EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
|
|
- Roberto Calo
- 7 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Prerequisiti Saper risolvere le equazioni algebriche. Conoscere le definizioni delle funzioni goniometriche. Conoscere i valori delle funzioni goniometriche per gli angoli notevoli e gli angoli associati. Conoscere le relazioni fondamentali della goniometria. Conoscere le formule goniometriche (addizione e sottrazione, duplicazione, bisezione). Obiettivi Saper risolvere equazioni goniometriche dei tipi più ricorrenti (elementari, riducibili ad equazioni elementari, lineari, omogenee ). Saper risolvere disequazioni goniometriche dei tipi più ricorrenti (elementari, riducibili ad elementari, omogenee di grado). Definizione Per equazione (disequazione) goniometrica si intende un equazione (disequazione) in cui l incognita compare come argomento della funzione goniometrica. Risolvere un equazione (disequazione) goniometrica significa determinare gli angoli ( gli intervalli di angoli ) che sostituiti nell espressione data restituiscono un identità ( verificano la disequazione). Esempio: una soluzione dell equazione sen ( x) = sarà x = 5 perché sen ( 5 ) = sen0 =. Verificare le soluzioni assegnate : 4 sen x + π = π x = perché.. 4 cos ( x + 0 ) = x = 0 perché.. tg x = x = 0 perché.. ( )
2 EQUAZIONI ELEMENTARI. ) senx = p con p Si traccia la circonferenza goniometrica e la retta parallela all asse x (di equazione individuano due angoli aventi il seno dato ( segmento indicato in rosso ) : α e 80 - α (N.B. sono angoli supplementari) y = p). Si Osservazione : gli angoli sopra indicati si trovano per ogni giro completo, quindi: al primo giro si avranno α e 80 -α k=0 al secondo giro si avranno α +*60 e 80 -α+*60 k= al terzo giro si avranno α +*60 e 80 -α+*60 k= ecc in generale per tutti i giri le soluzioni saranno α+k*60 e 80 -α+k*60 kε Z, k>0 giri in senso antiorario e k<0 in senso orario. Osservazione: se il valore di p non è tra quelli di seni di angoli notevoli ( 0, 45, 60 ) per indicare l angolo α si ricorre all indicazione arcsen che sulle calcolatrici viene solitamente indicata con sen : per senx = si avrà x = α = arcsen e x = 80 α = 80 arcsen Ecco un riepilogo delle possibilità che si possono incontrare: se p < p > non ci sono soluzioni se p = una sola soluzione per giro x = π + kπ se p = una sola soluzione per giro x kπ + se < p < due soluzioni per giro come sopra indicato π α+k*60 e 80 -α+k*60
3 Risolvere le seguenti equazioni facendo il grafico come sopra : senx = ; sen x = ; senx = ; sen x = ; senx = ; senx = Passo successivo : per risolvere l equazione sen x = sen(45 + x) si ripetono le considerazioni già fatte. C è l identità se gli angoli sono uguali x = (45 + x) + k60 oppure supplementari x = 80 (45 + x) + k60. π senx = sen x sen x senx 4 π = ) cos x = q con q. Si tracciano la circonferenza goniometrica e la retta parallela all asse y di equazione x = q. Si individuano due angoli aventi il coseno dato ( segmento indicato in rosso ) : α e -α (N.B. sono angoli opposti) Le osservazioni fatte precedentemente si ripetono con la precisazione che la funzione inversa è arccos, sulla calcolatrice cos. Ecco un riepilogo delle possibilità che si possono incontrare: se q < q > non ci sono soluzioni se q = una sola soluzione per giro x = π + kπ = (k + ) π se q = una sola soluzione per giro x = kπ se < q < due soluzioni per giro come sopra indicato α+k*60 e -α+k*60
4 cos x = ; cos x = ; cos x = ; 7 cos x = ; cos x = Passo successivo : per risolvere l equazione cos x = cos( x 45 ) si ripetono le considerazioni già fatte. C è l identità se gli angoli sono uguali x = (45 + x) + k60 oppure se sono opposti x = (45 + x) + k60. π π cos ( x + 80 ) = cos x cos x = cos x Passo successivo : nel caso compaiano entrambe le funzioni seno e coseno, per esempio cos ( x +80 ) = senx, si può trasformare seno in coseno o viceversa sostituendo all angolo il suo complementare (90 - angolo). cos x + 80 = cos(90 x oppure sen ( 90 (x + 80 )) = senx Quindi si avrà ( ) ) π Risolvere l equazione sen x = cos x. 6 ) tgx = r con r R. Si tracciano la circonferenza goniometrica e la retta parallela all asse y passante per A(,0) di equazione x =. Si individuano due angoli aventi la tangente data ( segmento indicato in rosso ): α e 80 +α (N.B. un angolo ogni mezzo giro) Le osservazioni fatte precedentemente si ripetono con la precisazione che la funzione inversa è arctg, sulla calcolatrice tg, e che le soluzioni si ripetono ( periodiche) ogni mezzo giro cioè ogni k*80.
