Indici di asimmetria. Elementi di Statistica descrittiva Parte IV. Simmetria di una distribuzione di frequenze. Primo indice di asimmetria (1/3)

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1 Smmetra d ua dstrbuzoe d frequeze Ua dstrbuzoe s dce asmmetrca se o è possble dvduare (aalzzado u stogramma) u asse vertcale che tagl la dstrbuzoe due part specularmete ugual Idc d asmmetra Rferedoc a caratter almeo ordabl dcamo che ua dstrbuzoe d frequeze,,, k è smmetrca se: k k- k- ecc. Ua dstrbuzoe o smmetrca preseterà asmmetra postva o egatva a secoda che sao pù frequet ella dstrbuzoe le modaltà pù pccole o pù grad. dat Esempo d asmmetra stogramma co coda a destra, asmmetra postva Prmo dce d asmmetra (/) S dce dce d forma o d asmmetra u dce che esprme l grado d asmmetra (skewess) d ua dstrbuzoe. Teedo coto che la medaa è la modaltà che dvde ua dstrbuzoe due part ugual, caso d smmetra, le modaltà che vegoo prma e dopo la medaa, co medesma dstaza da essa, devoo presetare la stessa frequeza. Ne segue che: Codzoe ecessara, ma o suffcete affchè ua dstrbuzoe d frequeza sa smmetrca è che: m Q Q m Ifatt per esempo: Prmo dce d asmmetra (/) Prmo dce d asmmetra (/) carattere j Duque cosderamo l seguete dce d asmmetra: Q, Q,m,m Q Q m Eppure: a (Q m) (m Q) Se a > s ha asmmetra postva, se a < s ha asmmetra egatva Elemet d Statstca descrttva Parte IV

2 Secodo dce d asmmetra Cosderato u carattere quattatvo co dstrbuzoe delle frequeze umodale s ha che: Se la dstrbuzoe è smmetrca meda, medaa e moda soo ugual (C.N) Se la dstrbuzoe è asmmetrca postvamete: > m > m Se la dstrbuzoe è asmmetrca egatvamete: < m < m Da cu: δ (m m) / Se l dce d asmmetra δ è postvo s tratta d asmmetra postva se δ è egatvo s tratta d asmmetra egatva. N.B. s dvde per la devazoe stadard per redere l dce Terzo dce d asmmetra (/) Gl dc fora vst presetao l problema d rferrs a dstrbuzo umodal e d essere relatvamete sesbl alle debol asmmetre d ua dstrbuzoe. Sao u, u,,u osservazo umerche. S defsce dce d asmmetra l espressoe: a (u ) dpedete dall utà d msura. c Questo dce msura la tedeza d ua dstrbuzoe d valor ad assumere valor modo asmmetrco rspetto alla meda, esaltado, attraverso l elevazoe alla terza, gl scostamet e duque rededo pù sesble l dce. N.B. L elevazoe a poteza dspar permette d mateere l sego. Terzo dce d asmmetra (/) L dce che s dce β d Fsher vee ormalzzato. c a u PROPRIETÀ: Se c a > la dstrbuzoe ha ua coda verso destra Se c a < la dstrbuzoe ha ua coda verso sstra Se c a la dstrbuzoe è smmetrca Questa espressoe dell dce forsce ua valutazoe dstorta, pù sesble quato pù pccolo è l campoe. Per elmare questa dstorsoe s usa l dce d asmmetra corretto: c acorr ( )( ) dove s è la devazoe stadard campoara. u s dat fa Esempo d dce d asmmetra c a. postva, stogramma co coda a destra Tabella a doppo gresso (/) Tabelle a doppo gresso Dat due caratter s defsce tabella a doppa etrata l seme delle frequeze cogute j ovvero le frequeze assolute delle utà che presetao cogutamete la modaltà -esma del prmo carattere e la j-esma del secodo carattere. La geerca tabella a doppa etrata de caratter X e Y, rspettvamete co H e K modaltà, è la seguete: Elemet d Statstca descrttva Parte IV

