Indice. Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA

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1 UNIVERSITA DI PARMA FACOLTA DI ECONOMIA Corso di pianificazione finanziaria A.a. 2003/ Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 2 Le curve di indifferenza sulla frontiera di Markowitz Markowitz ha mostrato l esistenza della Frontiera Efficiente Ma quale portafoglio è preferibile? Dipende dall avversione/propensione al rischio dell investitore (la scelta è soggettiva, sulla base delle proprie curve di indifferenza) E (R) a b 3 s 1

2 Come misurare il rischio e il rendimento di un portafoglio? Il rendimento atteso complessivo di portafoglio E[R(p)], formato dai titoli A e B (con pesi: a + b = 1) E(R p ) = a E(R A ) + b E(R B ) Il rischio del portafoglio è dato dalla varianza s ² p : s ² p = a² s ² A +b² s ² B +2 a b s A s B r AB s A : sqm rendimenti titolo A s B : sqm rendimenti del titolo B r AB : correlazione tra i rendimenti s ² A : varianza rendimenti del titolo A s ² B : varianza rendimenti del titolo B s A s B r AB : covarianza tra i rendimenti Le Ipotesi della Capital Market Theory 1. Gli investitori sono razionali 2. Tutti gli investitori hanno attese omogenee: stimano nel medesimo modo la distribuzione di probabilità dei tassi di rendimento futuri 3. Gli investitori hanno lo stesso orizzonte temporale per la valut azione 4. Gli investimenti sono infinitamente divisibili 5. Non esistono costi di negoziazione 6. Non vi è inflazione e qualsiasi variazione dei tassi di interesse o di inflazione è anticipata 7. I mercati dei capitali sono in equilibrio 5 Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 6 2

3 Investimento al tasso privo di rischio Markowitz ha ragionato solo su titoli e portafogli rischiosi Tobin ipotizza ora l esistenza di un titolo caratterizzato da rischio nullo (σ = 0) che garantisce quindi un rendimento sicuro. Questo tasso è il Risk Free Rate. E ora possibile costruire ulteriori portafogli combinando quelli sulla frontiera efficiente con il titolo privo di rischio. s ² p = a² s ² A +b² s ² B +2 a b s A s B r AB La frontiera efficiente diventa una spezzata, è possibile costruire portafogli caratterizzati da minor rischio a parità di rendimento 7 Il teorema della separazione di Tobin La nuova frontiera efficiente è una spezzata E (R) Rf a P a p m b s 8 Indebitamento al tasso privo di rischio Si ipotizza ora la possibilità di indebitarsi al tasso privo di rischio. Un investitore propenso al rischio può indebitarsi al tasso Risk Free, e usare il finanziamento per comprare ulteriori quote del portafoglio di mercato. Tale possibilità sposta ulteriormente la frontiera efficiente che diventa una semiretta. 9 3

4 La nuova frontiera efficiente: una semiretta E (R) b Rf a P a p m b s 10 La Capital Market Line E (R) R(m) Rf CML m s (m) R(p) = Rf + s R(m) - Rf s (m) Pendenza CML Rf = Risk Free Rate s (p) R(m)= rendimento atteso del portafoglio di mercato s (m)= sqm del portafoglio di mercato 11 Il portafoglio di mercato Il portafoglio m, detto Portafoglio di Mercato, è oggettivamente migliore e domina qualsiasi altro portafoglio. La semiretta che congiunge Rf e il portafoglio di mercato costitituisce la nuova frontiera efficiente ed è detta Capital Market Line (CML). Ogni portafoglio presente sulla frontiera efficiente è formato da una quota del titolo privo di rischio e da una del portafoglio di mercato. La scelta in merito al portafoglio rischioso diventa oggettiva: è indipendente dalla propensione al rischio dell investitore. La quota di portafoglio rischioso da detenere dipende dalla propensione/avversione al rischio del singolo investitore. = i due momenti decisionali sono separati 12 4

5 Il prezzo di mercato del rischio La pendenza della CML è il prezzo di mercato del rischio: esprime il premio per ogni unità di rischio; misura quindi l aumento di rendimento richiesto da un investitore per assumersi una unità di rischio addizionale. Il rendimento di un portafoglio efficiente è determinato dall equazione della CML. 13 Il teorema della separazione di Tobin L introduzione del tasso privo di rischio e la costruzione della nuova frontiera efficiente (CML) separa: l individuazione del portafoglio rischioso ottimo: è una scelta oggettiva indipendente dalla propensione al rischio; la scelta soggettiva del posizionamento lungo la CML, cioè la quantità di ricchezza da investire nel portafoglio ottimo e nel titolo con tasso privo di rischio (che dipende dalle curve di indifferenza). 14 Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 15 5