5 tgx = ; tgx = ; tgx = ; tgx = π Passo successivo : per risolvere l equazione tgx = tg x π C è l identità se gli angoli sono uguali x = ( x) + k80. si ripetono le considerazioni già fatte. π π tg( x 0 ) = tg( 60 x) tg x = tg x 6 Le equazioni elementari sono il passo finale cui pervengono tutte le equazioni goniometriche più complesse che si prenderanno in considerazione. EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD EQUAZIONI ELEMENTARI. sen x + senx = 0. Ponendo senx = t diventerà t + t = 0 equazione algebrica da risolvere. Sostituendo in t = senx si ottengono due equazioni goniometriche elementari. Risolvere l equazione: cos x cos x + = 0 Passo successivo cos x senx + = 0. Ricordando la prima relazione fondamentale della goniometria sen x + cos x = da cui cos x = sen x e sostituendo, si ritrova il caso precedente. Risolvere le equazioni: tg x tgx = 0 9senx 6cos x 5 = 0 EQUAZIONI OMOGENEE. Sono equazioni in cui i termini sono tutti dello stesso grado (ci limiteremo ai casi di e grado) ed il termine noto è 0.
6 Equazione omogenea di grado Esempio senx cos x = 0. Si divide per cos x e si ottiene, applicando la seconda relazione fondamentale della goniometria, tgx = 0, equazione del tipo già preso in considerazione. cos x + senx = 0 senx cos x = 0 Equazione omogenea di grado In queste equazioni il termine noto può sempre diventare 0. Esempio sen x + = 4senx cos x Utilizzando la prima relazione fondamentale il termine noto può trasformarsi = cos x + sen x. L equazione diventa sen x + ( sen x + cos x) = 4senx cos x, si divide per cos x e si ottiene, applicando la seconda relazione fondamentale della goniometria, tg x + tg x + = 4, equazione del tipo già preso in considerazione ( ) tgx 5sen x senx cos x cos x = 0 (N.B. termine noto già nullo) cos x + sen x + cos xsenx = (N.B. =*=*(cos x+sen x) ) EQUAZIONI LINEARI. Sono equazioni di primo grado con termine noto non nullo. Esempio cos x + senx = Poiché non è praticabile il metodo esposto precedentemente, si pone sostituisce nell equazione e si ottiene X +Y = cos x = X e senx = Y.Si Dalla prima relazione fondamentale della goniometria si ottiene X +Y = e si ricava il sistema X + Y = X + Y = le soluzioni individueranno in modo univoco gli angoli soluzioni dell equazione. Risolvere le equazioni: senx + cos x = cos x + senx = 0
7 EQUAZIONI RISOLUBILI CON L USO DELLE FORMULE GONIOMETRICHE. ) ( 0 + x ) + cos( 0 x) cos = N.B. gli angoli sono diversi. Per ricondurci ad uno dei casi già esposti è necessario che l argomento della funzione coseno sia solo x ed il solo modo per ottenerlo è applicare la formula dell addizione e della sottrazione. ERRORE FREQUENTE cos ( 0 + x) = cos0 + cos x cos( 0 x) = cos0 cos x ) cos x + sen x = 0 NO!!!!!!!!!!!! NO!!!!!!!!!!!! N.B. gli angoli sono diversi, uno è il doppio dell altro. Occorrerà applicare la formula della duplicazione dopodichè tutte le funzioni goniometriche avranno argomento x. ERRORE FREQUENTE ( x) cos x cos = NO!!!!!!!!!!!! x ) cos + cos x = N.B. gli angoli sono diversi, uno è la metà dell altro. Occorrerà applicare la formula della bisezione (è comunque consigliabile applicarla quando c è un quadrato come in questo caso ) dopodichè tutte le funzioni goniometriche avranno come argomento x. x 5 sen + cos x = x cos x = 0 4 ( x + 0 ) + tg( 60 x) = tg cos x = 5senx sen sen ( x 45 ) + sen( x + 45 ) = x 4sen = tg x
8 DISEQUAZIONI ELEMENTARI. senx > p con < p < sarà verificata per l arco della circonferenza (α,80 -α), mentre senx < p con < p < sarà verificata per l arco (80 -α, 60 +α) Es. senx > l arco soluzione sarà (0,80-0 =50 ) senx < l arco soluzione sarà (50,60 +0 ) oppure se ci riferiamo al primo giro (0,0 ) U (50,60 ) Osservazione : se il risultato si deve riferire a tutti i giri ogni estremo sarà indicato con +k*60 cos x > q con < q < sarà verificata per l arco della circonferenza (-α,α), mentre cos x < q con < q < sarà verificata per l arco (α, 60 -α) Es. cos x > l arco soluzione sarà (-45,45 ) oppure se ci riferiamo al primo giro (0,45 ) U (5,60 ] cos x < l arco soluzione sarà (45,5 ) Osservazione : se il risultato si deve riferire a tutti i giri, ogni estremo sarà indicato con +k*60
9 tgx > r sarà verificata per l arco della circonferenza (α,90 ), mentre tgx < r con sarà verificata per l arco (0, +α)u(90,80 ) Es. tgx > l arco soluzione sarà (0,90 ) tgx < l arco soluzione sarà (0,0 )U(90,80 ) oppure (90,0 ) Osservazione: : se il risultato si deve riferire a tutti i giri, ogni estremo sarà indicato con +k*80. : Risolvere le disequazioni: cos x < senx < tgx cos x tgx < DISEQUAZIONI NON ELEMENTARI. Per risolvere disequazioni più complesse si deve far riferimento alle conoscenze già acquisite sulle disequazioni algebriche, alle disequazioni prodotto, alle disequazioni fratte, ai sistemi di disequazioni ed alle equazioni goniometriche viste sopra : Esempio. sen x + senx + < 0 Sostituendo senx = t si otterrà una disequazione algebrica t + t + < 0 la cui soluzione sarà < t < e ripristinando la funzione goniometrica si avrà < senx < che corrisponde all arco di cerchio (0, 0 ) quindi la soluzione scritta in modo completo sarà 0 + k 60 < x < 0 + k60
