Lavoro e potenza. s, F r compie il lavoro elementare L, dato

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1 Lavoo e potenza Definizione di lavoo Quando il punto di applicazione di una foza i muove, i dice che la foza compie un lavoo. Il lavoo è una nuova gandezza fiica, pe la quale è neceaio intodue una definizione opeativa. Tale definizione è aticolata in queto modo: in pimo luogo, i definice il lavoo elementae, cioè il lavoo compiuto dalla foza nel cao in cui il punto di applicazione compia un piccolo potamento; poi i definice il lavoo totale, o integale, pe uno potamento abitaio u una taiettoia aegnata. Definizione di lavoo elementae Sia F una foza applicata al punto P. Se P i pota di un tatto ettilineo pe definizione da 1 : L = F, F compie il lavoo elementae L, dato Come iultato di un podotto calae, il lavoo elementae è una gandezza calae. Il vettoe è a volte detto potamento elementae, intendendo che i tatta di un piccolo potamento. Si vuole ignificae, con queta dizione, che potamento. è abbatanza beve, da pote itenee che la foza eti cotante duante lo In bae alla definizione, l unità di miua del lavoo è deteminata come egue: [ L] = [ F ] kg m kg m F co θ = N m = m = = [ ] [ ][ ] Queta unità è indicata dal imbolo compatto J (Joule ): kg m [ L ] = J = 1 Un eoe comune è enunciae la definizione affemando che il lavoo elementae è il podotto della foza pe lo potamento. Si deve invece leggee: il lavoo elementae è il podotto calae della foza pe lo potamento elementae. Che i legge ʤul

2 Nella definizione di lavoo elementae compae un podotto calae. Pu eendo il lavoo uno calae, è dunque fondamentale conideae la natua vettoiale di foza e potamento elementae. In bae alla definizione di podotto calae, la definizione di lavoo elementae L = modi: F può eee icitta in vai a) L = F // Il lavoo elementae è il podotto del modulo dello potamento pe la componente della foza nella diezione dello potamento b) L = F // Il lavoo elementae è il podotto del modulo della foza pe la componente dello potamento nella diezione della foza c) L = F coθ Il lavoo elementae è il podotto del modulo della foza pe il modulo dello potamento pe il coeno dell angolo compeo Ragionando in temini dell epeione ipotata in c), è facile tudiae il egno del lavoo elementae: θ = 0 F // coθ = 1 L = F > 0 0 < θ < 90 coθ > 0 L = F coθ > 0 θ = 90 F coθ = 0 L = 0 90 < θ < 180 θ = 180 F // ( ) coθ < 0 L = F coθ < 0 coθ = 1 L = -F < 0

3 In modo altenativo, infine, il podotto calae può eee calcolato in bae alla componenti dei vettoi F,. Pe ottenee queta appeentazione, i pate dalla cittua dei vettoi in temini delle componenti e dei veoi degli ai coodinati: F = Fx î + F y ĵ ; = x î + y ĵ Si otituicono poi quete epeioni nella definizione di lavoo elementae: L = F = F = F î + F ( ĵ ) ( x î + y ĵ ) = F x ( î î ) + F y ( î ĵ ) + F x ( ĵ î ) + F y ( ĵ ĵ ) x y x x y y Ricodando che î î = 1 ; ĵ ĵ = 1 ; î ĵ = 0 ; ĵ î = 0, i ha in definitiva: L = F x x + F y y Calcolo del lavoo elementae compiuto dalla foza peo Il cao del lavoo elementae compiuto dalla foza peo è un buon eempio di applicazione della definizione. In tabella ono motati vai poibili cai di allineamento dei vettoi P, ul uo egno. e le valutazioni di L, ponendo l accento L = P // θ = 0 0 < θ < 90 θ = < θ < 180 θ = 180 // = // = coθ > 0 // = 0 // = coθ < 0 // = - L = mg L = mg coθ L = mg coθ L = -mg L > 0 L > 0 L = 0 L < 0 L < 0 In intei: il lavoo elementae della foza peo è poitivo e il punto di applicazione i pota veo il bao, negativo e i pota veo l alto; la foza peo non compie lavoo pe uno potamento oizzontale.

4 Il lavoo elementae della foza peo può eee utilmente valutato anche in temini delle coodinate dei punti A, B che appeentano la poizione pima dello potamento e quella dopo lo potamento. Si ha: L = P x x + P y y Nel itema di ifeimento indicato nelle figue, P x = 0 ; P y = -mg ; quindi: L = - mg y L = - mg (y B - y A ) e infine: L = mg (y A y B ) Conideazioni ul lavoo elementae compiuta dalle eazioni vincolai Le eazioni vincolai ono foze aociate a un vincolo cinematico, quindi a una iduzione dei poibili gadi di libetà del moto. Ciò detemina una coneguenza impotante pe il calcolo del lavoo, peché limita le poibili celte del vettoe potamento elementae. Reazione di un vincolo piano (eazione nomale). Pe un vincolo piano, i ha empe R e quindi R = 0 Ne egue che il lavoo elementae della eazione nomale è empe nullo.