3 X Tabella a doppo gresso (/) modaltà a a b Y b j j b K K K.. Esempo d tabella a doppo gresso (dat mglaa) Settore ecoomco Agrcoltura Idustra Terzaro M sesso F Totale a H H. La coloa e la rga del soo dette dstrbuzo margal. Le coloe tere detfcao le cosddette dstrbuzo codzoate Hj.j HK.K H. La tabella descrve la dstrbuzoe degl occupat secodo l settore ecoomco e l sesso Itala el. La prma e l ultma coloa cotegoo le dstrbuzo margal (frequeze semplc per sesso e settore ecoomco). Le altre coloe cotegoo frequeze codzoate (per esempo rappreseta la frequeza d occupazoe el terzaro da parte delle doe) Meda codzoata La meda artmetca codzoata d u carattere quattatvo X rspetto alla j-esma modaltà d u carattere Y è data da: m(x / Y ) j H.j j Esempo d meda codzoata La tabella descrve la dstrbuzoe doppa rspetto al umero d case (Y) e al umero d automobl (X) possedute da ua popolazoe d famgle. N.auto (X) N.case (Y) Le mede codzoate soo le seguet: (Y/X) (Y/X) (Y/X) ( + + )/. ( + + )/. ( + + )/. (X/Y) (X/Y) (X/Y) ( + + )/. ( + + )/. ( + + )/. Varaza codzoata Barcetro La varaza codzoata d u carattere quattatvo X rspetto alla j-esma modaltà d carattere Y è data da: Dat due caratter etramb quattatv, possamo stetzzare la dstrbuzoe doppa medate la coppa d put: X / H Y ( m(x / Y j.j j ) ) j (m(x), m(y)) detta puto medo o barcetro. Le coordate d tale puto soo evdetemete le mede margal Elemet d Statstca descrttva Parte IV

4 Correlazoe fra varabl Aals d tpo comparatvo: dage per stablre se esste ua coessoe tra due caratter rlevat su og utà statstca. Stes de dat Correlazoe fra varabl Effettuamo lo studo d correlazoe fra due caratter d ua stessa popolazoe, utlzzado u dagramma d dspersoe (scatter plot). Dall aals s può cocludere che: esste ua correlazoe dretta; esste ua correlazoe versa; o esste alcua correlazoe. Esempo A S cosdero varabl statstche d tpo umerco relatve al peso Kg e all altezza m d u campoe d persoe. Il carattere peso sa X, l carattere altezza sa Y e s ottegao le due seguet sere d valor: Esempo A: dagramma d dspersoe Poedo ascssa X (altezza) e ordata Y (peso), s ottee l dagramma ( uvola d put ): Barcetro della uvola d put S ota ua relazoe tra X e Y: put d more ascssa hao ( geere) ache more ordata. Esste ua correlazoe dretta Esempo B S cosdero caratter X e Y, relatve a u campoe d utà statstche, che forscoo la seguete tabella: Esempo B: dagramma d dspersoe Poedo ascssa X e ordata Y, s ottee: S ota ua relazoe tra le due varabl: put d more ascssa hao maggore ordata ordata. Esste ua correlazoe versa Elemet d Statstca descrttva Parte IV

5 Esempo C: dagramma dspersoe U dagramma d dspersoe del tpo: Idcator d correlazoe Soo espresso legate alla correlazoe tra due varabl. La covaraza è la meda de prodott degl scostamet dalla meda. ( )( ) o suggersce alcua relazoe tra le varabl. No esste correlazoe. Il coeffcete d correlazoe è l rapporto fra l dce d covaraza e l prodotto delle devazo stadard d X e Y. ρ Propretà degl dcator d correlazoe Osservazo sugl dcator d correlazoe S dmostra che: ρ - ρ. può essere postva o egatva. ρ ha lo stesso sego d. ρ è u umero puro (quattà admesoale). S può osservare che, se X e Y soo drettamete correlat, > S può osservare che, se X e Y soo versamete correlat, < S può dmostrare che, se X e Y soo o correlat,. ρ ± esstoo due costat a, b tal che a +b (,,,) I partcolare ρ allora b>, se ρ - allora b< D cosegueza: Se ρ tra le varabl esste correlazoe dretta completa: tutt put soo dspost su ua retta e tra le due varabl c è ua relazoe fuzoale leare per cu a+b co b>. Se ρ - tra le varabl esste correlazoe versa completa: tutt put soo dspost su ua retta e tra le due varabl c è ua relazoe fuzoale leare per cu a+b co b<. Se ρ le varabl soo o correlate; Se ρ fra le varabl esste scarsa correlazoe; Se ρ fra le varabl c è forte correlazoe leare dretta; Se ρ - fra le varabl c è forte correlazoe leare versa. Retta d regressoe È la rappresetazoe grafca d ua possble relazoe leare fra le due varabl. Date coppe d valor osservat (, ),(, ),(, ), s vuole determare l equazoe a+b d ua retta che pass l pù possble vco a put (, ). a INTERCETTA sull asse ; b PENDENZA (coeff. agolare della retta). Retta d regressoe Esempo A: retta d regressoe Teedo presete l dagramma d dspersoe dell esempo A, e teedo coto che ρ., costruamo la retta d regressoe: tgα PENDENZA INTERCETTA Se e osserva la sgfcatvtà sa term d adereza alla uvola d put, sa attraverso l coeffcete agolare postvo (correlazoe dretta) Elemet d Statstca descrttva Parte IV

6 Esempo B: retta d regressoe Teedo presete l dagramma d dspersoe dell esempo B, e teedo coto che ρ -., costruamo la retta d regressoe: Se e osserva la sgfcatvtà sa term d adereza alla uvola d put, sa attraverso l coeffcete agolare egatvo (correlazoe versa) Elemet d Statstca descrttva Parte IV

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