10 Esercizi ) sen x senx < 0 da svolgere come l esempio sopra riportato ) ( )( cos x ) > 0 senx è una disequazione prodotto il primo fattore ( ) il secondo fattore ( cos ) senx deve essere posto >0 e dà luogo ad una disequazione elementare x deve ugualmente essere posto >0 e dà luogo ad una disequazione elementare gli archi soluzione delle due disequazioni dovranno essere riportati sulla circonferenza e combinati secondo la regola solita dei segni. tgx ) 0 senx è una disequazione fratta il numeratore tgx deve essere posto 0 e dà luogo ad una disequazione elementare il denominatore senx deve essere posto >0 e dà luogo ad una disequazione elementare gli archi soluzione delle due disequazioni dovranno essere riportate sulla circonferenza e combinate con la regola dei segni Risolvere le disequazioni: cos x sen x senx cos x + cos x ; ( + senx ) cos x > 0 ; < 0. senx
Disequazioni goniometriche
Disequazioni goniometriche Si definiscono disequazioni goniometriche le disequazioni nelle quali l angolo incognito è espresso mediante funzioni goniometriche (seno, coseno, tangente etc.). Per le disequazioni
DettagliRACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI
RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI V PARTE: TRIGONOMETRIA MISURE DEGLI ANGOLI IN GRADI E IN RADIANTI Nota; nel seguito per la misura degli angoli in gradi viene utilizzato il sistema "sessadecimale"
DettagliGONIOMETRIA. sin (x) = PH OP. ctg (x ) = cos (x) = CB sin (x) cosec (x ) = 1 = ON sin (x)
GONIOMETRIA sin (x = PH OP cos (x = OH OP tg (x = sin(x = TA cos(x ctg (x = cos (x = CB sin (x sec (x = 1 = OM cos(x cosec (x = 1 = ON sin (x La tangente si calcola sempre sulla retta verticale passante
DettagliDISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
Pagina 5 Disequazioni goniometriche elementari: DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Si definisce disequazione goniometrica elementare ed ha la forma sen < > m dove m è un qualsiasi numero reale poiché sen e cos,
DettagliRisolvere la seguente disequazione significa determinare gli archi aventi estremo di ordinata 1 maggiore di
Trigonometria parte 5 easy matematica Eliana pagina 5 DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE Disequazioni goniometriche elementari: Si definisce disequazione goniometrica elementare un equazione della forma sen
DettagliProgramma svolto nell'a.s. 2016/2017 Disciplina: Matematica. Classe: 4D Docente: Prof. Ezio Pignatelli Programma sintetico.
Programma svolto nell'a.s. 2016/2017 Disciplina: Matematica. Classe: 4D Docente: Prof. Ezio Pignatelli Programma sintetico. 1. Funzione esponenziale e logaritmica. a) Riepilogo delle proprietà delle potenze.
DettagliTeoria in sintesi 10. Teoria in sintesi 14
Indice L attività di recupero Funzioni goniometriche Teoria in sintesi 0 Obiettivo Calcolare il valore di espressioni goniometriche in seno e coseno Obiettivo Determinare massimo e minimo di funzioni goniometriche
Dettagli1. conoscere la terminologia e le proprietà dei logaritmi e saperne utilizzare le regole di calcolo
Quinto modulo: Funzioni Obiettivi. conoscere la terminologia e le proprietà dei logaritmi e saperne utilizzare le regole di calcolo. saper operare con le funzioni esponenziale e logaritmo per risolvere
DettagliGoniometria e Trigonometria
Università degli studi di Modena e Reggio Emilia Dipartimento di Scienze e Metodi dell Ingegneria Corso MOOC Iscriversi a Ingegneria Reggio Emilia Introduzione La goniometria è la parte della matematica
DettagliMatema&ca. TRIGONOMETRIA Le disequazioni goniometriche. DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica
Matema&ca TRIGONOMETRIA Le disequazioni goniometriche DOCENTE: Vincenzo Pappalardo MATERIA: Matematica DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI definizione Una disequazione di dice goniometrica se contiene
DettagliARCHI ASSOCIATI EQUAZIONI E DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
ARCHI ASSOCIATI Si tratta di angoli in cui le funzioni goniometriche mantengono lo stesso valore assoluto, cambiando al più il segno. Per questo motivo, le tavole goniometriche riportano soltanto i valori
DettagliHP VP. (rispettivamente seno, coseno e tangente di β)
Trigonometria Prerequisiti: Nozione di angolo e di arco. Obiettivi convertire le misure degli angoli dai gradi ai radianti e viceversa; sapere le relazioni fra gli elementi (lati, angoli) di un triangolo;
DettagliTRIGONOMETRIA: DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE
FACOLTÀ DI INGEGNERIA CORSI DI POTENZIAMENTO - MATEMATICA E LOGICA ANNO ACCADEMICO 008-009 ESERCIZI DI TRIGONOMETRIA: DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE Esercizio : Risolvere la seguente disequazione >. Svolgimento:
Dettagli1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE
1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE Esempio 1 Risolvere senx = Soluzione. La misura dei due angoli positivi, minori di un angolo giro, che soddisfano l equazione data sono: 4 Tutte le soluzioni sono quindi date
DettagliSCHEDA OBIETTIVI MINIMI. Materia:MATEMATICA
Pag. 1 di 5 SCHEDA OBIETTIVI MINIMI Materia:MATEMATICA Classi QUARTA A e QUARTA B Spec.: LICEO DELLE SCIENZE APPLICATE a.s: 2016 / 2017 4 3 2 1 Presidente di dipartimento 0 DOC DS Maria Grazia Gillone
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice
DettagliIstituto di Istruzione Secondaria Superiore Statale «Via Silvestri 301» Programma di MATEMATICA
1. MODULO 1: RICHIAMI DI CALCOLO LETTERALE La scomposizione di polinomi e le operazioni con le frazioni algebriche 2. MODULO 2: LE EQUAZIONI Istituto di Istruzione Secondaria Superiore Statale Classe 1
DettagliEquazioni goniometriche riconducibili a equazioni elementari
Equazioni goniometriche riconducibili a equazioni elementari Le equazioni non elementari, in cui sono presenti più funzioni goniometriche, si riconducono a equazioni elementari nel seguente modo: 1. Si
DettagliISTITUTO TECNICO TECNOLOGICO STATALE G.