5 Reazione di un vincolo puntuale. Pe un vincolo puntuale, la diezione della eazione, in pima itanza, non è nota. Tuttavia, i ha empe = 0 e quindi L = 0, come nel cao della eazione nomale. Tenione della fune In queto cao, è utile potae due eempi, ben ditinti, di calcolo del lavoo. a) la fune fonice la foza centipeta in un moto cicolae unifome. In queto cao, T e quindi T = 0 Ne egue che il lavoo elementae della tenione è nullo. b) la fune otiene un caico che viene ollevato o abbaato. 1 Nel cao della fig.1, T ( ) e quindi T = T Nel cao della fig., T e quindi T = T

6 Lavoo elementae della foza di attito tatico Un punto mateiale oggetto a una foza di attito tatico è neceaiamente femo. Ne egue che ovviamente la foza di attito tatico non pota il uo punto di applicazione e petanto non compie lavoo. Queta conideazione i applica anche al cao del moto di puo otolamento: nel moto di puo otolamento l attito non compie lavoo. Nel cao in cui, invece, una uota litta, i detemina un attito adente cinematico, il cui lavoo è diveo da zeo. Lavoo elementae della iultante In alcuni cai, più foze agicono contempoaneamente ullo teo punto mateiale. In bae alla definizione, è poibile calcolae indipendentemente il lavoo di ciacuna di tali foze. Nel cao in figua, ad eempio: L 1 = F 1 L = F E poi poibile calcolae il lavoo elementae L della iultante F = F 1 + F : L = F Sotituendo l epeione di F, i ha: L = F + = + F = ( F ) F1 F1 = L 1 + L In concluione: il lavoo elementae della iultante è uguale alla omma dei lavoi delle foze componenti.

7 Definizione di potenza Si conidei la ituazione appeentata in figua. La foza F pota il uo punto di applicazione del tatto. Si upponga che lo potamento ha luogo nel tempo t. Si può definie alloa una nuova gandezza fiica, la potenza meccanica (o emplicemente potenza), attaveo la elazione: L P = t In bae alla definizione, i può affemae che il ignificato fiico di potenza è come egue: la potenza è il lavoo elementae compiuto dalla foza F nel tempo unitaio. L unità di miua della potenza nel S.I. i detemina dalla definizione: [ P] [ L] [ t] = = J kg m = 3 L unità pende il nome di Watt: [P] = W Epeione della potenza in temini della velocità Patendo dalla definizione, è facile ottenee un epeione altenativa della potenza. P = L = t F = F t t = F v

8 Unità patiche di lavoo e potenza C è una gande vaietà di unità patiche di lavoo (che come i vedà in eguito, coincidono con quelle dell enegia). Le pincipali ono ipotate in tabella. Si noti che: l elettonvolt è un unità aggiunta al S.I., che può eee conideata come unità bae pe i poblemi u cala atomica. Caloia e chilocaloia, BTU ono unità di uo coente in temodinamica. Il lito-atmofea è di uo tecnico fequente nei poblemi di fluidodinamica. Il kilowattoa è l unità tecnica tandad di miua di lavoo elettico (o, come i dice pe l uo dometico, di conumo elettico). Rappeenta il lavoo compiuto da una foza che eoga una potenza pai a 1 kw pe un tempo pai a 1 h. Ta le vaie unità di miua di potenza è ipotato il cavallo (hp) 3, ancoa in uo nel ettoe automobilitico. Unità di miua di Lavoo Simbolo Definizione Fattoe di conveione Joule kg m J = elettonvolt ev J 1 ev = (e = caica dell elettone) 1 ev = 1, J e caloia cal 1 cal = 4,1819 J chilocaloia kcal; Cal 1 kcal = 4,1868 kj lito-atmofea l atm; l 1 l atm = 101,35 J Bitih themal unit (ISO) BTU 1 BTU = 1,054 kj kilowattoa kwh 1 kw 1 h 1 kwh = 3,6 MJ Unità di miua di Potenza Simbolo Definizione Fattoe di conveione watt (unità SI) kg m W = 3 hoepowe hp 75 kg p m -1 1 hp = 736 W 3 Eitono in effetti vaie codifiche di queta unità di miua, lievemente divee l una dall alta. Quella ipotata è detta metica.