EQUAZIONI GONIOMETRICHE

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Serafino Gentile
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1 EQUAZIONI GONIOMETRICHE. EQUAZIONI ELEMENTARI: A FUNZIONE SENO: sin x = m con m x = arcsin m + k6 x = 8 arcsin m + k6 sin x = x = + k6 x = 5 + k6 sin(f (x)) = sin(g(x)) f(x) = g(x) + k6 o f (x) = 8 g(x) + k6 sin(x + ) = sin(x ) x + = x + k6 o x + = 8 (x ) + k6 x = 4 + k6 o x = 6 + k6 6 x = 4 + k6 o x = + k B FUNZIONE COSENO: cos x = n con n x/ =± arccos n + k6 cos x = x =± 6 + k6 / cos(f (x)) = cos(g(x)) f(x) =± g(x) + k6 cos(x + ) = cos(x ) x + =± (x ) + k6 x + = x + k6 o x + = x + + k6 x = 4 + k6 o x = + k6 x = 4 + k6 o x = + k - -

sin(g(x)) f(x) = g(x) + k6 o f (x) = 8 g(x) + k6 sin(x + ) = sin(x ) x + = x + k6 o x + = 8 (x ) + k6 x = 4 + k6 o x = 6 + k6 6 x = 4 + k6

2 C FUNZIONE TANGENTE: an x = p con p x = arcan p + k8 an x = x = + k8 an(f (x)) = an(g(x)) f(x) = g(x) + k8 an(x + ) = an(x ) x + = x + k8 x = 4 + k8. EQUAZIONI CONTENENTI UNA SOLA FUNZIONE GONIOMETRICA: Si effeua una sosiuzione ponendo la funzione goniomerica uguale ad una nuova incognia. 6sin x sinx+ 5= Si pone sin x = e l equazione divena: = = 69 = 49 = 7 ± 7 / = = 5 5 sin x = o sin x = (imposs.) eq. elemenari.. EQUAZIONI RIDUCIBILI AD UNA SOLA FUNZIONE GONIOMETRICA: Si uilizzano le relazioni fondamenali per rasformare le funzioni goniomeriche preseni in una sola di esse. Ricordiamo le relazioni fondamenali: sin x = cos x sin x =± cos x sin x + cos x = cos x = sin x cos x =± sin x sin x an x = cos x cosx co anx = = anx sinx cos x = + sinx - -

6sin x sinx+ 5= Si pone sin x = e l equazione divena: 6 + 5 = = 69 = 49 = 7 ± 7 / = = 5 5 sin x = o sin x = (imposs.) eq. elemenari.

3 Evidenemene conviene cambiare il coseno in seno uilizzando la prima relazione fondamenale della goniomeria: ( sin x) = + sin x sin x = + sinx sin x sinx+ = sin x + sin x = sin x = + = =... = e elemenari. = sin x = e sin x = che sono eq. 4. EQ. RISOLUBILI MEDIANTE LEGGE DI ANNULLAMENTO DEL PRODOTTO: Occorre porare ui i ermini al primo membro e scomporre in faori. Poi si annullano i singoli faori. + cosx sinx cosxsinx = sinx + cosx sinx = ( sinx)( + cosx) = sinx = + cosx = che sono due eq. elemenari: sin x = x = 9 + k6 cos x = x = ± + k6 5. FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE: Si applicano quando le funzioni goniomeriche hanno argomeni diversi. Ricordiamo le formule: sin ( x ± y) = sin x cos y ± cos x sin y cos x ± y = cos xcosy sin x sin y cos( + x) + cos( x) = cos cos x sin sin x + cos cos x + sin sin x = cos x + cos x = cos x = cos x = cos x = x =± + k

Poi si annullano i singoli faori. + cosx sinx cosxsinx = sinx + cosx sinx = ( sinx)( + cosx) = sinx = + cosx = che sono due eq. elemenari: sin x = x = 9 + k6 cos x = x = ± + k6 5.

4 6. FORMULE DI DUPLICAZIONE: Ricordiamo le formule: sin x = sin x cos x = cos x cos x sin x anx an x = an x sin x+ cosx = sin x cos x sin x + = sin x cos x sin x + = = = =± =± =± cos x cos x cos x cos x cos x cos x = x =± 45 + k6 cos x = x =± ( 8 45 ) + k6 x =± 5 + k6 7. FORMULE DI PROSTAFERESI: Si uilizzano quando è conveniene rasformare somme o differenze di funzioni goniomeriche in prodoi. Ricordiamo le formule: p+ q p q sin p + sin q = sin cos p+ q p q sin p sin q = cos sin p+ q p q cos p + cos q = cos cos p+ q p q cos p cos q = sin sin sin 4x + sin8x = cos x sin 6x cos x = cos x sin 6x cos x cos x = cos x sin x = si risolve con l applicazione della legge di annullameno del prodoo: cos x = x =± 9 + k6 x =± 45 + k8 sin x = sin x = x = 9 + k6 x = 45 + k