ISTITUTO TECNICO TECNOLOGICO STATALE G. e M. MONTANI FERMO Anno Scolastico 2015/ 16 PROGRAMMA SVOLTO DI MATEMATICA 3 ore settimanali COMPLEMENTI DI MATEMATICA 1 ora settimanale Classe: 3^ INFORMATICA sez.
DettagliMATEMATICA COMPLEMENTI DI MATEMATICA
ISTITUTO TECNICO TECNOLOGICO STATALE G. e M. MONTANI FERMO Anno Scolastico 2014/ 15 PROGRAMMA SVOLTO DI Disciplina: MATEMATICA Classe di Concorso A047 3 ore settimanali Disciplina: COMPLEMENTI DI MATEMATICA
DettagliNome.Cognome. 12 Febbraio 2009 Classe 4D. VERIFICA di MATEMATICA
Nome.Cognome. Febbraio 009 Classe D VERIFIC di MTEMTIC Problemi ) Nel triangolo C si sa che ˆ 7 cos C =, tan C ˆ = e CM = a, essendo CM l altezza relativa ad. Determinare le misure dei lati del triangolo.
DettagliESERCITAZIONE: FUNZIONI GONIOMETRICHE
ESERCITAZIONE: FUNZIONI GONIOMETRICHE e-mail: tommei@dm.unipi.it web: www.dm.unipi.it/ tommei Circonferenza goniometrica La circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio unitario centrata nell
DettagliPROGRAMMAZIONE III Geometri. ORGANIZZAZIONE MODULARE (Divisa in unità didattiche) MODULO TITOLO DEL MODULO ORE PREVISTE A Richiami di algebra 30
PROGRAMMAZIONE III Geometri ORGANIZZAZIONE MODULARE (Divisa in unità didattiche) MODULO TITOLO DEL MODULO ORE PREVISTE A Richiami di algebra 30 B Geometria analitica 32 C Goniometria 30 D Trigonometria
DettagliU. D. 3 LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE
U. D. 3 LE EQUAZIONI E LE DISEQUAZIONI GONIOMETRICHE 1. Destinatari questa unità didattica è destinata a studenti del IV^ anno del liceo scientifico tradizionale. Le ore settimanali di matematica previste
Dettagli01 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE
0 LE FUNZIONI GONIOMETRICHE. LA MISURA DEGLI ANGOLI ESERCIZI Esprimi in forma sessadecimale le seguenti misure di angoli. A 4 9 ; 8 56 6 ; 57 59 B 44 ; 78 56 ; 9 4 0.,57 ; 8,97 ; 57,0. 4,4 ; 7,5 ; 9,569
DettagliLiceo Scientifico Statale A.Einstein
Liceo Scientifico Statale A.Einstein A.S. 2010/11 Classe 3^B Programma di matematica Libro di testo adottato : Dodero-Baroncini-Manfredi «Lineamenti di matematica» moduli A-B-C Insegnante : Alessandra
DettagliPROGRAMMA SVOLTO. DOCENTE prof. Crespi Elisabetta N. ore svolte sul totale delle ore previste 99
PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2013/2014 CLASSE IIIG CAT DISCIPLINA Matematica DOCENTE prof. Crespi Elisabetta N. ore svolte sul totale delle ore previste 99 MODULO E/O UNITA DIDATTICA CONTENUTI ANALITICA COMPETENZE
DettagliRADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
CORSO ZERO DI MATEMATICA per Ing. Chimica e Ing. delle Telecomunicazioni GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA Prof. Erasmo Modica erasmo@galois.it RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice angolo
DettagliIn altre parole, una circonferenza corrisponde ad un angolo di 2π radianti.
Lezione di goniometria Intanto, non è male riportare le seguenti definizioni: Goniometria: si occupa della misurazione degli angoli. Trigonometria: si occupa delle relazioni che stanno fra i lati e gli
DettagliAnno Scolastico:
LICEO SCIENTIFICO DI STATO "G. BATTAGLINI" TARANTO PROGRAMMA DI MATEMATICA svolto nella Classe III Sezione A. Anno Scolastico: 2012-2013. Docente: Francesco Pantano. 1. Disequazioni. Richiami sulle disequazioni
Dettagli1. Partendo dall angolo della figura definisci il seno e il coseno
1. Partendo dall angolo della figura definisci il seno e il coseno 2. Un angolo ha i seguenti valori per il seno e per il coseno, ; osa si può dire al riguardo? 3. In quali angoli, per 0 < < 2, cos < 0?
DettagliANGOLI ASSOCIATI. Considerando sempre valida l uguaglianza tra i triangoli OPH e ORK si ricava quanto segue: 1) Angoli complementari.
