183. Storia dei metodi per il calcolo della radice di Michele T. Mazzucato

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1 Mtemticmete.it Mgzie 183. Stori dei metodi per il clcolo dell rdice di Michele T. Mzzucto A cooscere li umeri qudrti per prtic. Molte volte ccde ell'operre di hvere trovre il lto di u umero (l rdice qudrt), che o hvedo lto, l'operte o se e h servire; e ssi volte ccde e i umeri grdi, poi che si è ffticto ssi ivo, si trov tl umero o hver lto, per o essere qudrto, e hssi gettto il tempo e l'oper; però, per fuggire questo icoveiete, ho pesto di dr certe regole che ssi fcilitro l strd cooscere quli sio li umeri qudrti. Rffele Bombelli ( ), L Algebr... (1572) Viee defiit rdice eesim di u umero quel umero x, se esiste, l cui potez eesim è. x Co 0 e 0 se pri. L operzioe co l qule viee determito x si chim estrzioe di rdice. Tle operzioe è l operzioe ivers dell elevmeto potez. Nell espressioe mtemtic il umero è detto idice del rdicle, è detto rdicdo e il simbolo è il sego dell operzioe estrzioe di rdice. Le proprietà dell rdice soo: b ( m m m ) : b m m m 1 b b m m Le suddette proprietà permettoo di estedere le proprietà formli delle poteze lle poteze co espoeti rzioli. m Simbolo dell rdice qudrt utilizzto d Leordo d Pis (meglio oto come Leordo Fibocci) ( ) ell oper Prctic geometric (1220). Il simbolo deriv dll prol lti rdix d cui il termie rdice. Il clcolo dell rdice di u umero rele si esegue di solito ricorredo lle tvole dei logritmi, poiché 33

2 Mtemticmete.it Mgzie 1 log log co logritmi di Hery Briggs ( ) i bse 10 l l co logritmi di Joh Npier ( ) i bse e (= ) 1 Per l estrzioe di rdice qudrt (co = 2) si può ricorrere vri metodi. Uo dei metodi più tichi è quello bbiloese chimto che metodo di Eroe di Alessdri (I sec..c.) che e diede u prim esplicit descrizioe. U vlore iizile x viee iterto co l medi del vlore stesso x e l divisioe fr il rdicdo e il vlore medesimo /x, ossi: x 0 1 x 1 x 2 x che coverge qudrticmete foredo il umero corretto delle cifre che, i geere, rddoppi d ogi iterzioe. Il metodo di Isc Newto ( ) ricomprede come cso prticolre quello bbiloese. Newto descrisse il suo metodo elle opere De lysi per equtioes umero termiorum ifiits (1669) e De metodis fluxioum et serierum ifiitrum (1671). Isc Newto ( ). Il suo metodo, deomito che metodo delle tgeti, perviee ll medesim formul del metodo geerlizzto di Eroe per l estrzioe di u rdice eesim. Eroe prtedo d bsi geometriche e ritmetiche, Newto d quelle differezili. U ltro metodo, pprossimto, per il clcolo dell rdice qudrt si trov el Bkhshli, u tico moscritto mtemtico idio scoperto el 1881 i u zo omoim dell ttule Pkist dl qule prede il ome. Scritto su cortecci di betull viee dtto fr il II sec..c. - III sec. d.c ed è, ttulmete, coservto presso l Bodlei Librry dell uiversità iglese di Oxford. I esso si trov l formul per clcolre le rdici qudrte di umeri che o soo qudrti perfetti: esempio b 2 b 2A Q A b A 2A b 2A 2A 2 34

3 Mtemticmete.it Mgzie co 6 cifre decimli estte. U moder clcoltrice scietific tscbile forisce Spezzoe del moscritto di Bkhshli coservto ll Bodlei Librry. Il mtemtico scozzese Joh Npier ( ) ell oper Rhbdologie seu Numertiois per virguls libri duo (1617) formulò rtifici per eseguire, medite pistre e sticciole (oggi meglio oti come i bstocii di Nepero), oltre l moltipliczioe e l divisioe che l estrzioe di rdici qudrte e cubiche. L estrzioe di rdice qudrt di u umero qudrto perfetto si può effetture co il metodo dell scomposizioe i fttori primi dll cui divisioe fr l'idice del rdicle e gli espoeti dei rdicdi otteimo il risultto cercto. Per esempio: Lo stesso dicsi per l rdice cubic di u umero cubo perfetto. Per esempio: Di u quluque umero itero è possibile stimre d qute cifre è compost l prte iter dell su rdice qudrt e qule si l su prim cifr, el seguete modo: 35