Ricordiamo le formule: p+ q p q sin p + sin q = sin cos p+ q p q sin p sin q = cos sin p+ q p q cos p + cos q = cos cos p+ q p q cos p cos q = sin sin sin 4x + sin8x = cos x sin 6x cos x = cos x

5 8. FORMULE DI WERNER: Si uilizzano quando è conveniene rasformare prodoi di funzioni goniomeriche in somme o differenze. Ricordiamo le formule: sinα sin β = cos cos α + β α β cosαcos β = cos( α β) cos( α β) + + sinαcos β = sin ( α + β) + sin ( α β) cos x cosx = cos 4x cos x cos4x+ cosx = cos6x+ cosx cos 4x + cos x = cos 6x + cos x cos 4x = cos 6x quesa è un eq. elemenare: 4x =± 6x + k6 4x = 6x + k6 x = k6 x = k6 4x = 6x + k6 x = k6 x = k8 = h8 Noa: la seconda soluzione è già conenua nella prima! 9. EQUAZIONI LINEARI IN SENO E COSENO: La forma canonica di ale equazione è: a sinx+ b cosx+ c= Disinguiamo due casi a seconda che c= c. c= In al caso, basa dividere ua l equazione per cosx oenendo un equazione nella sola funzione angene. sin x cos x = sin x cos x = cos x cos x an x = an x = x = 6 + k8 c In queso caso invece, dopo aver verificao se x = 8 + k6 è una possibile soluzione (e per queso baserà osservare se i coefficieni b e c sono uguali), occorre uilizzare le formule parameriche:

cos 6x + cos x cos 4x = cos 6x quesa è un eq. elemenare: 4x =± 6x + k6 4x = 6x + k6 x = k6 x = k6 4x = 6x + k6 x = k6 x = k8 = h8 Noa: la seconda soluzione è già conenua nella prima! 9.

6 sin x = + cos x = + an x = dove x = an cos x + sin x = sinx+ cosx = b c quindi non c è la soluzione x = 8 + k6. Applichiamo le formule parameriche: + = = + = + + = ( + ) + + ( ) = = + = = 4 / ± = + = = = = = =... = + + x x an = = 5 + k8 x = 7 + k6 x x an = = 5 + k8 x = + k6. EQUAZIONI OMOGENEE DI GRADO IN SENO E COSENO: Un equazione omogenea in seno e coseno è della forma: a sin x+ b sinxcosx+ c cos x = Se uno dei coefficieni è nullo, l equazione si risolve riconducendosi ai casi precedeni. Ad esempio, se a= mancherà il primo ermine e si porà scomporre in faori il primo membro; quindi si applicherà la legge di annullameni del prodoo

7 cos x+ sinxcosx= cos x cos x + sin x = cos x = cosx+ sinx= di cui, la prima è elemenare e la seconda lineare senza ermine noo. Se invece i re coefficieni sono ui diversi da zero, si divide ua l equazione per cos x (divisione che in queso caso si può sempre fare), oenendo un equazione nella sola funzione angene: a sin x+ b sinxcosx+ c cos x = a sin x+ b sinxcosx+ c cos x = cos x cos x sin x sin x cos x cos x a + b + c = cos x cos x cos x aan x+ banx+ c= sin x sin x cos x cos x = sin x sin x cos x cos x = cos x cos x cos x an x anx = = + = 4 4 ± an x =... an x/ = = an x =.... EQUAZIONI RICONDUCIBILI AD OMOGENEE DI GRADO IN SEN E COS: Si differenziano dalle precedeni perché in queso caso compare un ermine noo e ciò rende impossibile dividere ua l equazione per cos x, a meno che non si operi una semplice rasformazione. La forma ipica con cui si presena è: a sin x+ b sinxcosx+ c cos x = d Ricordando la prima relazione fondamenale della goniomeria sin x + cos x =, moliplichiamo il ermine noo per sin x + cos x (che vale appuno ) oenendo: a sin x + b sin x cos x + c cos x = d sin x + cos x a sin x + b sin x cos x + c cos x = dsin x + d cos x Porando ui i ermini al primo membro e riducendo quelli simili, ci si è ricondoi ad una equazione omogenea di secondo grado

sinxcosx+ c cos x = a sin x+ b sinxcosx+ c cos x = cos x cos x sin x sin x cos x cos x a + b + c = cos x cos x cos x aan x+ banx+ c= sin x sin x cos x cos x = sin x sin x cos x cos x = cos x cos x

8 6sin x 8sinxcosx+ 4cos x = 6sin x 8sin x cos x + 4cos x = sin x + cos x 6sin x 8sin x cos x + 4cos x = sin x + cos x 4sin x 8sinxcosx+ cos x = sin x 4sinxcosx+ cos x = an x 4anx+ = =

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