ANGLI ASSCIATI Considerando sempre valida l uguaglianza tra i triangoli H e K si ricava quanto segue: ) Angoli complementari K H K = H sen = (9 ) cos K = H cos(9 ) = sen (9 ) = c ) Angoli che differiscono
DettagliΔ > 0, f(x)<0 quindi valori interni 0<x<4. Δ <0 f(x)>0 quindi sempre verificata
Classe TERZA A inf. MATEMATICA attività di rinforzo anno 011/1 Nella verifica di settembre dovrai dimostrare di riconoscere l'equazione della retta, della circonferenza, della parabola con asse parallelo
DettagliITI M.FARADAY PROGRAMMAZIONE DIDATTICA a.s CLASSI: TERZE Materia: MATEMATICA e COMPLEMENTI Ore settimanali previste: 4.
CLASSI: TERZE Materia: MATEMATICA e COMPLEMENTI Ore settimanali previste: 4 Matematica MACRO UNITÀ PREREQUISITI TITOLO UNITÀ DI APPRENDIMENTO COMPETENZE PREVISTE PERIODO RACCORDO CON IL BIENNIO U.D.A.1:
DettagliISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE G. FERRARIS
ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE G. FERRARIS EMPOLI PIANO DI LAVORO PROF. BICCI ANDREA CONSIGLIO DI CLASSE 3 SEZ. B Informatica INDIRIZZO INFORMATICO ANNO SCOLASTICO 2015-2016 MATERIE MATEMATICA (tre ore settimanali)
DettagliLiceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Reggio Calabria. PROGRAMMA DI MATEMATICA Per la classe IV sez.d Anno scolastico 2012/13
Liceo Scientifico Statale Leonardo da Vinci Reggio Calabria PROGRAMMA DI MATEMATICA Per la classe IV sez.d Anno scolastico 2012/13 Modulo 1: Le coniche Geometria elementare retta e circonferenza nel piano
DettagliProgramma per il recupero della carenza formativa classe 3 A PT. Libro di testo: Leonardo Sasso, Nuova Matematica a colori vol.
Programma per il recupero della carenza formativa classe 3 A PT Insegnante: Giuliana Facchinelli Libro di testo: Leonardo Sasso, Nuova Matematica a colori vol. 3, Petrini MODALITA DI RECUPERO DELLA CARENZA:
DettagliCLASSE 1B INSIEMI NUMERICI:
IIS Via Silvestri 301 -Roma Plesso Volta. Indirizzo Elettronica ed Elettrotecnica Programma svolto di Matematica a.s. 2018/2019 Prof.ssa Claudia Dennetta CLASSE 1B INSIEMI NUMERICI: Numeri naturali: Le
DettagliESERCIZI SUL DOMINIO DI UNA FUNZIONE A UNA VARIABILE REALE. Le FUNZIONI RAZIONALI INTERE (i polinomi) hanno come insieme di definizione R.
ESERCIZI SUL DOMINIO DI UNA FUNZIONE A UNA VARIABILE REALE PREMESSA Ai fini dello studio di una funzione la prima operazione da compiere è quella di determinare il suo dominio, ovvero l' insieme valori
DettagliDISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE Francesco Bonaldi e Camillo Enrico
DISEQUAZIONI TRIGONOMETRICHE Francesco Bonaldi e Camillo Enrico Introduzione Si definiscono disequazioni trigonometriche le disequazioni nelle quali l angolo incognito è espresso mediante funzioni goniometriche
DettagliRADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
Facoltà di Medicina e Chirurgia Corso Zero di Matematica Gruppi: MC-MF / PS-MF IV Lezione TRIGONOMETRIA Dr. E. Modica erasmo@galois.it RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice angolo
Dettaglitg α = sostituendo: cos α 9 = 1 Esercizi Trigonometria Es. n. 246 pag 742.
Esercizi Trigonometria Es. n. pag 7. Sviluppa con le formule di duplicazione e semplifica le seguenti espressioni: cos α + sen α + sen α Applichiamo le formule di duplicazione a cos α e sen α cos α sen
Dettagli1. Funzioni reali di una variabile reale
Di cosa parleremo In questo capitolo introduttivo ci occuperemo di funzioni reali di una variabile reale; precisamente, daremo dei criteri per la determinazione del campo di esistenza delle varie tipologie
DettagliSi chiama invece equazione goniometrica una equazione che contiene funzioni goniometriche di uno o più angoli incogniti.