6 Il Capital Asset Pricing Model Il portafoglio rischioso è unico! Come misurare il contributo di ogni singolo titolo alla rischiosità del portafoglio di mercato? 16 Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della Separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 17 La varianza di un portafoglio: la matrice varianza-covarianza s ² P = a² s ² A +b² s ² B + c² s ² C + 2 a b s AB +2 a c s AC +2 b c s BC A B C A a² s ² A a b s AB a c s AC B b a s BA b² s ² B b c s AC C c a s CA c b s CB c² s² C a = peso del titolo A nel portafoglio b = peso del titolo B nel portafoglio c = peso del titolo C nel portafoglio 18 6

7 Ipotizziamo che il portafoglio di mercato sia composto da 8 titoli Matrice Varianza-Covarianza portafoglio di mercato con 8 titoli. A B C D E F G H A B C D E F G H 19 Aggiungendo il titolo I al portafoglio Il contributo del nuovo titolo alla varianza del portafoglio di mercato è dato soprattutto dalle covarianze con gli altri titoli. A B C D E F G H I A B C D E F G H I 20 Il contributo di rischio portato da un titolo al portafoglio di mercato Il contributo di un titolo alla varianza del portafoglio è dato soprattutto dalla somma ponderata delle covarianze del titolo con gli altri titoli sul mercato. La varianza del titolo ha una componente minima. All aumentare del numero di titoli sul mercato il contributo della sola varianza diventa sempre più piccolo: in tal modo viene realizzata la diversificazione. 21 7

8 Il rischio sistematico e quello diversificabile Il rischio di un qualsiasi portafoglio può essere distinto in due componenti rischio non sistematico (o diversificabile) rischio sistematico Rischio non sistematico: deriva da fattori legati alla società emittente il titolo. E eliminabile con la diversificazione. Rischio sistematico: è legato a fattori macroeconomici, è ineliminabile e corrisponde al rischio del portafoglio di mercato. 22 La riduzione della varianza di un portafoglio con la diversificazione s Rischio non sistematico Rischio sistematico n 23 Indice La Capital Market Theory di Markowitz Il Teorema della separazione di Tobin e la Capital Market Line Il Capital Asset Pricing Model (CAPM) Il rischio sistematico e il rischio diversificabile L intuizione di Sharpe e la Security Market Line 24 8

9 Diversificazione e valore La diversificazione consente di ridurre il rischio di un portafoglio di titoli. Si può dire allora che un portafoglio ha un valore maggiore della somma del valore dei singoli titoli? (poiché è meno rischioso a parità di rendimento) No. Esempio: nei fondi comuni di investimento, il valore del fondo è dato dalla somma del valore dei titoli presenti nel fondo stesso. Non viene riconosciuto nessun premio per la diversificazione. Perché? 25 Perché è implicita. E talmente razionale la diversificazione che il mercato non la premia. E al contrario sprovveduto chi non la effettua. Il rischio che viene premiato è il contributo fornito dal singolo titolo al rischio (ineliminabile) del portafoglio di mercato. Come misurarlo? 26 L intuizione di Sharpe Il s 2 di un titolo è un indicatore inadatto poiché misura la componente eliminabile tramite la diversificazione. Ciò che conta è l insieme delle covarianze ponderate del singolo titolo con tutti gli altri titoli presenti sul mercato. L indicatore migliore è quindi dato dal rapporto della covarianza tra titolo e mercato con la varianza del mercato: il Beta. s (i, m) s 2 (m) = β i Per visualizzare l equazione che definisce il rapporto rischio rendimento occorre dunque passare dal piano (R,s ) al piano (R,b ). 27 9

10 La Security Market Line E (R) SML Alto ritorno Basso ritorno R(m) Rf MRP m E[R(i)]= Rf +β i [ R(m) Rf] Pendenza SML Basso rischio β(m) = 1 Alto rischio Market risk Premium (MRP) b 28 L indice Beta La covarianza misura il legame tra i rendimenti del titolo e quelli del portafoglio di mercato. Il β rappresenta la misura in cui, in media, i rendimenti di un titolo variano al variare dei rendimenti di mercato. Il β del mercato è per definizione pari ad uno poichè la covarianza tra il mercato e sé stesso è pari alla varianza. Il β del mercato è la media ponderata dei β dei diversi titoli presenti sul mercato. 29 Il Beta Un titolo che fornisce un modesto contributo al rischio sistematico del mercato ha un β inferiore ad 1. Un titolo che fornisce un grosso contributo al rischio sistematico del mercato ha un β superiore ad 1. Il MRP è il premio per il rischio del mercato, indica quante unità di rendimento vengono remunerate per essersi assunti un unità addizionale di rischio. Uno studio dell Aiaf ha rilevato l utilizzo di un MRP medio del 4,5%

11 Applicazioni della SML Un applicazione molto importante della SML è la stima del costo-opportunità del capitale azionario. R(i) = Rf +β i [ R(m) Rf] Costo del capitale azionario 31 11

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