazione tgx = tg x π C è l identità se gli angoli sono uguali x = ( x) + k80. si ripetono le considerazioni già fatte. π π tg( x 0 ) = tg( 60 x) tg x = tg x 6 Le equazioni elementari sono il passo finale cui pervengono tutte le equazioni goniometriche più complesse che si prenderanno in considerazione. EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI ELEMENTARI. sen x + senx = 0. Ponendo senx = t diventerà t + t = 0 equazione algebrica da risolvere. Sostituendo in t = senx si ottengono due equazioni goniometriche elementari. Risolvere l equazione: cos x cos x + = 0 Passo successivo cos x senx + = 0. Ricordando la prima relazione fondamentale della goniometria sen x + cos x = da cui cos x = sen x e sostituendo, si ritrova il caso precedente. Risolvere le equazioni: tg x tgx = 0 9senx 6cos x 5 = 0 EQUAZIONI OMOGENEE. Sono equazioni in cui i termini sono tutti dello stesso grado (ci limiteremo ai casi di e grado) ed il termine noto è 0.

6 Equazione omogenea di grado Esempio senx cos x = 0. Si divide per cos x e si ottiene, applicando la seconda relazione fondamentale della goniometria, tgx = 0, equazione del tipo già preso in considerazione. cos x + senx = 0 senx cos x = 0 Equazione omogenea di grado In queste equazioni il termine noto può sempre diventare 0. Esempio sen x + = 4senx cos x Utilizzando la prima relazione fondamentale il termine noto può trasformarsi = cos x + sen x. L equazione diventa sen x + ( sen x + cos x) = 4senx cos x, si divide per cos x e si ottiene, applicando la seconda relazione fondamentale della goniometria, tg x + tg x + = 4, equazione del tipo già preso in considerazione ( ) tgx 5sen x senx cos x cos x = 0 (N.B. termine noto già nullo) cos x + sen x + cos xsenx = (N.B. =*=*(cos x+sen x) ) EQUAZIONI LINEARI. Sono equazioni di primo grado con termine noto non nullo. Esempio cos x + senx = Poiché non è praticabile il metodo esposto precedentemente, si pone sostituisce nell equazione e si ottiene X +Y = cos x = X e senx = Y.Si Dalla prima relazione fondamentale della goniometria si ottiene X +Y = e si ricava il sistema X + Y = X + Y = le soluzioni individueranno in modo univoco gli angoli soluzioni dell equazione. Risolvere le equazioni: senx + cos x = cos x + senx = 0

7 EQUAZIONI RISOLUBILI CON L USO DELLE FORMULE GONIOMETRICHE. ) ( 0 + x ) + cos( 0 x) cos = N.B. gli angoli sono diversi. Per ricondurci ad uno dei casi già esposti è necessario che l argomento della funzione coseno sia solo x ed il solo modo per ottenerlo è applicare la formula dell addizione e della sottrazione. ERRORE FREQUENTE cos ( 0 + x) = cos0 + cos x cos( 0 x) = cos0 cos x ) cos x + sen x = 0 NO!!!!!!!!!!!! NO!!!!!!!!!!!! N.B. gli angoli sono diversi, uno è il doppio dell altro. Occorrerà applicare la formula della duplicazione dopodichè tutte le funzioni goniometriche avranno argomento x. ERRORE FREQUENTE ( x) cos x cos = NO!!!!!!!!!!!! x ) cos + cos x = N.B. gli angoli sono diversi, uno è la metà dell altro. Occorrerà applicare la formula della bisezione (è comunque consigliabile applicarla quando c è un quadrato come in questo caso ) dopodichè tutte le funzioni goniometriche avranno come argomento x. x 5 sen + cos x = x cos x = 0 4 ( x + 0 ) + tg( 60 x) = tg cos x = 5senx sen sen ( x 45 ) + sen( x + 45 ) = x 4sen = tg x

8 DISEQUAZIONI ELEMENTARI. senx > p con < p < sarà verificata per l arco della circonferenza (α,80 -α), mentre senx < p con < p < sarà verificata per l arco (80 -α, 60 +α) Es. senx > l arco soluzione sarà (0,80-0 =50 ) senx < l arco soluzione sarà (50,60 +0 ) oppure se ci riferiamo al primo giro (0,0 ) U (50,60 ) Osservazione : se il risultato si deve riferire a tutti i giri ogni estremo sarà indicato con +k*60 cos x > q con < q < sarà verificata per l arco della circonferenza (-α,α), mentre cos x < q con < q < sarà verificata per l arco (α, 60 -α) Es. cos x > l arco soluzione sarà (-45,45 ) oppure se ci riferiamo al primo giro (0,45 ) U (5,60 ] cos x < l arco soluzione sarà (45,5 ) Osservazione : se il risultato si deve riferire a tutti i giri, ogni estremo sarà indicato con +k*60

9 tgx > r sarà verificata per l arco della circonferenza (α,90 ), mentre tgx < r con sarà verificata per l arco (0, +α)u(90,80 ) Es. tgx > l arco soluzione sarà (0,90 ) tgx < l arco soluzione sarà (0,0 )U(90,80 ) oppure (90,0 ) Osservazione: : se il risultato si deve riferire a tutti i giri, ogni estremo sarà indicato con +k*80. : Risolvere le disequazioni: cos x < senx < tgx cos x tgx < DISEQUAZIONI NON ELEMENTARI. Per risolvere disequazioni più complesse si deve far riferimento alle conoscenze già acquisite sulle disequazioni algebriche, alle disequazioni prodotto, alle disequazioni fratte, ai sistemi di disequazioni ed alle equazioni goniometriche viste sopra : Esempio. sen x + senx + < 0 Sostituendo senx = t si otterrà una disequazione algebrica t + t + < 0 la cui soluzione sarà < t < e ripristinando la funzione goniometrica si avrà < senx < che corrisponde all arco di cerchio (0, 0 ) quindi la soluzione scritta in modo completo sarà 0 + k 60 < x < 0 + k60

10 Esercizi ) sen x senx < 0 da svolgere come l esempio sopra riportato ) ( )( cos x ) > 0 senx è una disequazione prodotto il primo fattore ( ) il secondo fattore ( cos ) senx deve essere posto >0 e dà luogo ad una disequazione elementare x deve ugualmente essere posto >0 e dà luogo ad una disequazione elementare gli archi soluzione delle due disequazioni dovranno essere riportati sulla circonferenza e combinati secondo la regola solita dei segni. tgx ) 0 senx è una disequazione fratta il numeratore tgx deve essere posto 0 e dà luogo ad una disequazione elementare il denominatore senx deve essere posto >0 e dà luogo ad una disequazione elementare gli archi soluzione delle due disequazioni dovranno essere riportate sulla circonferenza e combinate con la regola dei segni Risolvere le disequazioni: cos x sen x senx cos x + cos x ; ( + senx ) cos x > 0 ; < 0. senx

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