MODULO 3 LEZIONE 3 EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI Si chiama identità goniometrica un uguaglianza tra due espressioni goniometriche di uno o più angoli che è valida per qualunque valore si assegni agli
DettagliProgramma di Matematica Liceo Scientifico A. Romita Classe: 4G a.s.:2015 / 2016
Programma di Matematica Liceo Scientifico A. Romita Classe: 4G a.s.:2015 / 2016 Le funzioni goniometriche La misura degli angoli Gli angoli e la loro ampiezza La misura in gradi La misura i radianti Dai
DettagliITI M.FARADAY Programmazione Modulare a.s Matematica
CLASSI: TERZE Materia: MATEMATICA e COMPLEMENTI Ore settimanali previste: 4 Matematica modulo Titolo Modulo Titolo unità didattiche del modulo Ore previste Periodo mensile Competenze MODULO 1 RACCORDO
DettagliAPPUNTI DI GONIOMETRIA
APPUNTI DI GONIOMETRIA RADIANTI E CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Definizione: Si dice angolo ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine. Definizione: Dicesi
DettagliI.S.I.S.S. G. GALILEI PIANO DI LAVORO ANNUALE A. S. 2018/2019
I.S.I.S.S. G. GALILEI PIANO DI LAVORO ANNUALE A. S. 2018/2019 Disciplina: MATEMATICA Classe: 3B RIM Docenti: Chiara Montali Indice degli argomenti Modulo n Titolo del modulo Durata (ore) 3.0 RECUPERO E
DettagliProgramma di MATEMATICA
Classe 3B Indirizzo ELETTRONICA ED ELETTROTECNICA 1. MODULO 1: GEOMETRIA ANALITICA La parabola: la parabola come luogo geometrico del piano. Rappresentazione della parabola nel piano cartesiano e ricerca
DettagliDato un angolo α e il suo complementare (π/2 α) il seno del complementare equivale a:
6651 6652 6653 6654 6655 6656 6657 6658 L'equazione 2 senx 1 = 0 per 0 x < 2π ha: A) una soluzione B) quattro soluzioni C) solo due soluzioni D) infinite soluzioni Dato l'angolo α di 90, si può affermare
DettagliEquazioni e disequazioni goniometriche. Guida alla risoluzione di esercizi
Equazioni e disequazioni goniometriche Guida alla risoluzione di esercizi Valori noti per seno e eno per angoli particolari α α Funzioni goniometriche espresse tramite una di esse α α tan α ctg α ± α tanα
Dettagliy = tgx, la funzione reciproca e la funzione inversa di ciascuna di esse risultano rispettivamente avere le seguenti equazioni:
Classe 3^D a.s. 200/20 APPUNTI DA INTEGRARE ALLA LEZIONE DEL 0/2/0 LA FUNZIONE RECIPROCA E LA FUNZIONE INVERSA Partendo dalle funzioni trigonometriche fondamentali y = senx, y = cos x, y = tgx, la funzione
Dettagli2cos. Appunti di matematica
1 FORMULE GONIOMETRICHE Le funzioni goniometriche di un angolo orientato non variano proporzionalmente all angolo. Ne segue che, ad esempio, α non è uguale al doppio di α, che non è uguale a, ecc. Esempi:
DettagliTrigonometria angoli e misure
Trigonometria angoli e misure ITIS Feltrinelli anno scolastico 27-28 R. Folgieri 27-28 1 Angoli e gradi Due semirette che condividono la stessa origine danno luogo ad un angolo. Le due semirette (che si
DettagliGoniometria per il TOL - Guida e formulario
Goniometria per il TOL - Guida e formulario Luca Talenti Gli argomenti più complessi del TOL sono probabilmente la goniometria e la trigonometria. Se non si arriva dal liceo scientifico, spesso questi
DettagliSYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III
SYLLABUS DI MATEMATICA Liceo Linguistico Classe III LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Le equazioni di secondo grado e la loro risoluzione. La formula ridotta. Equazioni pure, spurie e monomie. Le relazioni
DettagliMATEMATICA - LEZIONE 5 Goniometria Equazioni e disequazioni trigonometriche. Relatore prof. re CATELLO INGENITO
MATEMATICA - LEZIONE 5 Goniometria Equazioni e disequazioni trigonometriche Relatore prof. re CATELLO INGENITO Sommario della lezione Angoli goniometrici Funzioni goniometriche Equazioni e disequazioni
DettagliPROGRAMMAZIONE GENERALE MATEMATICA-INFORMATICA a.s
PROGRAMMAZIONE GENERALE MATEMATICA-INFORMATICA a.s. 2013-2014 GINNASIO CLASSI 4 sez. A-B-C SCIENZE UMANE CLASSI 1 sez. A-B-C-D-E-F Aritmetica e algebra Il primo anno sarà dedicato al passaggio dal calcolo
DettagliStampa Preventivo. A.S Pagina 1 di 7
Stampa Preventivo A.S. 2009-2010 Pagina 1 di 7 Insegnante URSIC CLAUDIA Classe 4AST Materia matematica preventivo consuntivo 132 titolo modulo 4.1ST DISEQUAZIONI 4.2ST FUNZIONI 4.3ST FUNZ. ESPONENZIALI
DettagliC I R C O N F E R E N Z A...