4 Mtemticmete.it Mgzie si divide il umero i gruppi di due cifre prtedo d destr, il umero dei gruppi forisce il umero delle cifre dell prte iter dell su rdice qudrt metre l rdice qudrt pprossimt per difetto meo di u uità del primo gruppo siistr forisce l prim cifr. Per esempio, del umero itero si formo i gruppi di due cifre che risulto 4 pertto 4 sro le cifre che comporro l prte iter dell su rdice qudrt, metre l rdice qudrt pprossimt per difetto meo di u uità del primo gruppo siistr è 1 che srà pertto l prim cifr dell su rdice qudrt. Metodo 1 Metodo del bologese Rffele Bombelli ( ) utore dell oper L'Algebr, oper di Rfel Bombelli d Bolog, divis i tre libri co l qule ciscuo d sé potrà veire i perfett cogitioe dell teori dell'aritmetic (1572) i tre libri. esempio per si divide il rdicdo i gruppi di due cifre icomicido d destr (il gruppo siistr può essere costituito che d u sol cifr) [ ]; - si clcol l rdice qudrt pprossimt per difetto del primo gruppo di cifre (u o due) siistr [1], si clcol il qudrto [1 2 ] e lo si sottre dl gruppo i questioe [2-1]; - si bbss il successivo gruppo di due cifre [57] ccto l quoziete precedete [1] e si sepr l ultim cifr [15 7]; - si rddoppi il umero fior clcolto come rdice qudrt [1+1], si ggiuge u umero (d 1 9) e si moltiplic il tutto per lo stesso umero tle d permettere che il prodotto risultte si iferiore l resto che bbimo siistr (se essu umero soddisf quest codizioe si iserisce 0); L rdice qudrt di è di resto: = = Per clcolre che i decimli dell rdice qudrt si prosegue il procedimeto ggiugedo due zeri ll volt. 36

5 Mtemticmete.it Mgzie Christoff Rudolff ( ). Fu il primo d utilizzre il simbolo di rdice oggi oi oto che lo i trodusse ell oper Behed ud hübsch Rechug durch die kustreiche regel Algebre, so gemeiicklich die Coß geet werde (1525), il primo libro di lgebr i ligu tedesc. 37

6 Mtemticmete.it Mgzie Michel Stifel ( ). Autore di Die Coss Christoffs Rudolffs (1553) u revisioe dell oper di Rudolff. Il simbolo di rdice oggi oi oto vee itrodotto per l prim volt dl mtemtico tedesco Christoff Rudolff ( ) el Nel simbolo, tuttvi, o ppriv il viculum, l lie sopr il rdicdo. Fu Reé Descrtes (Crtesio) ( ) che usò il simbolo (completo del viculum) ell oper L Geometrie (1637). Il posiziometo dell idice del rdicle vee, ivece, proposto dl mtemtico frcese Albert Girrd ( ) ell oper Ivetio ouvelle del 1629, otzioe suggerit iizilmete per l rdice cubic. Metre, il frcese Michel Rolle ( ) fu l prim perso d ccogliere il suggerimeto di Girrd ell oper Trité d'lgèbre, ou pricipes geerux pour resoudre les questios de mthemtique del 1690, o escludedo priori che ciò vvee prim co lo stesso Girrd (1633) e Leibiz (1676). Il dividere le cifre gruppi di due (per l rdice qudrt) e di tre (per l rdice cubic) ecessrie per il clcolo dell estrzioe di rdice soo idiczioi già forite e uste dl mtemtico idio Arybht ( ) el V secolo. L regol prtic di estrzioe dell rdice eesim, co idice itero e mggiore di tre, si trov ell oper Geerl trttto di umeri et misure (1556) del brescio Niccolò Fot (Trtgli) ( ) e che ell oper De umeros potesttum d exegesim resolutioe (1600) di Frçois Viète ( ). Il mtemtico bologese Pietro Atoio Ctldi ( ) ell oper Trttto del modo brevissimo di trovre l rdice qudrt delli umeri (1613) utilizzò per primo le frzioi cotiue e le serie. Ache se le proprietà dei rdicli ero i prte già ote vri mtemtici quli Diofto di Alessdri (III sec.), Fibocci (XIII sec.), ll retio di Ssepolcro 38

7 Mtemticmete.it Mgzie Luc Brtolomeo de Pcioli (XV sec.), Trtgli, l pvese Girolmo Crdo ( ) e Bombelli (XVI sec.) l loro trttzioe rigoros e sistemtic si ebbe d Descrtes (Crtesio) el XVII secolo i vti. I geerle, l rdice eesim di u umero l possimo clcolre pplicdo il metodo di Newto ll equzioe x - = 0 prtedo d u prim pprossimzioe x 0 (d esempio lo stesso vlore di ) e otteedo itertivmete i vlori successivi di x k co l formul seguete: x x 0 k 1 x k x k x 1 k sio ll precisioe desidert. Migliore srà l stim iizile di x 0, che meglio pprossim il vlore dell rdice, miori sro le iterzioi d effetture per otteere il risultto. Coperti e u pgi dell oper Die Coss Christoffs Rudolffs (1553) di Stifel. 39

8 Mtemticmete.it Mgzie Bibliogrfi Bottzzii U. - Fregugli P. - Toti Rigtelli L., Foti per l stori dell mtemtic, Ssoi, Fireze 1992 Cjori F., A History of mthemtics, Mcmill, New York 2 d ed Chbspp M.N., O the squre root formul i the Bkshli muscript, Idi J. History Sci. vol. 11 (2) pp Ifrh G., Eciclopedi uiversle dei umeri, Moddori, Milo 2008 Piccto A., Diziorio dei termii mtemtici, Rizzoli, Milo 1987 Rittud B., L fvolos stori dell rdice qudrt di due, Bollti Borighieri, Torio