C I R C O N F E R E N Z A... ESERCITAZIONI SVOLTE 3 Equazione della circonferenza di noto centro C e raggio r... 3 Equazione della circonferenza di centro C passante per un punto A... 3 Equazione della
DettagliEQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI
EQUAZIONI GONIOMETRICHE ELEMENTARI ) Definizione di equazione goniometrica elementare Si chiamano equazioni goniometriche elementari quelle in cui una funzione goniometrica (senx, cosx, tgx o cotgx) viene
DettagliIIS D ORIA - UFC PROGRAMMAZIONE DI DIPARTIMENTO INDIRIZZO TECN. TECNOLOGICO ELETTRONICA ELETTROTECNICA MATERIA MATEMATICA ANNO DI CORSO TERZO
INDICE DELLE UFC DENOMINAZIONE 1 EQUAZIONI, DISEQUAZIONI, SISTEMI 2 GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA 3 GEOMETRIA ANALITICA E LE CONICHE TIPOLOGIA VERIFICHE Test a completamento Domande aperte Esercizi Problemi
DettagliRegistro di Matematica /19 - F. Demontis 2
Registro delle lezioni di MATEMATICA 1 Corso di Laurea in Chimica 6 CFU - A.A. 2018/2019 docente: Francesco Demontis ultimo aggiornamento: 11 gennaio 2019 1. Mercoledì 03/10/2018, 11 13. ore: 2(2) Linguaggio
DettagliIIS D ORIA - UFC PROGRAMMAZIONE DI DIPARTIMENTO INDIRIZZO TECN. TECNOLOGICO ELETTRONICA ELETTROTECNICA MATERIA MATEMATICA ANNO DI CORSO TERZO
INDICE DELLE UFC DENOMINAZIONE 1 EQUAZIONI, DISEQUAZIONI, SISTEMI 2 GONIOMETRIA E TRIGONOMETRIA 3 GEOMETRIA ANALITICA E LE CONICHE TIPOLOGIA VERIFICHE Test a completamento Domande aperte Esercizi Problemi
DettagliDisequazioni goniometriche
Appunti di Matematica Disequazioni goniometriche Disequazioni goniometriche elementari a) Riprendiamo gli esempi che abbiamo fatto per le equazioni trasformandoli in disequazioni: sen Le soluzioni saranno:
DettagliLE FUNZIONI GONIOMETRICHE
LE FUNZIONI GONIOMETRICHE La misura degli angoli Si chiama angolo la porzione di piano racchiusa tra due semirette. Angolo convesso Angolo concavo Le unità di misura degli angoli sono: il grado sessagesimale
DettagliRoberto Galimberti MATEMATICA
Docente Materia Classe Roberto Galimberti MATEMATICA 4L Programmazione Preventiva Anno Scolastico 2011-2012 Data 31/12/11 Obiettivi Cognitivi Minimi conoscere la definizione di circonferenza come luogo
DettagliCLASSI: TerzeMateria: MATEMATICA e COMPLEMENTIOre settimanali previste: 4
CLASSI: TerzeMateria: MATEMATICA e COMPLEMENTIOre settimanali previste: 4 modulo Titolo Modulo Titolo unità didattiche Ore previste Periodo Competenze Modulo 1 RACCORDO CON IL BIENNIO EQUAZIONI (SISTEMI)
DettagliCORSO ZERO DI MATEMATICA
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PALERMO FACOLTÀ DI ARCHITETTURA CORSO ZERO DI MATEMATICA EQUAZIONI E DISEQUAZIONI DI SECONDO GRADO Dr. Erasmo Modica erasmo@galois.it EQUAZIONI DI SECONDO GRADO Definizione: Dicesi
DettagliPrerequisiti di Matematica Trigonometria
Prerequisiti di Matematica Trigonometria Annalisa Amadori e Benedetta Pellacci amadori@uniparthenope.it pellacci@uniparthenope.it Università di Napoli Parthenope Angoli Un angolo è una porzione di piano
DettagliEsponenziale e logaritmi
CORSO DI PREPARAZIONE AI TEST DI AMMISSIONE ALL UNIVERSITA Maria Teresa Cappagli Esponenziale e logaritmi Esponenziali Si definisce espressione esponenziale una espressione in cui compaiono una o più all
DettagliCLASSI: TERZE Materia: MATEMATICA e COMPLEMENTI Ore settimanali previste: 4
CLASSI: TERZE Materia: MATEMATICA e COMPLEMENTI Ore settimanali previste: 4 N. modulo Titolo Modulo Titolo unità didattiche del modulo Ore previste Periodo mensile Competenze 1 Raccordo con il biennio
Dettagli1. Cos è un radiante s.gif
1. Cos è un radiante http://static2.businessinsider.com/image/5191168a69bedd006d00000b/circle_radian s.gif 2. Determinare graficamente (applicando la definizione) il seno e il coseno dell angolo riportato
DettagliTRIGONOMETRIA E COORDINATE
Y Y () X O (Y Y ) - α X (X X ) 200 c TRIGONOMETRI E OORDINTE ngoli e sistemi di misura angolare Funzioni trigonometriche Risoluzione dei triangoli rettangoli Risoluzione dei poligoni Risoluzione dei triangoli
DettagliMinistero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca
Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Istituto d Istruzione Secondaria Superiore di II^ Grado LICEO ARTISTICO A. FRATTINI Via Valverde, 2-21100 Varese tel: 0332820670 fax: 0332820470
DettagliISTITUTO TECNICO NAUTICO SAN GIORGIO. Anno scolastico 2011/12. Classe I Sezione E. Programma di Matematica. Docente: Pasquale Roberta.
Anno scolastico 2011/12 Classe I Sezione E Insiemistica. - Concetto di insieme e rappresentazione di un insieme. - Sottoinsiemi - Principali operazioni fra insiemi: unione, intersezione, complementare
DettagliConoscenze. L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la regola di Ruffini, il teorema. del resto.
Classe: TERZA (Liceo Artistico) Pagina 1 / 2 della Matematica La scomposizione dei polinomi in fattori primi L operazione di divisione (la divisione di due polinomi) - La divisibilità fra polinomi (la
DettagliLiceo Scientifico Severi Salerno
Liceo Scientifico Severi Salerno VERIFICA DI MATEMATICA Docente: Pappalardo Vincenzo Data: 11/04/019 Classe: 4D 1. Risolvere le seguenti equazioni e disequazioni goniometriche: tg x π 34 = ctg x + π 3
DettagliEquazioni goniometriche
Appunti di Matematica Equazioni goniometriche a) Consideriamo un equazione elementare : Equazioni goniometriche elementari sen Le soluzioni saranno: 5 In generale se abbiamo sen con < < avremo: α α Se
DettagliNUMERI NATURALI: - Ripetizione dei numeri naturali e delle quattro operazioni con relative proprieta
PROGRAMMA DI MATEMATICA PER LA CLASSE 1^B/ 1C DEL LICEO SCIENTIFICO MALPIGHI SEZIONE ASSOCIATA DELL I.I.S. VIA SILVESTRI 301 ANNO SCOLASTICO 2018-2019 INSEGNANTE: NEGRI MARINA ALGEBRA NUMERI NATURALI:
DettagliDisequazioni di secondo grado
Disequazioni di secondo grado. Disequazioni Definizione: una disequazione è una relazione di disuguaglianza tra due espressioni. Detti p() e g() due polinomi definiti in un insieme A, una disequazione
DettagliTRIGONOMETRIA. Un angolo si misura in gradi. Un grado è la novantesima parte di un angolo retto.
TRIGONOMETRIA DA RICORDARE: Due angoli si dicono supplementari quando la loro somma è pari a 80 Due angoli si dicono complementari quando la loro somma è pari a 90 Due angoli si dicono opposti quando la
DettagliLiceo G.B. Vico Corsico
Liceo G.B. Vico Corsico Programma da svolto durante l anno scolastico 2018-19 Classe: 3B Materia: MATEMATICA Insegnante: Raffaella Brunetti Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu 2.0
DettagliMinistero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Ufficio Scolastico Regionale per la Sardegna
Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca Ufficio Scolastico Regionale per la Sardegna ISTITUTO DI ISTRUZIONE SUPERIORE BUCCARI MARCONI Indirizzi: Trasporti Marittimi / Apparati ed Impianti
DettagliIstituto di Istruzione Superiore Via Silvestri 301 Plesso ALESSANDRO VOLTA
Istituto di Istruzione Superiore Via Silvestri 301 Plesso ALESSANDRO VOLTA Programma di MATEMATICA Classe 1 a D Indirizzo LICEO DELLE SCIENZE APPLICATE con potenziamento SPORTIVO Anno Scolastico 2017-2018
DettagliProntuario degli argomenti di Algebra
Prontuario degli argomenti di Algebra NUMERI RELATIVI Un numero relativo è un numero preceduto da un segno + o - indicante la posizione rispetto ad un punto di riferimento a cui si associa il valore 0.
DettagliLe funzioni periodiche e il ritmo della vita Molti fenomeni naturali hanno un andamento ciclico ( o periodico), cioè ad intervalli di tempo fissati,
Le funzioni periodiche e il ritmo della vita Molti fenomeni naturali hanno un andamento ciclico ( o periodico), cioè ad intervalli di tempo fissati, detti periodi, si ripetono con le stesse modalità: il
DettagliEquazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari
Equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari In questa dispensa vengono presentati diversi esempi di equazioni goniometriche riconducibili a quelle elementari. Dopo qualche esempio di equazioni
DettagliPROGRAMMA DI MATEMATICA
A.S. 2015/2016 ALGEBRA - Equazioni letterali fratte PROGRAMMA DI MATEMATICA - Disequazioni di 1 grado ad una incognita intere e frazionarie - Sistemi di disequazioni di 1 o grado in una incognita - Sistemi
DettagliProgramma di MATEMATICA
Classe 1 a E Indirizzo COSTRUZIONI, AMBIENTE E TERRITORIO Cap. 1 I NUMERI NATURALI I numeri naturali le quattro operazioni multipli e divisori le potenze e le relative proprietà espressioni numeriche la
DettagliIstituto Tecnico Nautico San Giorgio - Genova - Anno scolastico PROGRAMMA SVOLTO DI MATEMATICA
Classe: 1 a C Libro di testo: Bergamini Trifone Barozzi Matematica verde vol. 1 ed. Zanichelli Insiemi Definizione di insieme, rappresentazione grafica, tabulare, caratteristica di un insieme Gli insiemi
DettagliEquazioni parametriche goniometriche
Equazioni parametriche goniometriche Discutere un equazione parametrica significa stabilire, al variare del parametro, il numero di soluzioni dell equazione soddisfacenti le limitazioni assegnate all incognita.
DettagliIstituto Fogazzaro. Programma di Matemetica. Anno Scolastico 2014/2015. Classe III. Equazioni di II grado
Programma di Matemetica Anno Scolastico 2014/2015 Classe III Equazioni di II grado Equazioni di secondo grado complete, formula risolutiva Scomposizione di un equazione di II grado Equazioni di secondo
DettagliUNITA DIDATTICA: FORMULE GONIOMETRICHE
UNITA DIDATTICA: FORMULE GONIOMETRICHE Destinatari, e programmi sono gli stessi dell u.d. Funzioni goniometriche. Obiettivi specifici Conoscenze Conoscere le formule di addizione; Conoscere le formule
DettagliProgramma svolto. Anno scolastico DISCIPLINA MATEMATICA CLASSE V SEZ. C CORSO SCIENZE APPLICATE CONTENUTI DISCIPLINARI
I.T.C.G. L. EINAUDI ISTITUTO D ISTRUZIONE SECONDARIA SUPERIORE LICEO SCIENTIFICO G. BRUNO MURAVERA Programma svolto Anno scolastico 2017-2018 DISCIPLINA MATEMATICA CLASSE V SEZ. C CORSO SCIENZE APPLICATE
DettagliANNO SCOLASTICO
PROGRAMMA DI MATEMATICA CLASSE III B ANNO SCOLASTICO 2015-2016 Equazioni e disequazioni ( di primo grado, di secondo grado, di grado superiore al secondo, intere e frazionarie, i sistemi di disequazioni
Dettagli